2024-2025學(xué)年遼寧省葫蘆島市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知R是實(shí)數(shù)集，集合力=｛—1,0,1｝,B=｛x|2x-l>0｝,則力C（CRB）=（）

11

A.（—°°,2）B.卬1]C.｛1｝D.｛-1,0｝

2.命題“對任意XeR,都有%2>0”的否定為（）

A.對任意無CR,都有％2<oB,不存在久eR,使得/<0

C.存在xeR,使得了20D.存在使得/<0

3.已知變量久,y具有線性相關(guān)關(guān)系，并且由最小二乘法計算得到回歸直線方程為y=-2x+a若1=3,亍=1,

則（）

A.-7B.5C.7D.9

4.山海相逢，跑動濱城.2025葫蘆島馬拉松5月11日激情開跑.某單位從6名員工中選派志愿者參加此次

活動，要求必須有人去，其中甲、乙兩人要么都去，要么都不去，則該單位選派志愿者的方法共有（）

A.15種B.28種C.31種D.63種

5.已知數(shù)列｛a｝滿足%=1,a=2--,則｛%｝的前2025項(xiàng)和為（）

nn+1an

A.2024B.2025C.2026D.2027

6.命題[-3,—1],/—。>7”為假命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>—6B.a>0C.a>—7D.a<0

7.若0<b<l,則可產(chǎn)—表的最大值為（）

A.5-<6B.2C.3D.5+<6

8.函數(shù)/（%）=x｛ex-e2）-e2lnx-k在（0,+8）上有唯一的零點(diǎn)％°,則下列結(jié)論正確的是（）

OO11

A-k=eB.M_2C.k>eDq<為<2

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知數(shù)列｛冊｝的前幾項(xiàng)和為Sn,則下列正確的有（）

n-1

A.若｛an｝為等比數(shù)列,Sn=m-2+3,則m=-3

B,若｛an｝為等差數(shù)列，則數(shù)列｛學(xué)｝是等差數(shù)列

C.若｛a九｝為等差數(shù)列,$2025>。,$2026<。,則S1013>^1014

若｛冊｝為等比數(shù)列，則九,一定是等比數(shù)列

D.SS2n-Sn9S3n-S2n

第1頁，共15頁

10.現(xiàn)有6個節(jié)目準(zhǔn)備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，

則()

A.第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率為|

B.第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率為|

C.第2次抽到語言類節(jié)目的概率為g

D.在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為，

11.設(shè)函數(shù)/(%)=2K3+3x2+(1+a)x+b.下列正確的是()

A.若/。)在(1))處的切線斜率為2,則a=1

B.當(dāng)a=-1時，若/(久)有三個零點(diǎn)，貝防的取值范圍是(-8,-1)

C.當(dāng)a=—l時，若x6(0,1),則/(久)>/(/)

D.若/'(X)滿足/'6—%)=—2則a,b,c成等差數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知(0一|)"的展開式中第3項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則實(shí)數(shù)九的值為.

13.關(guān)于久的不等式+io%+8<0的解集為(a,[),其中。<0,則zn+a的值為.

14.當(dāng)a>1時，函數(shù)/(x)=砂與g(x)=log。久的圖象有兩個交點(diǎn)，貝1Ja的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

近年中國新能源汽車進(jìn)入高速發(fā)展時期.已知某數(shù)據(jù)顯示，400名消費(fèi)者中中老年人共有150人.中老年人中

愿意購買新能源車人數(shù)是愿意購買燃油車人數(shù)的2倍：青年人中愿意購買新能源車人數(shù)是愿意購買燃油車

人數(shù)的4倍.

