2024-2025學(xué)年江西省贛州市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知全集U=N,集合Z=[x\x-3k,k6N｝,B=｛x\x=6k,kGN｝,則正確的關(guān)系是()

A.Ai)B=BB.Bn(QZ)=。C.BU(CM=UD.Xn(C(jB)=A

2.命題“存在%>0,%3-2x2+1>0”的否定是()

A.不存在X>0,x3—2x2+1>0B.存在X>0,x3—2x2+1<0

C.任意的％<0,x3—2x2+1<0D.任意的支>0,x3—2x2+1<0

3.設(shè)a,bER,則aVb的一個必要不充分條件是()

A.>|B.a3<b3C.a2<b2D.a?b2<a2b3

ab

4.數(shù)列｛冊｝為1,2,4,則不能作為｛『｝通項公式的是()

/71—1

c2iAQn42,(n=2k—1,kEN*)

C.an=—+4n—2D.?

、22,(ji=2k,kEN*)

5.已知y=/(%)的導(dǎo)函數(shù)//(%)的圖象如圖所示，下列說法正確的是()

A./(%)的增區(qū)間是(a,e)和(0+8)B./(%)有4個極值點

C./(%)的減區(qū)間是(hc)和(d,f)和(/M)D"(%)極大值點和極小值點的個數(shù)相同

-1o

6.若%,ye[0,+oo),且2%-y=4-％y,則不1+國的最小值是()

A.272B.2C.72D.苧

2

7.已知I是函數(shù)y=tcmx的切線且斜率為2,則與圓光2+y=爭有公共點的切線I的條數(shù)為()

A.6B.8C.10D.12

a

8.設(shè)/(%)=%+cos%,{&J是等差數(shù)列，Sn=卬〃=￡2"(七)，則'Soo=50?！笔荰100=50/

的()

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A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數(shù)/'（久）=/+2（a-l）x+a,若存在巧，孫已[一2,2]使得/'（久力=f（肛），則a的范圍可以是（）

A.[-1,0]B.[0,1]C.[1,2]D.[2,3]

10.關(guān)于函數(shù)/（久）=logi（2/一4x+a）,以下說法正確的是（）

2

A.當(dāng)a=-6時，/的增區(qū)間為（—8,-1）

B.當(dāng)a=6時，-%）的值域為[—2,+8）

C.如果f（x）的值域為R,則a>2

D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線％=1對稱

11.雞尾酒排序是一種計算機科學(xué)領(lǐng)域的排序算法.其基本思想是：通過對數(shù)字均不相同的排序序列

｛X1，冷，…,&｝從左往右，依次對相鄰兩個數(shù)比較大小，若不是左小右大，則交換兩個數(shù)的位置，使值較大的

數(shù)逐漸從左移向右，所有相鄰兩個數(shù)完成對比交換后再反向從右往左依次比較相鄰兩個數(shù)的大小，若不是

左小右大，則交換兩個數(shù)的位置，完成兩個方向的對比交換稱為一個輪次，只完成一個方向算0.5個輪次,

重復(fù)以上過程直到序列中所有數(shù)從左往右都是按照從小到大排列為止.例如：對于序列｛2,4,3,1｝進行雞尾酒排

序，首先從左往右順序，先比較｛2,4｝,無需交換位置，然后比較｛4,3｝,需交換1次位置，得到新序列｛2,3,4,1｝

最后比較｛4,1｝,又需要交換1次位置，得到新序列｛2,3,1,4｝,完成了從左往右的對比換序.然后從右往左方

向,先比較口,4｝,無需交換,再比較｛3,1｝,交換位置得｛2,1,3,4｝,再比較｛2,1｝,交換位置得｛1,2,3,4｝完成一

個輪次雞尾酒排序.此例只用了一個輪次就完成了排序，共進行了4次交換位置以下說法正確的是（）

A.對｛5,4,2,3,1｝需要1.5個輪次完成排序

B.若kGN,則2k+1個數(shù)最多需要k輪次完成排序

C.對｛5,4,2,3,1｝進行了8次交換位置完成排序

D.對于序列｛巧,初,…,而｝最多需要存2次交換位置完成排序

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛冊｝和數(shù)列｛或｝,若b=3上+1且a?=比，=瓦，則數(shù)列｛an｝的前7

項和為.

