專題27二元一次方程與一次函數(shù)內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強知識：6大核心考點精準練第二步：記串知識識框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識框架、學(xué)習(xí)目標復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測過關(guān)測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補缺快速提升知識點01二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系1）一元一次方程可轉(zhuǎn)化為一般式：ax+b=02）一次函數(shù)為：y=kx+b的形式；當y=0時，一次函數(shù)x的值就是一元一次方程的解。y=0時，x的值，即一次函數(shù)與x軸的交點橫坐標，就是對應(yīng)一元一次方程的解3）每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.4）兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應(yīng)的二元一次方程組的解，反之也成立.5）當二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.6）當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在坐標系中重合，反之也成立.知識點02二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達式（待定系數(shù)法）1)兩點法:設(shè)函數(shù)的解析式為：y=kx+b，當已知兩點坐標，將這兩點分別代入（待定系數(shù)法），可得關(guān)于k、b的二元一次方程組，解方程得出k、b的值。2)圖形:觀察圖形，根據(jù)圖形的特點，找出2點的坐標，利用待定系數(shù)法求解解析式?！绢}型1兩直線的交點與二元一次方程組的解】例題：（24-25九年級下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知一次函數(shù)與（k是常數(shù)且）的圖象的交點坐標是，則關(guān)于x，y的方程組的解是．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，熟練掌握一次函數(shù)的交點坐標與二元一次方程組的解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的交點坐標即可確定以兩個一次函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解．【詳解】解：∵一次函數(shù)與（k是常數(shù)且）的圖象的交點坐標是，∴方程組的解是．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（24-25八年級下·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，直線與直線相交于點，則方程組的解是.【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，熟練掌握一次函數(shù)與二元一次方程組的聯(lián)系是解題關(guān)鍵．先把代入得：，再根據(jù)兩條直線的交點坐標，進行作答即可．【詳解】解：∵直線與直線相交于點，∴把代入得：，解得：，∴直線與直線相交于點，∴方程組的解是，故答案為：．2．（2025·江蘇揚州·二模）在同一直角坐標系中，一次函數(shù)，的圖像如圖所示，則方程組的解為．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組）的解，先求出交點的坐標，然后利用方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標進行解答．【詳解】解：當時，，解得，∴交點坐標為，∴方程組的解為，故答案為：．3．（24-25八年級下·山東濰坊·階段練習(xí)）如圖，直線與直線交于點，則方程組的解是．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】此題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，熟練掌握兩個一次函數(shù)圖象交點的橫縱坐標即為由兩個函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系可得方程組的解是，對比方程組，可得第二方程組中與第一個方程組中對應(yīng)，第二方程組中與第一個方程組中對應(yīng)，故，由此解答即可．【詳解】∵直線與直線交于點，則∴的解是在方程組中，解得故答案為：．【題型2圖象法解二元一次方程組】例題：（24-25九年級上·全國·開學(xué)考試）如圖，已知函數(shù)和的圖象交于點P，則二元一次方程組的解是．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，關(guān)鍵是掌握二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系．由于函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解，因此所求方程組的解就是兩個一次函數(shù)圖象的交點的橫縱坐標．【詳解】解：由圖知：函數(shù)和的圖象交于點，則，同時滿足兩個函數(shù)的解析式，是二元一次方程組的解．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1.（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，已知一次函數(shù)和的圖象交于點P，則二元一次方程組的解是．