專題04利用勾股定理求最短路徑問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：4大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算.注意：（1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；（2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù).【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.知識(shí)點(diǎn)02長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類討論.注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.知識(shí)點(diǎn)03階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.知識(shí)點(diǎn)04將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決.注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短.【題型1圓柱中的最短路徑模型】例題：（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，一個(gè)圓柱的高是，底面圓的周長(zhǎng)是，一只螞蟻想從下底面的點(diǎn)A處沿圓柱側(cè)面爬到上底面的點(diǎn)B處，則螞蟻需要爬行的最短路程是．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，圓柱的高為10，底面圓的直徑為8，若取3，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到的中點(diǎn)E的最短距離為．2．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，有一個(gè)高為，底面直徑為的圓柱．在圓柱下底面的點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)處的食物，它從點(diǎn)爬到點(diǎn)，然后再沿另一面爬回點(diǎn)，螞蟻爬行的最短路程是．3．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）2024年12月4日，我國(guó)的“春節(jié)”申遺成功，為了增添節(jié)日氣氛，小剛家計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)一條彩帶，按如圖所示的方式從圓柱的點(diǎn)處纏繞到圓柱的點(diǎn)處（點(diǎn)在下底面，點(diǎn)在上底面，點(diǎn)在點(diǎn)的正上方），若圓柱的底面周長(zhǎng)為，高為，則需要購(gòu)買(mǎi)彩帶的長(zhǎng)度最短為．【題型2長(zhǎng)方體中的最短路徑模型】例題：（24-25九年級(jí)下·湖北十堰·期中）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3，寬為2，高為4，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面到點(diǎn)B處吃食物，那么它爬行的最短路程是．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體中，，一只螞蟻從點(diǎn)A點(diǎn)出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到點(diǎn)，爬行的最短距離是．2．（23-24八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6，4，4，點(diǎn)A是長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，點(diǎn)B是棱的中點(diǎn)，一只螞蟻由A處沿長(zhǎng)方體表面爬到B處，最短路程為．3．（24-25八年級(jí)下·安徽亳州·期中）如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其長(zhǎng)、寬、高分別為4，1，7，用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點(diǎn)處，不計(jì)線頭，細(xì)線的最短長(zhǎng)度為．【題型3階梯中的最短路徑模型】例題：（24-25八年級(jí)上·河南焦作·期中）如圖，三級(jí)臺(tái)階每一級(jí)的長(zhǎng)寬高分別是，和，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A上有一只螞蟻，想到點(diǎn)B去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)B的最短路程長(zhǎng)為．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)上·遼寧阜新·階段練習(xí)）如圖，在一個(gè)長(zhǎng)4米，寬2米的長(zhǎng)方形草地上，放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱和草地寬平行且棱長(zhǎng)大于，木塊從正面看是邊長(zhǎng)為40厘米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是米．2．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）在一個(gè)長(zhǎng)米，寬為5米的長(zhǎng)方形草地上，如圖堆放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊從正面看到的高是米的等腰直角三角形，一只昆蟲(chóng)從點(diǎn)A處到C處需要走的最短路程是米．3．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖所示，地面上鋪了一塊長(zhǎng)方形地毯，因使用時(shí)間長(zhǎng)而變形，中間形成一個(gè)半圓柱的凸起，半圓柱的底面直徑為，已知，，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)，且必須翻過(guò)半圓柱凸起，則它至少要走的路程．【題型4將軍飲馬與最短路徑模型】例題：（24-25八年級(jí)上·貴州貴陽(yáng)·期末）如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離容器底部的處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在與點(diǎn)處相對(duì)的玻璃杯外壁，且距離容器頂部的點(diǎn)處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑長(zhǎng)度是．【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，假設(shè)其長(zhǎng)，高，水深．在水面上緊貼內(nèi)壁的處有一塊面包屑，且．一只螞蟻想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿魚(yú)缸壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)的處吃面包屑，則螞蟻爬行的最短路線的長(zhǎng)為．2．如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

