第04講圖形的軸對(duì)稱內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破【知識(shí)點(diǎn)1】軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱（1）軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：①關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.（3）軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱；如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形．（4）軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)性質(zhì)：在軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等【知識(shí)點(diǎn)2】等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的軸對(duì)稱圖形，等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，【知識(shí)點(diǎn)3】等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形性質(zhì)1：等邊三角形的三條邊都相等；（2）等邊三角形性質(zhì)2：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于；（3）等邊三角形性質(zhì)3：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有三條對(duì)稱軸.【知識(shí)點(diǎn)4】線段的垂直平分線（簡(jiǎn)稱中垂線）1.定義：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.2.性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3.作法：作已知線段的垂直平分線.【知識(shí)點(diǎn)5】角平分線的性質(zhì)1.角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.2.性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.3.作已知角的角平分線.考點(diǎn)一：軸對(duì)稱圖形的識(shí)別例1．（2025·湖北襄陽(yáng)·一模）下面四個(gè)化學(xué)儀器示意圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形，將一個(gè)圖形沿著某條直線對(duì)折，直線兩旁的圖形能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形．據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、它不是軸對(duì)稱圖形；不符合題意；B、它不是軸對(duì)稱圖形；不符合題意；C、它不是軸對(duì)稱圖形；不符合題意；D、它是軸對(duì)稱圖形．符合題意；故選：D．【變式1-1】（2025·陜西西安·二模）在圖中，軸對(duì)稱圖形共有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題考查了軸對(duì)稱的概念，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，據(jù)此作答即可．【詳解】解：左起第一、二、四這三個(gè)圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．第三個(gè)圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形．故選：B．【變式1-2】（重慶市巴南區(qū)2024-2025學(xué)年下學(xué)期九年級(jí)半期測(cè)試數(shù)學(xué)試題卷）下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可，軸對(duì)稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．【詳解】解：選項(xiàng)B、C、D均不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對(duì)稱圖形；選項(xiàng)A能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：A．【變式1-3】（2025·陜西安康·二模）“長(zhǎng)安回望繡成堆，山頂千門次第開．”長(zhǎng)安即如今陜西西安，陜西擁有眾多承載歷史的古城．以下是陜西一些古城的圖標(biāo)設(shè)計(jì)圖，其中是軸對(duì)稱圖形的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別．根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：第3個(gè)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；第1、2、4個(gè)中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：B．考點(diǎn)二：根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷例2.（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：①；②；③；④中，錯(cuò)誤的有（

）A．4個(gè) B．1個(gè) C．0個(gè) D．2個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，，垂直平分和，則結(jié)論①和④正確；再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定可得結(jié)論②和③正確．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對(duì)稱，交于點(diǎn)O，∴根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，，，垂直平分和，所以結(jié)論①和④正確；∴，，所以結(jié)論②和③正確；綜上所述，錯(cuò)誤的結(jié)論有0個(gè)，所以選項(xiàng)C正確，符合題意，故選：C．【變式2-1】（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，關(guān)于直線進(jìn)行軸對(duì)稱變換后得到，下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．C．垂直平分 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于直線進(jìn)行軸對(duì)稱變換后得到，∴，，垂直平分，，故選項(xiàng)A、B、C正確；故選項(xiàng)D不一定正確．故選：D．【變式2-2】（2025·福建·一模）如圖是一個(gè)風(fēng)箏設(shè)計(jì)圖，其主體部分關(guān)于所在的直線對(duì)稱（四邊形，），與相交于點(diǎn)，，且，則下列推斷不正確的是（

）

A． B．C． D．是等邊三角形【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．由對(duì)稱可得：，，，，進(jìn)而得到是等腰三角形，即可判斷．【詳解】解：其主體部分關(guān)于所在的直線對(duì)稱（四邊形，），，，，，是等腰三角形，故A、B、C正確；D不正確；故選：D．【變式2-3】（23-24八年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）如圖，和關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）