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了一次函數(shù)圖像交點坐標與方程組解的關(guān)系：對于函數(shù)，，其圖象的交點坐標中x，y的值是方程組的解．【詳解】解：由圖象可知，二元一次方程組的解是．故答案為：．2.（24-25九年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點，則關(guān)于的方程組的解為．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組，根據(jù)兩條直線的交點坐標即為兩個函數(shù)解析式組成的二元一次方程組的解，即可得出結(jié)果．【詳解】解：由圖象可知，關(guān)于的方程組的解為；故答案為：．3.（23-24八年級上·河南平頂山·期末）如圖，一次函數(shù)和的圖象相交于點，則關(guān)于、的方程組：的解是．【答案】【知識點】圖象法解二元一次方程組【分析】本題考查一次函數(shù)圖象交點與方程的解的關(guān)系，熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想，利用圖象法解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．一次函數(shù)圖象交點即為方程組的解，即可求解．【詳解】解：一次函數(shù)和的圖象相交于點，的解為，故答案為：．【題型3已知兩直線求圍成的圖形面積】例題：（23-24八年級下·山東聊城·期末）直線，與軸所圍成的圖形的面積是．【答案】18【知識點】求直線圍成的圖形面積、一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題【分析】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．先求出兩直線的交點坐標，再分別求出兩直線與軸的交點坐標，根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：，解得，兩直線的交點為，直線與軸的交點為，直線與軸的交點為，直線，與軸所圍成的圖形的面積．故答案為：18．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級下·山東泰安·期末）如圖，已知直線與直線相交于點C，與y軸別相交于點A，B，則的面積是．【答案】2【知識點】求直線圍成的圖形面積【分析】本題考查了兩直線相交問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解，也考查了三角形面積公式．先求出，，從而得出，聯(lián)立方程組即可求出點C的坐標，再根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．【詳解】直線中，令，則直線中，令，則，將與聯(lián)立解得：點C的坐標為故答案為：．2.（23-24八年級下·四川巴中·期中）已知一次函數(shù)與的圖象都經(jīng)過點，且與軸分別交于點，，若點在一次函數(shù)的圖象上，則的面積為．【答案】3【知識點】求直線圍成的圖形面積【分析】將兩一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，求出點坐標，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出、、的坐標，然后根據(jù)的面積的面積的面積求解．【詳解】解：由，解得，則．一次函數(shù)與的圖象與軸分別交于點，，，．點在一次函數(shù)的圖象上，，解得，．的面積的面積的面積．故答案為：3．

【點睛】本題考查了兩條直線的交點問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解．也考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積．3.（23-24七年級下·山東泰安·期中）已知一次函數(shù)與的圖像如圖所示，且方程組的解為，點坐標為，軸上的一個動點，若，則點的坐標為．【答案】或【知識點】求直線圍成的圖形面積、兩直線的交點與二元一次方程組的解、數(shù)軸上兩點之間的距離【分析】本題考查一次函數(shù)圖像的交點問題，三角形的面積，\如圖，設(shè)點的坐標為0,m，可得，根據(jù)函數(shù)圖像交點的意義可得，再根據(jù)，繼而得到，求解即可．解題的關(guān)鍵是正確理解一次函數(shù)圖像的交點的意義：一次函數(shù)圖像的交點坐標即是由函數(shù)解析式所構(gòu)成的方程組的解．【詳解】解：如圖，設(shè)點的坐標為0,m，∵點坐標為，∴，∵方程組的解為，∴，∴點到軸的距離為，∵，∴，∴或，∴點的坐標為或，故答案為：或．【題型4利用兩點式求一次函數(shù)的解析式】例題：（24-25八年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖，已知點、點．

(1)求直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)在直線上有點P，滿足點P到x軸的距離等于6，求點P的坐標．【答案】(1)(2)或【知識點】求點到坐標軸的距離、求一次函數(shù)解析式、求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)自變量的值，點到坐標軸的距離：（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)點到x軸的距離為該點縱坐標的絕對值得到點P的縱坐標為6或，再求出一次函數(shù)值分別為6和時自變量的值即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)直線解析式為，把、代入中得：，∴，∴直線解析式為；（2）解：∵點P到x軸的距離等于6，∴點P的縱坐標的絕對值為6，∴點P的縱坐標為6或，在中，當時，，當時，，∴點P的坐標為或．