專題05二次函數(shù)綜合壓軸題（21題）

」?090，?

1.（2025?江西?中考真題）問(wèn)題背景：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果存在芻變量與=5時(shí)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值%=，〃，

那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，點(diǎn)（〃?/"）為該函數(shù)圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).例如：在函數(shù)/中，當(dāng)工=1

時(shí)，y=i,則我們稱函數(shù)丁=/為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，點(diǎn)（1/）為該函數(shù)圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).某數(shù)學(xué)興趣小組圍

繞該定義，對(duì)一次函數(shù)和二次函數(shù)進(jìn)行了相關(guān)探究.

探究1

（1）對(duì)一次函數(shù)＞,=履+人（攵/0）進(jìn)行探究后，得出下列結(jié)論：

①y=x+2是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)；

②y=-3x+2是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且不動(dòng)點(diǎn)是（g,0）；

③?二大是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且有無(wú)數(shù)個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

以上結(jié)論中，你認(rèn)為正確的是（填寫正確結(jié)論的序號(hào)）.

（2）若一次函數(shù)丁=區(qū)+〃年工0）是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，請(qǐng)直接寫出火,人應(yīng)滿足的條件；

探究2：

（3）對(duì)二次函數(shù)尸=口/+6+。（〃/0）進(jìn)行探究后，該小組設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題，請(qǐng)你解答.若拋物線

），=/一2"+。的頂點(diǎn)為該函數(shù)圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求從c滿足的關(guān)系式.

探究3：

（4）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為6元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出（12-力件，獲得利潤(rùn)｝，元.請(qǐng)

寫出），關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，判斷該函數(shù)是否是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，并說(shuō)明理由；若該函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，請(qǐng)

聯(lián)系以上情境說(shuō)明該函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)表達(dá)的實(shí)際意義.

【答案】（1）③；（2）當(dāng)門1且AwO時(shí)，〃為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)％=1時(shí)，b=0；（3）b=c-bh（4）該函數(shù)是

‘‘不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，不動(dòng)點(diǎn)表達(dá)的實(shí)際意義為：在這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)銷售單價(jià)為8元或9元時(shí)，銷售總利潤(rùn)與銷售

單價(jià)相等.

【分析】（1）根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”的定義，代入點(diǎn)（〃?」〃），計(jì)算即可判斷；

（2）根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”的定義，代入點(diǎn)（，幾加），計(jì)算即可得解；

（3）先求得頂點(diǎn)坐標(biāo)為伍,。-〃），根據(jù)“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)，，的定義，即可得到人=°—從；

（4）根據(jù)題意得，J=（X-6）（12-X）=-X2+18A:-72,令工=一9+18x—72,解方程即可求解.

【詳解】解：（1）①對(duì)于），=工+2,

由「〃7工〃7+2,

所以y=x+2不是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，原說(shuō)法錯(cuò)誤；

②對(duì)于y=-3x+2,代入點(diǎn)（以加），

得加=—3〃?+2,

解得用=2，

2

所以y=-3x+2是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且不動(dòng)點(diǎn)是（；,；），原說(shuō)法錯(cuò)誤；

③y=x是"不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，且有無(wú)數(shù)個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，說(shuō)法正確.

故答案為：③；

（2）???一次函數(shù)y=是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，

工代入點(diǎn)（列〃。，

得m=mk+b,

整理得（1一女）〃=2〃，

當(dāng)1一1工0即辦1且辦。時(shí),b為任意實(shí)數(shù);

當(dāng)1一女=0即4=1時(shí)，匕=0；

（3）由拋物線丁=工2-2"+。=（二一6『+。一力2得，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（瓦。-6）,

拋物線y=V-2辰+c的頂點(diǎn)為該函數(shù)圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，

:.b=c-b2;

（4）根據(jù)題意得，y=（x-6）（12-x）=-x2+18x-72,

???令x=-x2+i8x-72,

整理得工2一17%+72=0，

解得$=8,X2=9,

???該函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，不動(dòng)點(diǎn)表達(dá)的實(shí)際意義為：在這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)銷售單價(jià)為8元或9元時(shí)，銷售總

利潤(rùn)與銷售單價(jià)相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用.正確理解“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”的定義是解題的關(guān)

鍵.

2.（2024?江西?中考真題）如圖，一小球從斜坡。點(diǎn)以一定的方向彈M球的飛行路線可以用二次函數(shù)

），二/+區(qū)（〃〈0）刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=刻畫，小球飛行的水平距離r（米）與小球飛行的高

度F（米）的變化規(guī)律如下表：

②小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間/（秒）滿足關(guān)系），=-5/+w.

①小球飛行的最大高度為米;

②求n的值.

【答案】⑴①3,6；②

(2)①8,②咤4而

【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及從圖象和表格中獲取數(shù)據(jù)，

（1）①由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）可建立過(guò)于小力的二元一次方程組，求出小人的值即可；②聯(lián)立兩函

數(shù)解析式求解，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)第一問(wèn)可知最大高度為8米；

②將小球飛行高度與飛行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)為頂點(diǎn)式即可求得公直.

