2024.2025學(xué)年山東省煙臺(tái)市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.命題“V%ER,x2+ax+1>0”的否定為()

A.BxER,x2+ax+1>0B.Vx6/?,x2+ax+1<0

C.3%G/?,%2+ax+1<0D.VxG7?,%2+ax+1<0

2.已知集合A={x\y=yj1-x],B={x\y=ln(2-%)],貝U(CRA)AB=()

A.(-oo,1]B.(1,2)C.[1,2)D.(-00,2)

3.設(shè)集合/={1,3,M},8={l,a+2},若“工是“XE8”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

4.函數(shù)/(%)=(1)x一匈％的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,10)

5.函數(shù)/(%)=-%-s譏%在[一可兀]上的圖象大致是()

6.若函數(shù)f（%）=+b的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,0）對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-3B.3C.-6D.6

7.若函數(shù)/（%）=%+/c存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）

A.(一%1)B.(0,1)C.(-8,e)D.(0,e)

8.已知/(%)為定義在(一8,0)u(0,+8)上的偶函數(shù)，且當(dāng)1>0時(shí),xf(x)-/(%)>2x,f(l)=1,則

§>%的解集為()

A.(―l,0)U(1,+8)B.(―8,—l)u(0,l)

C.(-1,0)U(0,1)D.(—8,—1)u(1,+8)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列不等關(guān)系成立的有()

0730304

A.3->0.7B-g3<仇0.9C.log34>log56D.O.4-<O.3

10.若函數(shù)/(%)=|a2%2-3ax+2仇=在％=1處取得極大值，貝女)

A.a=1B.a=2

C.(2,+8)為/(X)的一個(gè)增區(qū)間D"(x)的極小值為2伉2-4

11.定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足/(2+x)=/(一刀)，當(dāng)比e[0,1]時(shí)，f(x)=6,則下列結(jié)論正確的有()

A.當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/(%)=—V3—x

B"(x)的圖象在久=|處的切線方程為2x+2/2y-5=0

C"(x)的圖象與g(x)=lg|x-1|的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為10

D./O)的圖象與直線y=x+6恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b￡(4/c-^,4fc-b(fc￡Z)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知f(x),g(x)分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)+g(x)=2，+1,則f(-1+log2?)的

值為.

13.若實(shí)數(shù)&滿足/(/Go))=*0,則稱*0為函數(shù)/(?的一個(gè)"二階不動(dòng)點(diǎn)”.給定函數(shù)=

1

2<

X--

2

%,一1,則其所有“二階不動(dòng)點(diǎn)”的和為.

22>

居%

2-

、7

14.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a2b2—4=2ab21Tlet—4bln-,則M+8b的最小值為.

b------

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

2

已知函數(shù)f(%)=log2(2x—%—1).

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意的X6[|,+8),都有/(X)>2m-2,求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

16.(本小題15分)

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足/(x+y)=f(x)+f(y),/(l)=-2,且x<0時(shí),/(x)>0.

(1)判斷并證明“久)的奇偶性；

(2)求關(guān)于t的不等式/(t2—t—2)—/(t+1)>-10的解集.

17.(本小題15分)

如圖，某地計(jì)劃在海中建設(shè)一風(fēng)力發(fā)電站力，其離岸距離力C=40ka,與AC垂直的海岸線BC上有一升壓站

B,且8C=20km.現(xiàn)要鋪設(shè)一條電纜將4站的電力傳輸?shù)紹站，點(diǎn)P為海岸線BC上一點(diǎn)，線段4P,分別

表示在海中、海岸線上鋪設(shè)電纜的路線.假設(shè)海中鋪設(shè)電纜的費(fèi)用為小萬(wàn)元/千米(小為給定正數(shù))，海岸線上

鋪設(shè)電纜的費(fèi)用為穿萬(wàn)元/千米，CP的長(zhǎng)度為x千米.

(1)求鋪設(shè)電纜總費(fèi)用y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)CP的長(zhǎng)度為何值時(shí)，鋪設(shè)電纜總費(fèi)用最?。壳蟪鲎钚≠M(fèi)用.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)="誓—5(aeR).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線/Q)切線斜率的最小值；

(2)若g(%)=//(%)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)%1，上.

0)求a的取值范圍；

2a

(譏)求證：xrx2>e~.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=ex—ax+l(aGR).

(1)討論/(%)的單調(diào)性;

(2)設(shè)g(%)=ax-2"I，且f(%)與g(%)有相同的最小值.

