2024-2025學(xué)年天津一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=5,一z,則|z|=（）

A.<3B.<5C.3D.5

2.某同學(xué)統(tǒng)計了自2000年以來，中國代表隊在歷屆奧運會獲得金牌數(shù)如下（不含中國香港、中國臺灣）：28,

32,48,38,26,38,40,則這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為（）

A.26B.32C.35D.38

3.設(shè)m、n是兩條不同的直線，a、0、y是三個不同的平面.下列命題中正確的命題是（）

A.若a1y,￡_Ly,貝！la〃￡B.若m〃a,a〃￡,貝Uzn〃S

C.若a〃3，m1a,nip,則m//nD.若m_Ln,n//a,則m1a

4.“k<3”是“向量方=（憶1）與向量1=（2,—6）的夾角為鈍角”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

5.亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風(fēng)景的重要點綴.重檐圓亭

（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合體.已知某重檐涼亭的

圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側(cè)面積為（）

（參考公式：圓臺的表面積5=兀（%1+「2+=上/+「下。土上"由別是上、下底面的半徑，/是母線長））

A.3.87rm2B.3.67rm2C.7.27rm2D.11,347rm2

6.已知向量3=（1,6）,歷|=3,且向量方在向量方上的投影向量為例，則叵—面=（）

A.1B.2C.eD.V19

7.2025年春節(jié)期間國產(chǎn)動漫電影微B吒之魔童鬧海的爆火，引起人們對中國動漫產(chǎn)業(yè)的關(guān)注.某傳媒公司

為了了解中國動漫市場受眾群體的年齡（單位：歲）占比情況，調(diào)查了某電影院某天觀看動漫系列電影的觀眾

的年齡情況，并按照[8,18）,[18,28）,[28,38）,[38,48）,[48,58）,[58,68]分組，得到如下頻率分布表:

年齡分組[8,18)[18,28)[28,38)[38,48)[48,58)

頻率0.030.250.500.180.03

第1頁，共16頁

根據(jù)該表，估計中國動漫市場受眾群體年齡的中位數(shù)為（

A.36.6B.34.2C.32.4D.30.2

8.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，設(shè)事件4="第一次出現(xiàn)2點"，B=”第二次的

點數(shù)小于5點”，C="兩次點數(shù)之和為9"，。="兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，則下列說法不正確的是（）

A.B與4不互斥且B與力相互獨立B.B與C不互斥且B與C相互獨立

c.c與a互斥且c與力不相互獨立D.。與4不互斥且。與A相互獨立

9.冰雹猜想又稱考拉茲猜想、角谷猜想、3x+l猜想等，其描述為：任一正整數(shù)x,如果是奇數(shù)就乘以3再

加1,如果是偶數(shù)就除以2,反復(fù)計算，最終都將會得到數(shù)字1.例如：給出正整數(shù)5,則進(jìn)行這種反復(fù)運算

的過程為5-16-8-4-2-1,即按照這種運算規(guī)律進(jìn)行5次運算后得到1.若從正整數(shù)6,7,8,9,

10中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進(jìn)行運算，則運算次數(shù)均為偶數(shù)的概率為（）

337s

A-WB-5C-WD-6

10.在棱長為1的正方體4BCD—4/1C1D1中，ACHBD^0,E是線段/C（含端點）上的一動點，則

?OE1BD1；P'C.

②OE〃面&Ci。；

③三棱錐&-BDE的體積為定值；\

卷0E與4的所成的最大角為90。.

上述命題中正確的個數(shù)是（）匕二至③/

二、填空題：本題共6小題，共28分。

11.已知向量同=2,\b\=4,a,1的夾角為斜則|2方一目=

12.在復(fù)平面內(nèi)，向量成對應(yīng)的復(fù)數(shù)zi=1+2i,市繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后對應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z2,則Z2=.

13.有一組樣本數(shù)據(jù)：6,久口犯，…，X5，已知它的平均數(shù)為6,方差為10,則新數(shù)據(jù)打，久2，…，通的方

差為.

14.《易?系辭上》有‘'河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中國古代流傳下來的goo。8

兩幅神秘圖案，蘊含了深奧的宇宙星象之理，被譽為“宇宙魔方”，是中華文化陰!