【詳解】（1）解：①根據(jù)小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律表可知：拋物

線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）,

解得："二一2,

〃二4

???二次函數(shù)解析式為y=-1x2+4x,

W15.1，415

當(dāng)y=一時(shí)，一一x~+4x=—,

-222

解得：x=3或工=5（舍去），

/./〃=3,

①-2=；

②當(dāng)G=4。時(shí)，求正方形力叫F的面積.

【答案】（1）①3；②S=/+2

（2）S=/2-8r+18（2<r<8）,AB=6

⑶①4；②叫

【分析】（1）①先求出C〃=1,再利用勾股定理求出。0=6,最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照

（1）①先求出CP=Z,進(jìn)而求出。尸=尸+2,貝|JS=D尸2=*+2;

（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點(diǎn)夕運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，S=DP?=6,由此求出當(dāng)，=2時(shí)，5=6,可設(shè)S關(guān)于f的函

數(shù)解析式為S=a（f-4『+2,利用待定系數(shù)法求出S=『-8/+18,進(jìn)而求出當(dāng)S=『-8/+18=18時(shí)，求得

/的值即可得答案；

（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)S=（f-4『+2可以看作是由函數(shù)S=/+2向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)

P（"7],〃），。（"七〃）（〃4>見(jiàn)）是函數(shù)s=『+2上的兩點(diǎn)，貝I」（平+4,〃），（/%+4,〃）是函數(shù)S=（-4y+2

上的兩點(diǎn)，由此可得叫+，巧=0，叫〈"Av，々+4v，%+4,則“+網(wǎng)+4=4,根據(jù)題意可以看作

4

4=網(wǎng)，『2=町+4，〃=叫+4,則％+，2=4；②由（3）①可得G=%+4,再由4=44,得至1"=],繼而得

答案.

【詳解】（1）解：???動(dòng)點(diǎn)。以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿C->4->A勻速運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)f=l時(shí)，點(diǎn)尸在8c上，H.CP=1,

VZC=90°,CZ）=夜，

**?DP7c產(chǎn)+c?=6,

尸=3，

故答案為：3；

②;動(dòng)點(diǎn)夕以每秒1個(gè)單位的速度從。點(diǎn)出發(fā)，在6C勻速運(yùn)動(dòng)，

:?CP=t,

VZC=90°,CD=&，

DP2=CP2+CD2=t2+2,

，S=O尸=/+2：

⑵解：由圖2可知當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，S=DP*=6,

??/2+2=6?

解得，=2,

，當(dāng)f=2時(shí)，5=6,

由圖2可知，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,2）,

???可設(shè)S關(guān)J-r的函數(shù)解析式為S=a?！?f+2,

把（2,6）代入S=a（f—4『+2中得：6=?（2-4）2+2,

解得a=1，

???S關(guān)于f的函數(shù)解析式為5=〈-4）2+2="一&+18（24「48）,

在5=/一8/+18中，當(dāng)S=『-&+18=18時(shí)，解得/=8或/=（）.

???人8=8-2=6；

（3）解：①???點(diǎn)。在4c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S=『+2,點(diǎn)夕在A8上君動(dòng)時(shí)S=（/—4>+2,

???可知函數(shù)S=（f-41+2可以看作是由函數(shù)S=『+2向右平移四個(gè)單位得到的，

設(shè)P（〃4，〃），。（%（㈣〉明）是函數(shù)S=*+2上的兩點(diǎn),則（碼+4,〃）,（，%+4,〃）是函數(shù)

S=（-4>+2上的兩點(diǎn)，

:.呵+m2=0?叫<〃?2<+4〈嗎+4,

:.用2++4=4,

???存在3個(gè)時(shí)刻4也出—<一）對(duì)應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等.

n

:.可以看作4="弓，t2=町+4,4=h+4,

:./[+，2=4,

故答案為：4；

②由⑶①可得4=4+4，

V/3=4/,,

/.4z,=r,+4,

?,_4

**1~3*

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解

題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?江西?中考真題）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛吁和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路

線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基

準(zhǔn)點(diǎn)K為匕行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過(guò)K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高.2022年北京冬奧會(huì)跳臺(tái)滑雪標(biāo)

準(zhǔn)臺(tái)的起跳臺(tái)的高度04為66m,基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75m,高度為（/?為定值）.設(shè)運(yùn)動(dòng)員

從起跳點(diǎn)A起跳后的高度義m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y=/+bx+c（a*0）.

（2）①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)專力二卷，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度任

②若〃=-9時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過(guò)K點(diǎn)，則〃的取值范圍為；

⑶若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m,試判斷他的落地點(diǎn)能否超過(guò)K點(diǎn)，并說(shuō)明

理由.

【答案】（1）66

9

⑵①基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度。為216；②前；

（3）他的落地點(diǎn)能超過(guò)K點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)起跳臺(tái)的高度0A為66加，即可得c=66：

⑵①由a=,力=木，知產(chǎn)■立/+木+66,根據(jù)基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為75加，即得

基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度力為21M；

②運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過(guò)K點(diǎn)，即是x=75時(shí)，y>2\,故■專x752+754?66>21,即可解得答案；

(3)運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25m時(shí),恰好達(dá)到最大高度76加，即是拋物線的頂點(diǎn)為(25,76),設(shè)拋物

2

線解析式為y=a(x-25)2+76,可得拋物線解析式為y=----(%-25)2+76,當(dāng)x=75時(shí)，)，=36,從

125

而可知他的落地點(diǎn)能超過(guò)K點(diǎn).