13.函數(shù)y=?2”的定義域為.

（2%—8）。—3）

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—%3_4%,x<a

3,存在實數(shù)k,使/(久)-k=。有5個根，貝！Ja的取值范圍是______

｛%2—10x+—,x>a

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)“久)=合居是定義域為R的奇函數(shù)，a,beR.

(1)求a,b的值，并判斷f(x)的單調(diào)性(不需要證明)；

(2)當(dāng)為e[1,4]時,f(kx)+f(—/—4)〉。恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

16.(本小題15分)

已知/(x)=2X,xeR.

(1)解不等式：log2，Q)-2]+log2[/(%)]<3；

(2)若eR使得f(nisMxo),f(2),f(mcosxo)成等比數(shù)列，求實數(shù)m的取值范圍.

17.(本小題15分)

調(diào)查公司調(diào)查了兩個群體(群體甲和群體乙)對某新項目的喜好情況，數(shù)據(jù)如下表所示，公司想知道群體類型

(甲/乙)是否與新項目的喜好有關(guān)聯(lián).

喜歡新項目不喜歡新項目

群體甲7545

群體乙6090

附：/=（.）（7篇篇（計分其中n=a+b+c+d.

(1)分析群體類型(甲/乙)是否與新項目的喜好有關(guān)聯(lián)；

(2)某人連續(xù)對新項目進行三次嘗試，每次成功的概率為p,且三次嘗試是相互獨立的.設(shè)事件力為“恰好成功

兩次”，事件B為“至少成功一次”，求使得PQ4|B)取得最大值時p的值.

18.(本小題17分)

n

數(shù)列｛冊｝滿足的=1,做=3且對于九eZ+,都有即+2=3an+1-2an+2.

(1)求數(shù)列｛an｝的的,a4fa5；

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(2)證明數(shù)歹U｛歿畢｝是等差數(shù)歹U；

(3)求0n.

19.(本小題17分)

對于函數(shù)y=/(%),若存在區(qū)間［a,句,使得當(dāng)xe［a,b］時,f(x)的值域是［ka,>0),則稱函數(shù)y=/(久)

為“k倍區(qū)間函數(shù)”，［a,句為函數(shù)y=/(x)的一個"k倍區(qū)間"，已知函數(shù)/(%)=礦+1一%.

(1)求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)九。)=/(%)-乂2在區(qū)間(0,+oo)上是“k倍區(qū)間函數(shù)”，求k的取值范圍；

(3)判斷函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)是否存在“2倍區(qū)間”，并說明理由,(注：ln2?0.69)

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：由題意，當(dāng)k=2九，nEN,集合力={x|x=6九,九eN},A=B,

當(dāng)k=2n+l,ne,N,集合力={久|比=6n+3,neN},B￡A,

所以力L)B=A,A錯誤；

Bn(OM)=0，3正確；

由BU4所以BuCu力力u,。錯誤；

因為8U4所以4C(CUB)44。錯誤.

故選：B.

根據(jù)題意先判斷集合4與集合B的基本關(guān)系，再逐項驗證即可.

本題考查集合間關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：根據(jù)存在量詞命題的否定，

命題“存在x>0,爐一2/+1>0”的否定為“任意的乂>0,X3-2X2+1<0,,.

故選：D.

根據(jù)含量詞的命題的否定，否定量詞和結(jié)論即可.

