考綱要求考情分析1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性．2．理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.隨機(jī)事件的概率計(jì)算與離散型隨機(jī)變量的分布列的求法一直是近年各地命題的熱點(diǎn)，一般都以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題，由于運(yùn)算量大，故本題型解答時(shí)要注意審題，同時(shí)運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，對(duì)運(yùn)算結(jié)果要用性質(zhì)檢查.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P197)

知識(shí)梳理1．離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱(chēng)為隨機(jī)變量，常用字母X、Y、ξ、η……表示．所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列．有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，變量的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果．分布列實(shí)質(zhì)上就是概率關(guān)于隨機(jī)變量的函數(shù)．由于某些隨機(jī)變量取值不連續(xù)，而是有限個(gè)，故一般用列表法表示函數(shù)的關(guān)系．有些分布列可以用式子表示，如超幾何分布、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn問(wèn)題探究1：離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能取值為實(shí)數(shù)，其實(shí)質(zhì)代表的是什么？提示：代表的是“事件”，但事件是用一個(gè)反映結(jié)果的實(shí)數(shù)表示的．問(wèn)題探究2：如何求離散型隨機(jī)變量的分布列？提示：首先寫(xiě)出離散型隨機(jī)變量的各個(gè)取值，其次對(duì)每一個(gè)取值求出它的概率，最后用表格形式列出．4．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布像這樣的分布列叫做兩點(diǎn)分布列．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱(chēng)X服從兩點(diǎn)分布，而稱(chēng)p＝P(X＝1)為成功概率．X01P1－pp自主檢測(cè)1．拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為X，那么X＝4表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是(

)A．2顆都是4點(diǎn)B．1顆1點(diǎn)，另1顆3點(diǎn)C．2顆都是2點(diǎn)D．1顆是1點(diǎn)，另1顆是3點(diǎn)，或者2顆都是2點(diǎn)解析：由于拋擲1顆骰子，可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1,2,3,4,5,6這6種情況之一，而X表示拋擲2顆骰子所得到的點(diǎn)數(shù)之和，所以X＝4＝1＋3＝2＋2表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是：1顆是1點(diǎn)，另1顆是3點(diǎn)，或者2顆都是2點(diǎn)，故選D.答案：DX01Pp2p6．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為若η＝2ξ－3，則η的分布列為_(kāi)_______．解析：由η＝2ξ－3可計(jì)算出相應(yīng)的η的取值，概率不變．答案：ξ12345P0.10.20.40.20.1η－11357P0.10.20.40.20.1(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P198)

考點(diǎn)1

離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)利用分布列中各概率之和為1的性質(zhì)，可以求分布列中的參數(shù)值．但此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．對(duì)于隨機(jī)變量的函數(shù)(仍是隨機(jī)變量)的分布列，可以按分布列的定義來(lái)求．【解】所給分布列為

已知隨機(jī)變量ξ的分布列為考點(diǎn)2

求離散型隨機(jī)變量的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列步驟是：(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1,2，…，)；(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；(3)列表，求出分布列后要注意應(yīng)用性質(zhì)檢驗(yàn)所求的結(jié)果是否準(zhǔn)確．例2(2011年湖南高考)某商店試銷(xiāo)某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：試銷(xiāo)結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨．若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率．(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．日銷(xiāo)售量(件)0123頻數(shù)1595(2010年江蘇卷)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立．(1)記X(單位：萬(wàn)元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求X的分布列；(2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率．解：(1)由題意知，X的可能取值為10,5,2，－3.P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02，所以X的分布列為X1052－3P0.720.180.080.02例3袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機(jī)變量X的分布列；(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率．【分析】

(1)是古典概型；(2)關(guān)鍵是確定X的所有可能取值；(3)計(jì)分介于20分到40分之間的概率等于X＝3與X＝4的概率之和．某校高三年級(jí)某班的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有6名男生，4名女生，從中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，用X表示其中的男生人數(shù)，求X的分布列．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P199)

易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)隨機(jī)變量的意義理解不到位某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)X的分布列．【錯(cuò)解】

P(X＝1)＝0.9；P(X＝2)＝0.1×0.9＝0.09；P(X＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009；P(X＝4)＝0.13×0.9＝0.0009；P(X＝5)＝0.15＝0.00001.【錯(cuò)因分析】

X＝5時(shí)，應(yīng)包含兩種情形：一是前4發(fā)都沒(méi)有命中，恰好第5發(fā)命中，概率為0.14×0.9；二是這5發(fā)子彈均未命中目標(biāo)，概率為0.15，因此P(X＝5)＝0.14×0.9＋0.15＝0.0001或P(X＝5)＝1－(0.9＋0.09＋0.009＋0.0009)＝0.0001，之所以發(fā)生P(X＝5)＝0.15或P(X＝5)＝0.14×0.9等錯(cuò)誤，原因是對(duì)分布列性質(zhì)不理解，分布列中概率和應(yīng)為1.【正確解答】

P(X＝1)＝0.9，P(X＝2)＝0.1×0.9＝0.09，P(X＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，P(X＝4)＝0.1×0.1×0.1×0.9＝0.0009，當(dāng)X＝5時(shí)，只要前四次射擊不中的都要射第5發(fā)子彈，第5發(fā)子彈可能射中也可能射不中．∴P(X＝5)＝0.15＋0.14×0.9＝0.14.∴耗用子彈數(shù)X的分布列為X12345P0.90.090.0090.00090.0001(1)準(zhǔn)確無(wú)誤地找出隨機(jī)變量的所有可能取值，并計(jì)算出隨機(jī)變量每一個(gè)取值的概率是寫(xiě)出分布列的關(guān)鍵．在分布列中，各個(gè)概率的和為1，對(duì)分布列的性質(zhì)不理解是發(fā)生錯(cuò)誤的重要原因．(2)在超幾何分布中，隨機(jī)變量X取每個(gè)值的概率是用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算的，可用表格的形式給出X的分布列．混淆“一個(gè)基本事件”的性質(zhì)是產(chǎn)生錯(cuò)誤的根源．已知隨機(jī)變量X的概率分布如下表：解析：由題易知：1．用表格的形式表示離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)，習(xí)慣上按X的取值從小到大來(lái)排列，該表格雖然能直觀地得到隨機(jī)變量X取各個(gè)不同值的概率，但是當(dāng)n比較大時(shí)，不易制作表格．此時(shí)，也可用解析式來(lái)表示分布列，即P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.2．分布列的計(jì)算是概率計(jì)算的延伸，前面討論的是某一具體事件概率的計(jì)算，分布列是討論全部基本事件的概率計(jì)算，正確計(jì)算的基礎(chǔ)是對(duì)基本概念的理解，要明確數(shù)學(xué)符號(hào)的含義：(1)ξ代表隨機(jī)變量，是定義在隨機(jī)試驗(yàn)全部結(jié)果上的函數(shù)；(2)ξ＝k是隨機(jī)變量取k值，表示某一個(gè)基本事件．ξ