A． B．垂直平分C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，連接交于，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，，即可判斷A，從而得出垂直平分，即可判斷B、C，最后再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷D，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接交于，

，和關(guān)于直線對(duì)稱，，，，故A正確，不符合題意；垂直平分，故B正確，不符合題意；點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，故C正確，不符合題意；，，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．考點(diǎn)三：利用軸對(duì)稱中的性質(zhì)解決折疊問題例3.（24-25七年級(jí)下·江蘇泰州·期中）如圖，在中，，沿翻折到的位置，然后將沿翻折到的位置，且，則【答案】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、折疊問題【分析】本題考查圖形的翻折變換以及平行線的性質(zhì)．先根據(jù)翻折性質(zhì)得出，再得到角的等量關(guān)系，求解．【詳解】解：沿翻折到的位置，．將沿翻折到的位置，，．，．故答案為：．【變式3-1】（24-25七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）如圖所示，將長(zhǎng)方形紙片沿折痕折疊，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，線段交線段于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是．【答案】/20度【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、折疊問題【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，由折疊性質(zhì)可知：，再根據(jù)得，再根據(jù)角度和差即可求解．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知：，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【變式3-2】（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期中）在“折紙與平行”的拓展課上，老師布置了一個(gè)任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片，，，點(diǎn)D是邊上的固定點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)谏险乙稽c(diǎn)E，將紙片沿折疊（為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使與三角形的一邊平行，則的度數(shù)為．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、折疊問題【分析】本題考查折疊性質(zhì)、平行線性質(zhì)，熟練掌握折疊性質(zhì)，利用分類討論思想，結(jié)合圖形進(jìn)行角的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．分，，三種情況，利用折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，則，由折疊性質(zhì)得：，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，則，由折疊性質(zhì)得：，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，則，由折疊性質(zhì)得：，∴．綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．【變式3-3】（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）學(xué)習(xí)了平行線的性質(zhì)與判定之后，我們繼續(xù)探究折紙中的平行線．(1)如圖1，長(zhǎng)方形紙條中，，，，將紙條沿直線折疊，點(diǎn)A落在處，點(diǎn)D落在處，交于點(diǎn)G．①若，求的度數(shù)．②若，則________（用含α的式子表示）．(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將對(duì)折，點(diǎn)C落在直線上的處．點(diǎn)B落在處，得到折痕，則折痕與有怎樣的位置關(guān)系？說明理由．(3)如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)作的平行線，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②；(2)，理由見解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、折疊問題【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)和平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）①由題意得，則，由平行線的性質(zhì)得，由平角的定義即可得出結(jié)果；②由題意得，則，由平行線的性質(zhì)得，由平角的定義即可得出結(jié)果；（2）由題意得，，，由平行線的性質(zhì)得，推出，即可得出．（3）根據(jù)，，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)，可以得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①由題意得：，∴，∵，∴，∴；②由題意得：，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：由題意得：，，∵，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：∵，，∴，∴，∵，∴．考點(diǎn)四：利用等腰三角形性質(zhì)求解例4．（24-25九年級(jí)下·重慶北碚·自主招生）如圖，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、等邊對(duì)等角【分析】本題考查等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角，得到，平行線的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，利用平角的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【變式4-1】（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，若，則的周長(zhǎng)是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三線合一【分析】本題主要考查了三線合一定理，根據(jù)三線合一定理可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，∴的周長(zhǎng)，故答案為：．【變式4-2】（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古包頭·期中）如圖，，分交于點(diǎn)D，E是的垂直平分線與的交點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、三線合一【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)．由題意得，，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：如圖，∵，平分，∴，，∵，∴，∵點(diǎn)為的垂直平分線與的交點(diǎn)，∴，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：14．