陽術(shù)數(shù)之源.河圖的排列結(jié)構(gòu)如圖所示，一與六共宗居下，二與七為朋居上，三與八11喙〉f（

同道居左，四與九為友居右，五與十相守居中，其中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若!?????（

從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)，則其差的絕對值為5的概率為

第2頁，共16頁

尸1

15.如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于

中心位置的正八面體，也可將其六個頂點看作正方體各個面的中心點.若正八

面體的表面積為12C，則正八面體外接球的體積為-FC、/人

16.在邊長為1的正方形4BCD中，E為線段CD的三等分點，DE=^EC,BE=\/

4瓦？+〃或，則2+〃=F為線段BE上的動點，G為4F中點，則赤?說F6

的最小值為.

三、解答題：本題共4小題，共42分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

在面積為S的△ABC中，內(nèi)角4B,C,所對的邊分別為a,b,c,且照乎=喀.

sinAc+b

(1)求角c；

(2)若c=2，Z,S=2，豆，求△ABC的周長；

(3)若△力BC為銳角三角形，且AB邊上的高人為2,求△A8C面積的取值范圍.

18.(本小題10分)

“數(shù)學(xué)好玩”是國際著名數(shù)學(xué)家陳省身贈送給少年數(shù)學(xué)愛好者們的一句話某校為了更好地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精

神和實踐能力，激發(fā)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的興趣和熱情，特舉辦數(shù)學(xué)節(jié)活動.在活動中，共有20道數(shù)學(xué)問題，滿分

100分在所有的答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績分成六段：[40,50),[50,60),[90,100],

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；

(2)活動中，甲、乙、丙三位同學(xué)獨立參加競賽，已知甲同學(xué)答對了12道，乙同學(xué)答對了8道，丙同學(xué)答

對了n道，假設(shè)每道數(shù)學(xué)問題難度相當(dāng)，被答對的可能性都相同.

⑷任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率；

(譏)任選一道數(shù)學(xué)問題，若甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對的概率為求幾的值.

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19.(本小題11分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，AB//CD,AB1AD,。為棱力。的中點，P。_L平面4BCD,PA=4。=48=

2CD=2.

(1)求證：AC1PB；

⑵求C到平面POB的距離;

(3)求平面P4B與平面POB夾角的余弦值.

20.(本小題11分)

如圖，三棱錐4一BCD中，△ABD是邊長為2的等邊三角形，CD=2<3,平面ABD1平面BCD,AD1CD,

P,M分別為力D,CD的中點.

(1)證明：BP,平面4CD；

(2)求MP與平面BPC所成角的余弦值；

(3)求二面角P-BM-D的正弦值.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：因為(1+i)z=5i—z,

言=中=丑=1+2。

2+i55

所以由復(fù)數(shù)模的公式可知，|z|=VI2+22=75.

故選：B.

先求出復(fù)數(shù)，再利用模長公式可得答案.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：己知中國代表隊在歷屆奧運會獲得金牌數(shù)如下：28,32,48,38,26,38,40,

則從小到大的排列為26,28,32,38,38,40,48.

因為70%x7=4.9,所以這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為38.

故選：D.

根據(jù)百分位數(shù)的定義求解.

本題考查百分位數(shù)相關(guān)知識，屬于中檔題.

3.【答案】C

【解析】解：若aly,01y,貝!la與0可以成［0,到的任意角，所以4選項錯誤；

若m//a,a///?,則加〃￡或mu/?,所以B選項錯誤；

若a//0,7nla,n1/?,則m//n,所以C選項正確；

若m1n,n//a,則zn//a或mua或者m與a相交，所以。選項錯誤.

故選：C.

根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：若方與石的夾角為鈍角，則方?萬＜0且方與了不共線，

可得7°,解得卜＜3且k?g

當(dāng)k＜3時，kV3且左。一杯成立，反之成立，

第5頁，共16頁

所以“k<3”是“工與b的夾角為鈍角”的必要不充分條件.

故選：C.

根據(jù)五?萬<0且石與石不共線求出k的范圍可得答案.

本題主要考查了向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：由圖可知，圓臺的母線2=Jo.62+（笥與=1.,

；?圓臺的側(cè)面積S倒,=兀（r上+r廣）/=兀（|+竽）x1=3.8/im2,

故選：A.

由圖先求出圓臺的母線的長，再利用圓臺的側(cè)面積公式S潮=n（r上+r7r）2求解即可.

本題主要考查了圓臺的側(cè)面積公式，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：因為向量N在向量石上的投影向量為2?反即襄?石=義反

網(wǎng)4網(wǎng)43

所以第=9,又說=3,則無萬=3,

\o\3

又方=（1,,則|司=J12+（6）2=2,

所以0—1）2=22_2方.1+石2=4—2x3+9=7,

所以口一方|=C.

故選：C.

根據(jù)題意，由投影向量的定義可得3?石=3,再由向量的模長公式代入計算，即可得到結(jié)果.