【變式訓(xùn)練】1.（24-25八年級上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，已知直線：與坐標軸交于，兩點，直線：與坐標軸交于B、D兩點，兩直線的交點為P點．(1)求的表達式．(2)求點P的坐標．【答案】(1)(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題主要考查一次函數(shù)的解析式，兩直線交點問題．（1）運用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)圖像，聯(lián)立方程即可求解出點的坐標．【詳解】（1）解：將代入，得，解得，，∴的表達式為；（2）解：由兩條直線相交，聯(lián)立方程組得，解得，∴．2.（24-25九年級上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，B4,0，為直線上的動點，正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求一次函數(shù)的表達式；(2)若點，求方程組的解．【答案】(1)(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題主要查了求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的交點問題：（1）直接利用待定系數(shù)法解答，即可求解；（2）求出點C的坐標，將方程組整理為，可得方程組的解為一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點坐標，即可求解．【詳解】（1）解：將點，代入得：，解得，一次函數(shù)的表達式為：．（2）解：將代入得∶，，將方程組整理為，∴方程組的解為一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點坐標，方程組的解為．3.（24-25八年級上·全國·期中）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點．(1)求直線AB的表達式；(2)點在直線上，是否存在點使得的面積為？如果存在，求所有滿足條件的點的坐標．【答案】(1)(2)存在，點的坐標為或【知識點】坐標與圖形、求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題【分析】本題考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，三角形面積計算，坐標與圖形性質(zhì)等知識，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)點的縱坐標為，根據(jù)三角形面積公式列式求出，然后分情況寫出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的表達式為，將點代入得，將代入，得，解得，所以直線AB的表達式為：；（2）解：設(shè)點的縱坐標為，因為，所以，所以，所以或．當時，，解得；當時，，解得．綜上可知滿足條件的點的坐標為或．【題型5圖形找兩點求一次函數(shù)的解析式】例題：（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，已知過點的直線與直線：相交于點．(1)求直線的解析式；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【知識點】求一次函數(shù)解析式、由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點【分析】本題考查了一次函數(shù)求解析式，求一次函數(shù)與坐標軸圍成的圖形面積，解本題的關(guān)鍵是求得各交點坐標求得線段長度，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積．（1）根據(jù)P點是兩直線交點，可求得點P的縱坐標，再利用待定系數(shù)法將點B、點P的坐標代入直線解析式，得到二元一次方程組，求解即可．（2）根據(jù)解析式可求得點，點，由可求得四邊形的面積．【詳解】（1）∵點P是兩直線的交點，將點代入得，即則的坐標為，設(shè)直線的解析式為：，那么，解得：．的解析式為：；（2）∵直線與y軸相交于點C，由得直線解析式∶．當時，，∴點C的坐標為0,1．又∵直線與x軸相交于點A，當時，，∴點A的坐標為，則．∵，．【變式訓(xùn)練】1.（23-24八年級上·江西撫州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)的圖象交點為．求：(1)求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式；(2)在x軸上是否存在一點M使周長最小，若存在，求出點M的坐標；(3)在x軸上求一點Q使為等腰三角形，請求出所有符合條件的點Q的坐標．【答案】(1)，(2)(3)或或【知識點】求一次函數(shù)解析式、幾何問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、用勾股定理解三角形、坐標與圖形變化——軸對稱【分析】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，坐標與軸對稱，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接，與軸的交點即為點，求出的解析式，進而求出點的坐標即可；（3）分三種情況，進行討論求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得，直線過點，，∴，解得：，；∵過，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴當時，，∴，∵，且為定值，∴當最小時，的周長最小，作作點關(guān)于軸的對稱點，連接，則，，∴當三點共線時，的值最小為的長，同（1）可得：直線的解析式為：，∴當時，，∴．