2024-2025學(xué)年云南省煤炭第一中學(xué)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合a=卜eN|芝|wo},B={x\y=ig（i一久）},則anF=（）

A.[-2,1]B.[-2,1)c.[-2,-1,0}D.{0}

2.在團(tuán)ABC,點(diǎn)P是中線力。上一點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，且配=%瓦？+y豆乙則工+勺的最小值是().

xy

A.8B.16C.18D.25

3.設(shè)函數(shù)/(%)=zn%2一M%一1,命題“m%e4一TH+2”是假命題，則實(shí)數(shù)7n的取值范圍為()

A.(-8,哥B.(―8,3]C.6,+8)D.(3,+8)

4.一組數(shù)據(jù)久1，%2,...?乂10滿足U-々-1=2(2WiW10),若去掉勺。后組成一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)

與原數(shù)據(jù)相比，下列說(shuō)法正確的是()

A.方差變小B.平均數(shù)變大C.極差變大D.中位數(shù)變小

5.如圖，在三棱錐S—4BC中，EMBC為等邊三角形，SALAB,SB=SC,若，4+48=2,則三棱錐S—

ABC外接球半徑的最小值為()

AB.?D.殍

77C.7,

TI2i、

6.已知cos（x,+\彳）=3177r,<x<7n7，^.,則sin—2x+—2si-T-i-x=（/）

\4751241—tanx

A—生R型D島

A，7575C0，100

7.已知函數(shù)f(%)=(x—a—l)ex—bx(^―a)在R上單調(diào)遞增，貝！Jb—。的最小值為()

A.0B.1D.e

8.過(guò)點(diǎn)(1,0)可以作兩條直線與曲線/(%)=ex+lnx-t相切，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()

A.(l,e)B.C.(一力)D.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.若隹=6第，則"的值為6

28a-a=

B.若(1—2x)8=為+a1x+a2x+.--+a8x,則的+a2+3+"+s0

C.5555被8除的余數(shù)為7

D.已知隨機(jī)變量f?N(41)，若P(f>6)=|,則P(4<f<6)=|

10.已知雙曲線C:盤(pán)—，=l(a〉0,b>0)的漸近線方程為y=±x,左、右焦點(diǎn)分別為&尸2，過(guò)點(diǎn)F2的直

線/與雙曲線C的右支交于P,Q兩點(diǎn)，貝版)

A.雙曲線C的離心率為，2

B.若PQ1F/2,則|PQ|=42\FrF2\

C.若|PQ|=\PFr\,則tan“PFi=-3/7

D.若a=YI,直線1的傾斜角為60。，貝U|PQ|=4，1

11.若函數(shù)。(久)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)出,函數(shù)值/(殉)，f(x0),g(>o)均為遞增的等差數(shù)

列，貝1()

A.函數(shù)y=/(久)可能為奇函數(shù)B.函數(shù)y=f(x)存在最大值

C.函數(shù)y=f(x)存在最小值D.函數(shù)y=/(久)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1-9-胃等于.

13.已知｛即｝是首項(xiàng)為a,公差為1的等差數(shù)列，,=匕出,若對(duì)任意的neN*,都有g(shù)三為成立，則實(shí)數(shù)

an

a的取值范圍是

14.在EI4BC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且爐+c?-a?=—be,b=2,則a?—2的取值

范圍為?

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知拋物線My=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸為橢圓N:￡+(=1的右焦點(diǎn)，且N的左、右頂點(diǎn)分別為C,D.

(1)求M的方程；

(2)求以CF為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)。且傾斜角為135。的直線1與M交于4B兩點(diǎn)，求|48|.

16.(本小題12分)

如圖，在六面體ABC-4必當(dāng)?shù)闹?，平面ABC〃平面4D/1G,AA、〃CC[BC=2B&=2,=

(2)若CCi1平面ABC,AC=2,CQ=1,求直線4區(qū)與平面BCD1所成角的正弦值.

17.(本小題12分)

已知數(shù)列｛a^i｝[兩足=L。2=3,%1+2=3。0+1—eN*).

(/)證明：數(shù)列｛廝+1—是等比數(shù)列；

(〃)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

b

(〃1)若數(shù)列｛^｝滿足4"T4“T…4%T=(an+l)?(neN*),證明｛g｝是等差數(shù)列

18.(本小題12分)

函數(shù)/(久)=ex—ax,aER.

(1)證明：當(dāng)a=l時(shí)，/(x)>In%+1.

(2)當(dāng)xNO時(shí)，f(久)N(x+I)?恒成立，求a的取值范圍.