【變式4-3】（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，已知點(diǎn)P是射線上一動(dòng)點(diǎn)（即P可在射線上運(yùn)動(dòng)），，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角【分析】本題主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵．若為等腰三角形則有、和三種情況，分別利用等腰三角形的兩底角相等可求得的值．【詳解】解：若為等腰三角形則有、和三種情況，①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)時(shí)，則；③當(dāng)時(shí)，則有，∴；綜上可知為或或故答案為：或或．考點(diǎn)五：利用等腰三角形性質(zhì)證明例5.（24-25八年級(jí)上·北京順義·期中）已知：在中，過A點(diǎn)作直線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)(1)直線與線段的無(wú)交點(diǎn)時(shí)，如圖1，線段之間的數(shù)量關(guān)系為________；(2)直線與線段有交點(diǎn)（點(diǎn)除外），其余條件不變時(shí)，請(qǐng)你在備用圖中畫出圖形，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的純論．【答案】(1)(2)或，見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）、等邊對(duì)等角【分析】（1）由于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，得，因?yàn)椋?，而，即可根?jù)“AAS”證明，得，，則，于是得到問題的答案；（2）由于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，得，而，可證明，因?yàn)椋?，則，，當(dāng)，；當(dāng)，．此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，證明是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，故答案為：．（2）或，證明：∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，，如圖2，直線與線段有交點(diǎn)，且，∵，且，∴；如圖3，直線與線段有交點(diǎn)，且，∵，且，∴，綜上所述，或．【變式5-1】（24-25八年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，連接．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)5【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊對(duì)等角【分析】本題主要考查等邊對(duì)等角，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到，，運(yùn)用角角邊即可求證；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)，線段和差得到，，由此即可求解．【詳解】（1）證明：，，又，．（2）解：，，，，，．【變式5-2】（24-25八年級(jí)下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）綜合與探索如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)B出發(fā)沿射線移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C發(fā)沿線段的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P，Q移動(dòng)的速度相同，與直線相交于點(diǎn)D．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，求證：．(2)如圖2，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P，Q在移動(dòng)的過程中，線段長(zhǎng)度是否保持不變？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)保持不變，見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等邊對(duì)等角、三線合一【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．（1）過P點(diǎn)作交于F，由題意可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）分點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，利用全等三角形的性質(zhì)和判定可得的長(zhǎng)度不變．【詳解】（1）證明：如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．．點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度相同，．，，，．，．．（2）解：線段的長(zhǎng)度保持不變，理由如下：分兩種情況，①若點(diǎn)在線段上，如圖2，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．與（1）同理可知，，，．，．．②若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖3，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．．又，．．，．，，又，．．，．綜上所述，線段的長(zhǎng)度保持不變．【變式5-3】（24-25八年級(jí)上·安徽合肥·期末）在中，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上一點(diǎn)．于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證：①；②．(2)如圖2，過點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，請(qǐng)?jiān)趫D中找出與相等的線段，并證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)，見解析【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、等邊對(duì)等角、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）①先證明，再進(jìn)一步可得；②由①可得，，證明，即可得出；（2）根據(jù)垂直的定義得出，再根據(jù)，，得出，進(jìn)而證明出．【詳解】（1）證明：①∵點(diǎn)D是中點(diǎn)，，，∴，，，∴，又∵，∴，又∵，∴；②由①知，，在和中，，∴，∴；（2）證明：．理由如下：∵，，∴，，∴，又∵，在和中，，∴，∴．考點(diǎn)六：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解例6.（2025年貴州省遵義市三模數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)，作直線分別交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為°．【答案】30【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角【分析】本題考查作圖－基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．利用三角形內(nèi)角和定理求出，再求出，可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意可知，垂直平分線的，，，，，，故答案為：30．【變式6-1】（24-25七年級(jí)下·山東青島·階段練習(xí)）如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，且．若周長(zhǎng)為13，，．