（3）∵，∴，設(shè)，則：，，當為等腰三角形時，①，則：，∴，∴；②當時，，解得：，∴；③當時，，，∴，∴（舍去）或，∴；綜上：或或．2.（23-24八年級下·全國·期末）如圖是某型號新能源純電動汽車充滿電后，蓄電池剩余電量y（千瓦時）關(guān)于已行駛路程的函數(shù)圖象．(1)根據(jù)圖象，當蓄電池剩余電量為35千瓦時，汽車已行駛的路程為；(2)當時，求1千瓦時的電量汽車能行駛的路程；(3)當時，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并計算當汽車已行駛時，蓄電池的剩余電量．【答案】(1)150(2)(3)，蓄電池的剩余電量為千瓦時．【知識點】其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、求一次函數(shù)解析式、從函數(shù)的圖象獲取信息【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，解題的關(guān)鍵找出剩余油量相同時行駛的距離．（1）由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時時汽車已行駛了150千米；（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可求出1干瓦時的電量汽車能行駛的路程；（3）運用待定系數(shù)法求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，再把代入即可求出當汽車已行駛180千米時，蓄電池的剩余電量．【詳解】（1）解：由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時，汽車已行駛的路程為，故答案為：．（2）解：當時，求1千瓦時的電量汽車能行駛的路程為：．（3）解：設(shè)所求的函數(shù)解析式為，將代入，得：，解得：，∴函數(shù)解析式為，當時，，∴當汽車已行駛時，蓄電池的剩余電量為千瓦時．3.（24-25八年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過原點和點A3,2，經(jīng)過點的另一條直線交軸于點．(1)求的面積；(2)求直線l的函數(shù)解析式；(3)在直線l上求一點，使．【答案】(1)(2)(3)或【知識點】坐標與圖形、求一次函數(shù)解析式、幾何問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】本題主要考查了坐標與圖形，求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合：（1）先求出，再根據(jù)進行求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求解即可；（3），分點P在線段上和點P在線段的延長線上兩種情況，根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系求出，進而求出點P的縱坐標，最后求出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵A3,2∴；（2）解：設(shè)直線l解析式為y=kx+bk≠0把O0,0，A3,2代入y=kx+bk≠0∴，∴直線l解析式為；（3）解：如圖所示，當點P在上時，∵，∴，∴，∴，∴，在中，當時，，∴點P的坐標為；如圖所示，當點P在線段的延長線上時，∵，∴，∴，∴，∴，在中，當時，，∴點P的坐標為；綜上所述，點P的坐標為或．【題型6二元一次方程組與一次函數(shù)綜合解決實際問題】例題：（23-24七年級下·重慶黔江·期中）某公司需運輸一批教學(xué)設(shè)備，準備租用汽車運輸公司的大、小兩種型號的貨車，已知過去兩次租用這兩種貨車的情況如下表（兩次兩種貨車都滿載）：大貨車的車輛數(shù)（輛）小貨車的車輛數(shù)（輛）累計運貨臺數(shù)（臺）第一次2321第二次5648(1)求每輛大貨車、小貨車分別能裝載教學(xué)設(shè)備多少臺？(2)該公司現(xiàn)計劃再租用大小貨車共12輛運送一批教學(xué)設(shè)備，汽車運輸公司給予該公司大貨車1500元/輛，小貨車750元/輛的優(yōu)惠價，公司要求此次運輸設(shè)備臺數(shù)不少于54臺，且總運輸費用少于15000元，請你列出所有貨車租用方案．(3)在（2）的條件下，請你選擇出運輸費用最少的方案，并求出該方案所需運輸費用．【答案】(1)每輛大貨車能裝6臺教學(xué)設(shè)備，每輛小貨車能裝3臺教學(xué)設(shè)備(2)共有兩種方案：方案一：租大貨車6輛，小貨車6輛；方案二：租大貨車7輛，小貨車5輛(3)租用6輛大貨車，6輛小貨車所花的費用最少，為13500元【知識點】最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、一元一次不等式組應(yīng)用、方案問題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的實際應(yīng)用，讀懂題意，正確列出二元一次方程組、一元一次不等式組，以及熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每輛大貨車能裝臺教學(xué)設(shè)備，每輛小貨車能裝臺教學(xué)設(shè)備，根據(jù)表格列出二元一次方程組，解方程組即可得到答案；（2）設(shè)租用大貨車輛，則租用小貨車輛，根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）設(shè)運輸費用為元，則，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)每輛大貨車能裝臺教學(xué)設(shè)備，每輛小貨車能裝臺教學(xué)設(shè)備，根據(jù)題意可得：，解得：，每輛大貨車能裝6臺教學(xué)設(shè)備，每輛小貨車能裝3臺教學(xué)設(shè)備；（2）解：設(shè)租用大貨車輛，則租用小貨車輛，根據(jù)題意可得：，解得：，為整數(shù)，或7，共有兩種方案：方案一：租大貨車6輛，小貨車6輛，方案二：租大貨車7輛，小貨車5輛；（3）解：設(shè)運輸費用為元，由（2）可得運輸費用為：，，運輸費用隨著的增大而增大，，當時，最小，為，租用6輛大貨車，6輛小貨車所花的費用最少，為13500元．