本題考查存在量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：對于A,當(dāng)a<0<b時，—<由工~T=,a<0,：,當(dāng)ab>。時，￡><a,>■^是a<b

abababab

的既不充分也不必要條件，選項4錯誤；

3Vb3,...3

對于8,y=好在R上為增函數(shù)，由v抗得。v人當(dāng)a<b時，aa</是a<力的充要條件，

選項5錯誤；

對于C,由小</得|可<\b\,0<a<b或0>a>b,M<抉是。<b的既不充分也不必要條件，選項

C錯誤；

對于。，由a3b2—02b3=Q2b2(0—b)<0得a<b,當(dāng)a<b時，a?b2—a2b3=a2b2(a—fa)<0,即a3b2<

a2b3,...a3b2<Q2b3是。<b的必要不充分條件，選項D正確.

故選：D.

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利用必要不充分條件，逐項驗證即可.

本題考查了不等式的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：若冊=幾：+2,則的=1一1^1=ifa2=--=2,a3=--盧^=4,選項4正確;

n-1=12

若0n=2,則%=2°=1,a22=2,a3=2=4,選項B正確;

右a九=一九2+471—2,則a1=—124~4x1—2=1,a?=—+4x2—2=2,%=-32+4x3—2=1。4,

選項。錯誤;

（A=S=2k-l,n￡N*）1-123-1

若冊=14，則劭=4h=4°=1,%=22=2,即=4亍=4,故Z）正確.

（2卷5=2**）

故選：C.

根據(jù)題意逐項驗證即可求解.

本題主要考查數(shù)列的通項公式，考查學(xué)生基本的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由y=f(%)的導(dǎo)函數(shù)//(%)的圖象可知/(%)的減區(qū)間為(一8,砌和(e,g),增區(qū)間為(a,e)和(g,+

8),故/正確，C錯誤，

所以/(%)有3個極值點分別是a,e,g,故5錯誤，

/(%)極大值點為e,極小值點為a,g,故。錯誤.

故選：A.

根據(jù)圖像得函數(shù)/(%)的單調(diào)性，進而得函數(shù)/(%)的極值，逐一判斷即可.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：因為2x-y=4-久y,所以%=奈=言+1,即I1=品,

所以々+^=^+^22啜舟=2,

x—1y+22y+2

當(dāng)且僅當(dāng)變=備,即＞=°時,等號成立，

所以吉+舟的最小值為2?

故選：B.

由2x—y=4-xy變形得x=嘉+1,最后利用基本不等式即可求解.

本題主要考查由基本不等式求最值，屬于中檔題.

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7.【答案】C

【解析】解：由題意I是函數(shù)y=tan久的切線且斜率為2,

可對函數(shù)求導(dǎo)得y'=(tanx)z=(二竺)'=一L-=2,

解得％=E：+[,y=1,或％=憶兀一J,y=-1,

44

切線方程為y=2(%-一，)+1或y=2(%—%兀+為)-1,

與圓/+y2=帶有公共點的條件是巴等U<亮或"嗔+11<京，

即一14<2/C7T4-7-1<14或一14<2/C7T-7+1<14,

44

即即一13<2/C7T+7<15(1)或一15<2kn-y<13(2),

44

其中kez,

由(1)得k=-2,-1,0,1,2,由(2)得k=-2,-1,0,1,2,

共有10條切線滿足題意，

故選：C.

利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系列出切線與圓有公共點的條件，進行求解分析，得到答

案.

本題考查了直線與圓得位置關(guān)系，是中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：f/(x)=1-sinx>0,所以/'(%)在R上單調(diào)遞增.

先說明充分性：Sioo=I。"。[”。。)=50兀，所以由+a100=兀.

7]00=Sioo+(C0SQ]+COSQ，2+…4~COSCZ100),

又cos的+cosa100=cosar+cos(7r—a。=0.

同理cos。？+COSCL99=cosa3+cosa9Q=…=cosaso+cosasi=0,所以T100=^100=507r.

所以Si。。=507r是7\oo=507r的充分條件.

再說明必要性，若Tioo=50兀，假設(shè)Si。。<50兀，則Si。。=%竽儂<50兀，

即+Gio。VTC,所以的V7T—。100?