本題考查了平面向量的數(shù)量積計算問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：由。。3+0.25=0.28<0.5,0.03+0.25+0.5=0.78>0.5,

可得中位數(shù)落在［28,38）內(nèi)，

設(shè)中位數(shù)為b,

貝I］0.03+0.25+^0.50=0.5,解得b=32.4.

故選：C.

先求出中位數(shù)落在［28,38）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為6,從而得到方程，求出答案.

本題考查中位數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

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8.【答案】B

【解析】解：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點數(shù)，

設(shè)事件力="第一次出現(xiàn)2點"，B="第二次的點數(shù)小于5點”，

C="兩次點數(shù)之和為9"，D="兩次點數(shù)之和為奇數(shù)”，

如第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，此時事件4B均發(fā)生，

力與B不是互斥事件，

依題意P⑷P(D)="T+：X；：，P(G=白/

又P(A8)=袤=5=P(H)P(8),即4與B相互獨立，故/正確；

第一次出現(xiàn)5點，第二次出現(xiàn)4點，此時事件C,B均發(fā)生，

??.C與B不是互斥事件，

P(BC)=叁=2片P(B)P(C),即8與C不相互獨立，故2錯誤；

P(4C)=07P(A)P(C),即4與C不相互獨立，C與力互斥，故C正確；

PQ4D)=磊=P(4)P(D)，即4與D相互獨立，第一次出現(xiàn)2點，第二次出現(xiàn)1點，

此時事件4、。均發(fā)生，，4與。不是互斥事件，故。正確.

故選:B.

根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的定義一一判斷即可.

本題考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】解：任一正整數(shù)x,如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是偶數(shù)就除以2,反復(fù)計算，最終都將會得

到數(shù)字1,

按照題中運算規(guī)律，

正整數(shù)6的運算過程為6f3fl0r5fl6-8—4—2-1,運算次數(shù)為8；

正整數(shù)7的部分運算過程為7722Tli-34-17r52-26-13-40-20-10,

當(dāng)運算到10時，運算次數(shù)為10,由正整數(shù)6的運算過程可知，

正整數(shù)7總的運算次數(shù)為10+6=16；

正整數(shù)8的運算次數(shù)為3；

正整數(shù)9的部分運算過程為9-28-14-7,當(dāng)運算到7時，運算次數(shù)為3,

由正整數(shù)7的運算過程可知，正整數(shù)9總的運算次數(shù)為3+16=19.

第7頁，共16頁

正整數(shù)10的運算次數(shù)為6；

故正整數(shù)6,7,8,9,10的運算次數(shù)分別為偶數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)，

從正整數(shù)6,7,8,9,10中任取2個數(shù)的方法總數(shù)為：

(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共10種，

其中的運算次數(shù)均為奇數(shù)的方法總數(shù)為：(6,7),(6,10),(7,10),共3種，

故從正整數(shù)6,7,8,9,10中任取2個數(shù)按照上述運算規(guī)律進(jìn)行運算，

則運算次數(shù)均為偶數(shù)的概率為余

故選：A.

根據(jù)題中定義，分別求出正整數(shù)6,7,8,9,10按照題中所給運算規(guī)律進(jìn)行運算的次數(shù)，最后根據(jù)古典概

型的概率計算公式進(jìn)行求解即可.

本題考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查異面直線、線面垂直的理解與應(yīng)用，考查分析與計算能力，屬于中檔題.

對4個選項，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：羽!J用1平面AB?OEu平面A/C,可得。E1B2,正確；

身！J用平面A/C//面力也道，可得。E//面力也道，正確；

③三棱錐&-BDE的體積=三棱錐E-&BD的體積，底面為定值，E到平面的距離&BD為定值，

二三棱錐力1-BDE的體積為定值，正確；

融在當(dāng)處，OE與&Ci所成的最大角為90。，正確.

故選D

11.【答案】4宿

【解析】解：方7=1畫后|cos爭=2x4x(—：)=—4,

所以|22一向=J(2方一方)2=J432—42+片=V16+16+16=4c.

故答案為：473.

根據(jù)向量的模長公式即可求解.

本題考查了向量數(shù)量積的計算公式，向量長度的求法，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】-2+i

第8頁，共16頁

【解析】解：由題意可設(shè)Z2=a+bi(a<0,b〉0),z?對應(yīng)的向量為(a,b),z1對應(yīng)的向量為(1,2),

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得Z2和Zi模相等，且它們對應(yīng)的向量垂直，

則的仁?解得仁2，

故Z2=-2+i.

