專(zhuān)題10二次根式及乘除法內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01二次根式1.二次根式的概念:一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱(chēng)為稱(chēng)為二次根號(hào)．如都是二次根式。2.二次根式滿(mǎn)足條件：（1）必須含有二次根號(hào)；（2）被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)02二次根式有無(wú)意義的條件1.二次根式有意義：被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即；2.二次根式無(wú)意義：被開(kāi)方數(shù)為負(fù)數(shù)，即；知識(shí)點(diǎn)03二次根式的性質(zhì)1.二次根式（）的非負(fù)性（）表示的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即（）．2.二次根式的性質(zhì)：（）3.二次根式的性質(zhì)：知識(shí)點(diǎn)04二次根式的乘法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根的指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣:，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類(lèi)比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)之積作為被開(kāi)方數(shù).3.二次根式的乘法法則的逆用：（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣：知識(shí)點(diǎn)05二次根式的除法法則1.二次根式的除法法則：（二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變）2.二次根式的除法法則的推廣：.【題型1判斷二次根式】例題：（24-25八年級(jí)下·浙江溫州·期中）下列的式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】本題考查了二次根式的定義，熟練掌握二次根式的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、不能確定的正負(fù)，故A選項(xiàng)不符合題意；B、，二次根式?jīng)]有意義，故B選項(xiàng)不符合題意；C、是二次根式，故C選項(xiàng)符合題意；D、，二次根式?jīng)]有意義，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·湖北十堰·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】本題主要考查了二次根式的識(shí)別，形如的式子叫做二次根式，據(jù)此可得答案．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，不是二次根式，不符合題意；B、是二次根式，符合題意；C、當(dāng)時(shí)，不是二次根式，不符合題意；D、不是二次根式，不符合題意；故選：B．2．（24-25八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期中）下列各式一定屬于二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】求二次根式的值【分析】本題考查二次根式的識(shí)別，根據(jù)形如，這樣的式子叫做二次根式，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、因?yàn)椋瑒t不是二次根式，不符合題意；B、當(dāng)時(shí)，不是二次根式，不符合題意；C、因?yàn)?，故是二次根式，符合題意；D、當(dāng)時(shí)，則，不是二次根式，不符合題意；故選：C．3．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）在式子（m、n異號(hào)）中，二次根式有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】本題主要考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式可得答案．【詳解】解：根據(jù)二次根式的定義可知：為二次根式，不是二次根式，故選：B【題型2根據(jù)二次根式有意義條件求范圍】例題：（2025·福建龍巖·二模）式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】此題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的二次根式有意義的條件得出，然后求出的范圍即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式有意義的條件．【詳解】解：∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，則，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2025·北京石景山·二模）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解題關(guān)鍵是熟練掌握列不等式、解不等式．根據(jù)二次根式有意義的條件，列出不等式求解．【詳解】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)下·陜西西安·期中）要使二次根式有意義，則的值可以是．（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】：8（答案不唯一）【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無(wú)意義．根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)列式求解即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，∴，∴的值可以是8．故答案為：8（答案不唯一）．3．（24-25八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期中）如果，那么．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、二次根式有意義的條件【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，化簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)二次根式有意義的條件得，解得，則把代入進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為2．【題型3二次根式的乘法】例題：（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘法【分析】本題主要考查了二次根式的乘法計(jì)算，熟知二次根式的乘法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可；（2）直接根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)【答案】(1)18(2)15(3)(4)5(5)4(6)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘法【分析】本考查積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和二次根式乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)求解；（1）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可；（5）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可；（6）根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可.【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；（5）解：原式；（6）解：原式．2．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)，計(jì)算下列各式：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的乘法【分析】本題考查了二次根式的乘法，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘法法則以及性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)二次根式的乘法法則以及性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（3）根據(jù)二次根式的乘法法則以及性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（4）根據(jù)二次根式的乘法法則以及性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，；（4）解：，．3．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的乘法【分析】本題考查了二次根式的乘法，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（）根據(jù)二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（）根據(jù)二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（）根據(jù)二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（）根據(jù)二次根式的乘法法則，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【題型4二次根式的除法】例題：（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的除法【分析】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的除法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（3）化為，再根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（4）化為，再根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（5）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解；（6）根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)2(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的除法【分析】本題主要考查了二次根式的除法，熟記運(yùn)算法則是關(guān)鍵.（1）根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算即可，（2）根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算即可，（3）根據(jù)二次根式的除法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；2．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）化去下列各式分母中的根號(hào)：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的除法【分析】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，熟練掌握除法法則和二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：（1）運(yùn)用除法法則和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（2）運(yùn)用除法法則和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（3）運(yùn)用除法法則和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（4）運(yùn)用除法法則和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．3．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)3；(2)；(3)3；(4)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的除法【分析】本題考查的是二次根式的除法運(yùn)算；（1）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；（4）根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則計(jì)算即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【題型5二次根式的乘除混合運(yùn)算】例題：（24-25八年級(jí)下·廣東江門(mén)·期中）計(jì)算：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的乘除法的應(yīng)用，根據(jù)二次根式的乘除法法則，系數(shù)相乘除，被開(kāi)方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變，計(jì)算后求出即可．【詳解】解：【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·吉林松原·階段練習(xí)）計(jì)算：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題主要考查了二次根式的乘法計(jì)算，先計(jì)算乘方，再計(jì)算二次根式乘法，最后計(jì)算除法即可得到答案．【詳解】解：．2．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)．【答案】(1)1(2)15【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】此題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則并準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘除法則計(jì)算可得；（2）先化簡(jiǎn)二次根式，再先后計(jì)算乘除法即可．【詳解】（1）解：；（2）.3．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)3y【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算．（1）利用二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；（2）利用二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；（3）利用二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解；（4）利用二次根式的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：??．【題型6根據(jù)參數(shù)范圍及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式】例題：（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，化簡(jiǎn)．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2025·新疆伊犁·模擬預(yù)測(cè)）已知，化簡(jiǎn)：．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值．根據(jù)二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：12．（24-25九年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，則的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】帶有字母的絕對(duì)值化簡(jiǎn)問(wèn)題、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，根據(jù)x的取值范圍，結(jié)合絕對(duì)值和二次根式的性質(zhì)，可得待求式，整理得出答案．【詳解】解：∵，∴故答案為：3．（24-25七年級(jí)下·重慶·期中）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、a、6，化簡(jiǎn)：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、確定第三邊的取值范圍【分析】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)及三角形的三邊關(guān)系，正確得出a的取值范圍是解題關(guān)鍵．首先利用三角形三邊關(guān)系得出a的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)絕對(duì)值及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求出答案．【詳解】解：∵三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、a、6，∴，即，∴，，∴，故答案為：．【題型7含隱含條件的參數(shù)范圍化簡(jiǎn)二次根式】例題：（24-25八年級(jí)下·甘肅定西·期中）已知，化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級(jí)下·云南昆明·期中）化簡(jiǎn)結(jié)果為（