⑷求a的值；

X1

(江)已知％*x2G(0,+oo),且f(%力=g(%2)，求證：2e>x2-

答案解析

1.【答案】C

【解析】解：命題“Vx6R,x2+ax+l>0"的否定為三萬(wàn)GR,x2+ax+l<0.

故選：C.

結(jié)合命題否定的定義，即可求解.

本題主要考查命題否定的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：4={x\y=V1-%}={x\x<1},則CR力={x\x>1)；

B—{x\y-ln(2—%)}}={x\x<2},

故(CRA)CB=(1,2).

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合補(bǔ)集、交集的定義，即可求解.

本題主要考查集合的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：因?yàn)榧?={1,3,a?},B={l,a+2},

若“xe4”是“xeB”的必要不充分條件，則B呈A,

所以a+2=3或a+2=a2,

解得a=1或a=2或a=-1,

當(dāng)a=l時(shí)，A={1,3,1),與集合元素的互異性矛盾，

當(dāng)a=2,2={1,3,4},B={1,4}，符合題意；

當(dāng)a=-l時(shí)，A={1,3,1),與集合元素的互異性矛盾，

故a=2.

故選：D.

由題意可得，B^A,然后結(jié)合集合包含關(guān)系即可求解.

本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閥=弓尸與y=-仞比在(。,+8)上單調(diào)遞減，

所以/(%)=(3尸一Zgx在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)閒(1)=|>0,f(2)=^-lg2=IgVlO-lgV16<0,

Z4

所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2).

故選：B.

判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得答案.

本題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：因?yàn)椤ㄘ?=與>0,所以排除B。，

又屣)=?！?<0,故C錯(cuò)誤，A正確.

故選：A.

根據(jù)/(兀)的符號(hào)以及/電的符號(hào)，可判斷正確圖象.

本題主要考查由函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于中檔題.

6.【答案】C

【解析】解：若函數(shù)/(%)=/+ax2+b的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，

則尸(%)=3%2+2ax,/"(%)=6%+2a=0,

所以/〃(2)=12+2a=0,

所以Q=—6.

故選：C.

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合對(duì)稱性的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：函數(shù)f(%)=%+/C的定義域?yàn)?0,+8),

令f(%)=%仇%—%+fc=0,得一k=xlnx—x,

令g(X)=%—%(%>0),

則“(%)=1+①%—1=Inx,

當(dāng)久>1時(shí)，g'(%)>肘當(dāng)OV%<1時(shí)，“(%)<0,故g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

所以9。)加譏=0⑴=T，

又當(dāng)％T0時(shí)，g(%)T0,當(dāng)％T+8時(shí),g(x)T+00,

又因?yàn)?(%)=xlnx一汽+k存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即y=-k與g(x)=xlnx-%(%>0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

所以一lv-kco,即

故選：B.

令/(%)=0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程―k=xlnx—x(x>0)有兩正根，令g(%)=xlnx—%(x>0),求導(dǎo)分析，可

得答案.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：令g(%)=§—H0),

則“(%)=xf'SfG)_1=

,?,當(dāng)%>0時(shí)，—/(%)>%2,

即當(dāng)%>0時(shí)，g'(x)>0,即當(dāng)％W(0,+8)時(shí),g(%)為增函數(shù),

,."(%)為定義在(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，y=1為奇函數(shù)，

???9(%)為定義在(一叫0)U(0,+8)上的奇函數(shù)，

???當(dāng)%e(一8,0)時(shí)，g(%)為增函數(shù)，

又f(-1)=/⑴=1,g(-l)=-9⑴=-彎-1]=0,

??.?>久等價(jià)于g(X)>0=g(l),

x>1或一1V%V0.

故選：A.

令以久)=竽—x(xK0),由題意可知，g(x)為奇函數(shù)，求導(dǎo)分析其單調(diào)性，結(jié)合題意列式求解即可.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于43°-7>1>0,73,故A正確;

對(duì)于B,lg3>0,ln0.9<0,故2錯(cuò)誤;

,2CC

lg4_均4+期>姐_必+%_(04-03)頷>0

對(duì)于C,log34-log56=g-g

lg3Zg3+lg|lg3國(guó)3+lg|一仞3(旬3+電|)

故log34>logs6,C正確;

對(duì)于D,O.403>O.40-4>O.304,故O錯(cuò)誤.

故選：AC.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.

