2024-2025學(xué)年江西省贛州市定南中學(xué)高二(下)期末

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知數(shù)列｛3J的通項公式為霰=25-2小在下列各數(shù)中，不是｛an｝的項的是()

A.1B.-1C.3D.2

2.設(shè)函數(shù)/(x)滿足4/二O/(X°-^/(Xo)=1,則/'(&)=()

11

A.1B.3C.D.-3

3.記等差數(shù)列｛冊｝的前幾項和為Sn,若Si=7,S3=Si2，則S7=()

A.12B.21C.28D.36

4.函數(shù)/(%)=2xf7(1)+%2,則廣⑴等于()

A.-2B.2C.-1D.1

5.設(shè)等差數(shù)列｛冊｝,也｝的前幾項和分別是S,T,若含=羽，則詈=()

nn1nZ7H-O

114119

A.—B.—C.TZD.--

10171710

6.已知函數(shù)y=1x3-x2-3x+a,aGR在區(qū)間(t一4,t+4)上有最大值，則實數(shù)力的取值范圍是()

A.(-5,1)B.(-5,1]C.(-5,3)D,(-5,3]

7.某泡沫雙面膠加工車間的某一環(huán)節(jié)就是將一段長3兀根、厚1血血的泡沫雙面膠繞在一個直徑為607H7H的空

盤芯上(盤芯厚度忽略不計)，則這段雙面膠全部繞在空盤芯上時可以繞的圈數(shù)(滿圈)為()(以雙面膠外側(cè)

為準(zhǔn)計算半徑)

A.30

B.31

C.32

D.33

8.關(guān)于％的不等式必％-a/+ax>0(a>0)的整數(shù)解個數(shù)為九(九eN*)時，aG[pn,Qn),設(shè)Sn為數(shù)列｛百熱5｝

的前幾項和，則Sioo=()

1B3C至D3

A210151102

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列求導(dǎo)不正確的是()

第1頁，共13頁

A.(cos2x)/=一sin2xB.(%e*)/=ex

C.(3，)'=3xln3D.(等)'=寫竺

10.已知數(shù)列｛七｝的通項公式為演=?[3n+則()

12—2n,71為偶數(shù)

A.a6=19B.a7>a6C,S5=22D.S6>S5

11.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=/(2-x),/'(x)為〃X)的導(dǎo)函數(shù),且對于任意的xeR,都有

(x-2)fz(x)<0,貝！|()

A.f(0)</(4)B"(—l)=f(5)

C.\/x&R,f(x)<f(2)D.'Vx&R,/(x)>/(2)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數(shù)/'(X)=:爐一久2的極大值為.

13.設(shè)曲線y=e3x+1在x=0處的切線方程為.

14.若數(shù)列｛P>J滿足Pi=0,「2=1，Pn+2=Pn+2Pn+i，則稱｛P高為佩爾數(shù)列.在佩爾數(shù)列｛Pn｝中，

。199-(1一2)。198X。200-(1+2)。199__

P99一(1一2)「98。99一(1+2)098,

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列｛冊｝滿足：。2=等。7=13,為其前n項和，nEN*.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式冊、前九項和S九；

(2)令6?=祟求%的最大值.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(%)=x3—3%2—9x4-1.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

(2)求函數(shù)/(%)的極值.

17.(本小題15分)

已知數(shù)列｛冊｝中，的=1,an=2an_r+l(n>2)；數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列,且滿足：瓦=1,b8+2=a5.

(1)求證：數(shù)列｛冊+1｝為等比數(shù)列，并寫出數(shù)列｛冊｝的通項公式；

(2)令％=加0出(冊+1)-九垢，若數(shù)列｛7｝為嚴(yán)格減數(shù)列，求實數(shù)2的取值范圍.

第2頁，共13頁

18.(本小題17分)

-1

已知函數(shù)/'(x)=-ax2—(1+a)x+lnx｛a￡R).

(1)討論/'(久)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a<0時/Q)<b-ln(-a)-a恒成立，求實數(shù)6的最小值.

