2024-2025學年廣西玉林市七校聯(lián)考高二(下)期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若黨=偌，則X的值為()

A.3B.6C.9D.3或6

則屋咚0左。一3一左。)

2.已知函數(shù)/(%)在％=%。處的導數(shù)為2,

Ax=()

D1

A.-2B.2cJ--2

3.已知隨機變量X的分布列：

X-101

111

P

236

滿足丫=aX+3,E(y)=I，則a的值為()

A.4B.-4C.2D.-2

4.從4名女生、6名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組，則不同的抽取方法種

數(shù)為()

A.1440B,120C.60D.24

2

5.已知函數(shù)/(%)的導函數(shù)為/'(%),若/。)=3%/'(2)+Inx+-x,則f'(2)=()

11

A.-1B.1C.-jD.1

6.某黨支部有10名黨員，7男3女，為迎接建黨100周年，從中選取2人做匯報演出，若X表示選中的女黨員

數(shù)，則P(XV2)=()

AA.—15Bn—15Q—15DI

7.(2%+1)(%-的展開式中％2項的系數(shù)為()

A.10B.20C.-10D.-20

8.已知函數(shù)f(%)=n0,若9(%)=/(%)-ax至少有三個不同的零點，則實數(shù)Q的取值范圍是()

11

A.(0,e)B,(0,e]C.(0,pD.(0,J

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.某學校高一年級數(shù)學課外活動小組中有男生7人，女生3人，則下列說法正確的是()

A.從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有100種不同的選法

B.從中選2人參加數(shù)學競賽，其中男、女生各1人，共有21種不同的選法

C.從中選1人參加數(shù)學競賽，共有10種不同的選法

D.若報名參加學校的足球隊、羽毛球隊，每人限報其中的1個隊，共有100種不同的報名方法

10.如圖所示是y=/(X)的導數(shù)y=(。)的圖象，下列結論中正確的有()

A.f(x)在區(qū)間(―3,1)上是增函數(shù)

B.x=—1是/(%)的極小值點

C.f(x)在區(qū)間(2,4)上是減函數(shù)，在區(qū)間(-1,2)上是增函數(shù)

D.x=2是/(%)的極小值點

11.甲、乙、丙三名鉗工加工同一型號的零件，根據以往數(shù)據得知甲加工的次品率為6%,乙、丙加工的次

品率均為5%,加工出來的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%、30%、

45%,從中任取一個零件進行檢查，下列選項正確的有()

A.該零件出自于甲加工的概率為0.25

B.該零件是次品的概率為0.0525

C.若該零件是次品，則出自于乙加工的概率為￡

D.若該零件是次品，需要對三名鉗工進行罰款，則甲、乙、丙的罰款額之比為2：2：3

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.如果隨機變量f?且E(2f)=24,0(f)=8,則p=.

13.若點P是曲線y=/-伍x上任一點，則點P到直線x-y-2=0的最小距離是.

14.在秋冬季節(jié)，疾病劣的發(fā)病率為2%,病人中40%表現(xiàn)出癥狀S,疾病。2的發(fā)病率為5%，病人中18%表

現(xiàn)出癥狀S,疾病。3的發(fā)病率為05%,病人中60%表現(xiàn)出癥狀￡則任意一位病人有癥狀S的概率為.(

癥狀S只在患有疾病A，D2,%時出現(xiàn))

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

3月11日，2024年廣西“二月二”侗族大歌節(jié)在三江侗族自治縣梅林鄉(xiāng)梅林村榕江河畔舉行，上萬名群眾

歡聚一堂，以非遺巡游、千人侗族大歌、多耶等活動，盡展非遺多姿風采.某地計劃在來年的侗族大歌節(jié)安

排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動的舉辦順序.

(1)共有多少種不同的安排方案？

(2)若要求第一個舉辦的活動不能是千人侗族大歌，共有多少種不同的安排方案？

(3)若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，共有多少種不同的安排方案？

16.(本小題12分)

在(口+劊的展開式中，

(1)求二項式系數(shù)最大的項；

(2)若第k+1項是有理項，求k的取值集合；

(3)系數(shù)最大的項是第幾項.

17.(本小題12分)

1

已知函數(shù)/'(x)=Inx--ax2—2x.