(1)完善2x2列聯(lián)表，請根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析消費(fèi)者對新能源車和燃油車的購買意

向是否與年齡有關(guān)；

愿意購買新愿意購買燃

合計

能源車油車

青年人

中老年人

合計

第2頁，共15頁

(2)從愿意購買新能源車的消費(fèi)者中按年齡比例進(jìn)行分層抽樣，得到容量9的樣本，再從這9人中隨機(jī)抽取

4人，求這4人中青年人數(shù)為3人的概率.

n(ad-bc)2

附：*2n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

16.(本小題15分)

已知％是等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，S3==9,數(shù)列｛%｝是公比大于1的等比數(shù)列，且%+b2+b3=14,

b1-b2-b3—64.

(1)求數(shù)列｛an｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)cnw0n.bn,求｛cn｝的前。項(xiàng)和

17.(本小題15分)

全國大學(xué)生機(jī)器人大賽(RoboMaser)是中國最具影響力的機(jī)器人項(xiàng)目，是全球獨(dú)創(chuàng)的機(jī)器人競技平臺.某高

校為了選派優(yōu)秀選手參加大賽，準(zhǔn)備開展校內(nèi)選拔賽.已知初賽共有2000名選手參加，初賽入圍選手參加

晉級賽.

(1)若甲、乙、丙3名選手入圍的概率分別為專求這3人中至少有1人未入圍的概率；

(2)若初賽成績Z近似服從正態(tài)分布N(90,9),試估計這些選手中成績超過96分的人數(shù)；(結(jié)果四舍五入，精

確到個位)

(3)晉級賽共有3道試題，若初賽入圍選手小明答對每道題的概率均為,，且每題答對與否都相互獨(dú)立，記

小明答對試題個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

參考數(shù)據(jù)：P(/i—d<Z<jtz4-a)?0.6827,P(〃—2cr<Z</z+2a)20.9545,PQt—3a<Z</z+3(T)*

0.9973.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(%)二1-ax2—(a+l)x+Inx,a>0.

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

xx

(2)設(shè)g(%)=f(%)+(a-1)%,已知g(%)有兩個極值點(diǎn)%i，x2(i<2)-

(Wa的取值范圍；

(W證：gOD+g(x2)<-2

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19.(本小題17分)

“牛頓數(shù)列”是英國著名物理學(xué)家牛頓發(fā)現(xiàn)并定義的，它在航空航天中應(yīng)用極其廣泛.“牛頓數(shù)列”的定義

是：對于函數(shù)八久)，若數(shù)列｛&｝滿足％+i=今—乎&(neN*),則稱數(shù)列｛&｝為函數(shù)/(x)的“牛頓數(shù)列”.

Jixn)

2

已知數(shù)列｛xn｝為函數(shù)/(久)=X-X的牛頓數(shù)列，且數(shù)列｛冊｝滿足的=l,an=ln^-,xn>1.

(1)求久1;

(2)證明數(shù)列｛冊｝是等比數(shù)列并求與；

(3)設(shè)數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為治,若不等式(—1尸?t?0幾+1)-16<(Sn+1)2對任意的rieN*恒成立，求t

的取值范圍.

第4頁，共15頁

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?={久|2%—120}={小2%所以CRB={MX<<}.

又4={-1,0,1},所以An(CfiB)={-1,0}.

故選：D.

先解不等式得出集合B,再求B的補(bǔ)集，最后與a求交集.

本題考查集合交、并、補(bǔ)的運(yùn)算，考查對基本概念和運(yùn)算的掌握.利用集合補(bǔ)集和交集的定義是解決本題

的關(guān)鍵.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，

所以命題“對任意都有好之?！钡姆穸?存在x€R,使得了<0.

故選：D.

直接利用全稱命題的否定是特稱命題，寫出命題的否定命題即可.

本題主要考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可知，1=—2x3+ana=7.

故選：C.

根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)求a.

本題考查了經(jīng)驗(yàn)回歸方程，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，由于“甲、乙兩人要么都去，要么都不去”，分兩種情況討論：

⑦甲乙都去：

此時需要從剩余4人中選，因?yàn)榧住⒁壹喝?，所以只要選法存在即滿足“要求必須有人去”條件，

故選派方法為：以+或+鬣+或+以=24=16種.