【詳解】(1)解：:起跳臺(tái)的高度0A為66機(jī)，

：.A(0,66),

把A(0,66)代入y=ax^+bx+c得：

c=66,

故答案為：66；

19

(2)解：①:“=-而'。=歷，

/.y=--3-X2+—A+66,

5()10

丁基準(zhǔn)點(diǎn)犬到起跳臺(tái)的水平距離為75m,

19

.*.y=--X752+——x75+66=21,

5()10

，基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度力為21m；

.*.>=-4/+Z?x+66,

;運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過(guò)K點(diǎn),

???當(dāng)x=75時(shí)，y>21,

即--X752+75/2+66>21,

5()

9

解得〃>而，

9

故答案為：/?>—；

(3)解：他的落地點(diǎn)能超過(guò)K點(diǎn)，理由如下：

???運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為25機(jī)時(shí)，恰好達(dá)到最大高度76m,

???拋物線的頂點(diǎn)為(25,76),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x-25)2+76,

把(0,66)代入得：

66=〃(0-25)2+76,

2

解得〃=?自，

2

???拋物線解析式為)，=-—(x-25)2+76,

2

當(dāng)1=75時(shí)，y=-x(75-25)2+76=36,

125

V36>21.

，他的落地點(diǎn)能超過(guò)K點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能根據(jù)題意把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.

5.（2021?江西?中考真題）二次函數(shù)），=/-2〃次的圖象交工軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)人.

感知特例

（1）當(dāng)機(jī)=1時(shí)，如圖1,拋物線上：），=/一2工上的點(diǎn)。，。，C,A,。分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為3',

O1,C,A,ZX,如下表:

???0(0,0)C(l.T)A(一,—)0(3,3)???

???"(5,-3)(7(4,0)C(3,l)4(2,0)￡>>(1,-3)???

①補(bǔ)全表格：

②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為//.

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象U上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱〃是L的“孔像拋物線”.例

如,當(dāng)/〃——2時(shí)，圖2中的拋物線〃是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問(wèn)題

（2）①當(dāng)〃?=-1時(shí)，若拋物線L與它的“孔像拋物線”7/的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則）的取值范圍

為;

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)“取不同值時(shí)，通過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)y2〃”?的所

有“孔像拋物線’1',都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是.（填"），=蘇+法+c”或>=/+A，，

或“y=ax2+C”或“y=av2"，其中abo工0）；

③若二次函數(shù)y=f—2m'?及它的“孔像拋物線”與直線y=〃?有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求〃的值.

【答案】（1）①2,0；②見(jiàn)解析；（2）①一34x4-1;②）=“；@/〃-±1.

【分析】（1）①根據(jù)中心對(duì)稱的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；

（2）①畫出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②結(jié)合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根

據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象L的頂點(diǎn)為*〃?，-〃『），則圖象的頂點(diǎn)為尸，⑶心?。俑鶕?jù)題意即可

求解.

【詳解】（1）???點(diǎn)解-1,3）與點(diǎn)秒（5,?3）關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱,

二點(diǎn)八的坐標(biāo)為（言至，三史），即42,0）,

故答案為：2,0：

②描點(diǎn)，連線，得到的圖象如圖所示：

⑵①當(dāng)初=-1時(shí)，拋物線L為y=./+2x,對(duì)稱軸為/=一1,

它仔廣孔像拋物線”〃的解析式為y=-（工+2）（工+4）,對(duì)稱軸為x=-守=-3,

畫出草圖如圖所示：

???拋物線L與它的“孔像拋物線'七的函數(shù)值都隨著x的增大而減小,

則I的取值范圍為：—34x4—1；

②畫出草圖，

由圖象知，這條拋物線的解析式只能是y=

故答案為：y="2：

222

③，：y=x-2fnx=（x-m）-m,設(shè)頂點(diǎn)為尸（〃?，一/叫，過(guò)點(diǎn)?作PM_Lx軸于點(diǎn)M,“孔像拋物線”//的頂

點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作〃軸于點(diǎn)M,

得“（3加,0）,所以P（3〃?，〃/），

???拋物線心及“孔像拋物線"'與直線尸〃有且只有三個(gè)交點(diǎn),

-nr=mBJCm2=ni,

解得〃尸土1或0,

當(dāng)片0時(shí)，y=f與y=-/只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，工去.

；?”?=±1.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次

函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

0000

6.（2025?江西吉安?一模）某單位汽車停車棚如圖1所示，棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，其中

點(diǎn)3為棚頂外沿，為斜拉桿.棚頂?shù)呢Q直高度M單位：m）與距離停車棚支柱40的水平距離x（單位：

m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（.r-8）2+億其圖象如圖2所示，且點(diǎn)以7,3.26）和點(diǎn)N（6,3.2）在圖象上.

圖1圖2

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵某個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組研究一輛校車能否在按如圖2所示的停車棚下避雨，他們將校車截面看作長(zhǎng)CD=5.5m,

高DE=2.8m的矩形.通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)校車不能完全停到車棚內(nèi)，請(qǐng)你幫助興趣小組通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由；

（3）小俊提出，若要使（2）中的校車能完全停到車棚內(nèi)，且為了安全，需要保證點(diǎn)?與頂棚的豎直距離至

少為0.5m,現(xiàn)需要將頂棚整體沿支柱AO（支柱可加長(zhǎng)）向上至少提升/?m,求〃的值.