【變式訓(xùn)練】1.（23-24八年級上·河南焦作·階段練習(xí)）某物流公司計劃租用這兩種車輛運輸物資．已知用輛型車和輛型車載滿貨物一次可運貨10噸；用輛型車和輛型車載滿貨物一次可運貨噸，某物流公司計劃租用這兩種車輛運輸物資，根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)輛型車和輛車型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)若型車每輛需租金元/次，型車每輛需租金元/次．物流公司計劃共租用輛車，請寫出總租車費用（元）與租用型車數(shù)量（輛）的函數(shù)關(guān)系式．(3)如果汽車租賃公司的型車只剩了輛，型車還有很多．在（）的條件下，請選出最省錢的租車車方案，并求出最少租車費用．【答案】(1)輛型車載滿貨物一次可運貨噸，輛型車載滿貨物一次可運貨噸；(2)；(3)最省錢的租車方案為租輛型車，輛型車，租車費用最少，最少費用為元．【知識點】分配方案問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、求一次函數(shù)解析式、方案問題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】（）設(shè)輛型車載滿貨物一次可運貨噸，輛型車載滿貨物一次可運貨噸，根據(jù)題意列出方程組，解之即可求解；（）用型車和型車的總費用相加即可求解；（）求出的范圍，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確列出方程組和一次函數(shù)表達式．【詳解】（1）解：設(shè)輛型車載滿貨物一次可運貨噸，輛型車載滿貨物一次可運貨噸，由題意得，解得，答：輛型車載滿貨物一次可運貨噸，輛型車載滿貨物一次可運貨噸；（2）解：由題意得，；（3）解：在一次函數(shù)中，，隨的增大而??；由題意知，，則當時，總租車費用最少，∴最少費用為：元，∴輛，答：最省錢的租車方案為租輛型車，輛型車，租車費用最少，最少費用為元．2.（23-24八年級下·河南南陽·期末）列方程組解應(yīng)用題：為美化校園，某學(xué)校計劃購進兩種樹苗共17棵，已知種樹苗每棵80元，種樹苗每棵60元．(1)若購進兩種樹苗剛好用去1220元，求購進兩種樹苗各多少元？(2)若購進種樹苗棵，所需總費用為元．①求與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出的取值范圍）；②若購進種樹苗的數(shù)量不低于9棵，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需的費用．【答案】(1)購進種樹苗10棵，購進種樹苗7棵(2)①；②當購進種樹苗9棵，種樹苗8棵時，費用最省，此時費用為1200元【知識點】最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、方案問題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)購進種樹苗棵，購進種樹苗棵，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案；（2）①根據(jù)所需總費用中樹苗的費用中樹苗的費用列式可得；②根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)購進種樹苗棵，購進種樹苗棵，由題意得：，解得：，購進種樹苗10棵，購進種樹苗7棵；（2）解：①由題意得：；②，隨的增大而增大，購進種樹苗的數(shù)量不低于9棵，當時，最小，且最小值為（元），此時，∴當購進種樹苗9棵，種樹苗8棵時，費用最省，此時費用為1200元．3.（23-24八年級上·河南鄭州·期末）為落實立德樹人的根本任務(wù)，培養(yǎng)有理想、有本領(lǐng)、有擔當?shù)男聲r代好少年，某校組織八年級師生開展以“尋根河南

生生不息”為主題，為期一天的“只有河南之旅”研學(xué)實踐活動，學(xué)校計劃租用甲、乙兩種不同型號的客車，已知2輛甲型客車和3輛乙型客車可乘坐270人，3輛甲型客車和2輛乙型客車可乘坐255人．(1)甲、乙兩種不同型號的客車每輛分別可乘坐多少人？(2)已知甲型客車每天的租車費用為1200元，乙型客車每天的租車費用為1500元，學(xué)校計劃共租用12輛客車，請寫出總租車費用（元）與租用甲型客車數(shù)量（輛）的函數(shù)關(guān)系式；(3)如果客車租賃公司的甲型客車只剩下8輛，乙型客車還有很多．在（2）的條件下，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費用．【答案】(1)每輛甲型客車可載45人，每輛乙型客車可載60人．(2)(3)租8輛甲型客車，租4輛乙型客車，最少費用為元【知識點】最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、方案問題(二元一次方程組的應(yīng)用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一次函數(shù)解析式；（3）利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：設(shè)每輛甲型客車可載人，每輛乙型客車可載人，依題意得：，解得：．答：每輛甲型客車可載45人，每輛乙型客車可載60人．（2）解：設(shè)租甲型客車輛，則租乙型客車輛，依題意得：．