②甲乙都不去：

此時需要從剩余4名員工中至少選1人參加志愿活動，有C?+或+鬣+或+或-以=24-1=15種選

派方法，

綜上，該單位選派志愿者的方法為情況①和②之和，即16+15=31種.

第5頁，共15頁

故選：c.

根據(jù)“其中甲、乙兩人要么都去，要么都不去”分“甲乙都去”和“甲乙都不去”兩種情況討論，結(jié)合“要

求必須有人去”的條件，分別求出兩種情況選派方法再相加即為該單位選派志愿者的方法數(shù).

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：由題意可得=2---=—2,。3=2----=4,。4=2----=1,…，

可知數(shù)列｛冊｝是最小正周期為3的周期數(shù)列，

且一個周期的和為由+a2+a3=3,

則數(shù)列｛冊｝的前2025項(xiàng)和為%+a2+...+CI2025=675X(at+a2+a3)=2025.

故選：B.

根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，計算。2,。3,判斷函數(shù)的周期性，然后求和即可.

本題考查數(shù)列的求和，求得數(shù)列的周期性是解題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：由題可得：命題'勺久e[—3,-1],/-aw7”為真命題.

2

所以a>(%—7)mjn,xE[—3,—1],

因?yàn)槿藛?久2-7在[—3,-1]是單調(diào)減函數(shù)，所以八支)加n=/(—1)=6,所以a>-6.

因?yàn)椋鸻|a>0｝是｛a|a>-6｝的真子集，而其他選項(xiàng)對應(yīng)的集合都不是｛a|a>-6｝的真子集，

故3正確，A,C,。均錯誤.

故選：B.

根據(jù)題意該命題的否定是真命題，由此求出a的取值范圍，再找出它的一個充分不必要條件即可.

本題主要考查充分必要條件的判斷，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)?+2/)-3扶=(1+》)(5-3匕)，0<b<1,

故5+告3b2―親=_3b+5=5—(3b+親)W5—213b*=5-^6,

1+b2b2bv2by\2b

當(dāng)且僅當(dāng)3b=3，即b=￥時等號成立，

2b6

所以5+/13匕--*的最大值為5—V-6.

1+b2b

故選：A.

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證明原式=(-3b+5)-玄，利用基本不等式即可求解.

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：已知函數(shù)/(%)=x(ex—e2)—e2lnx—k,

22

則f，(x)=(ex-e2)+xex-—+l)(ex--),

令f'(x)=0,

因?yàn)榫胑(0,+oo),

2

故呼一p幺=o,

X

設(shè)e%一Q三2=0的根為％i，

則可知在區(qū)間(0,%D上//(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，且/(%)e+8),

在區(qū)間(%1，+8)上//(%)>0,/(%)單調(diào)遞增，且/(%)G(/(%1),+8),

故/(%)在％=%1時取最小值，/(%i)=0,%i=%().

pl

且e%o=一,

%o

x2

BP%oe°=e,

故B正確；

22

因?yàn)?(%o)=%o(e*?！猠)—elnx0—fc=0,

x222222x2222

即k=xoe0—xoe—elnx0=e—e(x0+Inx。)=e—e(lne°+lnx0)=e—elne=—e,

故4c錯誤；

令9(%)=xe*,

則g/(x)=(%+l)ex>0,

故g(%)=斑%為增函數(shù).

-1-1i

又g(5)=萬淳<e2=g(x0),

故%o>I，

故。錯誤.

故選：B.

2

求導(dǎo)可得f/(%)=(%+1)(/-p9)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及極值點(diǎn)和零點(diǎn)即可知第。為函數(shù)/(%)的零點(diǎn)和

第7頁，共15頁

極小值點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)久0滿足的關(guān)系式逐個選項(xiàng)判定即可.

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，重點(diǎn)考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬中檔題.