(1)若。=3,求f(%)的增區(qū)間;

(2)若a<0,且函數(shù)/"(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

(3)若a=-，且關于x的方程/(x)=-1x+b在［1,4］上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍.

18.(本小題12分)

某工廠有甲、乙兩個車間生產同一種零件，如表記錄了隨機抽取的上一年的10個工作日兩個車間生產的零

件個數(shù)：

甲車間62634374737059704366

乙車間39455036232023385139

(I)從記錄的這10個工作日中隨機抽取1天，求甲車間生產的零件個數(shù)小于50的概率；

(II)用頻率估計概率，若從未來的工作日里隨機抽取3天(假設每次抽取的結果互不影響)，記X為乙車間生

產零件的個數(shù)超過甲車間的天數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(III)從記錄的這10個工作日中隨機抽取1天，用“f=0”表示甲車間生產的零件個數(shù)在區(qū)間［40,a)內，用

=1”表示甲車間生產的零件個數(shù)在區(qū)間［a,80］內.請寫出一個實數(shù)a的值使得方差以取到最大值.(結論

不需要證明)

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=ln(x+1)—ax—a2.

(1)當a=4時，求曲線在(0,f(0))處的切線方程；

(2)若/(%)存在極大值，且極大值不大于-3-仇2,求實數(shù)a的取值范圍.

答案解析

1.【答案】D

【解析】解:由年=C＞得x=3或3+x=9,

即％=3或x=6.

故選：D.

由已知直接利用組合數(shù)的性質求解.

本題考查組合數(shù)的性質，是基礎題.

2.【答案】A

【解析】解：由題意可知尸(沏)=2,

則晨”0反。-乎力，。)=—△；：0如-"--)=,=,2,

Ax-Ax1'u,

故選：A.

由題意可知「(%o)=2,然后利用導數(shù)的幾何意義以及極限的運算性質化簡即可求解.

本題考查了導數(shù)的幾何意義以及極限的運算性質，屬于基礎題.

3.【答案】A

【解析】解：由題意可得：E(X)=-lx|+0x|+lx1=-1,

Y=aX+3,E(Y)=|,

可得一+3=|,

解得a=4.

故選：A.

利用分布列求解期望，結合已知條件求解即可.

本題考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，是基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：抽取5名學生組成課外小組，其中女生占5x2=2,男生占5-2=3人,

4十b

故不同的抽取方法種數(shù)為：ClCl=120.

故選：B.

根據已知條件，結合分層抽樣的定義，以及組合數(shù)的知識，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的應用，屬于基礎題.

5.【答案】A

□

【解析】解：因為/(%)=3xf(2)+Inx+|x,

所以((久)=3/(2)+(+|,

所以，⑵=3/(2)+|+|,解得/(2)=-1.

故選：A.

求出函數(shù)的導函數(shù)，再令x=2計算可得.

本題主要考查導數(shù)的運算，屬于基礎題.

6.【答案】C

【解析】解：P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)

_C3C7,C3C7_2121_42_14

=~Cw+不=芯+芯=芯=元，

故選：C.

由P(X<2)=P(X=0)+P(X=1),結合古典概型及其概率計算公式得答案.

本題考查古典概型及其概率計算公式的應用，是基礎題.

7.【答案】B

【解析】解：(2%+1)(%--)5=2x(x--)5+(%--)5,

52r

(X-；)5的展開式為=Cr,x5-r.(_；)「=(_1)=,羽?X-(r€N*,且1W「W5),

令5-2r=1,解得r=2,得=(-1)2C^-x=10x；

令5-2r=2,解得r=|ez,舍去.

.??%2項的系數(shù)為2x10=20.

故選：B.

(2x+l)(x-§)5=2x(x-i)5+(x-i)5,結合二項展開式的通項公式運算求解.

本題考查二項式項數(shù)的性質，考查運算求解能力，是基礎題.