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定得，再根據(jù)的周長(zhǎng)為，，求出，然后等量代換可得答案．【詳解】解：∵是的垂直平分線，∴．∵，∴是的垂直平分線，∴，∴．∵的周長(zhǎng)為，，∴，∴，則，∴，即．故答案為：．【變式6-2】（2025·湖南長(zhǎng)沙·二模）如圖，是直線外一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于點(diǎn)，；②分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作直線交于點(diǎn)．若，，則四邊形的面積為．【答案】12【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問題、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查線段垂直平分線的尺規(guī)作圖性質(zhì)以及對(duì)角線垂直的四邊形面積計(jì)算，解題關(guān)鍵是依據(jù)作圖步驟明確線段關(guān)系，運(yùn)用對(duì)應(yīng)面積公式求解．先依據(jù)作圖步驟得出，垂直平分，進(jìn)而得到的長(zhǎng)度，再推導(dǎo)出對(duì)角線垂直的四邊形面積公式對(duì)角線之積，計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：由作圖步驟可知：步驟①中，以點(diǎn)為圓心作弧交直線于、，∴．步驟②中，分別以、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧相交于，∴直線是線段的垂直平分線，∴，．∴．∵四邊形的對(duì)角線與互相垂直，．故答案為：12．【變式6-3】（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，內(nèi)一點(diǎn)，，分別是關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若的周長(zhǎng)是，則的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟知如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，再由的周長(zhǎng)是，即可得出結(jié)論．【詳解】解：交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，的周長(zhǎng)是，，．故答案為：．考點(diǎn)七：根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求解例7．（24-25九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以小于長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在內(nèi)兩弧交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．若的長(zhǎng)為2，則點(diǎn)到的最短距離為．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、角平分線的性質(zhì)定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)【分析】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌握基本作圖以及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，可知點(diǎn)到的最短距離為，根據(jù)作圖可得為的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)到的最短距離為，根據(jù)作圖可知為的角平分線，∵∴，故答案為：2．【變式7-1】（24-25七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，平分，點(diǎn)P在上，于D，，點(diǎn)E是射線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】垂線段最短、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了垂線段最短，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)垂線段最短求解．【詳解】解：過點(diǎn)作于，如圖，

平分，，，，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．故答案為：3．【變式7-2】（2025·云南楚雄·一模）如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，，若的面積是，周長(zhǎng)是，則的長(zhǎng)是.【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線的性質(zhì)定理是關(guān)鍵．如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，根據(jù)，代入求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵點(diǎn)是，的平分線交點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，且，解得，，故答案為：3．【變式7-3】（24-25七年級(jí)下·黑龍江牡丹江·期中）如圖，是的角平分線，，是的角平分線，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的是．【答案】①②④【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、角平分線的性質(zhì)定理【分析】此題考查了角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，平行線間的距離處處相等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用，平分，平分，可以判斷出①②正確；再根據(jù)與不一定相等，再利用與相等，可判斷出③不一定正確；根據(jù)，推出與是等底等高的三角形，最后利用等式性質(zhì)可得到④正確．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，故①②正確；∴與不一定相等，由題意可知，∴與不一定相等，故③錯(cuò)誤；∵，∴與是等底等高的三角形，∴，∴，故④正確，故答案為：①②④．考點(diǎn)八：垂直平分線與角平分線的綜合問題例8.（2025·山東臨沂·二模）在中，，的作圖痕跡如圖所示，交于點(diǎn)N，垂直平分邊，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)O，連接．(1)若，，求與的面積比；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對(duì)等角【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角得出的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出的度數(shù)，即可推出結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由作圖可知，平分，又垂直平分邊，，，，，，△與△的面積比；（2）解：，，，，平分，，垂直平分邊，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，尺規(guī)基本作圖-作角平分線，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（24-25八年級(jí)上·河北保定·期中）如圖，在中，垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，，垂足為D，且，連接．