19.(本小題12分)

深圳是一個(gè)沿海城市，擁有大梅沙等多樣的海濱景點(diǎn)，每年夏天都有大量游客來(lái)游玩.為了合理配置旅游資

源，文旅部門(mén)對(duì)來(lái)大梅沙游玩的游客進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中|的人選擇只游覽海濱棧道，另外,的

人選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩.每位游客若選擇只游覽海濱棧道，貝U記1分；若選擇既游覽海濱

棧道又到海濱公園游玩，貝IJ記2分.假設(shè)游客之間的旅游選擇意愿相互獨(dú)立，視頻率為概率.

(1)從游客中隨機(jī)抽取2人，記這2人的合計(jì)得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)從游客中隨機(jī)抽取n個(gè)人56N*),記這幾個(gè)人的合計(jì)得分恰為n+1分的概率為pn,求￡之建門(mén)

(3)從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計(jì)得分恰為n分(neN*)的概率為a”，隨著抽取人數(shù)的無(wú)限增

加，廝是否趨近于某個(gè)常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案解析

1.【答案】D

【解析】【分析】解分式不等式、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求定義域得到集合，再由交運(yùn)算求結(jié)果.

【詳解】由等<0=>+2)(廠2)W0=七w%<2,則2={0,1},

久一25—2W0

根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知B={x\x<1},則AnB={0}.

故選：D

2.【答案】D

【解析】【分析】利用共線向量定理的推論可得x+2y=1,且龍〉0,y>0,再根據(jù)“1”的代換，運(yùn)用

基本不等式可解.

【詳解】由。是BC的中點(diǎn)得端=2而，所以前=x瓦？+y^=無(wú)瓦？+2y前，

因?yàn)?P,D三點(diǎn)共線，所以久+2y=l(x>0,y>0),

所以工+9=(1+為(x+2y)=17+^+—>17+2/^-―=25,

xyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)打=足，即y=2久=|時(shí)取等號(hào)，

xyy5

所以工+烏的最小值是25.

xy

故選：D

3.【答案】D

【解析】【分析】由命題，xe[l,3],f(x)W-m+2”是假命題可得其否定為真命題，結(jié)合不等式恒成立

問(wèn)題的解決方法可求機(jī)的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槊}"SxG[l,3],f(x)<-m+2”是假命題，

所以VxG[1,3],/(x)>—m+2,

又f(x)>—m+2可化為_(kāi)mx—1>—m+2,即771(——%+1)>3,

當(dāng)xC[1,3]時(shí)，x2-x+16[1,7],

所以771>/，+[在xe[1,3]上恒成立，

所以機(jī)>(』?)其中xe[l，3],

—ATI/max

當(dāng)x=1時(shí)/-x+1有最小值為1,此時(shí)力衛(wèi)工有最大值為3,

%z—%+1

所以771>3,

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3,+8),

故選：D

4.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)極差，平均數(shù)，方差與中位數(shù)的定義計(jì)算出去掉與,％1。前后的相關(guān)數(shù)據(jù)，比較后即

可得解.

【詳解】由于々一%；_1=2(2<i<10),

故無(wú)2=乂1+2,%3=+4，...,x9—+16,%10=久1+18,

對(duì)8：原來(lái)的平均數(shù)為叼+“2：0”+叼°=W需=久］+9,

去掉打，久io后的平均數(shù)為量空』=駕工=X1+9,

OO

平均數(shù)不變，故8錯(cuò)誤；

對(duì)從原來(lái)的方差為-一/-9)2+區(qū)-當(dāng)；)2+…+3。-n-9)2=33,

去掉醫(yī)外0后的方差為6-叼-9)2+(工3-叼；9)2+...+(久9-叼-9)2=21,

O

方差變小，故A正確；

對(duì)C：原來(lái)的極差為=18,去掉Xi，/。后，極差為%9-％2=14,

極差變小，故C錯(cuò)誤；

對(duì)。：原來(lái)的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為空=智嶼=/+9,

故中位數(shù)不變，故。錯(cuò)誤.

故選：A.

5.【答案】D

【解析】【分析】取BC中點(diǎn)E,連接SE,AE,貝UBC1SE,BCLAE,先證明S41平面力BC,可得三棱錐

S—4BC的外接球球心。必在過(guò)回4BC的中心。1，且平行于S4的直線上，0。1=區(qū)4設(shè)力B=久(0<久<

1),結(jié)合勾股定理可得R2=5(％-分2+小進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】如圖，取BC中點(diǎn)E,連接SE,AE,則BC1SE,BCLAE,

s

又SEcaE=E,u平面ASE,

所以BCi平面asE,又sau平面asE,所以BCIs力，

又S41AB,ABCBC=B,u平面ABC,

所以sai平面4BC,

所以三棱錐S-ABC的外接球球心。必在過(guò)團(tuán)ABC的中心。1，且平行于S4的直線上，。。1=

設(shè)4B=久（0<%<1）,又S2+48=2,

所以S4=2—%,A。1=

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球半徑為R,

則腔=AOl+001-今/-%+1=:（*一另2+$

所以當(dāng)X=2七in/Rmin=矍.