）A． B． C．2ab D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：；故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查二次根式有意義的條件以及二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式有意義的條件確定，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．掌握二次根式有意義的條件以及二次根式的性質(zhì)是正確化簡(jiǎn)的前提．【詳解】解：由于二次根式有意義，所以，所以，故選：B．3．（24-25八年級(jí)下·江西上饒·期中）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件確定的取值范圍，再運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．先根據(jù)被開(kāi)方數(shù)非負(fù)確定的正負(fù)，再利用二次根式的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)．【詳解】因?yàn)槎胃接幸饬x，則，所以．則．答案選B．【題型8復(fù)雜的復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)】例題：（24-25八年級(jí)下·江蘇南京·階段練習(xí)）形如的化簡(jiǎn)，只要找到兩個(gè)正數(shù)a，b，使，，即，，那么便有．例如：化簡(jiǎn)．解：，這里，，由于，∴．請(qǐng)仿照上例解下列問(wèn)題：(1)填空：________，________，________；(2)化簡(jiǎn)：（請(qǐng)寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）；(3)化簡(jiǎn)：【答案】(1)；；(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)、二次根式的加減運(yùn)算、分母有理化【分析】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握題干給定的化簡(jiǎn)方法，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)題干給定的化簡(jiǎn)方法，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)題干給定的化簡(jiǎn)方法，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）根據(jù)題干給定的化簡(jiǎn)方法，先化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；；；（2）解：，∴，，，∴；（3）原式．【變式訓(xùn)練】1．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）有這樣一類(lèi)題目：將化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使且，則可將將變成，即變成，從而使得化簡(jiǎn)．例如，，∴．這種方法叫做配方法，換一種思路，假設(shè)化簡(jiǎn)的結(jié)果是，可知．整理，得，比較等式兩邊的組成，可得，，即，，所以．嘗試化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式得出進(jìn)而求出即可；（2）根據(jù)完全平方公式得出進(jìn)而求出即可．此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)與性質(zhì)，熟練應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【詳解】（1）；（2）解：．2．（24-25八年級(jí)下·甘肅武威·階段練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，若能找到兩個(gè)數(shù)，使，，即把變成，從而可以對(duì)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．例如：化簡(jiǎn)：．解：，．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題．(1)化簡(jiǎn)：．(2)化簡(jiǎn)：．(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)、二次根式的乘法、二次根式的加減運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開(kāi)方數(shù)化為平方的形式是解題的關(guān)鍵．（1）仿照例題即可求解；（2）將化為，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算；（3）將變形為，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，而，則∴（3）解：．3．（24-25八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期中）【數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)】我們已經(jīng)知道，，通過(guò)這種辦法可以把原式的分母轉(zhuǎn)化成不含根號(hào)的形式，類(lèi)似的形如的代數(shù)式也可以借助平方差公式轉(zhuǎn)化成分母不含根號(hào)的形式：例如：．【深入探索】如何化簡(jiǎn)？【數(shù)學(xué)建?！啃稳绲幕?jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a，b，使，，這樣，，那么便有：，【問(wèn)題解決】化簡(jiǎn)．解：首先把化為，這里，．由于，．即，．．利用上述解決問(wèn)題的方法解答下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：①；②．(2)已知中，，，，求邊的長(zhǎng)為多少？（結(jié)果化成最簡(jiǎn)形式）．【答案】(1)①