因為/(%)在R上單調(diào)遞增，所以有/(。1)</(江一。100)=TI-a100+cos(7T-a100)=n-(a100+cosa100)=

7r-f(a100),

同理/(。2)〈兀一/(。99)，/(@3)〈兀一/(的8)，…，/(0100)V兀一/(%).

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上式不等式相加得到了100<100兀-7100即T100<50兀這與加00=50兀矛盾，所以假設(shè)Si°o<50兀錯誤.

同理假設(shè)Si。。>50兀可得Tioo>50兀也與和00=50兀矛盾，所以假設(shè)Si。。>50兀錯誤.

所以Tioo=50兀可推出Si。。=507T.必要性成立，所以“Si。。=50兀”是所3=50?！钡某湟獥l件.

故選：A.

先求導(dǎo)得的單調(diào)性，利用等差數(shù)列前n項和得的+aioo=兀，即可求〃，進而得充分性，若加00=50兀，

假設(shè)Si。。<50兀，利用反證法證必要性即可求解.

本題主要考查充要條件的證明，考查導(dǎo)數(shù)、等差數(shù)列等知識，屬于中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：如果存在修，x2￡[-2,2],使得人/)=/。2)，因此函數(shù)/㈤的對稱軸在(—2,2)即可，

根據(jù)函數(shù)/'(久)的對稱軸為乂—1—a,因此—2<1—a<2=>—1<a<3,

因此滿足是(-1,3)的子區(qū)間即可，因此選項正確，選項40錯誤.

故選：BC.

若存在巧,犯e[-2,2]使得/(Xi)=即函數(shù)f(x)的對稱軸在(-2,2)即可求解.

本題考查函數(shù)恒成立問題，屬于簡單題.

10.【答案】AD

【解析】解：由題知“久)為復(fù)合函數(shù)，其中對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為！<1,所以對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，令"(%)=2/-

4x+a.

對于4當(dāng)a=-6時,/(%)=logi(2x2-4%-6),所以/(%)的定義域為(一8,-1)u(3,+8),根據(jù)復(fù)合

2

函數(shù)的單調(diào)性知，只需求〃(%)=2%2-4%-6的減區(qū)間即可，〃(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,-1),所以/(%)

的增區(qū)間為(一8,-1),選項4正確.

對于8,當(dāng)a=6時"(%)=logi(2x2-4%+6),此時/(%)的定義域為R,“(%)=2%2-4%+6=2(%—I)2+4,

2

所以〃(%)的最小值為4,即內(nèi)層函數(shù)可取[4,+8),即Logi4=-2,所以f(%)的值域為(一8,-2],選項5

2

錯誤.

對于C,因為/(%)的值域為R,所以只需內(nèi)層函數(shù)灰%)=2/—4%+a能取到所有的正實數(shù)，即判別式(一4)2-

4x2xa>0,解得a42,選項。錯誤.

對于。，內(nèi)層函數(shù)"(%)=2%2一4%+。關(guān)于直線％=1對稱，而函數(shù)/(%)=logi(2x2-4%+a)的圖象是由

2

灰町經(jīng)過對數(shù)變換得到的，所以/(%)的圖象形狀由4(%)決定，即函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=1對稱(也可驗

證/(I+%)=/(I-％)是否成立)，選項。正確.

第8頁，共17頁

故選:AD.

利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，包括定義域、值域、單調(diào)性等，同時結(jié)合二次函數(shù)分析復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，逐個分析

每個選項即可得到答案.