故答案為：-2+i.

利用復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合復(fù)數(shù)的模相等求解即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合復(fù)數(shù)的模相等，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】12

【解析】解：因為數(shù)據(jù)：6,巧，&，…，苑的平均數(shù)為6,方差為10,

所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為弊6,設(shè)其方差為s2,

222

則10=*[(6-6)+(向-6)+(x2-6)+…+(x5-6)2],

所以Qi—6)2+(%2-6)2+???+(通—6)2=60,

所以s2="[(X1—6)2+3—6)2+…+(與-6)2]=第=12.

故答案為：12.

代入平均數(shù)和方差公式，即可求解.

本題考查平均數(shù)與方差的運算，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】i

【解析】解:?邛日數(shù)為1,3,5,7,9；陰數(shù)為2,4,6,8,10,

.??從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)的所有組合共有5x5=25個，

滿足差的絕對值為5的有(1,6),(3,8),(5,10),(7,2),(9,4)共5個，

所以所求概率為「=六=2

故答案為：

由陽數(shù)為1,3,5,7,9,陰數(shù)為2,4,6,8,10可得從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)的所有組合共有5X5=25

個，從而確定其中滿足差的絕對值為5的個數(shù)即可利用古典概型概率計算公式求出所求概率.

本題主要考查古典概型概率計算公式，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】4，百兀

第9頁，共16頁

【解析】解：如圖正八面體，連接尸3危，尸2/4交于點。，

因為尸1尸3=%尸5，尸#2=尸/4,

所以尸1。1尸3尸5,F101F2F4,又尸3尸5,尸2尸4為平面尸2尸3尸4尸5內(nèi)相交直線，

所以％。1平面尸2尸3尸4尸5，所以。為正八面體的中心，

設(shè)正八面體的外接球的半徑為R,因為正八面體的表面積為8x?色盛=1273,

解得F3F4=

即正八面體的棱長為丁石，

22

所以=F1F5=F4F5=<6,0F5=0,F1O=JFl瑤一。盛=J(<6)-(/3)=0，

則R==^TIR3=，x3/3=4737T.

故答案為：4<3TT.

根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件可得外接球的半徑，進(jìn)而由球的體積公式即得體積.

本題考查幾何體體積的計算，屬于中檔題.

16.【答案】稱一處

【解析】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

1

則4(0,0),C(l,l),￡>(0,1),磯右1),

又麗=ABA+面,

則(-1,1)=(-尢0)+(0,4)，

7

則a=〃=1,

即a+/1=|；

設(shè)品=mBE,0<m<1,

則方=(1—等,小)，

第10頁，共16頁

即66_與今），

則無=弓一?4—1）,

則都?DG=（1-孚）（,一?）+m（y-1）=y|m2-+

3ZOZloDZ

5

又~^13>1，

2x監(jiān)

即當(dāng)m=l時，9.反取最小值

故答案為：

由平面向量數(shù)量積的運算，結(jié)合平面向量的線性運算及二次函數(shù)最值的求法求解即可.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量的線性運算及二次函數(shù)最值的求法，屬中檔題.

17.【答案嗎

273+6；

a-b

【解析】⑴因為―,由正弦定理可得修=

2產(chǎn)aac+b'

整理可得+62-c2=ab,由余弦定理可得小+62—c2=2abcosC,

可得cosC=

因CC(0,7T),則C=*

(2)c=2<3,S=273,。=與

因為S=^absinC=-^-ctb=2V-3,所以ab=8,

再由余弦定理可得：a2+/?2—2abcosC=c2=12,即(a+Z))2—Sab=12,

即(a+b)2=36,解得a+b=6,

所以△4BC周長為c+a+b=2V-3+6；

⑶由SAABC==1abs譏C可得：4c=V_3a/),

由正弦定理，="^=-7=丑稱=苧，即得：5=二^,。=一^,

sin力sinBsinC々.v32sinAsinB

1,.z，122K<3<3<3

貝！JSa/Bc=-absinC=—x.x.x--=.不八.4=-F=----：-------

22sinBsinA2sm(^-^-A)sinA(學(xué)ocsZ+4s譏/)sin/

________/3_______________46_4門

一半s譏24I了一芋2/―^sin2A-cos2A+l~2sm(2i4-1)+l，

第11頁，共16頁

0<4

由△ABC為銳角三角形，貝妹2無爐解得￡<力<]

[0<^-A<^62

則聿<24—<系,|<sin(24-^)<1,

故得^<S^ABC<2V-3,

即△ABC面積的取值范圍為[苧,2C).