（3）解：由（2）知：，，隨著的增大而減小，，當時，有最小值為，即最省錢的租車方案為：租8輛甲型客車，租4輛乙型客車，最少費用為元；一、單選題1．（24-25八年級下·湖北荊州·階段練習(xí)）在同一平面直角坐標系中，直線與的交點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了兩直線的交點與二元一次方程組的解，注意計算的準確性即可．由題意可得，再解方程組即可．【詳解】解：聯(lián)立，解得：∴交點坐標為，故選：B2．（24-25八年級下·海南?？凇て谥校┤鐖D，一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點，則方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了由一次函數(shù)的交點求二元一次方程組的解，由圖象可得一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點，由此即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可得一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點，∴方程組的解為，故選：C．3．（24-25七年級下·福建廈門·期中）以二元一次方程的解為坐標的點的全體叫做這個二元一次方程的圖像．如圖，二元一次方程組（為常數(shù)）中的兩個二元一次方程的圖像交于點，則點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是將坐標代入中，看等式是否成立．【詳解】解：A．將代入得，，解得，即，故錯誤，不符合題意；B．將代入得，，故錯誤，不符合題意；C．將代入得，，故錯誤，不符合題意；D．將代入得，，并且為常數(shù)，故正確，符合題意；故選：D．4．（24-25八年級下·河南南陽·期中）如圖，某一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于和兩點，則下列說法錯誤的是（

）A．此函數(shù)的表達式為B．當時，C．當時，y隨x的增大而增大D．將此直線向下平移2個單位所得到的直線必過原點【答案】C【知識點】一次函數(shù)圖象平移問題、求一次函數(shù)解析式、判斷一次函數(shù)的增減性【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、求一次函數(shù)的解析式，先求出一次函數(shù)的解析式，再結(jié)合圖形，逐項分析即可得解，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)該一次函數(shù)的解析式為，將和代入函數(shù)解析式可得，解得：，∴該一次函數(shù)的解析式為，故A正確；由圖象可得，當時，，當時，y隨x的增大而減小，故B正確，C錯誤；將此直線向下平移2個單位所得到的直線為，經(jīng)過原點，故D正確；故選：C．5．（2025·陜西西安·二模）如圖，一次函數(shù)與的圖象如圖所示．則下列結(jié)論正確的是（

）A．在一次函數(shù)中，的值隨著值的增大而增大B．方程的解為C．D．方程組的解為【答案】D【知識點】一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題、已知直線與坐標軸交點求方程的解、利用圖象法解一元一次方程、兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組、一次函數(shù)與一元一次方程、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組、與一元一次方程、與一元一次不等式的關(guān)系對各項判斷即可解答．【詳解】解：A、由圖象可知：的值隨著值的增大而減小，故A錯誤，不符合題意；B、一次函數(shù)的圖象過點，，，，當時，，∴，方程的解為，故B錯誤，不符合題意；C、直線過，，，；故C錯誤，不符合題意；D、由圖象可知：方程組的解為，故D正確，符合題意故選：D．二、填空題6．（2025八年級下·河南·專題練習(xí)）如圖中的兩直線、的交點坐標可看作是方程組的解．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】先分別求出直線和的解析式，根據(jù)兩直線交點坐標是兩直線解析式組成的方程組的解，求出解析式后就能得到對應(yīng)的方程組．本題主要考查一次函數(shù)解析式的求解及兩直線交點與方程組的關(guān)系，熟練掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為．把，代入得，解得，直線的解析式為；同理∴直線的解析式為，兩直線、的交點坐標可看作是方程組的解．故答案為：7．（24-25八年級上·山東青島·期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點A，則方程組的解是．【答案】【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點A，得于是得到點，根據(jù)交點的意義，得到方程組的解．本題考查了一次函數(shù)的交點，方程組的解與一次函數(shù)交點的關(guān)系，熟練掌握關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象與的圖象相交于點A，得，解得于是得到點，∴方程組的解為，故答案為：．8．（2025·湖南衡陽·三模）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”如圖是良馬與駑馬的行走路程（單位：里）關(guān)于駑馬的行走時間（單位：天）的函數(shù)圖象，則兩直線交點的坐標是．【答案】【知識點】行程問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)、兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．