(1)求證：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)32【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，且，可得垂直平分，則，根據(jù)垂直平分，可得，據(jù)此可證明；（2）根據(jù)線段垂直平分線的定義得到，根據(jù)，得到，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式和線段之間的關(guān)系可得的周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：∵，垂足為D，且，∴垂直平分，∴，∵垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，∴，∴；（2）解：∵垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)E，∴．∵，∴．由（1）得，∴的周長(zhǎng)．【變式8-2】（24-25七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）已知是的平分線，P是射線上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別在射線上，連接．(1)如圖①，當(dāng)，時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖②，點(diǎn)C，D分別在射線上運(yùn)動(dòng)，且．當(dāng)時(shí)，與在（1）問中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)成立，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可作出判斷；（2）過點(diǎn)P作于E，于F，如圖，可得，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)得出，證明，進(jìn)而得到結(jié)論．【詳解】（1）解：是的平分線，；故答案為：；（2）解：成立，理由如下：如圖，過點(diǎn)P作于E，于F，，∵是的平分線，，，，，在和中，．【變式8-3】（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）在中，，．若點(diǎn)在的平分線所在的直線上．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，過點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，且．求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若，平分，交于點(diǎn)，交與點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．①；②若，，求的長(zhǎng)度．(3)如圖3，過點(diǎn)的直線，若，，點(diǎn)到三邊所在直線的距離相等，則點(diǎn)到直線的距離是______．【答案】(1)見解析(2)①；②(3)1或2或3或6【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）①點(diǎn)在的平分線所在的直線上，過點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，得出，借助，得到，即可證明點(diǎn)在的垂直平分線上；（2）①先利用角平分線的定義求得，再利用三角形的外角性質(zhì)求得，即可求解；②延長(zhǎng)交于，證明，得到，再由，即可求解；（3）分4種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）證明：連接，，如圖1，點(diǎn)在的平分線所在的直線上，過點(diǎn)作于，作交的延長(zhǎng)線于，，在和中，，，，點(diǎn)在的垂直平分線上；（2）解：①平分，平分，，，即，，，即，；故答案為：；②延長(zhǎng)交于，如圖2，，，，在和中，，，，∵，，，，，，，，，，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，如圖，，，點(diǎn)到直線的距離是；當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，如圖設(shè)點(diǎn)到三邊的距離為，由題意得：，，，，點(diǎn)到直線的距離是；綜上，點(diǎn)到直線的距離是2或6．當(dāng)點(diǎn)D在的右邊時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為y，同理可得：，∴，點(diǎn)D到直線l的距離是；當(dāng)點(diǎn)D在的上方時(shí)，如圖：設(shè)點(diǎn)D到三邊的距離為z，同理可得：，∴，點(diǎn)D到直線l的距離是；綜上，點(diǎn)D到直線l的距離是1或2或3或6．故答案為：1或2或3或6．一、單選題1．（2025·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測(cè)）博物館是歷史的見證者和收錄者，是人們直觀感受歷史脈絡(luò)，提升歷史認(rèn)知的重要場(chǎng)所．以下四個(gè)博物館標(biāo)識(shí)，其文字上方的圖案不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【分析】本題考查軸對(duì)稱圖形識(shí)別．如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．根據(jù)定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A，文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形，不合題意；B，文字上方的圖案不是軸對(duì)稱圖形，符合題意；C，文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形，不合題意；D，文字上方的圖案是軸對(duì)稱圖形，不合題意；故選B．2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，邊的垂直平分線交于點(diǎn)E．已知的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合的周長(zhǎng)，得出，即可得解．【詳解】解：∵是的垂直平分線，，∵是的垂直平分線，，∵的周長(zhǎng)，，，，故選：D．3．（24-25八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）如圖是古建筑中的房梁三角架的示意圖．在中，，是的中點(diǎn)，連接，是上一點(diǎn)，且．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、三線合一【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形中“三線合一”是解題關(guān)鍵．由三線合一知，由等腰三角形兩底角相等即可求解．【詳解】解：∵，是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴．故選：D．4．（24-25七年級(jí)下·福建漳州·階段練習(xí)）如圖，與關(guān)于直線對(duì)稱，則以下結(jié)論中不一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行求解【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，①如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形全等；②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)應(yīng)線段或者平行，或者共線，或者相交于對(duì)稱軸上一點(diǎn)；③如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作答即可．【詳解】解：∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，∴，根據(jù)現(xiàn)有條件無(wú)法得到，故選：B．5．（2025·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫圓弧，分別交于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊上，連結(jié)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．