【答案】（l）y=-O.O2（x-8）?+3.28

（2）不能，理由見(jiàn)解析

（3）/?=0.865米

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到求函數(shù)表達(dá)式，理解題意，將題目中的數(shù)據(jù)和函數(shù)表達(dá)

式對(duì)應(yīng)是解題的關(guān)鍵.

（1）由待定系數(shù)法即可求解；

（2）由題意得，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為7-5.5=1.5,當(dāng)x=1.5時(shí)，y=-O.（）2（x-8）2+3.28=2.44<2.8,即可求解；

（3）設(shè)提高也米，則新拋物線的表達(dá)式為y=-0.02（x-8）2+3.28+。，由題意得，車最左上端（對(duì)應(yīng)（2）

中F）的橫坐標(biāo)為x=L5,當(dāng)x=L5時(shí)，y>2.8+0.5,則符合要求，即可求解.

【詳解】⑴解:把點(diǎn)8（7,3.26）和點(diǎn)。（6,3.2）代入產(chǎn)。（1-8）2+2得,

3.26=。（7-8『+左

3.2=a（6-8『+k

僅=3.28

解得《“熊，

=-0.02

則拋物線的表達(dá)式為：y=-0.02（x-8）2+3.28；

（2）解：不能，理由：

由題意得，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為7-55=1.5,

當(dāng)x=1.5時(shí)，y=-0.02（x—8y+3.28=2.435<2.8.

故校車不能完全停到車棚內(nèi)；

（3）解：根據(jù)題意得：新拋物線的表達(dá)式為：y=-0.02（x-8）2+3.28+6

由題意得，車最左上端（對(duì)應(yīng)（2）中/）的橫坐標(biāo)為工二1.5,

當(dāng)h=1.5時(shí)，y=-0.02（x—8『+3,28+〃=2.435+〃22.8+0.5,

則人0.865,

故力=0.865米，

7.（2025?江西宜春?二模）如圖（1）,在YABC中，44=30。，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿路線AfCf4

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以Icm/slK速度沿43運(yùn)動(dòng).P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同

時(shí)停止運(yùn)動(dòng).以4。，PQ為邊在八8的上方作平行四邊形AOP。，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ZS,平行四邊形ADPQ的面

積為Scnf（當(dāng)點(diǎn)八，P,。重合或在一條直線上時(shí)，不妨設(shè)S=D）.探究S與，的關(guān)系.

初步感知

（1）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，

①若f=1,S=：

②S關(guān)于，的函數(shù)解析式為.

深入探究

（2）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S關(guān)于，的函數(shù)解析式為S=“r+4（44/410）,其圖象如

圖（2）所示.

①用的值為;

②求S關(guān)于，的函數(shù)解析式.

延伸探究

（3）當(dāng)點(diǎn)2在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)記為匕，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為"，平行四邊形的面枳記為S：當(dāng)點(diǎn)P在8C上

運(yùn)動(dòng)時(shí)記為2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為4,平行四邊形A。。。的面積記為S?,PR〃AB.

①求。與的數(shù)量關(guān)系；

②當(dāng)4+弓=9時(shí)，y-色的值為.

220

【答案】（I）①1;②5=/；⑵①]6；?5=--r+yr（4</<10）；（3）?2/2+3r,=20；@10

【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)圖象，含30度角的直角三角形，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確的求出函數(shù)

解析式，是解題的關(guān)鍵：

（1）①作莊_LA8廣點(diǎn)E,求出PE的長(zhǎng)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，求出面積即可；②同①法計(jì)算即可；

（2）①把f=4代入（1）①中的解析式，計(jì)算即可；②待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;

（3）①根據(jù)6鳥(niǎo)〃4B時(shí)，SACAB,列出比例式進(jìn)行求解即可;②聯(lián)立①的等式和%+/=9,求出他，

進(jìn)而求出S「S2,即可.

【詳解】解：（1）①當(dāng)，=1時(shí)，AP=2,AQ=lf

作PELAB于點(diǎn)E,

'：ZC4B=30°,

JPE=-AP=\t

2

???平行四邊形ADPQ的面積為AQPE=\；

②由題意，得：AP=2t,AQ=t,

???PE=-AP=t

2t

：.S=AQPE=t2i

（2）①由圖象可知，當(dāng)，=4時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸恰好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,由（1）②可知：S=/2=42=16,

故〃?=16；

②由圖象和①可知,拋物線過(guò)（416）,（10,0）,代入S=〃+初,

0=100〃+10人

得

16=16。I4b

2

a=—

解得J

/?=—

3

7on

???S關(guān)于/的函數(shù)解析式為S=-；產(chǎn)+11（4W10）

（3）①由題圖（2）可知，點(diǎn)夕與點(diǎn)C重合時(shí)，/=4,點(diǎn)P與點(diǎn)以重合時(shí)，r=10.