(3)當(dāng)a=2時，方程產(chǎn)(x)+f(x)-機/(久)=2m+2有5個解，求小的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知集合4=｛%,a?,…,an,…｝,B=｛b1,b2,--,bn,—｝<｛冊｝是公比為2的等比數(shù)列且a2+3,a?+1,a4-3

構(gòu)成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)設(shè)｛勾｝是等差數(shù)列，將集合AUB的元素按由小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為｛%｝.

⑦若6n=5n—1,數(shù)列｛%｝的前n項和為無,求使Sn<2024成立的九的最大值；

②若力CB=0,數(shù)列｛4｝的前5項構(gòu)成等比數(shù)列，且3=1,?9=8,試寫出所有滿足條件的數(shù)列｛bj

第3頁，共13頁

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：由題意令口?=25—2n=l可得n=12為正整數(shù)，即1是｛冊｝的項;

同理令冊=25-2n=-1可得九=13為正整數(shù)，即一1是｛冊｝的項；

令冊=25—2九=3可得ri=11為正整數(shù)，即3是｛冊｝的項；

令冊=25-2n=2可得荏=爭5是正整數(shù)，即2不是｛冊｝的項.

故選：D.

分別令選項中的數(shù)等于25-2n,解得n值不是正整數(shù)的即為答案.

本題考查等差數(shù)列的通項公式，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：函數(shù)f（x）滿足4；二0巫篝菁2=1,

fg-"-fg）

則]由左。-紇）-/的）=_l|im=一），（玷，

Ax^O3Jx3-AX3,vuy

故/''Oo）=-3,

故選：D.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可求（久o）-

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

若Si=7,即的=7,

又由S3=S12,則有3X7+3x*l）d=12x7+12x（l]l）d,解得&=一匕

故S7=7X7+7x(7-；)x(-l)=49+7X6：(-1)=49-21=28.

故選：C.

根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及求和公式計算即可得解.

本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：??,/(%)=2xf/(1)+x2,

???//(%)=2//⑴+2%,

令第=1,

第4頁，共13頁

則f/(1)=2/'(1)+2X1=2//(1)+2,

即f/(1)=-2.

故選：A.

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，取久=1,建立關(guān)于f'（1）的方程，即可求解.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算和求值，利用/'（1）為常數(shù)，建立關(guān)于/'（1）的方程是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).

5.【答案】A

【解析】解：???{%,},{%}是等差數(shù)列，

叼+%1al+allc

.￡6_2_I1】1,x2_Su_3X1111

??瓦一"11-11乂"11—五一2x11+810,

故選：A.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：如圖，

根據(jù)函數(shù)/'（X）=#一/一3%+a,得導(dǎo)函數(shù)/■'（久）=%2一2久—3=（久+1）（%一3）,

那么/■，（無）<0,得一1<久<3；f'（無）>0,得尤1或x>3,

那么函數(shù)“久）在（-1,3）上單調(diào)遞減，在（-8,-1）和（3,+8）上單調(diào)遞增，

又因為/（—1）=/（5）,

那么函數(shù)f（久）在區(qū)間（t—4,t+4）上有最大值時有t—4<—1,—l<t+4<5,

得一5<t<1,

那么實數(shù)t的取值范圍是（-5,1].

故選:B.

求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合"-1）="5）即可得出范圍.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

第5頁，共13頁

7.【答案】C

【解析】解：由題意知可以將繞在盤芯上的雙面膠近似看成一組同心圓，各圓的半徑為該層雙面膠的外側(cè)

至盤芯中心的距離，

設(shè)這段雙面膠全部繞在空盤芯上時最多可以繞兀圈，

則由內(nèi)向外各圓的半徑(單位：小機)分別為31,32,33,n+30,

則2兀[31+32+33+...+(n+30)]=n(n+61)TT<3000TT<(n+l)(n+62)兀，

即n(n+61)<3000<(n+l)(n+62),

又32x(32+61)=2976,33x(32+62)=3102,

所以n=32,

因此這段雙面膠全部繞在空盤芯上時可以繞32圈(滿圈).

故選：C.

