第5講小專題:圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題考點(diǎn)一水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1.運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)(1)運(yùn)動(dòng)軌跡是水平面內(nèi)的圓。(2)合外力沿水平方向指向圓心,提供向心力,豎直方向合力為零,物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2.常見的兩種臨界極值問題(1)與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題。物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間的靜摩擦力恰好達(dá)到最大靜摩擦力。(2)與彈力有關(guān)的臨界極值問題。壓力、支持力的臨界條件是物體間的彈力恰好為零;繩上拉力的臨界條件是繩恰好拉直且其上無彈力或繩上拉力恰好為最大承受力等。3.解決此類問題的一般思路首先要找到臨界條件時(shí)物體所處的狀態(tài);再分析該狀態(tài)下物體的受力特點(diǎn);最后根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)列動(dòng)力學(xué)方程求解。[例1]【與摩擦力有關(guān)的臨界極值問題】(2024·四川成都模擬)如圖所示,一水平圓盤繞豎直中心軸以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng),緊貼在一起的M、N兩物體(可視為質(zhì)點(diǎn))隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng),N恰好不下滑,M恰好不滑動(dòng),兩物體與轉(zhuǎn)軸距離為r,已知M與N間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1,M與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ2,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。則μ1與μ2應(yīng)滿足的關(guān)系式為(

)C【解析】以M、N整體為研究對(duì)象,由靜摩擦力提供向心力,有μ2(mM+mN)g=(mM+mN)ω2r,以N為研究對(duì)象,由M對(duì)N的彈力提供向心力,有FN=mNω2r,由平衡條件有μ1FN=mNg,聯(lián)立解得μ1μ2=1,故選C。[變式]如圖所示,若將M、N兩物體疊放在一起,隨盤一起加速轉(zhuǎn)動(dòng)。已知M、N間的動(dòng)摩擦因數(shù)小于M與圓盤間動(dòng)摩擦因數(shù),則哪個(gè)物體先遠(yuǎn)離圓心?【答案】物塊N[例2]【與彈力有關(guān)的臨界極值問題】如圖所示,三角形為一光滑錐體的正視圖,母線與豎直方向的夾角為θ=37°。一根長(zhǎng)為l=1m的細(xì)線一端系在錐體頂端,另一端系著一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球,小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng),重力加速度g取10m/s2,取sin37°=0.6,不計(jì)空氣阻力,下列說法正確的是(

)C考點(diǎn)二豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題1.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩類模型項(xiàng)目輕繩模型輕桿模型常見類型小球最高點(diǎn)沒有支撐小球最高點(diǎn)有支撐最高點(diǎn)受力特征除重力外,物體受到的彈力方向:向下或等于零除重力外,物體受到的彈力方向:向下、等于零或向上最高點(diǎn)受力示意圖2.解題技巧(1)物體通過圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)、最高點(diǎn)時(shí),根據(jù)合力提供向心力列牛頓第二定律方程。(2)物體從某一位置到另一位置的過程中,用動(dòng)能定理找出兩位置間的速度關(guān)系。(3)注意:求對(duì)軌道的壓力時(shí),轉(zhuǎn)換研究對(duì)象,先求物體所受支持力,再根據(jù)牛頓第三定律求出壓力。[例3]【輕繩模型】(2024·貴州遵義模擬)某人站在水平地面上,手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端,繩的另一端系有質(zhì)量為1kg的小球,甩動(dòng)手腕,使球在豎直平面內(nèi)以手為圓心做圓周運(yùn)動(dòng),其簡(jiǎn)化示意圖如圖。握繩的手離地面高度為1.0m且保持不變,現(xiàn)不斷改變繩長(zhǎng)使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng),每次繩在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)都恰好達(dá)到最大拉力被拉斷,球以繩斷時(shí)的速度水平飛出,通過水平距離x后落地。已知繩能承受的最大拉力為15N,重力加速度g取10m/s2,忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力,則x的最大值為(

)[A]0.4m [B]0.5m[C]1.0m [D]1.2mB[例4]【輕桿模型】(2025·湖南長(zhǎng)沙開學(xué)考)如圖所示,輕桿一端固定在水平轉(zhuǎn)軸上,另一端固定一個(gè)小球,小球隨桿在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng),下列說法正確的是(

)A[A]小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力大于小球重力[B]小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),桿對(duì)球的作用力方向一定向上[D]小球運(yùn)動(dòng)到水平位置A時(shí),所受合力一定指向O點(diǎn)考點(diǎn)三斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題物體在傾斜面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)斜面的傾角為θ,重力垂直于斜面的分力與物體受到的支持力大小相等,平行于斜面的分力與靜摩擦力的合力提供向心力。同理可知,在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,物體最容易滑動(dòng)的位置是最低點(diǎn),恰好滑動(dòng)時(shí),有μmgcosθ-mgsinθ=mω2R。CD[A]小物體隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),可能不受摩擦力作用[B]小物體隨圓盤以不同的角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),ω越大,小物體在最高點(diǎn)處受到的摩擦力一定越大[C]小物體受到的摩擦力可能背離圓心[D]ω的最大值是1.0rad/s(滿分:60分)課時(shí)作業(yè)對(duì)點(diǎn)1.水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1.(4分)(2024·江蘇卷,8)生產(chǎn)陶瓷的工作臺(tái)勻速轉(zhuǎn)動(dòng),臺(tái)面上掉有陶屑,陶屑與臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同(臺(tái)面夠大),則(