故選：D.

6.【答案】A

【解析】【分析】利用平方關(guān)系與和差公式求出sinx,cosx,然后結(jié)合二倍角公式和商數(shù)關(guān)系即可得解.

【詳解】由cos（%+；）=苧cosx—苧sinx=|得cos久—sinx=①.

因?yàn)榉?lt;%<?，所以:<%+3<2兀，所以sin（%+：）=Y，

即苧sinx+號(hào)cosx=|,得sinx+cosx=—②.

由①②解得sinx=-^,cosx=

rji.isinZx+Zsin2%_2sinxcosx+2sinxsinx_2sinxcosx（cosx+sinx）

、1—tan%i—sinxcosx—sinx'

cosx

=2x（一需）x（一祭）x（-吟—卷）=_28

一%7互~~75,

10十10

故選：A

7.【答案】B

【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)在R單調(diào)遞增，即((久)20在R恒成立，解得a=lnb,再構(gòu)造函數(shù)g(a)=

ea-a,通過(guò)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性即可求解.

【詳解】由題意，函數(shù)“x)=(x—a—1)靖—族(尹。的定義域?yàn)镽,

導(dǎo)函數(shù)為/⑶=ex+(x-a-l)ex-[岫-a)+y]=(x-a)(ex-b),

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R單調(diào)遞增，

所以/'(%)=(%-a)(ex-b)>0在R恒成立，

a

所以Q=Inb,即b=e,

故b—a=ea—a,

令g(a)=ea—a,則g'(a)=ea—1,

令g[a)>0,則a>0,

令g'(d)<0,則a<0,

所以g(a)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以g(a)min=g(。)=1，

所以b-。的最小值為1.

故選：B.

8.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式方程可得曲線/(%)的切線方程，從而將問(wèn)題化為

y=t與y=g(jn)=-em(jn2-m-1)在(0,+8)有2個(gè)交點(diǎn)，再求g'Gn),從而根據(jù)gGn)的單調(diào)性及極值

即可求解.

【詳解】因?yàn)閥=/(%)=ex+lnx—t=xex—t(x>0),

所以/'(%)=ex(x+1),

設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,0)的切線切曲線于點(diǎn)(皿血?6-t)(jn>0),

則切線方程為y—(jnem—t)=[em(m+l)](x—m),

又切線過(guò)點(diǎn)(1,0),

所以0—(me7n—t)=[em(jn+1)](1—m),

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(1,0)可以作兩條直線與曲線/(%)=靖+】11%-1相切，

所以方程t=-em(jn2-m-1)在(0,+8)有2解，

所以y=1與y=,g(m)=-em(m2-m-1)在(0,+8)有2個(gè)交點(diǎn),

又g'(m)=—em(m+2)(m—1),

令g<7n)=0,可得zn=-2或m=1,

當(dāng)me(0,1)時(shí)，gr(jn)>0,此時(shí)g(m)單調(diào)遞增；

當(dāng)mW(1,+8)時(shí)，g'(?n)<0,g(?n)單調(diào)遞減，

所以g(m)的極大值為g(l)=e,又g(0)=1,m—+8時(shí)，gQn)t-OO,

所以要使y=力與y=-em(m2-m-1)在(0,+8)有2個(gè)交點(diǎn)，則需1<t<e.

故選：A.

9.【答案】BC

【解析】【分析】應(yīng)用組合數(shù)及排列數(shù)運(yùn)算得出4應(yīng)用賦值法計(jì)算判斷8,應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)式計(jì)算得出余

數(shù)判斷C,應(yīng)用正態(tài)分布對(duì)稱性計(jì)算判斷。.