本題主要考查對(duì)數(shù)值比較大小，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)?(%)=^a2x2-3ax+2lnx,x>0,

、7仁，2a2%2—3ax+2(ax—(ax—2}

所以/Q)=a2久—3a+^=J~~

因?yàn)楹瘮?shù)f(%)在久=1處取得極大值，

所以/'(1)=(a—1)(?！?)=0,解得a=1或a=2,

當(dāng)a=2時(shí)，/⑺=(2"T)(2X-2),

當(dāng)0<%<2或%>1時(shí)，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)％=1時(shí)，/(%)取極小值，不是極大值，不符合題意.

當(dāng)a=l時(shí)，1(%)=(%f2),

當(dāng)0<x<1或久>2時(shí)，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)1V%<2時(shí)，[(%)<0,/(%)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)先=1時(shí)，/(%)取極大值，符合題意.

綜上，a=1,故A正確，B錯(cuò)誤;

11

由上可知，/(x)--x2-3x+2lnx,(2,+8)為/(x)的一個(gè)增區(qū)間，/(久)的極小值為/(2)=x2?-3x

2+2)2=2"2-4,故CD正確.

故選：ACD.

根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為。求解a,可判斷4出

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值即可判斷CD.

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】BCD

【解析】解:由函數(shù)/(久)為R上的奇函數(shù)，所以/(T)=/(久),由〃2+久)=〃一久)，

所以函數(shù)/■(%)關(guān)于x=1對(duì)稱，且/'(2+%)=/(-%)=-/■(%),貝仔(4+%)=/(%),

所以4為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.

對(duì)4x￡[2,3],則久一26[0,1],/(*—2)=/Q+2)=—/(x),所以f(x)=—f(x=2),

由當(dāng)％e[0,1]時(shí)，f(x)=y/~x,所以/'(x)=—f(x_2)=―弋x—2,錯(cuò)誤；

對(duì)B,由4可知：當(dāng)久6[2,3]時(shí)，f(%)=—y/x—2)所以當(dāng)x6[—3,—2]時(shí)，f(%)=V—%—2>

所以當(dāng)工€[1,2]時(shí),x-4G[-3,-2],則/?(x)=/(x—4)=

1⑶=一奈力嗚=一弓，

外)=￥，所以函數(shù)f(x)的圖象在X號(hào)處的切線方程為y=—+￥，

ZZ，LLL

即2%+2jIy-5=0,正確；

對(duì)C,作出函數(shù)y=/(%)與g(%)=lg|%-1］圖象，

y=g(x)

>

y=fw

函數(shù)g(x)=lg|x-1|圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，當(dāng)％>1時(shí)，圖象共有5個(gè)交點(diǎn),

由/(久)為奇函數(shù)，所以當(dāng)久<1時(shí)，圖象也有5個(gè)交點(diǎn),

所以圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為10,正確;

當(dāng)xe［一1,0］時(shí)，/(x)=-/(-%)=_廠/

當(dāng)xG［4,5］時(shí)，f(x)=f(x—4)=Vx—4?

當(dāng)為圖中4情況，/(x)=—7—x,f'(x)=刀』,

11

y-

令云e=1今”=4_?-2-

所以切點(diǎn)為--)，

所以一：+b=—g=>b=一。,

424

當(dāng)為圖中12情況，f⑺=7^4,f(x)=奈？，

A1171

令云后？=10"=彳,y=2,

所以切點(diǎn)為(U),所以學(xué)+b是=6=-學(xué)；

4Z4Z4

所以函數(shù)/(%)的圖象與直線y=%+b恰有一個(gè)公共點(diǎn),

則實(shí)數(shù)6e(4k—q,4k—；)(keZ),正確.

故選：BCD.

先判斷函數(shù)的對(duì)稱性，周期性，對(duì)4利用周期可得；對(duì)B,求出xe[1,2]表達(dá)式，然后求導(dǎo)計(jì)算；對(duì)C,

作出兩個(gè)函數(shù)圖象判斷即可；對(duì)D,作出圖形，然后分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算判斷.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程，屬于中檔題.

12.【答案】竽

O

【解析】解：因?yàn)?(%),0(%)分別為定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，

又f(%)+g(%)=2*+i,所以/(%)一g(x)=2-x+1,

2%+lIn—X+1

解得f(x)=-~y—=2》+2-x,

所以f(一1+log23)=2-1+1。堀+2】T。遍=|x3+2x|=y.

故答案為：號(hào).

根據(jù)函數(shù)的奇偶性，消元法，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.

本題考查函數(shù)的奇偶性，消元法，對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，屬中檔題.