連結(jié)，根據(jù)可判定C．D．的最小值是的長(zhǎng)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、作角平分線(尺規(guī)作圖)、用SSS間接證明三角形全等（SSS）【分析】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)，由作圖過程可得，，可得，即可判斷A，B選項(xiàng)；由作圖過程可知，射線為的平分線，可得，即可判斷C選項(xiàng)；由題意知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得，即的最小值是的長(zhǎng)，即可判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：連接，，由作圖過程可得，，∵，∴，∴根據(jù)可判定，故A選項(xiàng)正確，不符合題意，B選項(xiàng)不正確，符合題意；由作圖過程可知，射線為的平分線，∴，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；由題意知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，∵為的平分線，，∴此時(shí)，即的最小值是的長(zhǎng)，故D選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：B．二、填空題6．（24-25八年級(jí)上·江西上饒·期中）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6個(gè)空白小方格中涂黑其中1個(gè)，使所得的圖形是軸對(duì)稱圖形，則可選的那個(gè)小方格的位置有種．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案【分析】本題主要考查了利用軸對(duì)稱的定義設(shè)計(jì)圖案，正確掌握軸對(duì)稱圖形的定義(如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形)是解題關(guān)鍵．直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析解答即可．【詳解】解：如圖：在圖中剩余的方格中涂黑一個(gè)正方形，使整個(gè)陰影部分成為軸對(duì)稱圖形，只要將1或2處涂黑，都是符合題意的圖形．故答案為：2．7．（24-25八年級(jí)下·廣東河源·期中）在中，，分別是邊，的垂直平分線，分別交于，兩點(diǎn)，連接，，若，則的周長(zhǎng)為．【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，得出，，即可由三角形周長(zhǎng)公式求解．【詳解】解：∵，分別是邊，的垂直平分線，∴，，∴的周長(zhǎng)．故答案為：8．8．（24-25八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖所示，已知的周長(zhǎng)是21，分別平分和，于D，且，則的面積是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．連接，過作，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，利用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，過作，，則：，∴，即：，∵的周長(zhǎng)是21，∴；故答案為：．9．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古包頭·期中）如圖，平分，，垂足為E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若恰好平分．則下列結(jié)論中：①是的高；②是的中線；③；④．其中正確的有．（填序號(hào)）【答案】①②③④【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、線段垂直平分線的性質(zhì)、兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可得，然后可證，，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵平分，恰好平分，∴，∵，∴，∴，即，∴，即是的高，故①正確；∵，，∴，∴，，即是的中線，故②正確；∵，∴，∵，∴，∴，，故③正確；∵，，，∴，故④正確；故答案為：①②③④．10．（24-25七年級(jí)下·上海楊浦·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，將沿直線翻折得到，如果與的一邊互相平行，那么．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、折疊問題【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．分和兩種情況求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，∵，，∴．∵，∴．由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∵，∴∴．當(dāng)時(shí)，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，∵∴故答案為：或．三、解答題11．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，．將的一角折疊，使兩點(diǎn)重合，得到折痕，再將沿折疊，點(diǎn)恰好落到點(diǎn)上．求的周長(zhǎng)．【答案】9【知識(shí)點(diǎn)】折疊問題【分析】本題考查了折疊問題，軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形對(duì)應(yīng)邊相等，將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解．【詳解】因?yàn)閷⒄郫B后，兩點(diǎn)重合，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)檠卣郫B，點(diǎn)恰好落到點(diǎn)上，所以．又因?yàn)椋缘闹荛L(zhǎng)．12．（24-25八年級(jí)上·山東聊城·期末）在中，垂直平分，連接，平分．(1)若，求的度數(shù)．(2)若，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)多8，的面積為6，則三角形的面積為多少？【答案】(1)(2)12【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟知相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用垂直平分線的性質(zhì)得到，再得到，利用三角形內(nèi)角和即可解答；（2）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)題意求得的長(zhǎng)即可解答．【詳解】（1）解：垂直平分，，，，為角平分線；（2）解：如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，為角分平線，，，，，，且，，的面積為12．13．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，小明利用尺規(guī)作了如圖①所示的痕跡，已知．(1)觀察圖①中的尺規(guī)作圖的痕跡，可以發(fā)現(xiàn)直線是線段的______，射線是的______；(2)在圖②中，若，求的面積；(3)若P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)垂直平分線，平分線；(2)2；(3)6．【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、作角平分線(尺規(guī)作圖)、作已知線段的垂直平分線【分析】本題考查了垂直平分線，角的平分線基本作圖，線段和的最值，角的平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)．（