根據(jù)題意求出駑馬的行走路程關(guān)于駑馬的行走時間的函數(shù)表達式為，良馬的行走路程關(guān)于駑馬的行走時間的函數(shù)為，聯(lián)立，求解即可求得點M的坐標．【詳解】解：根據(jù)題意：駑馬的行走路程關(guān)于駑馬的行走時間的函數(shù)表達式為，良馬的行走路程關(guān)于駑馬的行走時間的函數(shù)為，聯(lián)立，解得，則兩直線交點的坐標是．故答案為：．9．（24-25八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖1，是在空中參與飛行表演的兩架無人機，如圖2，在平面直角坐標系中，線段，分別表示1號、2號無人機在隊形變換中飛行高度，（m）與飛行時間x（s）的函數(shù)關(guān)系，其中，線段與相交于點P，軸于點B，點A的橫坐標為25，則所在直線解析式為，在第秒時，1號和2號無人機飛行高度差為20米．【答案】或【知識點】求一次函數(shù)解析式、其他問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確求出函數(shù)關(guān)系式．當時，，求出點的坐標，進而求出的解析式，然后根據(jù)題意的高度差列方程求出時間值即可．【詳解】當時，，∴點的坐標為，由題意知點的坐標為，設(shè)將代入，得，，，∴線段對應(yīng)的函數(shù)表達式為：，當號和號無人機飛行高度差為米時，得：，解得：或，∴在第或秒時，號和號無人機飛行高度差為米.故答案為：；或．10．（24-25九年級上·湖南益陽·開學(xué)考試）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示．則下列結(jié)論中：①隨x的增大而增大；②；③當時，；④關(guān)于x，y的方程組的解為，⑤，正確的有．（填序號）【答案】【知識點】比較一次函數(shù)值的大小、兩直線的交點與二元一次方程組的解、判斷一次函數(shù)的圖象、判斷一次函數(shù)的增減性【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象即可判斷結(jié)論①；根據(jù)一次函數(shù)與軸的交點在一次函數(shù)的圖象與軸的交點的下方即可判斷結(jié)論②；由函數(shù)圖象可知，當時，一次函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的下方，據(jù)此即可判斷結(jié)論③；根據(jù)兩個一次函數(shù)的交點坐標即可判斷結(jié)論④；將兩個一次函數(shù)的交點坐標代入函數(shù)解析式，即可判斷結(jié)論⑤；綜上，即可得出所有正確的結(jié)論．【詳解】解：由一次函數(shù)的圖象可知，隨的增大而增大，故結(jié)論①正確；∵一次函數(shù)與軸的交點在一次函數(shù)的圖象與軸的交點的下方，∴，故結(jié)論②正確；由函數(shù)圖象可知，當時，一次函數(shù)的圖象位于一次函數(shù)的圖象的下方，∴此時，故結(jié)論③錯誤；由函數(shù)圖象可知，兩個一次函數(shù)的交點坐標為，∴關(guān)于，的方程組，即方程組的解為，故結(jié)論④正確；將點代入兩個一次函數(shù)的解析式，得：，∴，故結(jié)論⑤正確；綜上，正確的結(jié)論有：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了判斷一次函數(shù)的增減性，一次函數(shù)的圖象，比較一次函數(shù)值的大小，兩直線的交點與二元一次方程組的解等知識點，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（24-25八年級下·河北唐山·期中）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點．(1)求的解析式；(2)通過計算說明的圖象是否過點．【答案】(1)(2)見解析【知識點】求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值、求一次函數(shù)解析式【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，列一次函數(shù)解析式并求值，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）依題意，把和代入進行計算，即可作答；（2）把代入，計算出結(jié)果，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)的函解析式為：，將點和代入得，，解得，；（2）解：將代入解析式得，，的圖象經(jīng)過點．12．（24-25八年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線．(1)請在圖中作出直線；(2)觀察直線、，直接寫出二元一次方程組的解．【答案】(1)見解析(2)【知識點】畫一次函數(shù)圖象、兩直線的交點與二元一次方程組的解【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的交點和方程組的解．（1）利用兩點式作出函數(shù)圖象即可；（2）在平面直角坐標系中，直線與直線交點的坐標就是二元一次方程組的解．【詳解】（1）解：當時，，∴直線經(jīng)過點和原點，作出函數(shù)圖象如圖，；（2）解：在平面直角坐標系中，直線與直線交點，關(guān)于、的二元一次方程組的解是．13．（2025·陜西西安·三模）如圖1，延安既是華夏民族的發(fā)祥地之一，又是中國革命圣地，曾被喻為中國革命的燈塔，是國務(wù)院首批公布的歷史文化名城．為了追尋紅色印記，傳承紅色基因，某校組織一批學(xué)生前往延安進行為期一周的紅色研學(xué)活動，他們從漢中出發(fā)勻速行駛至西安后，停車休息了2小時，然后從西安出發(fā)繼續(xù)勻速行駛至延安，他們距離延安的路程與行駛時間x（小時）之間的關(guān)系如圖2所示．