本題考查了復(fù)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題，是中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于選項/,C：對｛5,4,2,3,1｝,第1次交換｛4,5,2,3,1｝,第2次交換｛4,2,5,3,1｝,

第3次交換｛4,2,3,5,1｝,第4次交換｛4,2,3,1,5｝,

此時進行了從左往右的換序，然后從右往左，

第1次交換｛4,2,1,3,5｝,第2次交換｛4,1,2,3,5｝,

第3次交換｛1,4,2,3,5｝,此時進行了從右往左的換序，

進行了1個輪次，再從左往右，

第1次交換｛1,2,4,3,5｝,第2次交換｛1,2,3,4,5｝完成，

所以對｛5,4,2,3,1｝需要1.5個輪次完成排序，共進行9次交換位置，所以4選項正確，C選項錯誤；

對于選項8：從上的雞尾酒排序發(fā)現(xiàn)，從左往右進行交換，可以實現(xiàn)最大的數(shù)排到右邊，

從右往左可以實現(xiàn)最小的數(shù)排到左邊，

所以keN,2k+1個數(shù)中，每一個輪次雞尾酒排序可以把2個數(shù)字進行正確排序，

最后一個自然定序，所以最多需要k輪次完成排序，所以B選項正確；

對于選項序列｛當(dāng)，久2,…,修｝進行排序，第一個輪次雞尾酒排序從左往右最多需要n-1次交換位置，

從右往左最多需要n-2次交換位置，以此類推，

所以對于序列｛巧,與，…,而｝最多需要幾-l+n-2+-+l=攻嚴(yán)次交換位置完成排序，所以。選項正確.

故選：ABD.

對｛5,4,2,3,1｝進行雞尾酒排序即可判斷4C,根據(jù)雞尾酒排序的規(guī)律可驗證BD.

本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】與

【解析】解：設(shè)正項等比數(shù)列｛an｝的公比為q（q〉O）,數(shù)列｛%｝的前幾項和為％,

由題意有二f：：6,貝叼2=詈=：解得q=:或q=_R舍去）,

又=a1q—16,得的=32,

所以57=當(dāng)子32（1-（獷）二二127

第9頁，共17頁

故答案為：詈.

設(shè)數(shù)列｛冊｝的公比為q，q>。，計算等比數(shù)列｛時｝的基本量的，q，最后利用等比數(shù)列的前n項和公式即可求

解.

本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】G，4)U(4,+8)

—840儼44

【解析】解：根據(jù)函數(shù)解析式，可得卜-3>8，即卜

((2x-8)°-logiQx-3)>0卜"

解得：<%<4或x>4,

所以函數(shù)定義域為6,4)U(4,+co).

故答案為：(1,4)U(4,+oo).

2%—8W0

根據(jù)題意得萬一3>?解出即可.

(2%—8)—logi(x-3)>0

2

本題主要考查求函數(shù)定義域，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】(2,4)

【解析】解：令g(%)=勺爐一4%,7(%)=%2-4=(%-2)(%+2),

令g/(%)=(%-2)(%+2)=0,

解得第1=2,%2—-2,

當(dāng)%>2時，g7(x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)%<一2時，g/(x)>0,g(%)單調(diào)遞增，

當(dāng)一2V%<2時，gf(x)<0,g(%)單調(diào)遞減，

所以g(%)在％=-2有極大值，在％=2有極小值，

分別為g(2)=1-8=-y,5(-2)=-1+8=y,

其圖象如下圖：

第10頁，共17頁

由于的=膝然，且/㈤-仁。有5個根，

即y=f(X)與y=上的圖象有5個交點，

-1

即y=k與g(x)=-%3-4%的圖象有3個交點，

與九。)=/—10%+日的圖象有2個交點，

y=k要與g(x)=1%3-4%的圖象有3個交點，

則在圖象左側(cè)部分有兩個交點，

圖象右側(cè)部分必須a>2,才有第三個交點，即必須包括極小值點,

y=k與h(x)=/_io%+芋的圖象有2個交點，

則圖象右側(cè)部分有一個交點，

左側(cè)部分必須a<5包括對稱軸，才有第二個交點，

又因為%(尤)-X2-10%+-y=(X-5)2-<-

由h(x)-X2-10%+莖-冬

即/-10X+24=0,(x—4)(x—6)=0,

解得x=4或%=6,

當(dāng)x=4時，。(4)=竽=。(一2),

第11頁，共17頁

所以要使y=f(x)與y=上的圖象有5個交點，

結(jié)合函數(shù)圖象可知只需2<a<4.