8.【答案】D

【解析】解：由g(x)=0,得/(%)=ax,函數(shù)g(%)至少有3個不同的零點，

等價于直線y=a%與函數(shù)y=/(%)的圖象至少有3個交點，

直線y=ar過原點，在同一坐標系內作出函數(shù)y=/(%)的圖象與直線y=ax,

當直線y=與曲線y=In%相切時，直線y=a%與函數(shù)y=/(%)的圖象有3個交點，

由y=Inx,求導得V=

設切點坐標為(久0,ln%°),

1

則切線辦方程為y-ln%0=丁。一久0)，而切線過原點，

則ln%°=l,解得%°=e,此時切線小的斜率

當時，直線y=a%與函數(shù)y=/(%)的圖象有2個交點，不符合題意；

當時，直線y=a%與函數(shù)y=/(二)的圖象最多有2個交點，不符合題意；

當0<aV,時，直線y=a%與函數(shù)y=/(%)的圖象有4個交點，符合題意，

所以實數(shù)a的取值范圍是(0,).

9.【答案】BC

【解析】解：對于4從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，分兩步，先選正組長有10種選法，再選

副組長有9種選法，則共有90種選法，故A錯；

對于B,從中選2人參加數(shù)學競賽，其中男、女生各1人，則共有7X3=21種選法，故8對；

對于C,選1人參加數(shù)學競賽，既可以選男生也可以選女生，則共有7+3=10種選法，故C對；

對于D,每人報名都有2種選擇，共10人，則共有21°=1024,故。錯.

故選：BC.

利用排列組合相關知識逐一判斷即可.

本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

10.【答案】BC

【解析】解：由y=y。)的導數(shù)y=1(久)的圖象，可得，

當xG(-3,-1)U(2,4)時,f(x)<0,

當xe(1,2)U(4,5)時，/'(%)>0,

???/(%)在區(qū)間(一3,—1),(2,4)上是減函數(shù),

/(%)在區(qū)間(一1,2),(4,5)上是增函數(shù)，

???%=-1是f(x)的極小值點，X=2是/'(%)的極大值點，

故8,C正確，A,。錯誤；

故選：BC.

利用y=/'(>)的導數(shù)y=/'(%)的圖象，對28C。四個選項逐一判斷即可.

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值，考查識圖能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4因為甲加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,

所以該零件出自于甲加工的概率為0.25,故A正確；

對于B,該零件是次品的概率為0.06x0.25+0.05x0.30+0.05x0.45=0.0525,故B正確；

對于C,若該零件是次品，則出自于乙加工的概率為喘黑=,,故C錯誤；

對于D,若該零件是次品，則出自于甲加工的概率為嚕舞=￡,出自于丙加工的概率為喘署=',

U.UD乙。/U.UD乙D/

所以甲、乙、丙的罰款額之比為2：2：3,故。正確.

故選：ABD.

利用全概率公式和條件概率公式逐個判斷各個選項即可.

本題主要考查了全概率公式，考查了條件概率公式，屬于中檔題.

12.【答案】|

【解析】解：E(2f)=24,D?)=8,

則叫了=8,解得「J

故答案為:i

根據已知條件，結合二項分布的期望、方差公式，即可求解.

本題主要考查二項分布的期望、方差公式，屬于基礎題.

13.【答案】72

【解析】解：因為y=/一"％,(%>0),所以y'=2%—彳

設與直線久—y—2=0平行，且與曲線y=/相切的直線切于點(%o，yo),(%0>0),

1

則2%o---=1,解得%0=1,所以y()=L

%o

所以點(1,1)到直線x-y-2=0的距離，即為點P到直線X—y—2=0的最小距離，

即為右引=，1.

Vz

故答案為：^2.

當P為與直線x-y-2=0平行且與曲線相切的切線的切點時，點P到直線x-y-2=0的距離最短，根據

導數(shù)幾何意義求得點P坐標，最后根據點到直線距離公式得結果.

本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，屬中檔題.

14.【答案】0.02

【解析】解：由題意可知：P(Di)=0.02,P(D2)=0.05,P(Z)3)=0.005,

P(S|￡>i)=0.4,P(S|Z)2)=0.18,P(S|￡>3)=0.6,

由全概率公式可知：P(S)=P(S|Oi)P(A)+P(S|L?2)P(D2)+P(S|￡>3)P(D3)

=0.02x0.4+0.05x0.18+0.005x0.6=0.02,

即任意一位病人有癥狀S的概率為0.02.

故答案為：0.02.

利用全概率公式計算可得答案.