9.【答案】BC

【解析】解：A：若m=—3,則的=51=根+3=0,顯然不是等比數(shù)列，錯;

B；由｛冊｝為等差數(shù)列，則知=幺井，

所以宗岸一勺產(chǎn)—%戶為定值，貝I得｝是等差數(shù)列，對；

C：由｛%｝為等差數(shù)列，且$2025=2025(4+。2025)=2025al>042026=2°26(。尸026)=iOi3(alol3+

a1014）V

所以Q]013>0，。1013+。1014<。，即。1014V0<。1013，d<0,

所以>>**>。1013>0>。1014>…，

由S1013=衛(wèi)^*皿=1013。5。7，%。14=lol?。，。/=507（。507+。508），

所以S1013一$1014=508。507—507(1508=。507—507d〉。，即S1013>S1014，對；

D-.若｛an｝是首項(xiàng)為1,公比為一1的等比數(shù)列時，S2=S4-S2=S6-S4=0,錯.

故選：BC.

由已知得的=Si=爪+3即可判斷4由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的定義判斷B；由等差數(shù)列前n

項(xiàng)和公式及已知得的>>a10i3>0>a1014>…，作差法比較Sioi3,S1014大小判斷知應(yīng)用特殊數(shù)列｛an｝

是首項(xiàng)為1,公比為-1判斷D.

本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件4第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件8,第二次抽到語言

類節(jié)目為事件C.

依次分析選項(xiàng)：

對于4從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個，則“。)=照=30,

第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件4則n(A)=A｝Al=20,

則「缶)=黯=黑=5故/正確；

對于B,郎8)=幽=12,貝IJP(4B)=^=II=|,故2錯誤；

對于C,n(C)=掰+4刑=10,則2?=黑=m=全故C正確；

第8頁，共15頁

2

-3

5

---

對于。，由條件概率公式，P(B|4)=鬻25

-

3

故選：ACD.

設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件4第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件B,第二次抽到語言類節(jié)目為事件C,分別求

出事件4事件B和事件C的基本事件數(shù)，進(jìn)而結(jié)合古典概型的概率公式、條件概率公式判斷各選項(xiàng)即可.

本題考查條件概率的計算，涉及古典概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：f'(x)=6x2+6x+1+a,

若/(x)在(-1/(—1))處的切線斜率為2,

則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知/'(一l)=6x(—l)2+6x(-l)+l+a=2,解得a=l,4選項(xiàng)正確；

當(dāng)a=-1時，/'(久)=6/+6x,

由/''(x)<0解得一1<%<0,由/''(久)>0解得％<-1或久>0,

所以函數(shù)/(x)在(-8,-1)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,0)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)在%=-1處取得極大值，在久=0處取得極小值，

若/(%)有三個零點(diǎn),則+3+解得—l<b<0,B選項(xiàng)錯誤；

因?yàn)楫?dāng)a=-1時，函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

若x6(0,1),則0<必<%<1,所以C選項(xiàng)正確；

若f(久)滿足f6-%)=-2-/(%),

則/(]—%)+/(%)=2(，-x)3+3(]—x)2+(1+a)(1—%)+/?+2x3+3%2+(1+d)x+b

=V+JC2+5+與+2b+(—^-c2—3c)x+(3c+6)x2=—2,

44ZZZ

9+#+升竽+2b=—2

則—|c2-3c=0,解得2b=a—2,c=-2,

3c+6=0

所以2b=a+c,即a-b=b—c,滿足a,b,c成等差數(shù)列，。選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷4求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性求得極值，構(gòu)造不等式判斷BC,=-2-/(%)

代入解析式化簡，結(jié)合等差數(shù)列的定義判斷。即可.

本題考查由函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間求解函數(shù)或參數(shù)，屬于中檔題.

12.【答案】6

第9頁，共15頁

【解析】解：(6-|尸的展開式中第3項(xiàng)為：

n-22<223

T3-Cn-(V^),(—1)=4C?■x~''~^—2n(n—1)-x~-2n(n—1)-x2~,

???(C-1尸的展開式中第3項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，

.??^-3=0,解得n=6.