???AC=2x4=8,￡?C=2x（10-4）=12,

由題意可知AR=2小。6=2〃-3,

AC^=8-2r,

當(dāng)時(shí)，貝lj：△""△CAB,

.父=空

.8-2r,_2r2-8

812

:.2/2+3/1=20

2/I3/,=20解得，

②聯(lián)立2

乙+一

A5.=22=4,S=--x72+—x7=14,

'2233

.?.3-4=10.

8.（2025?江西贛州?二模）已知拋物線C|：丁二9+法+《X之0）與），軸交于點(diǎn)切.其中自變量X與函數(shù)值），

的部分對(duì)應(yīng)值如下表；

X???12345???

y???0m038???

（1）①拋物線G的對(duì)稱軸為直線X=，點(diǎn)M的坐標(biāo):

②求拋物線G的解析式及m的值.

⑵如圖，將拋物線C1繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。后，得到拋物線G.

②記拋物線C，G組合得到的新圖象為S,圖象S與過(guò)點(diǎn)M的直線>，=履+〃（々￥0）有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)

求出火的取值范圍.

【答案】⑴①2；M（0,3）；②m=T,y=x2-4x+3；

（2）<5）y=-（x+2）2+7（x<0）；?k<-4.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求函數(shù)解析式等知識(shí)，掌

握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

（I）①根據(jù)對(duì)稱軸的求法即可求出對(duì)稱軸，利用利用待定系數(shù)法求出拋物線C1的解析式，即可求點(diǎn)”的

坐標(biāo)；

②由①可得出拋物線的解析式，把點(diǎn)（2,加）代入即可求出用：

（2）①設(shè)G的頂點(diǎn)為。，G的頂點(diǎn)為E，由題意可知點(diǎn)。與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)用對(duì)稱，拋物線的開(kāi)口方向相反,

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可求解；

②直線曠=丘+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)加（0,3）,即直線為了=履+3,當(dāng)過(guò)點(diǎn)例的直線），=七+〃與G、G有且僅有一個(gè)

交點(diǎn)時(shí)，解得女=Y,當(dāng)々〈Y時(shí)，直線y="+〃無(wú)限靠近y軸，與圖象S有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即可得出答

案.

【詳解】（1）解：①由題意可知，當(dāng)）=（）時(shí)，x=l或3,

，對(duì)稱軸為4二與°=2，

把（1,0）,（3,0）代入），=/+法+°,得：

\~b+c=0

9+3h+c=0

/?=-4

解得：《。，

c=3

???拋物線C1的解析式為y=/—4x+3,

當(dāng)x=O時(shí)，尸3,

故答案為:2,（0,3）;

②由①可知，拋物線G的解析式為y=f-4x+3,

把（2,"。代入y=x?-4x+3,得:4-4x2+3=〃?，

解得：tn=-1；

（2）解.：①如圖：設(shè)G的頂點(diǎn)為。，G的頂點(diǎn)為石，

當(dāng)“2時(shí)，y=4-4x2+3=-l,

將拋物線。繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180。后，得到拋物線G，

點(diǎn)。與點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，拋物線的開(kāi)口方向相反,

???M（0,3）,

X

/.xE=2XMXD=202=2,=2=2X3-（-1）=7,

???拋物線C2的解析式為y=-（％+2f+7（xW0）；

②???直線y=履+〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0,3）,

/i=3,即直線為丁=米+3,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線y=匕+〃與C|有且僅有?個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

令/_4%+3=公+3，即幺一（4+4）4=0,

二.A=[-（4+&）丁-4x1x0=0,

解得：k=-4,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線），=kx+n與Q有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

令-（1+2『+7=日+3,即八（4+少=0,

.-.A=（4+A）2-4xlx0=0,

解得：k=-4,

?.?當(dāng)&<-4時(shí)，直線丁=履+〃無(wú)限靠近y軸，與圖象S有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

故圖象S與過(guò)點(diǎn)M的直線y=-+n有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是&<-4.

9.（2025?江西九江?二模）已知二次函數(shù)y=/一44r2k-l.

（1）求證：該二次函數(shù)的圖象與x軸始終有兩個(gè)交點(diǎn)；

⑵若該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P.

①當(dāng)女取不同值時(shí)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P均在一個(gè)函數(shù)圖象上，求這個(gè)函數(shù)圖象的解析式；

②若①中函數(shù)圖象上的點(diǎn)M在直線產(chǎn)-x-l的上方，寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)〃，的取值范圍，并求點(diǎn)M到直線

），=7-1的最大距離.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）?y=-x2+x-l；@0<w<2,y

【分析】（1）根據(jù)題意，列出判別式，得出4=16&2-4（2&-1）=（必-1）2+3之3,即可作答.

（2）①先整理原式，得次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為尸（2A,T^+2k-l）.再設(shè)/=2上故&=；,則

TM+2&-1=T2+，_],即這個(gè)函數(shù)圖象的解析式為②先運(yùn)算出函數(shù)），=-/+大一1的圖象

與直線產(chǎn)-％-1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,2.再證明VAOB是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)M作MN〃y軸，交直線

)，=7-1于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)用作A/〃_LA3，整理得=+結(jié)合一IvO,當(dāng)〃7=1時(shí)，的值最

大為1，滿足0v，〃v2,最后在RtAMN"中，則cosNMAT?—絲■，代入數(shù)值計(jì)算，即可作答.