本題考查全概率公式，屬于基礎題.

15.【答案】解：(1)安排非遺巡游、千人侗族大歌、多耶、搶花炮、蘆笙舞這5種活動的舉辦順序，

共有鹿=120種不同的安排方案；

(2)若要求第一個舉辦的活動不能是千人侗族大歌，則從其余四個活動項目中選一個排在第一個舉行，

則共有用用=96種不同的安排方案；

(3)若要求搶花炮、蘆笙舞的舉辦順序相鄰，則將這兩項活動捆綁，看作一項活動，

內部全排列，然后和其余活動全排列，

則共有抬月=48種不同的安排方案.

【解析】(1)將5項活動進行全排列，即可求得答案；

(2)先從其余四個活動項目中選一個排在第一個舉行，其余全排列，即可求得答案；

(3)利用捆綁法，即可求得答案.

本題考查排列組合相關知識，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)1+1=或(口)8-『(毋=或2"4—畀，r=0,1…8,

二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第5項，

“20

所以二項式系數(shù)最大的項為Ts=C^24X4-T=U20x-6；

2,5

(2)T『+i=或(08-『(莉)==c^2rx4~2r,r=0,1-8,

當4-為整數(shù)時為有理項，

即r=0,2,4,6,8,

則k的取值集合為｛0,2,4,6,8｝；

(3)設第r+1項的系數(shù)最大，

汽2rI>r/r-lnr"-l解得5WY6,

故系數(shù)最大的項為第6項和第7項.

【解析】(1)利用二項式定理求出通項，二項式系數(shù)最大的項為中間項，求解即可;

(2)當4-|r為整數(shù)時為有理項，即可求解；

(3)設第r+1項的系數(shù)的最大，列不等式組即可求解.

本題考查二項式定理，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

17?【答案】【解答】

解：(1)/(%)的定義域是(0,+8),

a=3時，[0)=；—3x—2=_(3L?(X+D,

令r(x)>0,<0<x<I，

二函數(shù)/'(x)的增區(qū)間是(0,1].

1

(2)1(%)=--ax-2,

由函數(shù)/(%)存在單調遞減區(qū)間，知/'(%)<0在(0,+8)上有解，

117

即

x—CLX—2V0,a>x—L7—X,

而3--=(--I)2_1N

xLXX'

?,.a>—1,又a<0,

—1<a<0.

-1i11?

(3)a=—彳時，/(%)=Inx+-x2-2x,則/(%)=—彳％+b即為b=Inx+-%2--x,

L4L4Z

13113

2則叮

%1<%<外--+%-

4--2-x(--2--2-

X2x'

當1<%<2時，g'(X)V0,g(%)遞減;當2<%<4時，“(%)>0,g(%)遞增.

???gMmin=5(2)=ln2-2,

又g⑴=一半g(4)=m4—2,g⑴<g(4),

/n2-2<h<-p即實數(shù)b的取值范圍是"2-2<b<-^.

44

【解析】【分析】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值，考查方程的根，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，屬中

檔題.

(I)在定義域內解不等式/。)>0即可；

(2)由函數(shù)/(x)存在單調遞減區(qū)間，知尸(無)<0在(0,+8)上有解，分離參數(shù)化為函數(shù)最值即可；

11?12

(3)/(%)=--x+b化為b=Inx+-x2--%,令g(%)=Inx+-x2--x(l<%<4),利用導數(shù)求得g(%)的

Z4Z4Z

最值，借助圖象可得結果；

18.【答案】解：(/)設事件4為“甲車間生產的零件個數(shù)小于50”

由表中數(shù)據可知甲車間在這10個工作日中有2個工作日生產零件個數(shù)小于50,故2(4)=卷=/

(〃)由題意可知，從未來的工作日里隨機抽取1天，乙車間生產零件的個數(shù)超過甲車間的天數(shù)的概率為，

X的可能取值為0,1,2,3,

X0123

6448121

P

125125125125

3

P(X=0)=(§3=黑，p(x=l)=cj|鼾=黑，P(X=2)=啕21=穩(wěn),P(X=3)=(|)=募

隨機變量X的分布列為:

c64-48,c12,13

E(X)=0x而+1X而+2X市+n3x^=

5

=64.