故答案為：6.

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求解即可

本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】-2

【解析】解：因關(guān)于x的不等式6/+10久+8<0的解集為9譚)，

則m/+io%+8=0的兩根為a,

a

I(dH1—4=_---10

由韋達(dá)定理4a?『

Ia-4-=—o

\am

所以TH=2,a=—1=-4,因則Q=-4,從而m+a=-4+2=-2.

a

故答案為：-2.

由題可得HI/+10%+8=0的兩根為a,\然后由韋達(dá)定理可得答案.

本題主要考查二次不等式與二次方程轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.【答案】(1,西)

【解析】解：已知當(dāng)a>1時，函數(shù)/(%)=G%與9(%)=loga%的圖象有兩個交點(diǎn),

由于函數(shù)/(%)=談與g(%)=log。%互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=%對稱，

所以這兩個交點(diǎn)一定在直線y=%上，

令謨=%,x>0,兩邊取對數(shù)得久伍a=Inx,即仇a=—,

X

設(shè)九0)=(，%>o,

則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)八(久)=中與y="a在(0,+8)上有兩個交點(diǎn)，

由h7(久)=1W”,令h/(%)<0,得x>e；令h7(x)>0,得0<久<e；

所以函數(shù)h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

第10頁，共15頁

1

又h(e)=/i(l)=0,且%—0時/;(%)oo,久>1時，九(%)>0,

要使函數(shù)%(%)=?與y=①。在(o,+8)上有兩個交點(diǎn)，

11

則0<Ina<解得1VaVe",

e

1

則a的取值范圍為(1,西).

1

故答案為：(1,點(diǎn)).

根據(jù)題意，結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/1(久)=竽與y="a在(0,+8)上有兩個交點(diǎn),

本題考查反函數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題.

15.【答案】列聯(lián)表見解析，認(rèn)為消費(fèi)者對新能源車和燃油車的購買意向與年齡有關(guān)

10

21

【解析】Q)根據(jù)題意可知，列聯(lián)表如下:

愿意購買新愿意購買燃

合計

能源車油車

青年人20050250

中老年人10050150

合計300100400

零假設(shè)飛：消費(fèi)者對新能源車和燃油車的購買意向與年齡無關(guān),

則/=400x(200x50-50x100)2

-250x150x300x100-?8.889>6,635,

根據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷/不成立，即認(rèn)為消費(fèi)者對新能源車和燃油車的購買意向與年齡有關(guān);

(2)抽取的9人中青年人有9x簫=6人，中老年人有9x端=3人，

記“從這9人中隨機(jī)抽取4人，求這4人中青年人數(shù)為3人”的概率P,

則。=等=祟

(1)依據(jù)題意直接得到列聯(lián)表，然后計算卡方即可判斷；

(2)先得到青年人，中老年人的人數(shù)，然后按照古典概型計算即可.

本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于中檔題.

n

16.【答案】an=2n一1,bn-2；

n+1

Tn=6+(2n-3)x2.

第11頁，共15頁

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，由S3=。5=9,

可得3al+3d=%+4d=9,解得%=1,d=2,

所以a九=1+(71—1)x2=2n—1.

對公比大于1的等比數(shù)列｛bJ瓦?匕2,匕3=盛=64=匕2=4,

,4o

由b+歷+比=140±+4+4q=14=2q2—5q+2=0=(2q—1)(Q-2)=0,

q

又q>1,所以q=2.

n2

所以6n=b2-q-=4x2n—=2".

n

所以an=2n—1,bn—2.

n

(2)因?yàn)閏n=(2n-1)x2,

所以Tn=1x2+3x22+5x23+???+(2n-1)x2n

23?ln+1

2Tn=1x2+3x2+??■+(2n-3)x2+(2n-1)x2,

兩式相減得：―=2+2x(22+23+…+2n)-(2n-1)x2n+1

?l+1n+1

=2+2x22(1-丁)_(2n-1)x2=-6+(3-2n)x2.