MN

【詳解】(1)證明：??,二次函數(shù)y=d-4fcc+2J,

AA=16^2-4(2A:-l)=16A:2-8)l+4=(4^-l)2+3>3>0

二?該二次函數(shù)的圖象與x軸始終有兩個(gè)交點(diǎn)；

(2)解：①???二次函數(shù)丫二/一4履+2/:-1,

-4k

?二對(duì)稱軸為X=-------=2k,

2x1

把x=2〃代入y=W-4履+2&-1,

得/=(2%)2-40(2&)+21=-4公+21

???二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為422,-4公+22一1).

設(shè)1=2人

2

/.-4jt2+2)l-l=-4xf->|+2xf-)-l=-r2+/-l.

「?這個(gè)函數(shù)圖象的解析式為y=-丁+工一1.

②;①中函數(shù)圖象上的點(diǎn)M在直線產(chǎn)-xT的上方，

:■發(fā)—X24-X-1=-X—1，

整理得犬_2工=傘―2)=0

解得X=0,-馬=2.

函數(shù)y=*+x-\的圖象與直線產(chǎn)-x-l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,2.

記直線產(chǎn)7-1與x軸，)‘軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為民A點(diǎn)，

令？=0時(shí)，則0=—%一1,

X=-1,

即。3=1,

令5=0時(shí)，則)，=_()_1=_1,

RJ0A=1,

ZAOB=90°

???VA08是等腰直角三角形，

???ZBAO=45°

???拋物線y=-』+x—i的開(kāi)口向下,

點(diǎn)M的橫坐標(biāo)機(jī)的取值范圍為?！礄C(jī)v2.

過(guò)點(diǎn)M作MV〃），軸，交直線y=-x-l于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)M作

MN=-nr+m-\-（-m-1）=-m2+2m=-（〃?？-2〃?）=-（/??-1）~+1.

V-l<0

???當(dāng)加=1時(shí)，MN的值最大為1,滿足0<機(jī)<2,

軸，

.??NMNB=NBAO=45。,

*/MH上AB,

???在Rtz^MV〃中,貝iJcosNA1N“=^^,

MN

：?BM=MNcos45°=—MN

2

當(dāng)腸V最大時(shí)，就有最大值，

???當(dāng)〃?=1時(shí)，MN的值最大為1,

2

??點(diǎn)M到該直線的最大距離為正.

2

【點(diǎn)睛】本題考杳了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)

題，解直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

10.（2025?江西吉安?一模）拋物線尸”-4仆-5（〃>0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)尸，與x軸交于A、R兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)3的左側(cè)）.

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,-8）,

①。的值為;點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

?AB=.

（2）將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)/）,求”的值.

⑶若點(diǎn)M（〃?+l,y）,N（m—1,必）在該拋物線上.

①當(dāng)y=%時(shí)，求加的值：

②在①的條件下，是否存在實(shí)數(shù)。，使得△“可?為等邊三角形，若存在，請(qǐng)求出〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

③當(dāng)必時(shí)，請(qǐng)直接寫出，〃的取值范圍.

【答案】⑴①1，（2,-9）；②6

（2）2

（3）02；②存在,5@m>2

【分析】（I）①把（一8）代入），=加-4辦—5（〃>0）求得。，則〉，=/一43—5=（工一2）2-9,即可得出頂點(diǎn)

坐標(biāo)；

②令y=0,則f-4x-5=0,解得：X,=-1,X2=5,則4（T,0）,B（5,0）,即可求解;

（2）由），=雙2一今a―5=。（“一2）2-4?！?求得頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（2,3-5）,再根據(jù)拋物線平移規(guī)律得出平移

后解析式為），=爾-4。-13,把頂點(diǎn)尸（2,4一5）代人求解即可；

（3）①根據(jù)》=%，則對(duì)稱軸為直線工="上粵」=，〃，又根據(jù)對(duì)稱軸為直線=2,即可求解;

22a

②由〃=?2,則加（3,-3〃-5）,N（l,-3a-5）,所以MN=2,不規(guī)則根據(jù)頂點(diǎn)，的坐標(biāo)為（2,4.5）,則點(diǎn)/，

到MN的距離為。,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得4MNP=&）。，PM=PN=MN=2,所以sin600=@=正，

22

即可求解；

③根據(jù))1>乃,則〃("z+1)~一4〃(/〃-1)-5,即

a(/M+l)2-4a(m+l)>a(/n-l)"-4t?(/w-l),再根據(jù)a>0,則-求解即

可.

【詳解】(1)解：①把(I,—8)代入>=加一4翻一5(。>0),得：

〃一4。-5=8,

解得：。=1,

Ay=x2-4x-5=(x-2)2-9,

工頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-9),

②令丁=。，則f_4x—5=0,

解得：百=-1,?=5,

AA(-1,O),8(5,0),

JAB=|-1-5|=6.

故答案為：①1;(2,-9)；②6.

(2)解：Vy=ax2-4av-5=?(x-2)2-4a-5,

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2,4/-5),

又1?將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度，

平移后解析式為y=ax2-4a-\3,

把P(2,-4〃-5)代入)，=?-4。-13,得：

-4<7—5=4^-467-13,

.,.a=2.

(3)解:①??』=%，

???對(duì)稱軸為直線X=〃廣，1=M，

又???對(duì)稱軸為直線1=-學(xué)=2,

2a

ni=2.