3．（23-24八年級(jí)下·重慶南川·期中）如圖，要在河邊修一個(gè)水泵站，分別向A、B兩村送水，已知A、B兩村到江邊的距離分別為和，且A、B兩村相距．(1)水泵站應(yīng)修建在何處，可使所用水管最短，請(qǐng)?jiān)趫D中設(shè)計(jì)出水泵站P的位置；(2)若鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米4000元，為了使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？一、單選題1．（24-25七年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）如圖，圓柱形容器高為，在其外壁距離下底面的處有一只螞蟻，它想吃到正對(duì)面外壁距離上底面的B處的一滴蜂蜜，其中圓柱的底面周長(zhǎng)為，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在一張邊長(zhǎng)為的正方形紙板上，放著一根長(zhǎng)方體木塊，已知木塊的較長(zhǎng)邊與平行且相等，橫截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，翻過(guò)木塊到達(dá)點(diǎn)C處，需要走的最短路程為（

）．A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，長(zhǎng)方體魚(yú)缸（無(wú)蓋）的長(zhǎng)，寬，高分別為，，，一只壁虎從外表面頂點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到內(nèi)側(cè)點(diǎn)處，點(diǎn)在上且距離上沿（即），壁虎爬行的最短路程是（

）（魚(yú)缸厚度忽略不計(jì)）A． B． C． D．4．（24-25八年級(jí)下·廣西南寧·期中）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為米的半圓，其邊緣米，點(diǎn)E在上，米，一滑板愛(ài)好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）A．18米 B．20米 C．22米 D．24米5．（24-25八年級(jí)上·福建漳州·期中）如圖，一只蜘蛛在一塊長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在這個(gè)長(zhǎng)方體上和蜘蛛相對(duì)的頂點(diǎn)B處，已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)，寬，高．蜘蛛因急于捉到蒼蠅，沿著長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則蜘蛛爬行的最短路程是（

）．A．10 B． C． D．不能確定二、填空題6．（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，一個(gè)正方體實(shí)心木塊的棱長(zhǎng)為，一只螞蟻沿表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B處吃到食物，那么爬行的最短距離是．7．（24-25八年級(jí)下·青海海東·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是．8．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·階段練習(xí)）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計(jì)），高為，底面周長(zhǎng)為，在盒子外壁離上沿的點(diǎn)處有一只螞蟻，此時(shí)，盒子內(nèi)壁離底部的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點(diǎn)處吃蜂蜜，求螞蟻爬行的最短距離9．（24-25八年級(jí)上·山東青島·期末）如圖，已知一個(gè)長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為6cm和6cm，高為7cm．若一只螞蟻從點(diǎn)P開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，則這只螞蟻爬行的最短路程為cm．10．（24-25八年級(jí)上·陜西榆林·期末）如圖1是一款竹木材質(zhì)的二宮格托盤(pán)，從內(nèi)部測(cè)得每個(gè)格子的底面均是邊長(zhǎng)為的正方形，且深為，兩個(gè)格子之間的隔斷厚．圖2是該托盤(pán)的俯視圖（即從上面看到的形狀圖），若一只螞蟻從該托盤(pán)內(nèi)部底面的頂點(diǎn)A處，經(jīng)托盤(pán)隔斷爬行到內(nèi)部底面的頂點(diǎn)B處，則螞蟻爬行的最短距離為．三、解答題11．（24-25八年級(jí)上·貴州黔東南·階段練習(xí)）如圖所示，一只螞蟻在長(zhǎng)方體木塊的頂點(diǎn)A處，食物在這個(gè)長(zhǎng)方體上和螞蟻相對(duì)的頂點(diǎn)B處，螞蟻急于吃到食物，所以沿著長(zhǎng)方體的表面向上爬，請(qǐng)你計(jì)算出它從A處爬到B處的最短路線長(zhǎng)為多少．12．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）葛藤是一種“刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹(shù)干盤(pán)旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹(shù)盤(pán)升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？(1)想一想怎樣找出最短路徑；(2)如圖，若樹(shù)干周長(zhǎng)為，葛藤繞一圈升高，則它爬行一周的路程是多少米？13．（23-24八年級(jí)下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）（1）如圖1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為．求該長(zhǎng)方體中能放入木棒的最大長(zhǎng)度；（2）如圖2，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為，寬為，高為．現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)處沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)G處，求它爬行的最短路程；（3）如圖3，若將題中的長(zhǎng)方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長(zhǎng)為，在容器內(nèi)壁離底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿與飯粒相對(duì)的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？14．（24-25八年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A，C嵌有一圈長(zhǎng)度最短的金屬絲．(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿剪開(kāi)，所得的圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是______．(2)如圖①，求該長(zhǎng)度最短的金屬絲的長(zhǎng)．(3)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長(zhǎng)度是多少？(4)如圖③，圓柱形玻璃杯的高，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）15．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，可得到長(zhǎng)