1—2

所以7\=6+(2九一3)*2計1.

(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列基本量的計算公式，結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求它們的通項(xiàng)公式.

(2)利用錯位相減求和法求數(shù)列的前幾項(xiàng)和.

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及數(shù)列的錯位相減法求和，考查方程思想和運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

17.【答案】

6

46；

分布列見解析，I

【解析】(1)記甲、乙、丙入圍的事件分別為A,B,C,

則P(4)=',P(B)=”￡)=：,

則甲、乙、丙至少有1人未入圍的概率P=1—P(4BC)=

3Zzo

(2)依題意，〃的近似值為90,。的近似值為3,

則P(Z>96)=P(Z>〃+2。)=g-PH。三尸+2。)=0Q2275,

而2000X0.02275?46,

第12頁，共15頁

所以估計這些員工中成績超過96分的人數(shù)為46.

(3)依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,X?B(3^),

且P(X=O)=政，)3=1,

P(X=1)="XG)2=W，

P(X=2)=C|(1)2xi=g,

P(X=3)=C1(1)3=§.

所以X的分布列為:

X0123

192727

P

64646464

數(shù)學(xué)期望E(X)=3x[=*

(1)依對立事件概率及獨(dú)立事件概率公式列式計算.

(2)利用正態(tài)分布性質(zhì)求出概率，進(jìn)而估計人數(shù).

(3)求出X的可能值，再二項(xiàng)分布求出分布列及期望.

本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、二項(xiàng)分布求概率、離散型隨機(jī)變量的分布列與

數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

18.【答案】當(dāng)。<a<l時，f(x)在(0,1),弓,+8)單調(diào)遞增，在(1、)單調(diào)遞減，

當(dāng)a=1時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)。>1時，/(%)在(0,，)，(1,+8)單調(diào)遞增，在(，1)單調(diào)遞減.

⑦(0,1);②ffi明見解析.

【解析】(1)由題意，/(%)的定義域?yàn)?0,+8),

/7(x)=ax-a-1+i=但"？。一。,

1

因?yàn)镼>0,令f/(%)=0,解得久=￡或％=1，

111

當(dāng)0<a<l時，一>1,當(dāng)OV%V1或%>一時，f7(%)>0,當(dāng)1V%V-時，f7(%)<0,

aa，'，a」、"

所以/(x)在(0,1),6,+8)上單調(diào)遞增，在(1,力上單調(diào)遞減；

1

當(dāng)a=1時，-=1,此時//(%)20在％e(0,+8)上恒成立，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

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當(dāng)a>1時，<1,當(dāng)0<x<，或%>1時，f7(x)>0,當(dāng)，<x<1時，/z(x)<0,

所以八支)在(0,：),(1,+8)單調(diào)遞增，在(，1)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)0<a<1時，/(%)在(0,1),(5,+8)單調(diào)遞增，在(1,》單調(diào)遞減，

當(dāng)。=1時，f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)a>l時，/(X)在(0,白，(1,+8)單調(diào)遞增，在(J1)單調(diào)遞減.

(2)。由題意可得g(%)=-ax2—(a+l)x+Inx+(a—l)x=-ax2—2x+Inx,%>0,

求導(dǎo)得g/(x)=ax—2+=——；%+i,%>0,

因?yàn)間(%)有兩個極值點(diǎn)％1，久2,所以g/(%)=0有兩個變號零點(diǎn)％1，%2，

所以y=a%2-2%+1在％6(0,+8)上與%軸有兩個不同的交點(diǎn)，

21=4-4a>0

所以“1+久2=一工>°,解得0<a<l,即a的取值范圍為(0,1).

1

"2=￡>0

②I正明：由(2)(ZWg(久1)+。(久2)=|■謁-2%i+lnxx+,a明-2x2+lnx2

1,12,221

-2磯(%i+%2)~-2(%i+犯)+仇%i%2-2磯(公)