)[A]越靠近臺(tái)面邊緣的陶屑質(zhì)量越大[B]越靠近臺(tái)面邊緣的陶屑質(zhì)量越小[C]陶屑只能分布在圓臺(tái)邊緣[D]陶屑只能分布在某一半徑的圓內(nèi)D2.(6分)(2024·甘肅蘭州模擬)(多選)如圖所示,質(zhì)量為m的小物塊開始靜止在一半徑為R的球殼內(nèi),它和球心O的連線與豎直方向的夾角為θ=37°,現(xiàn)讓球殼隨轉(zhuǎn)臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸OO′一起轉(zhuǎn)動(dòng),小物塊在球殼內(nèi)始終未滑動(dòng),重力加速度為g,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,下列說法正確的是(

)AD3.(10分)(2024·山西太原模擬)如圖所示,AB為豎直放置的光滑圓筒,一根長(zhǎng)細(xì)繩穿過圓筒后一端連著質(zhì)量m1=5kg的小球P,另一端和細(xì)繩BC(懸點(diǎn)為B)在結(jié)點(diǎn)C處共同連著質(zhì)量為m2的小球Q,長(zhǎng)細(xì)繩能承受的最大拉力為60N,細(xì)繩BC能承受的最大拉力為27.6N。轉(zhuǎn)動(dòng)圓筒使BC繩被水平拉直,小球Q在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),小球P處于靜止?fàn)顟B(tài),此時(shí)圓筒頂端A點(diǎn)到C點(diǎn)的距離l1=1.5m,細(xì)繩BC的長(zhǎng)度l2=0.9m,重力加速度g取10m/s2,兩繩均不可伸長(zhǎng),小球P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)。(1)當(dāng)角速度ω多大時(shí),BC繩剛好被拉直(結(jié)果可用根號(hào)表示)?(2)當(dāng)角速度ω多大時(shí),BC繩剛好被拉斷?【答案】(2)4rad/s對(duì)點(diǎn)2.豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題4.(4分)(2024·安徽二模)某同學(xué)在轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的鉛筆的過程中,發(fā)現(xiàn)在水平面內(nèi)繞筆中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度超過20rad/s時(shí),位于鉛筆一端的橡皮將滑出,已知他使用的鉛筆長(zhǎng)20cm,假設(shè)橡皮受到的最大靜摩擦力為定值,且橡皮的大小可忽略,g取10m/s2,則要保證橡皮擦不滑出,這支鉛筆在豎直面內(nèi)繞其中心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的最大值為(

)B5.(4分)如圖甲所示,輕桿的一端固定一小球(視為質(zhì)點(diǎn)),另一端套在光滑的水平軸O上,O軸的正上方有一速度傳感器,可以測(cè)量小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小v;O軸處有力傳感器,可以測(cè)量小球通過最高點(diǎn)時(shí)O軸受到桿的作用力F,若豎直向下為力的正方向,使小球在最低點(diǎn)時(shí)具有不同的初速度,得到F-v2圖像如圖乙所示,g取10m/s2,則(

)A6.(4分)(2024·河南開封模擬)太極球是一種流行的健身器材。如圖所示,將球拍和太極球簡(jiǎn)化成平板和小球,健身者用平板托著質(zhì)量m=0.5kg的小球,使球與平板保持相對(duì)靜止、在豎直平面內(nèi)做半徑R=0.2m的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。A為圓周的最高點(diǎn),C為最低點(diǎn),B、D與圓心O等高。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度v=2m/s,平板與水平方向的夾角θ=37°。重力加速度g取10m/s2,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,不計(jì)空氣阻力。關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)及受力的分析正確的是(

)[A]在A點(diǎn),平板對(duì)小球沒有作用力[B]在B點(diǎn),平板對(duì)小球的摩擦力大小為5N[C]在B點(diǎn),平板對(duì)小球的摩擦力沿板向上[D]在C點(diǎn),平板對(duì)小球有摩擦力作用B對(duì)點(diǎn)3.斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題DC

B綜合提升練10.(16分)(2021·江蘇卷,14)如圖所示的離心裝置中,光滑水平輕桿固定在豎直轉(zhuǎn)軸的O點(diǎn),小圓環(huán)A和輕質(zhì)彈簧套在輕桿上,長(zhǎng)為2L的細(xì)線和彈簧兩端分別固定于O和圓環(huán)A上,質(zhì)量為m的小球B固定在細(xì)線的中點(diǎn),裝置靜止時(shí),細(xì)線與豎直方向的夾角為37°,現(xiàn)將裝置由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)細(xì)線與豎直方向的夾角增大到53°時(shí),A、B間細(xì)線的拉力恰好減小到零,彈簧彈力與靜止時(shí)大小相等、方向相反,重力加速度為g,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,求