第05講三角形全等的基本解題模型內(nèi)容導(dǎo)航串講知識：思維導(dǎo)圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關(guān)鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點一倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】1、基本型：如圖1，在三角形ABC中，AD為BC邊上的中線.證明思路：延長AD至點E，使得AD=DE.若連結(jié)BE，則；若連結(jié)EC，則；2、中點型:如圖2，為的中點.證明思路：若延長至點，使得，連結(jié)，則;若延長至點，使得，連結(jié)，則.3、中點+平行線型：如圖3,，點為線段的中點.證明思路：延長交于點(或交延長線于點)，則.知識點二截長補短模型【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段。【常見模型及證法】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；=2\*GB3②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：=1\*GB3①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；=2\*GB3②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE知識點三一線三等角模型【模型解讀】在某條直線上有三個角相等，利用平角為180°與三角形內(nèi)角和為180°，證得兩個三角形全等?！境Ｒ娔Ｐ图白C法】同側(cè)型一線三等角（常見）：銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角條件：+CE=DE證明思路：+任一邊相等知識點四角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點A時，過點C作.結(jié)論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點D作.結(jié)論：、≌.（當(dāng)是等腰直角三角形時，還有.）圖3常見模型2（鄰等對補型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過點C作CD⊥OA、CE⊥OB。結(jié)論：①；②；③.知識點五角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結(jié)論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點F.結(jié)論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。知識點六角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結(jié).結(jié)論：≌，≌，AB+CD=BC?？键c一：三角形全等模型之倍長中線模型例1．（24-25八年級上·云南文山·期中）倍長中線法與作平行線是構(gòu)造全等三角形常見的輔助線作法．(1)如圖1，在中，，中線，求的取值范圍．方法一：延長到E使，連接；方法二：過點C作的平行線交的延長線于E．請你從以上兩種方法中選一種方法證明，并直接寫出的取值范圍；(2)如圖2，在中，點在上，，點D是的中點，若平分，求證：．【變式1-1】（24-25八年級上·河北滄州·期中）【發(fā)現(xiàn)問題】（1）數(shù)學(xué)活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1，，，求邊上的中線的取值范圍．【探究方法】第一小組經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過證明，把、、轉(zhuǎn)化到中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，從而得到的取值范圍是；解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形．【問題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，，求證：；【變式拓展】（3）如圖3，在四邊形中，，，，延長交于點．若，，則四邊形的面積等于．考點二：三角形全等模型之截長補短模型例2.（24-25八年級上·山東威?！て谀┤鐖D1，在四邊形中，，點，點分別在邊，上，已知，．(1)求證：；(2)如圖2，若點，點分別在邊，的延長線上，其它條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請寫出新的結(jié)論，并說明理由．【變式2-1】（24-25八年級上·浙江金華·階段練習(xí)）已知，在四邊形中，，、分別是邊、上的點，且．(1)為探究上述問題，小王同學(xué)先畫出了其中一種特殊情況，即如圖1，當(dāng)時．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點，使，連接．請你在圖1中添加上述輔助線，并補全下面的思路．小明的解題思路：先證明__________；再證明了__________，即可得出之間的數(shù)量關(guān)系為__________．(2)如圖②，在四邊形中，，分別是邊上的點，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；(3)在四邊形中，，分別是邊所在直線上的點，且．請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系：______________．考點三：三角形全等模型之一線三等角模型例3.（24-25七年級下·上?！て谥校┤鐖D，在中，，、、三點在直線上，，求證：．證明：______即____________又____________（請繼續(xù)完成證明過程）【變式3-1】（23-24八年級上·山西呂梁·期末）數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們利用三角形紙片進(jìn)行操作活動，探究有關(guān)線段之間的關(guān)系問題情境：如圖1，三角形紙片中，，.將點C放在直線上，點A，B位于直線的同側(cè)，過點A作于點D初步探究：(1)在圖1的直線上取點E，使，得到圖2，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)小穎又拿了一張三角形紙片繼續(xù)進(jìn)行拼圖操作，其中，.小穎在圖1的基礎(chǔ)上，將三角形紙片的頂點P放在直線上，點M與點B重合，過點N作于點H.如圖3，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由考點四：三角形全等模型之角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）例4．（24-25七年級下·陜西咸陽·期中）已知是的平分線，P是射線上一點，點C，D分別在射線上，連接．(1)如圖①，當(dāng)，時，與的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖②，點C，D分別在射線上運動，且．當(dāng)時，與在（1）問中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？請說明理由．【變式4-1】（2025九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖1，是的角平分線，為上任意一點，于，于．(1)求證：；(2)如圖2，在中，是的角平分線，于，于，若，，求的值；(3)如圖3，在中，是的外角平分線，交的延長于點，當(dāng)，時，求與的數(shù)量關(guān)系．考點五：三角形全等模型之角平分線垂中間（角平分線+內(nèi)垂直）例5.如圖，平分為射線上任意一點（不與點重合），過點作的垂線分別交于點．