②存在，理由如下：

m=2>

.?.M(3,-3〃-5),N(H),

...MN=2,

又???頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,Ta-5),

「?點(diǎn)。到MN的距離為“,

又?.FMNP為等邊三角形,

???/MNP=60°,PM=PN=MN=2,

：.sin60°=—=—,

22

/.?=V3：

③；y>%，

a(tn+\y-46/(/??+1)—5>-4a(〃z—1)-5,

即a(m+\y-4a(m+\)>,

Vtf>0,

(/?/+1)--4(/7/+1)>(///-1)'—4(w—1),

解得：〃?>2.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，二次函數(shù)圖象平移，等邊三角形的

性質(zhì)，解直角三角形，此題屬二次函數(shù)綜合題目，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程、

不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

11.(2025?江西,一模)已知拋物線。：y=-i+6x+/〃的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,拋物線。關(guān)于直線/：y=〃對(duì)稱的拋

物線記為4,點(diǎn)。為拋物線為4的頂點(diǎn)，改變〃的值，點(diǎn)Q的位置會(huì)發(fā)生變化，在變化過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)〃=2

時(shí)，點(diǎn)。恰好落在九軸上.

,，???????

_O

*

備用圖

(。則點(diǎn)/^的坐標(biāo)為二加二二

(2)求拋物線4的解析式；

⑶如果拋物線。與右相交于點(diǎn)A(%,y),6(%％)，且％<&.

①直接寫出〃的取值范圍：」

②求四邊形的面積s(用含〃的式了表示)；

③當(dāng)四邊形Q4QB為正方形時(shí)，求〃的值.

【答案】⑴(3,4),-5；

(2)y=x2-6A+2/2+5

(3)(ijn<4；②S-(8-〃:③〃=3

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、正方形的判定等知識(shí)點(diǎn)，理解二次函數(shù)的性質(zhì)

以及數(shù)形結(jié)合思想成為解題的關(guān)鍵.

(1)先將拋物線中y=-丁+6x+〃?化成頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)「(3,9+利)，再根據(jù)對(duì)稱性求得。(3,2〃-9一〃。,

然后根據(jù)當(dāng)〃=2時(shí)，點(diǎn)。恰好落在％軸上，列方程求得〃7=-5,進(jìn)而確定點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)先根據(jù)對(duì)稱性求得。(3,2〃-4),再根據(jù)拋物線乙、心的開(kāi)口大小相同，開(kāi)口方向相反，直接寫出函數(shù)

解析式即可；

(3)①先說(shuō)明點(diǎn)4(%,y),在直線丁=〃上，再根據(jù)函數(shù)圖象即可解答；②如圖：連接P。交直線/

于點(diǎn)M,則PM=4—％貝ljPQ=2PM=8-2〃；^--x2+6x-5=/z?即一x2+6x-5—〃=0,易得

王+勺=6,工-2=〃+5,進(jìn)而得到48=2/^,用根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得四邊形是菱形，最后根據(jù)

菱彩的面積公式即可解答；③先說(shuō)明當(dāng)PQ=4A時(shí)，四邊形外。8是正方形，即PQ2=442,進(jìn)而得到關(guān)于

〃的一元二次方程求解即可.

【詳解】(1)解：<:y=-/+6x+〃z=-(x-3)~+9+〃?，

???頂點(diǎn)尸(3,9+加)，

???拋物線。關(guān)于直線/：，=〃對(duì)稱的拋物線記為4,點(diǎn)。為拋物線為右的頂點(diǎn)，

???點(diǎn)。與點(diǎn)夕關(guān)于直線/：y=〃對(duì)稱，

,9+〃？+%一,

一〃'

()(3,2n-9-m),

???當(dāng)〃=2時(shí)，點(diǎn)。恰好落在X軸上，

???2x2-9—〃?=0,解得：加=-5,

???時(shí)4).

故答案為：(3,4),-5.

(2)解：由(I)可知拋物線4：y=-x2+6x-5=-(x-3f+4,尸(3,4),

???點(diǎn)。與點(diǎn)。關(guān)于直線/：丁=〃對(duì)稱，

???。(3,2〃-4),

???拋物線。關(guān)于直線/：3'=〃對(duì)稱的拋物線記為右，點(diǎn)。為拋物線為右的頂點(diǎn)，

???拋物線%的開(kāi)口大小相同，開(kāi)口方向相反,

??.拋物線L：y=（x-3）~+2〃-4=工2_6X+2〃+5.

（3）解：①;拋物線4與/相交丁點(diǎn)A（N，），J,8（巧,必），

??.點(diǎn)A（x“J,8（%,%）在直線產(chǎn)“上，

???拋物線A的頂點(diǎn)坐標(biāo)為尸（3,4）,

???當(dāng)〃<4時(shí)，拋物線乙與人有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即人（方,〃），8（修,〃）.

②如圖：連接夕。交直線/于點(diǎn)M,則PM=4-〃，

???拋物線。與&相交于點(diǎn)A（x,y）,3（心丹），

令-42+6%-5=〃，即一W+6x-5-〃=0,

:.通+工2=6,X]?42=〃+5,

—

**?AI3=A2|=《（X[十xj-4%?3=#6-4（〃+5）=2yl4-n，

由對(duì)稱性可得：PQ±MP=MQ.MA=MB,

，四邊形PAQ3是菱形，

,S=；PQ.A8=g（8-2〃）?2x/^=（8-2"）＞/J^.