13.【答案】||

【解析】解：當(dāng)寸，

由f(fOo))=X。，可得f(2久o)=x0,

11

味2<

<-&--

-V2

111

當(dāng)

-<<-時(shí)-<2<

4-22-

2

-

5

1

2-

由f(fOo))=x0，可得/'(2—2久0)=比,

13

-<<-班

2^04

1

2-

所以2-2(2-2%0)=比,

解得沏=|,

O-1

當(dāng)XoNI時(shí)，2-2久0<

則2(2—2%o)=與,

解得尤0=g,

所以函數(shù)有4個(gè)“二階不動(dòng)點(diǎn)”，分別為0、|、|、I，

所以所有“二階不動(dòng)點(diǎn)”之和為：0+|+,+《=善

28

答案

故--

15

111

<<

--<-

--、3<%0<3及?<%0<,,求出函數(shù)的所有“二階不動(dòng)點(diǎn)”，即可得答案.

4X4^02

本題考查了“二階不動(dòng)點(diǎn)”的定義及性質(zhì)，考查了分類討論思想，屬于中檔題.

14.【答案】12

2

【解析】解：由a2b2_4=2ab21Tlei—4b仇魯，得Q?—2alna=(7)—2?|?ln^,

bbb

所以a?—2alna=(1)2—2?|?ln|,令/(%)=x2-2xlnx,則/(a)=/(令,

又因?yàn)?'(%)=2x—2(1+又必=2(%—1—又%)>0,

所以/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a=

b

所以小+8b=a2+—=a2+-+->33a2----=12,當(dāng)且僅當(dāng)小=即。=2時(shí)等號(hào)成立，

aaaaaa

所以a?+助的最小值為12.

故答案為：12.

根據(jù)題意可得a?—2alna=(1)2—2?1"ln|,令/'(x)=x2—2久bix可得/(a)=f(^)>結(jié)合/''(久)=2%-

2(1+伉尤)=2(久-1一加久)N0可得所以。=今所以a?+8b=a?+當(dāng)=a?+：+，進(jìn)一步及可求出

a2+8b的最小值.

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生歸納推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔

題.

15.【答案】單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-3，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8);

(-8,2].

【解析】(1)令2%2一%一1>0,解得久<一g或第>1，

即函數(shù)的定義域?yàn)?一8,-今U(1,4-00),

2

令y=log2u,u=2x—%—1,

y=log?”在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，

〃(乃的圖象為開(kāi)口向上的拋物線，其對(duì)稱軸為直線1=),

所以當(dāng)xe(-8,-勺時(shí)，a(x)單調(diào)遞減，當(dāng)％6(1,+8)時(shí)，a(x)單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)，當(dāng)*6(—8,-勺時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x6(1,+8)時(shí)，/(久)單調(diào)遞增，

所以/(%)單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-今，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8);

(2)由題意f(X)疝nN2m-2,

由(1)知，當(dāng)xe[|,+8)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，

所以/(久)rnm=/(|)=log22=1,

于是2m-2<1=2°,

即m—2<0,解得m<2,

故小的取值范圍為(-8,2].

(1)求出函數(shù)的定義域，利用換元法及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可；

(2)由題意可得向“22^-2,根據(jù)單調(diào)性，求出函數(shù)在久e[|,+8)上的最小值，再代入求解即可.

本題考查了二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.【答案】奇函數(shù)；

{t|-2<t<4].

【解析】(1)令x=y=0,可得/(0)=/(0)+/(0),所以/(0)=0,

令y=-x,可得/'(())=f(x)+/(-x),所以/'(-%)=-/(x),

又f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)為奇函數(shù)，

(2)任取X],x2G[0,+oo),且久i<%2，則/%=尤2—久1>0，

于是fOi)-f(冷)=f(%)—FQi+4%)=f01)-[fOi)+F⑷)]=一/■⑷)，

因?yàn)?久>0,所以一/x<0,由題意/(一4支)>0,

又f(x)為奇函數(shù)，所以/(一/乃=-/(4x)>0,

所以f(%l)一/(%2)>0,即fQi)>f(x2),/(X)在[0,+8)上單調(diào)遞減,

因?yàn)?(X)為奇函數(shù)，所以/(?在(-8,0］單調(diào)遞減，

所以/(久)在R上單調(diào)遞減，

由f(x+y)=)(%)+/⑶)，可知f(5)=5/(1)=-10,

所以不等式/(產(chǎn)—t—2)—f(t+1)>—10,

等價(jià)于f(t2—t—2)+/(—t—1)=/(t2—2t—3)>/(5),

所以產(chǎn)一2t-3<5,解得一2<t<4,

所以，原不等式的解集為m-2<t<4}.