將繞在盤芯上的雙面膠近似看成一組同心圓；根據(jù)題意及圓的周長公式建立不等式；解不等式，求幾的值即

可.

本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得%>0,不等式bu:-a/+ax>0等價于等〉a(x-1),

設(shè)/(x)=等，求導(dǎo)數(shù)得f'(X)=號竺，

當(dāng)(0,1)時，/7(%)>0；當(dāng)％€(1,+8)時，f/(%)<0.

所以/(%)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1,+8)上為減函數(shù).

同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=當(dāng)?shù)膱D象與直線y=a(x-1),

第6頁，共13頁

當(dāng)直線y=a(x—l)經(jīng)過點(1,0)、(3,寫)時，直線的斜率心=籽=當(dāng)，

可知：當(dāng)不等式仇％-ax2+ax>0(a>0)的整數(shù)解個數(shù)為1時，

_「ln3ln2、ln3ln3ln2

ae［/,三)，即nnP1=^=3積勺1=亍

當(dāng)直線y=a(久—1)經(jīng)過點(1,0)、(4,殍)時，直線的斜率心=目=粵，

可知：當(dāng)不等式M工—ax2+ax>0(a>0)的整數(shù)解個數(shù)為2時，

「Zn4ln3、ln4ln4ln3

ae［玄，/)'即nnP2=三=必,突=可；

直線y=a(久—1)經(jīng)過點(1,0)、(5,警)時，直線的斜率心=;學(xué)=需，

可知：當(dāng)不等式仇％-ax2+ax>0(a>0)的整數(shù)解個數(shù)為3時，

ae［而，五)，即。3=而=荻？勺3=m?

依此類推，可得斯=湍島，所以贏5=麗心的=擊一擊，

所以數(shù)列｛瑞引的前100項和S100=(>!)+6-5)+.“+(擊-圭)==

故選：C.

將原不等式化簡為竽>a(久-1),然后在一坐標(biāo)系內(nèi)作出丫=等的圖象與直線丫=。。-1),觀察曲線丫=

等在直線上方的部分，結(jié)合直線的斜率公式算出Pn的表達式，然后運用裂項相消法求出數(shù)列｛就萬｝的前

100項和，即可得到本題的答案.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用、裂項相消法求數(shù)列的前幾項和等知識，

屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式可知,(3%)/=3xln3；(cos2x)7=-2sin2x,(xex)7=e*+

,bi%、,1—lnx

久環(huán)v(丁)=丁?

故選：ABD.

由基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及求導(dǎo)法則，可得答案.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

第7頁，共13頁

【解析】解:數(shù)列“的通項公式為58:％普

口J彳寸a】=4,=12,CI3=10,CI4=-6,

。5=16,。6=-10,a7=22,所以/錯誤，8正確；

S5=%+a2+。3+。4+。5=4+(—2)+10+(—6)+16=22,故C正確；

56—<21+a2+的+.,.+——4—2+10—6+16—10=12,

所以S6<55，故。錯誤.

故選：BC.

計算。6，。7即可判斷力8選項，計算出55，56即可判斷CD選項.

本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，考查運算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BC

【解析】解：已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足“尤+2)=/(2—久)，

當(dāng)％=2時，〃0)=/(4),

故”錯誤；

當(dāng)％=3時，/(—1)=/(5),

故3正確；

對于由/(久+2)=/(2-久)知，y=/(x)的圖象關(guān)于直線%=2對稱，

又。一2?'(x)<0,

所以當(dāng)x>2時，ff(x)<0,

即y=/(X)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x<2時，/z(%)>0,y=/(%)在區(qū)間(一8,2)上單調(diào)遞增，

所以VxeR,/(%)</(2),

故C正確，D錯誤.

故選：BC.

通過賦值法可判斷4、B；由題知/(>)的對稱軸為直線％=2,函數(shù)f(x)在(-8,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)

上單調(diào)遞減，由此可判斷C、D.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬中檔題.