(1)求證：；(2)作點關(guān)于射線的對稱點，連接，在線段上取一點（不與點，點重合），作，交線段于點，連接．①依題意補全圖形；②用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【變式5-1】閱讀與思考：在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決，比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構(gòu)造全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)解決問題．例：如圖1，D是內(nèi)一點，且平分，連接，若的面積為10，求的面積．該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點B作交延長線于點交于點E，平分，，在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，，……(1)任務(wù)一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，____________；(2)任務(wù)二：請將上述解答過程的剩余部分補充完整；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，，平分交于點D，過點C作交延長線于點E，若，求的面積．考點六：三角形全等模型之角平分線構(gòu)造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）例6.如圖，，，點在上．(1)求證：平分；(2)求證：．【變式6-1】（24-25八年級上·河北秦皇島·期末）數(shù)學(xué)活動課上，在學(xué)習(xí)了角平分線的尺規(guī)作圖后．嘉嘉受此問題啟發(fā)，利用軸對稱性又發(fā)現(xiàn)了一種作角平分線的方法．如圖，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．【作法】①以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點，交于點；②再以點為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點，交于點；③連接交于點；④作射線．則射線即為的平分線．【任務(wù)】(1)由尺規(guī)作圖可直接得到的相等線段有：和______．(2)由（1）中的條件，可證，依據(jù)是______（填判定方法）(3)如果把（2）中的作為條件，求證：平分．一、解答題1．（24-25八年級下·陜西延安·期中）如圖，是內(nèi)部的一條射線，點在上，連接、，，過點作，，，分別是垂足，且，求證：平分．2．（24-25八年級上·四川樂山·期末）如圖所示，點、分別是、平分線上的點，于點，于點，于點，求證：．3．（24-25七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線上一點，，垂足分別為，．過點作，交于點，在射線上取一點．使，請說明：．4．（2025·內(nèi)蒙古·二模）如圖，在四邊形中，，，平分，且，連接并延長，交的延長線于點．(1)求證：平分；(2)若的面積是，，求長．5．（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）通過對數(shù)學(xué)模型“K字”模型或“一線三等角”模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：(1)如圖1，，，過點B作于點C，過點D作于點E．求證：，．(2)如圖2，，，，于點于點H，于點P，請按圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積為________．6．（24-25八年級下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖1和2，在四邊形中，，，平分．(1)如圖1，若，根據(jù)教材中一個重要性質(zhì)直接可得，這個性質(zhì)是___________；(2)問題解決：如圖2，求證：；(3)問題拓展：如圖3，在等腰中，，平分，求證：．7．（24-25八年級上·江蘇泰州·期末）知識背景：已知，如圖1是課本中角平分線的作法．某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)深入探究“角平分線的作法”．探究1：只用三角尺畫的平分線．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組討論的方法如下：在上分別取點，使，方法①：如圖2，分別過點畫的垂線，垂足分別為點，這兩條垂線相交于點C，作射線即為的平分線．方法②：如圖3，分別過點畫的垂線，相交于點C，作射線即為的平分線．解決問題（1）在方法①和方法②這兩種畫法中，選擇其中一種，證明：是的平分線．探究2：數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)以上角平分線的畫法，本質(zhì)都是利用軸對稱圖形的性質(zhì)，如果對稱線段所在直線相交，那么交點一定在對稱軸上．解決問題（2）如圖4，使用無刻度的直尺和圓規(guī)作的平分線，最多作兩次圓弧，連線次數(shù)不限（保留作圖痕跡，不寫作法）．探究3：在探究僅使用刻度尺作角平分線的過程中，小亮的方法如下：如圖5，將直尺一邊與重合，利用對邊畫的平行線，交于點P；在平行線上取一點H，使；射線即為的平分線．解決問題（3）如圖6，已知，點分別在上，與相交于點G，連接，若平分于點于點M．①證明：；②直接寫出的度數(shù)．8．（24-25七年級下·四川雅安·期中）（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，，點，分別是，上的點，且，請?zhí)骄繄D中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）拓展應(yīng)用：如圖2，在四邊形中，，，點，分別是，上的點，且，（1）中的線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．9．（24-25七年級下·四川成都·期中）【基礎(chǔ)回顧】（1）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過點，分別從點，向直線作垂線，垂足分別為，，求證：；【變式探究】（2）如圖2，在中，，直線經(jīng)過點，點，分別在直線上，如果，猜想，，有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明；【拓展應(yīng)用】（3）小明和科技興趣小組的同學(xué)制作了一幅機(jī)器人圖案，大致圖形如圖3所示，以的邊，為一邊向外作和，其中，，，是邊上的高，延長交于點．設(shè)的面積為，的面積為，請猜想，大小關(guān)系，并說明理由．10．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）【閱讀理解】中線是三角形中的重要線段之一．在解決幾何問題時，當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件，可以考慮利用中線作輔助線，即把中線延長一倍，通過構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所要求的結(jié)論集中到同一個三角形中，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題，這種作輔助線的方法稱為