即實數(shù)a的取值范圍為：(2,4).

故答案為：(2,4).

轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=k的圖象有5個交點，結(jié)合函數(shù)/(>)的圖象可得答案.

本題考查了函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

15.【答案】a=2,b=-2,減函數(shù)；

【解析】(1)根據(jù)題意，因為函數(shù)/(%)是定義域為R的奇函數(shù)，

-+1

所以/'(0)—i~~：=0,得b=-2,

2+1

—工+1

又f(T)=—"1)，即蓋F=一三，得。=2,

-4r~r±UT±

則“久)=琮早，經(jīng)檢驗符合題意?

故a=2,b=-2；

/(%)是R上的減函數(shù).

理由：/(嗎=-1+品，函數(shù)y=2^+1在R上為增函數(shù)且在R上遞增，

所以/(%)是R上的減函數(shù).

(2)根據(jù)題意，由>—/(一％2一4)在第c[1,4]時恒成立,

因為/(%)是單調(diào)遞減的奇函數(shù).

所以>/(4+%2),即krV4+/在第6[L4]時恒成立，

變形可得：fc<x+px6[1,4]，

又％+±之4,當(dāng)且僅當(dāng)、=2時等號成立，必有k<4,

x

故k的取值范圍為(—8,4).

(1)利用奇函數(shù)得/(0)=0,/(-1)=-/(1),進而解得a,b,即可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)利用奇函數(shù)得f(依)>/(4+必)，再由單調(diào)性得履<4+/,即卜<%+*最后利用均值不等式即可求

解.

本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題.

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16.【答案】｛x|l<久W2｝；

(一8,-2A/-2]U+8).

x

【解析】(l)log2，(x)-2]+log2[/(%)]<3,即/。出(2攵—2)+log22<log28,

所以函2[(2"-2)2「<log28,

由丫=10g2%單調(diào)性知也X―之?：?？<8，

由(2X-2)2X<8,得(2久-4)(2、+2)<0,

所以2、W4,

又因為乃>2,

所以原不等式的解集為"|1<x<2];

(2)因為/(2)是f(zns譏%°)與/(?ncos%o)的等比中項，

mco5X

所以尸(2)=f(msinxoyf(mcosx0)f代入得(22)2=2g加。,2o,

7n

即=2si71%O+THCOS%O,

則4=m(smx0+cosx0).

4

因為s譏％o+COSXQ。0,所以m二

SITIXQ+COSXQ'

設(shè)t=sinx0+COSXQ,即力=A/~^sin(%o+￡)，

4

所以一，IWt<且t豐0,

所以m=I，即me(-oo,-2V-2]U[2A/-2,+oo).

(1)利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；

(2)利用等比中項得尸(2)=f(msinx0)-f(,mcosx0y結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)及三角恒等變換化簡即可求解.

本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)、求函數(shù)值域，屬于中檔題.

17.【答案】有99.9%把握認為群體類型與新項目的喜好有關(guān)聯(lián);

3

P=E

【解析】(1)零假設(shè)為：群體類型(甲/乙)與新項目的喜好沒有關(guān)聯(lián),

2_270x(75x90-60x45)2

/—135x135x150x120=13.5>10.828,

所以有99.9%的把握認為群體類型與新項目的喜好有關(guān)聯(lián).

(2)依題意，對新項目三次嘗試成功的次數(shù)服從二項分布，

又因力發(fā)生時B一定發(fā)生，則力B=4

則P(A)=C|p2(l—p)=3P2(1—p),P(B)—1—C§p°(l—p)3=p[l+1—p+(1—p)2]=p3—3P2+3p,

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的ppiim=P(4B)_P(4)_3P2(l-p)_3p-3P2

故P(4|8)-p(B)P(B)p3_3P2+3p3_3p+p2，pe[O,l].