②(2)【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)、用勾股定理解三角形【分析】本題考查了符合二次根式的化簡(jiǎn)，勾股定理，掌握復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）①②根據(jù)復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)方法求解即可；（2）先由勾股定理求出，開(kāi)方后利用復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)方法求解即可．【詳解】（1）解：①這里，，由于，，即，

．②首先把化為，這里，，由于，，即，，．（2）在中，由勾股定理得，，，，

．一、單選題1．（24-25八年級(jí)下·新疆阿克蘇·期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求二次根式中的參數(shù)【分析】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，熟練掌握二次根式成立的條件是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)定義逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A．∵，∴不是二次根式；

B．是二次根式；

C．的根指數(shù)是3，不是二次根式；D．當(dāng)時(shí)，不是二次根式．故選B．2．（24-25九年級(jí)上·四川樂(lè)山·階段練習(xí)）若，則化簡(jiǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先判斷出，，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得．【詳解】解：∵，∴同號(hào)，且均不為0，又∵在中，是被開(kāi)方數(shù)，∴，∴，∴，∴，故選：D．3．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由題意可得：，，求出，繼而得到，即可得到．【詳解】解：由題意可得：，，，，∴．故選：C．4．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則化簡(jiǎn)所得結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查二次根式的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：原式，故選：C．5．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，是的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，二次根式的化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，正確理解三角形的三邊關(guān)系：兩邊和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到，再化簡(jiǎn)二次根式及絕對(duì)值即可．【詳解】解：∵，，是的三邊長(zhǎng)，，，故選：C．二、填空題6．（24-25八年級(jí)下·湖北荊州·期中）使二次根式有意義的的值為（寫(xiě)出一個(gè)符合題意的值即可）．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解題關(guān)鍵是明確二次根式被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出不等式，再確定的值即可．【詳解】解：要使二次根式有意義，則，解得，，故答案為：2（答案不唯一，即可）．7．（2025·江蘇南京·二模）計(jì)算的結(jié)果是.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】此題主要考查了二次根式的乘法運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而約分求出答案.【詳解】解：，故答案為：．8．（24-25八年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果為【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式有意義的條件【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)判斷出是解題的關(guān)鍵．由題意可知，，那么，然后根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)即可得出答案．【詳解】解：由題意可知，，那么，故答案為：．9．（24-25八年級(jí)下·廣東東莞·期中）對(duì)于任意不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)，，定義運(yùn)算“*”如下：，例如，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算【分析】本題考查了根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握題中的運(yùn)算定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．10．（24-25八年級(jí)下·廣西玉林·期中）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)可知m有最小值．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最大值為．【答案】75【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)結(jié)合題意計(jì)算即可得解，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，且n為正整數(shù)，是大于1的整數(shù)，∴n的最大值為，故答案為：．三、解答題11．（24-25八年級(jí)下·全國(guó)·隨堂練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)5(2)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查二次根式的乘除混合運(yùn)算．（1）根據(jù)二次根式乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)二次根式乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．12．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)30(3)1(4)【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除混合運(yùn)算、二次根式的乘法【分析】本題考查二次根式的乘除運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵：（1）先化簡(jiǎn)，再計(jì)算二次根式的乘法；（2）利用二次根式的性質(zhì)（且）計(jì)算可得；（3）根據(jù)二次根式的乘除法則進(jìn)行計(jì)算即可；（4）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的二次根式的除法，再計(jì)算乘法可得．【詳解】（1）原式（2）原式；（3）原式；（4）原式．13．（2025八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)、二次根式的乘除混合運(yùn)算【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，并由二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，并由二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）根據(jù)二次根式的乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，并由二次根式的