③二?四邊形尸AQ6是菱形，

??.當(dāng)PQ=AB時(shí)，四邊形尸AQ5是正方形，

APQ2=AB~,即（8-2〃y=4（4-〃），

***/I2—7/1+12=0,解得:“1=3,%=4,

/.〃=3.

12.（2025.江西撫州?模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

AECACE43-2-1I1234*

圖1圖2圖4

特例感知

(1)如圖1,在等腰直角VAAC中，。為斜邊44的中點(diǎn)，P是斜邊43上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分另!作AC與BC

的垂線，垂足分別為E,F,連接。E,DF,則OE,。尸的關(guān)系是.

類比遷移

(2)如圖2,在等腰直角VA8C中，。為斜邊A8的中點(diǎn)，尸是斜邊4B延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別AC與

BC的垂線，垂足分別為EF,連接。石，DF,EF.求證：山所是等腰直角三角形.

拓展應(yīng)用

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系上0y中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,2),C是A8的中點(diǎn)，尸是射線

AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為R。，連接。C,FC,DF,點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)

于。尸對(duì)稱，連接OE,EF.

①當(dāng)點(diǎn)P在線段4/3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)E是否在一條直線上運(yùn)動(dòng).若在，請(qǐng)直接寫出這條直線的解析式;

若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

②設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為x,四邊形COE5的面積為「求)，與X的函數(shù)解析式，并在如圖4所示的平面直角坐

標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象.

【答案】(1)DE=DF,DEIDF^證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)①E在直線'=”上，理由見(jiàn)詳

解；②y=(x+l『+l,畫圖見(jiàn)解析

【分析】(1)如圖，連接CO,證明四邊形戶比戶是矩形，BF=PF,可得P”=CE,PE=CF,CE=BF,

再證明△。"B,進(jìn)一步可得結(jié)論；

(2)如圖，連接CO,證明四邊形PEC才是矩形，BF=PF,亙得PF=CE,PE=CF,可得CE=BF,證

明QEGADFB,可得?！?。P，NH。/=NQ)K，證明OE_LOF；可得△QEF是等腰直角三角形；

(3)①如圖，連接OC,過(guò)C,E分別作x軸的垂線，垂足分別為G.〃，證明C(-l/)，△A4O為等腰直角

三角形，同理可得：CF=CD,CF1CD,NCDF=NCFD=45。,結(jié)合點(diǎn)El與點(diǎn)。關(guān)于。尸對(duì)稱，可得四

邊形CFE。是正方形，證明ACG產(chǎn)鄉(xiāng)△H7E,“『得CG=/77=1,GF=EH,求解直線AB為：y=x+2t

設(shè)尸(x.O),P(x.x+2),可得七(1+AJ+X),可得E在直線y=x上：

②由①得：當(dāng)。在線段A8上，P(x,x+2),則/(乂0),E(l+x,l+x),如圖，當(dāng).在直線A8上，同理可得:

E(l+x,l+x),而尸(匹0),四邊形CDE尸的面積為y=￡1產(chǎn)=(1+XT)2+(1+X)2=(1+4+1,再畫圖即可.

【詳解】解：(I)DE=DF,DE1DF：理由如下:

如圖，連接CO,

???在等腰直角VAAC中，CA=CB,NACB=90。，。為斜邊相的中點(diǎn),

：,CD=AD=BD,CDLAB,Z4=ZB=45°=ZACD=ZBCD,

???過(guò)點(diǎn)尸分別作AC與BC的垂線，垂足分別為E,F,

APFC=APEC=9()°=ZACB,ZBPF=ZB=45°,

???四邊形尸比戶是矩形，BF=PF,

:,PF=CE,PE=CF,

:.CE=BF,

:?么DEg^DFB，

DE=DF,NBDF=NCDE,

工乙EDF=ZEDC+ZCDF=NCDF+ZBDF=ACDB=90°,

：?DE工DF;

(2)如圖，連接CO,

???在等腰直角VA3C中，CA=CB,ZACB=90°,。為斜邊A8的中點(diǎn),

：,CD=AD=BD,CDLAB,ZA=ZABC=45°=ZACD=ZI3CD,

：.ZFSP=45°,

丁過(guò)點(diǎn)P分另“乍AC與5c的垂線，

工4PFC=/PEC=舒=ZACB=/FCE,/BPF=/PBF=45。,

，四邊形戶比才是矩形，BF=PF,

:?PF=CE,PE=CF,

:?CE=BF,

:MDEC^DFB,

DE=DF,NBDF=NCDE,

/.4EDF=4EDB+4BDF=/EDB+NCDE=4CDB=舒,

:?DEtDF；

所是等腰直角三角形；

(3)①如圖，連接OC,過(guò)C,E分別作x軸的垂線，垂足分別為G,H,

AV

???點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(—2,0),(0,2),C是AB的中點(diǎn),

Ac(-u),△人40為等腰直角三角形，

同理可得：CF=CD,CF1CD,ZCDF=ZCFD=45°,

丁點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于OE對(duì)稱，

:?CD=ED,CF=EF,N