吉林省吉林市第一中學(xué)2025-2026學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時(shí)，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時(shí)，表示收入完全不平等.記區(qū)域?yàn)椴黄降葏^(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對(duì)于下列說法：①越小，則國(guó)民分配越公平；②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，則對(duì)，均有；③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④2．已知函數(shù)f(x)＝,若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A． B．C． D．3．陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂工具，也稱陀羅.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為（）A． B．C． D．4．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．月收入的極差為60 B．7月份的利潤(rùn)最大C．這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D．這一年的總利潤(rùn)超過400萬元7．已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則的取值范圍為（）A．(-2,-1］ B．(-1,4］ C．[-2,4) D．[0,4]9．函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．10．設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，(為常數(shù))，則不等式的解集為（）A． B． C． D．11．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．12．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈．”其白話意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月（按30天計(jì)算）共織布390尺．”則每天增加的數(shù)量為____尺，設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為，則______．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P（異于原點(diǎn)O）為y軸上的一個(gè)定點(diǎn)．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長(zhǎng)為_____．15．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則______．16．正項(xiàng)等比數(shù)列|滿足，且成等差數(shù)列，則取得最小值時(shí)的值為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.（Ⅰ）求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（Ⅱ）求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線的極坐標(biāo)方程為，射線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出曲線的極坐標(biāo)方程，并指出是何種曲線；（Ⅱ）若射線與曲線交于兩點(diǎn)，射線與曲線交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）己知等差數(shù)列的公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求使不等式成立的最大自然數(shù)n；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知射線與曲線交于兩點(diǎn)，射線與直線交于點(diǎn)，若的面積為1，求的值和弦長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

對(duì)于①，根據(jù)基尼系數(shù)公式，可得基尼系數(shù)越小，不平等區(qū)域的面積越小，國(guó)民分配越公平，所以①正確.對(duì)于②，根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線，由圖得，均有，可得，所以②錯(cuò)誤.對(duì)于③，因?yàn)?，所以，所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以④正確.故選A．2．D【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，k＝；結(jié)合圖象即可得解.【詳解】若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如圖，故點(diǎn)(1,0)在直線y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.當(dāng)直線y＝kx－和y＝lnx相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則k＝＝，∴m＝.此時(shí)，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，故所求k的取值范圍是，故選D..本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計(jì)算能力、觀察能力，屬于難題．3．C【解析】

畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可，【詳解】由題意可知幾何體的直觀圖如圖：上部是底面半徑為1，高為3的圓柱，下部是底面半徑為2，高為2的圓錐,幾何體的表面積為：，故選：C本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.4．B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時(shí)，，令，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，，若，的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，則有，即，.故選:B.本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c(diǎn)問題，屬于中檔題.5．D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上的一點(diǎn)，為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．6．D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為，故選項(xiàng)A正確；1至12月份的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利潤(rùn)最高，故選項(xiàng)B正確；易求得總利潤(rùn)為380萬元，眾數(shù)為30，中位數(shù)為30，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：.本題考查了折線圖，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.7．B【解析】

構(gòu)造函數(shù)，判斷出的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，由解得，所以的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，而，所以在定義域上為增函數(shù)，且.由得，即，所以.故選：B本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.8．B【解析】

作出可行域，表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，觀察可行域可得最小值．【詳解】作出可行域，如圖陰影部分（含邊界），表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，，，過與直線平行的直線斜率為－1，∴．故選：B．本題考查簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃．解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率，由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論．9．C【解析】

先根據(jù)是奇函數(shù)，排除A，B，再取特殊值驗(yàn)證求解.【詳解】因?yàn)?，所以是奇函?shù)，故排除A，B，又，故選：C本題主要考查函數(shù)的圖象，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

由可得，所以，由為定義在上的奇函數(shù)結(jié)合增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，可知在上單調(diào)遞增，注意到，再利用函數(shù)單調(diào)性即可解決.【詳解】因?yàn)樵谏鲜瞧婧瘮?shù).所以，解得，所以當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故有，解?故選：D.本題考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用能力，是一道中檔題.11．B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.12．A【解析】

利用函數(shù)的對(duì)稱性及函數(shù)值的符號(hào)即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，可排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，可排除C選項(xiàng)，故選：A本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．52【解析】

設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為，

，故答案為，52.本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題.14．【解析】分析：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），利用差角的正切公式，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長(zhǎng)．詳解：設(shè)O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數(shù)），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為點(diǎn)睛：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．15．18【解析】

由題意得函數(shù)f（x）與g（x）的圖像都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可．【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，與圖像的交點(diǎn)為，，…，,兩兩關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，.故答案為：18本題考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16．2【解析】

先由題意列出關(guān)于的方程，求得的通項(xiàng)公式，再表示出即可求解.【詳解】解：設(shè)公比為，且，時(shí)，上式有最小值，故答案為：2.本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)以及等比數(shù)列求積、求最值的有關(guān)運(yùn)算，中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）曲線的參數(shù)方程為：(為參數(shù))；的極坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）16.【解析】

(

I

)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(

II

)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：，所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為：，又因曲線的左焦點(diǎn)為，將其代入中，得到，所以的極坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為，，，，所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為：，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)取得最大值16.本題考查了曲線的參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，極徑的應(yīng)用，考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型.18．（Ⅰ），曲線是以為圓心，為半徑的圓；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程能求出曲線的普通方程，由此能求出曲線的極坐標(biāo)方程．（Ⅱ）令，，則，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡(jiǎn)，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)求出面積的取值范圍；【詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)）化為普通方程為，整理得曲線是以為圓心，為半徑的圓.（Ⅱ）令，，，，面積的取值范圍為本題考查曲線的極坐標(biāo)方程的求法，考查三角形的面積的求法，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．19．（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點(diǎn)分段討論法求解；（2）對(duì)任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式可化為.討論：①當(dāng)時(shí)，，所以，所以；②當(dāng)時(shí)，，所以，所以；③當(dāng)時(shí)，，所以，所以.綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）因?yàn)?，所?又因?yàn)椋瑢?duì)任意成立，所以，所以或.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20．（1）；（2）【解析】

（1）分類討論去絕對(duì)值號(hào)，即可求解；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，分別求函數(shù)與的最小值，根據(jù)能同時(shí)成立，可得的最小值，即可求解.【詳解】（1）