12.【答案】0

【解析】解：導(dǎo)函數(shù)/'(久)=%2-2x=x(x-2),令/'‘(x)=。，可得尤=0或2,

當(dāng)/'，(x)〉0時，x<0或x>2,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f，(x)<0時，0<久<2,/(久)單調(diào)遞減，

第8頁，共13頁

因此函數(shù)/（x）在x=0處取得極大值為/'（0）=0.

故答案為：0.

利用導(dǎo)數(shù)計算f（x）的極大值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】3x—y+2=0

【解析】解：因為y=/（久）=e3x+1,所以f'（x）=3e3。

所以f（0）=2,廣（0）=3,

所以所求切線方程為y—2=3x,即3x—y+2=0.

故答案為：3%-y+2=0.

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再根據(jù)點斜式即可求得切線方程.

本題考查函數(shù)的切線方程的求解，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】1一，1

1

【解析】解：設(shè)Pn+2—tPn+1=S(P"+1-tP"),則Pn+2=(S+t)Pn+i—StPn,

又PJI+2=Pn+2Pn+l，

可得S+t=2,St1,解得S=l—2,t=1+72;或S=l+2,t=1-72.

當(dāng)S=l—71,t=1+/I時，?2-(1+72)?!=1,

所以｛Pn+1-（1+PJ是首項為1，公比為1一的等比數(shù)列;

當(dāng)S=1+71,t=1-.時，P2-(1-72)?!=1,

所以仍八+1-（1-，訝）PJ是首項為1.公比為1+的等比數(shù)列.

所以粵書嚼普x=（1+^100%（1一2）1。1=1一方.

r99-（i-v2*98r99-（i+vzjr90

故答案為：1-，I.

利用構(gòu)造法判斷數(shù)列出計1-（1-度）乙｝和｛4+1-（1+2）乙｝為等比數(shù)列，即可得解.

本題考查數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題.

2

15.【答案】Q九二2八一1,Sn=n；

9

8,

【解析】（1）由等差數(shù)列｛冊｝滿足：a2=3,a7=13,

設(shè)公差為d,可得Qi+d=3,%+6d=13,

解得的=Ld=2,

則冊=1+2（幾一1）二2九一1.

第9頁，共13頁

1

2o

Sn=-n(l+2n-1)=n；

⑵bn=易

bn2%-1得到*:2，

bn2%+1得到苗■N爍二，

合并得到/一/，

—2n-1>0

所以lnGN*,所以n=3.

即有》max=^3=1-

(1)由已知求出等差數(shù)列的首項和公差d,解出即可得通項公式0n以及前n項和Sn；

(2)由(1)可得計算可得n=3,進而可得出結(jié)果.

本題考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式，以及數(shù)列的單調(diào)性，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】人%)的遞減區(qū)間為(—1,3),遞增區(qū)間為(—8,—1),(3,+00)；

/(X)的極小值為-26,極大值為4.

【解析】解：(1)定義域為R，

令f，(無)=3/—6x—9=3(%+1)(%—3)=0,得x――1或3,

/z(%)<0=>-1<%<3,ff(%)>0=>x<-1或久>3,

所以人%)的遞減區(qū)間為(—1,3),遞增區(qū)間為(—8,—1),(3,+00)；

(2)結(jié)合(1)知，當(dāng)x變化時，<'(%),f(x)變化如下:

X(-00,-1)-1(-13)3(3,+8)

U(久)+0—0+

“久)遞增/(-1)=4遞減/(3)=-26遞增

所以/(X)的極小值為-26,極大值為4.

(1)求出定義域，導(dǎo)數(shù)的零點，求出導(dǎo)數(shù)為正、為負(fù)的解即可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)研究導(dǎo)數(shù)的零點，然后以導(dǎo)數(shù)的零點為界，逐區(qū)間判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得到原函數(shù)的極值.

本題考查函數(shù)單調(diào)性與極值的判斷與求法，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】證明見解析，an=2"-1；

(-oo,9).

第10頁，共13頁

【解析】(1)證明：當(dāng)n22時，an=2an_i+l,即冊+1=2(an_i+1),

又的+1=2^0,故“+1^0,故心!?=2,

故｛an+1｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

nn

所以an+1=2x2-1=2,所以％=2-1.