設(shè)f(P)=普洛，

3—3p+pz

皿|f/g_(3—6p)(3—3p+/)—(3。-3P2)(_3+2p)

人」/(P)—(3-3p+p2)2

_6P2-18p+9

(3-3p+p2)2’

令/'(p)=。，解得p=I±苧?

因為pe[O,i],所以p=|-理，

當(dāng)pe[O,|—苧)時，有//(P)>O,所以/'(P)在[0,|一年)上單調(diào)遞增；

當(dāng)pe(5-理,1]時，有f/(p)<o,所以/(p)在點一個,1]上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)P=|-苧時，f(p)取得最大值，即P(*B)取得最大值.

(1)根據(jù)獨立性檢驗的基本思想計算必值即可判斷；

(2)先判斷48=4根據(jù)二項分布概率公式求出P(A),P⑻,利用條件概率公式求得P(*B)=若零，設(shè)

f⑺=，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最大值即得?

73言—3p+匕pz

本題考查獨立性檢驗、條件概率公式、二項分布求概率，借助導(dǎo)數(shù)等知識求最值，綜合性較強，屬于中檔

題.

18.【答案】a3=9,。4=25,a5=65；

證明見解析；

an=(n-l)x2NT+1.

【解析】(1)根據(jù)題意，。3=3。2—2%+2=3x3-2x1+2=9,

3

a4-3a3-2a2+22=27-6+4=25,—3a4—2GL3+2=75—18+8=65,

所以(13,aO。5的值分別為9，25,65；

n

(2)證明：由冊+2=3冊+1-2冊+2,得an+2-冊+1=2(0n+1-an)+2",

所以5+2-a=+l_、孤+1—。九?]即5+2-曲+1_即+1-斯_1

當(dāng)n=1時，歿三電=2.

所以｛蟹苧2｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列；

(3)由⑵知勺：產(chǎn)=2+(n-l)xl,故a?+i-an=(n+1)x251,

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12n2

所以an-ai=2x2°+3x2+4x2+???+nx2-(n>2),

所以2(霰-aj=2x21+3x22+4x23+???+nx2"一1，

71n

兩式相減得%-an=2+(2]+22+…+252)-nx2T=2+2(1；2；2)_nX2n-i=(i_①義2一1，

n

因為的=1所以an=(n-1)x2-i+l(n>2),

當(dāng)幾=1時，%=1滿足上式，

所以an=(ri—1)x251+l(nGN*>

(1)根據(jù)遞推公式與+2=3與+1-2冊+2n即可求解；

n

(2)由0n+2—361n+i—20n+2得須+2—%+i—2(0n+i-an)+2",兩邊同時除以2",即可得證;

n2

(3)由(2)得0n+i-an=(n+1)X2f利用累加法得期一%=2x2°+3x21+4x22+…+nx2-,

最后利用錯位相減法即可求解.

本題主要考查數(shù)列的遞推公式與錯位相減求和法，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

19.【答案】/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8)；

(e-1,+oo)；

不存在，理由見解析.

【解析】(1)由/(X)=ex+x2—x,求導(dǎo)得/''(x)=e*+2x—1,

令g(久)—ex+2x-1,

求導(dǎo)得gz(x)=ex+2>0恒成立，即。(久)，即/''(久)在R上單調(diào)遞增.

又/'(0)=0,故當(dāng)久<0時，(x)<0,

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0)；

當(dāng)x>0時，/z(%)>0,

即八久)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8).

綜上，/(均的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+8);

(2)h(x)=f(x)—x2=ex—x,

因為八。)在區(qū)間(0,+8)上是“k倍區(qū)間函數(shù)”，

則存在區(qū)間口句，使得旗x)的值域是[hz,kb](k>0).

因為無，(久)=e久一1,

令％7(久)=e*-1=0,解得x=0,

所以當(dāng)久6(0,+8)時，h/(x)>0,

則八(久)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

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?,(h