請你根據(jù)圖中信息，解答下列問題：(1)求圖中段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)他們從西安出發(fā)多久后，距離延安的路程還剩？【答案】(1)(2)3小時【知識點】求一次函數(shù)解析式、行程問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）把代入（1）中解析式即可．【詳解】（1）解：設(shè)圖中段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．根據(jù)題意可得點C的橫坐標為，∴，，∴，解得：，∴圖中段y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：令，得，解得，（小時），∴他們從西安出發(fā)3小時后，距離延安的路程還剩．14．（2025·河北石家莊·三模）如圖，直線分別與x軸、y軸交于點，與直線相交于點C，點P是射線上一點，作于點D，點E在上點C的左側(cè)，．設(shè)點P的橫坐標為t．(1)求的解析式及點C的坐標；(2)連接，當時，求的面積；(3)畫直線，若表示直線的函數(shù)值隨x的增大而減小，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；(3)．【知識點】求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與幾何綜合、求自變量的值或函數(shù)值、根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷自變量的變化情況【分析】（1）把代入，解方程組，得，再代入，即得；（2）代入，即可求的面積；（3）當點E在點A的正上方時，點E的橫坐標為．此時，得，得t的取值范圍是．【詳解】（1）解：由題意，得，解得，的解析式為：．把代入，得，解得．∴．（2）解：當時，．的面積為．（3）解：．理由：當點E在點A的正上方時，點E的橫坐標為．此時，，即，．的取值范圍是．【點睛】本題考查了一次函數(shù)綜合．熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象圍成的三角形面積，一次函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵．15．（2025·河南開封·二模）神舟二十號是中國載人航天工程計劃于2025年發(fā)射的第二十艘載人飛船，任務(wù)期間，主要實施航天員出艙活動和貨物氣閘艙出艙任務(wù)，繼續(xù)開展空間科學(xué)實驗和技術(shù)試驗，開展平臺管理工作、航天員保障相關(guān)工作以及科普教育等重要活動．某超市為了滿足廣大航天愛好者的需求，計劃購進甲、乙兩種航天載人飛船模型進行銷售．據(jù)了解，2件甲種航天載人飛船模型和5件乙種航天載人飛船模型的進價共190元：6件甲種航天載人飛船模型和7件乙種航天載人飛船模型的進價共330元，甲、乙兩種航天載人飛船模型的售價分別為40元、45元．(1)求甲、乙兩種航天載人飛船模型每件的進價分別為多少元？(2)該超市老板準備購進甲、乙兩種航天載人飛船模型共100件，進貨時，發(fā)現(xiàn)甲種航天載人飛船模型只有40件，乙種航天載人飛船模型滿足供應(yīng)，請你幫老板設(shè)計進貨方案，全部售完后，獲取的利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)20元，30元(2)當購進40件甲種航天載人飛船模型，60件乙種航天載人飛船模型時，全部售完后，獲得利潤最大，最大利潤是1700元【知識點】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應(yīng)用)、最大利潤問題(一次函數(shù)的實際應(yīng)用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，對于（1），先設(shè)每件甲，乙種航天載人飛船模型的進價是x，y元，再根據(jù)總進價相等列出方程組，求出解即可；對于（2），設(shè)購進m件甲種航天載人飛船模型，全部售完后獲得的總利潤是w元，則購進件乙種航天載人飛船模型，根據(jù)題意列出一次函數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合得出最大利潤即可．【詳解】（1）解：設(shè)每件甲種航天載人飛船模型的進價是x元，每件乙種航天載人飛船模型的進價是y元，根據(jù)題意，得，解得，所以每件甲種航天載人飛船模型的進價是20元，每件乙種航天載人飛船模型的進價是30元；（2）解：設(shè)購進m件甲種航天載人飛船模型，全部售完后獲得的總利潤是w元，則購進件乙種航天載人飛船模型，根據(jù)題意，得，即.∵，∴w隨著m的增大而增大．∵，∴當時，w取得最大值，最大值是，此時．答：當購進40件甲種航天載人飛船模型，60件乙種航天載人飛船模型時，全部售完后，獲得利潤最大，最大利潤是1700元．16．（2025·河北石家莊·二模）如圖，直線為常數(shù)，與軸交于點，直線與軸交于點，兩直線交于點．(1)若點坐標為，求的值和點坐標；(2)規(guī)定：橫、縱坐標均為整數(shù)的點為整點，當為整數(shù)時，求為整點時的坐標；(3)設(shè)在直線上，且落在內(nèi)部（不含邊界）整點的個數(shù)為，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)(3)或【知識點】兩直線的交點與二元一次方程組的解、一次函數(shù)與幾何綜合、求一次函數(shù)解析式【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，求兩條直線的交點坐標，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．（1）把點坐標代入，求出k的值；聯(lián)立兩個函數(shù)關(guān)系式求出點C的坐標即可；（