(2)數(shù)列｛"｝中，%=1，b8+2-as,

貝1J1+7d+2=—1解得d=4,

所以｛b｝的通項公式為"=l+4(n-l)=4n-3,

n2

cn=Alog2(an+1)—nbn=Alog22—n(4n—3)—An—4n+3n.

已知數(shù)列｛%｝為嚴(yán)格減數(shù)列，則品+1<%對任意正整數(shù)元都成立，

即+1)—4(n+l)2+3(n+1)<An—4n2+3n

化簡得4<8n+l對任意正整數(shù)ri都成立，

所以4<9,即實數(shù)2的取值范圍是(-8,9).

(1)利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列定義可證數(shù)列｛冊+1｝為等比數(shù)列，從而求得｛an｝的通項公式；

(2)根據(jù)增數(shù)列得％+1<%對任意正整數(shù)"都成立，化簡后可求參數(shù)的取值范圍.

本題主要考查數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，數(shù)列的單調(diào)性，考查運算求解能力，屬于中檔題.

18.【答案】當(dāng)aWO時，/(久)在(1,+8)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<a<1時，"%)在(1[)上單調(diào)遞減，在(0,1),6,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)。=1時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，/(%)在(3,1)上單調(diào)遞減，在(0,；),(1,+8)上單調(diào)遞增.

ln2-2.

9

THG(—3,———仇2).

【解析】(1)/(%)的定義域為(0,+8),導(dǎo)函數(shù)//(%)=a%-(1+a)+:=

當(dāng)a40時，由//(%)V0,得x>1；由得OVxVl,

因此/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

11

當(dāng)0Va<1時，由/f(x)<0,得1VxV4,由f7(%)>0,得0VxV1或%>

因此/(X)在(1[)上單調(diào)遞減，在(0,1),6,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a=1時，/7(%)>0恒成立，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

第11頁，共13頁

當(dāng)a>1時，由f，(x)<0,得:<x<1,由/，(久)>0,得0<x<，或x>1,

因此八支)在(/1)上單調(diào)遞減，在(03),(1,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)aW0時，/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0<a<l時，"久)在(1,》上單調(diào)遞減，在(0,1),&+刃)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a=1時,/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時，/(%)在弓,1)上單調(diào)遞減，在(0,5),(1,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知當(dāng)a<0時，函數(shù)〃>)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則/(Xis=-1)=T―會

依題意，h-ln(-a)-a>-1-p即b2In(—a)-1+/亙成立，

1

令函數(shù)g(a)=ln(—a)—1+—(a<0),求導(dǎo)得g'(a)=—+—=2a，

當(dāng)a<-2時，gz(a)>0,當(dāng)—2<aV0時，gz(a)<0,

所以函數(shù)儀。)在(-叫-2)上遞增，在(-2,0)上遞減，

即g(a)7n以=g(-2)=ITI2—2,因此b之ITL2-2,

所以b的最小值為仇2-2.

(3)由方程f2(%)+/(x)—m/(x)=2m+2=(/(x)—m—1)(/(%)+2)=0,

所以/(%)=m+1或/(%)=-2

當(dāng)a=2時，由//(%)>0,得0<%<1?或%>1；由//(%)<0,得

函數(shù)/(X)在(0,：),(1,+8)上單調(diào)遞增，在點1)上單調(diào)遞減，

因為f。)=1-3x+加久,所以/⑴=—2,/(1)=-7-Zn2,

當(dāng)％70時，/(%)=%2—3%+Inx一一oo,

當(dāng)久7+8時，/(%)=x2—3%+Inx7+oo,

則當(dāng)/(%)=-2時，由上可得此時方程/(%)=-2有兩個解，

為了使得方程尸(%)+/(%)-m/(x)=2血+2有5個解，

rq

則—2<血+1<———ln2,解得zuE(—3,一7—Zn2).

44

(1)求出導(dǎo)數(shù)，再按aWO,0<a<1,a=l,a>1分類求出函數(shù)的單調(diào)性.

(2)由(1)的信息，求出函數(shù)/(X)的