(1)利用正弦定理將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系，再通過余弦定理求出角C.

(2)先由三角形面積公式求出M的值，再結(jié)合余弦定理求出a+b的值，進(jìn)而得到三角形的周長.

(3)根據(jù)三角形面積公式得到a,b與面積S的關(guān)系，再利用正弦定理和銳角三角形的條件確定角力的范圍，從

而得出面積的取值范圍.

本題考查正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，銳角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，輔助角公式的應(yīng)用，

屬于中檔題.

18.【答案】解:(1)由頻率分布直方圖得10x(0.005+0.010x2+0.020+0.025+a)=1,解得a=0.030,

設(shè)數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為無，

(0.005+0.010+0.020)X10<0.5,

(0.005+0.010+0.020+0.030)x10>0.5,

中位數(shù)xe(70,80),

10x(0.005+0.010+0,020)+0.03X(%-70)=0.5,

解得x=75,

所以估計該校全體學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為75.

(2)設(shè)力="任選一道題，甲答對"，B="任選一道題，乙答對"，C="任選一道題，丙答對”，

則由古典概型概率計算公式得：PQ4)=券P(B)=磊P(C)=3

NiUDNiUO乙U

所以有P(1)=l,p山)=1,P(")=l-粉

(i)記D="甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對"，則有D=ABUAB,且有力B與力B互斥，

因為每位同學(xué)獨立作答，所以4B互相獨立，貝!M與B,力與B,4與B均相互獨立，

所以PQ4BU4B)=P(4B)+PQ4B)=P(4)P(B)+PQ4)P(B)屋X,+,x)=^,

所以任選一道數(shù)學(xué)問題，求甲、乙兩位同學(xué)恰有一人答對的概率

第12頁，共16頁

(ii)記E="甲、乙、兩三個人中至少有一個人答對“，貝

所以P(E)=1-P(E)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-1x|x(1-^)=||,

解得：n-10.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求a,根據(jù)中位數(shù)公式計算即可；

(2)(i)根據(jù)古典概型概率公式求解即可；

(譏)根據(jù)對立事件的性質(zhì)求得甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對的概率，列方程求解即可.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查中位數(shù)的計算，考查相互獨立事件的乘法公式，是中檔題.

19.【答案】(1)證明：由題可知。P,AD,4B兩兩互相垂直,

所以以。為坐標(biāo)原點，。4所在直線為x軸，過。與AB平行的直線為y軸，0P所在直線為z軸,

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.

。為棱力。的中點,

易知2(1,0,0),B(l,2,0),C(-1,1,0),P(0,0,73).

所以前=(-2,1,0),PB=(1,2,—73)，

所以衣?麗=0，

所以力C1PB.

(2)解：由(1)知麗=(1,2,0),加=(0,0,后)，

設(shè)平面POB的一個法向量為萬=(x,y,z),

則怦?沅=。，即儀2y=0,

取y=l,則平面POB的一個法向量記=(—2,1,0).

又因為泥=(―1,1,0)，

所以C到平面POB的距離d=率瞿=*=挈.

|m|V55

(3)解：由(1)知巨5=(1,0,-73),=(0,2,0)，

設(shè)平面P4B的一個法向量為元=(x,y,z),

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則有陰？=0,即夕VJz=o,

(4B?元=0(2y=0

取z=1,平面P48的一個法向量元=(73,0,1).

設(shè)平面P4B與平面P08的夾角為仇

則cosJ=Icos〈記國〉|=舒=焉=年,

所以平面P4B與平面POB夾角的余弦值為手.

【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法證明線線垂直;

(2)用空間向量的方法求點到面的距離；

(3)用空間向量的方法求面面角的余弦值.

本題主要考查線線垂直的證明，點到平面距離的求法，平面與平面所成角的求法，考查運算求解能力，屬

于中檔題.

20.【答案】證明見解析.

7VI3

26,

77

【解析】(1)證明：三棱錐A—BCD中，△48。是邊長為2的等邊三角形,

CD=26,平面力BD1平面BCD,AD1CD,

P,M分別為力D,CD的中點，

取BD中點E,連接AE,

???△力BD是等邊三角形，AE1BD,

?平面4BD1平面BCD,平面力BDCl平面BCD=BD,AEu平面力B0,

AEJ_平面BCD,???CDu平面BCD,?-?AE1CD.

CD1AD,AD^AE=A,AD,AEu平面ABD,

CD_L平面力BD,而BPu平面ABD,.-.CDIBP,

???P為ZD的中點，???BP1AD,

???CDCAD=D,CD,ADu平面ACD,

???BP1平