(1)利用賦值法，結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解；

(2)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式.

本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】y=v(V1600+x2一四+等),其中0WxW20.

4141

CP的長(zhǎng)度為9公里時(shí)，鋪設(shè)電纜的費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為喈3萬(wàn)元.

【解析】(1)由題意知，AP=V1600+%2,BP=20-%,

所以y=mV1600+%2+察(20—x)=m(V1600+x2-*+詈)，其中0W*W20.

⑵求導(dǎo)數(shù)，得上皿焉胃一急，

令廠加焉餐一方>°'解得9GW2。，

令y=m(Ix-^-)<0,得0WxW9,

V1600+x241y

所以y(x)在［0,9］上單調(diào)遞減，在［9,20］上單調(diào)遞增，

當(dāng)％=9時(shí)，y取得最小值.此時(shí)y(9)=等譬.

所以當(dāng)CP的長(zhǎng)度為9公里時(shí)，鋪設(shè)電纜的費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為筆"萬(wàn)元.

(1)由題意，利用勾股定理求出2P,再求BP和y關(guān)于x的函數(shù)；

(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值以及對(duì)應(yīng)x的值.

本題考查了函數(shù)模型與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題，

18.【答案】一巳

(i)(0,+oo).

(")證明見(jiàn)解答.

【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí)，/(%)=?！恪猂x>0),/0)=要.

2

令.九。)=詈—Ivx，則l.〃,(x)=--r-X—2x—/nx=2^/nx2—1，

令M(x)=0,解得％=yfe.

當(dāng)0V%<V~^時(shí)，//(%)<0,h(%)單減；當(dāng)％>V~^時(shí)，/i\x)>0,九(%)單增.

所以，當(dāng)久=時(shí)，九(%)取得極小值也是最小值％(，》)=-a,

所以，曲線/(%)切線斜率的最小值為-奈.

(2)(i)g(%)=xlnx+ax—~ax2(x>0),則g'(%)=Inx—ax+a+1,

若g(%)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則g'Q)在(0,+8)上存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，

令k(x)—g"。)=~~a(x>0)?

當(dāng)時(shí)，k(x)>0,“(%)單增，此時(shí)“(%)至多存在一個(gè)零點(diǎn)，舍去，

當(dāng)a>0時(shí)，k(%)=工—a=——!).當(dāng)0<%<工時(shí)，fc(x)>0,“(%)單增，當(dāng)％,工，

XXCLCLCL

11

時(shí)，k(x)<0,g'(%)單減.所以，當(dāng)％二公時(shí)，"(%)取極大值g'(￡)=a-Ina,

令p(a)=a—Ina,則p[a)=1-；=所以0Va<1時(shí)，p'(a)<0,p(a)單減，

當(dāng)a>l時(shí)，p(a)單增，所以p(a)存在極小值也是最小值p(l)=1.

1

所以，對(duì)V。>0,恒有“(%)的極大值g'(￡)=a-Ina>1>0,

i**,

當(dāng)久-?0時(shí)，g'(%)=M]-a%+a+1--8,“(%)的圖象在(0,/連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，存在%1C

(0》使得“(%i)=o.

當(dāng)久T+8時(shí)，“(%)T-00,同理，存在久2E(；，+8)，使得。'(%2)=。.

所以，對(duì)Va>0,“(%)在(0,+8)上存在兩個(gè)不同的變號(hào)零點(diǎn).

綜上，。的取值范圍為(0,+8).

(譏)證明：不妨設(shè)第1，%2是g'(%)="%-a%+a+1的兩個(gè)零點(diǎn)，且%1<%2，

貝ij仇％1—axr+a+1=0,lnx2—ax2+a+1=0,

兩式相減得：。="上也1,

%2—％1

兩式相加得：仇%1+lnx2+2a=a(%i+%2)—2,

于是要證％i%2>2。，只需證"％i+lnx2>-2a,只需證磯/+x2)>2,

即證空生，即證In這〉2個(gè)=尊衛(wèi)(*),

第2一%1%i%1+%2-2,+1

2

事實(shí)上，令t=^>l,h(t)=2加一監(jiān)9,=7——二=止之>0,

巧t+lt(t+l)/t(t+l)z

所以％(t)〉h(l)=O,所以不等式(*)成立，所以原不等式成立.

(1)結(jié)合切線的性質(zhì)求解即可.

(2)(i)結(jié)合極值點(diǎn)的定義求解.

(苴)設(shè)X]，乂2是g'Q)=億久一批+a+1的兩個(gè)