【詳解】因?yàn)?卷=6第，所以以n—l)(n—2)=6也二娛鬻2，所以幾―3=4,所以幾=7,2選項(xiàng)錯(cuò)

JLXZX3X4

誤；

因—2%)8=CLQ+CL-^X+a2%?+,,,+他％%

令％=1得為+a1+%+。3+…+。8=(1—2)8=1,

_1

令％=0得I?=a0,則a[+。2+。3------H^8=1-1=0，8選項(xiàng)正確；

5555=(56-I)55=砥(-1)。x5655+C^(-l)1x5654+…+C^(-l)54x561+C^(-l)55x56°,

砥(-1)。x5655+程5(—1)1x5654+…+C:(—1)54X561是8的倍數(shù)，

所以C,(-1)55x56。=-1除8的余數(shù)是5555被8除的余數(shù)，5555被8除的余數(shù)為7,。選項(xiàng)正確；

隨機(jī)變量f?N(4,沙若P(f26)=",則P(4<f<6)=；_.=1,D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：BC.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】對(duì)于4選項(xiàng)：由漸近線方程為丫=±尢得到。=6,從而求出離心率；對(duì)于B選項(xiàng)：PQ1

2b2

6F2時(shí)，求出通徑長(zhǎng)|PQ|=弓-,與焦距長(zhǎng)相比即可得到長(zhǎng)度關(guān)系；對(duì)于C選項(xiàng)：結(jié)合雙曲線的定義，在回

2_2_n

X―七,通過(guò)韋達(dá)定理求弦長(zhǎng)即可.

{y=V3(%-2)

【詳解】依題意可知a=b,貝Ue=(==，！，故A正確；

22戶

若PQ1&F2,則|PQI=乎，故黑=去=苧，故8錯(cuò)誤；

a|六1六21NC乙

不妨設(shè)a=1,因?yàn)閨PQ|=|P0|=\PF2\+\F2Q\,

貝“p&l—|P&|=|&QI=2,則|QF/=4,而|F/2|=2/I,

則在國(guó)Q&F2中，由余弦定理，C0SN&QF2=_哭紙昌3COSNPQa,

NMFlllQ卜21=4

貝“COSNQP&=cos(7T-24PQFJ=1-2COS2APQF=一!，貝l]tanNQP&=—30,故C正確;

1O

聯(lián)立則/一6%+7=0,

所以久p+XQ=6,xP-XQ-7,\xP—XQ\—2V~2,

則|PQ|=V1+H陣一和|=4彘,故。正確.

11.【答案】CD

【解析】【分析】通過(guò)分析函數(shù)/(久)的一次導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，以及函數(shù)的零

點(diǎn)，即可得出答案.

【詳解】由題意，

在函數(shù)/0)中，函數(shù)g(x)為函數(shù)((%)的導(dǎo)函數(shù)，

設(shè)d(x)=f(x)-f(x)>0,則d'(x)=g(x)-f'(x)>0,

由題意可知：f(x)+g(x)=

則d'Q)=d(x),即d'(x)—dQ)=0,

故eXd'Q)eXd(x)_(d(x)j_O

則存在正實(shí)數(shù)a滿足：3?=a,即d(x)=a-eX,即((%)-/(x)=a?e”,

故空△筆其3=(等)'=a,存在實(shí)數(shù)b滿足：^-=ax+b,

故/(%)=(a%+b)-ex,a>0,bER,

故((%)=/(%)+a-ex=(ax+a+h)-ex,

???當(dāng)％6(—8,—彳—1)時(shí)，/z(x)<0,當(dāng)％e—1,+8)時(shí)，/(%)>0,

，?f(%)在(—8,—2—1)單調(diào)遞減，在(—'—11+8)單調(diào)遞增.

對(duì)于4由/Q)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=/(%)不可能為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,對(duì)任意實(shí)數(shù)%,當(dāng)久—+8時(shí)，/(%)T+8,故函數(shù)f(%)沒(méi)有最大值，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,/(%)在％=-5-1時(shí)取得最小值，故。正確；

對(duì)于D,因?yàn)楹瘮?shù)/(%)?eT=a%+b有且僅有一個(gè)零點(diǎn)-，，而＞0,故函數(shù)y=/(%)有且僅有一個(gè)零

點(diǎn)一2故。正確，

a

故選：CD.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的求導(dǎo)，二次求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具有極強(qiáng)的綜合性.

12.【答案】—4i

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】復(fù)數(shù)(If-裳=-2-倒粽=-2一當(dāng)一4i.

故答案為：-4i.

13.【答案】(一4,一3)

【解析】【分析】根據(jù)6n=3的通項(xiàng)公式，討論其單調(diào)性，從而找到參數(shù)的取值范圍.

【詳解】由題可知：刈=1+短匕

當(dāng)nG(-00,1-a)和(1-a,+co),該數(shù)列單調(diào)遞減.

若1-aWO,則該數(shù)列在neN+時(shí)，單調(diào)遞減，不可能滿足題意；

若1—a〉0,要滿足題意，只需：1—a6(4,5)

解得：ae(—4,—3).

故答案為：(―4,一3).

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，要用函數(shù)的角度去看待數(shù)列的單調(diào)性，同時(shí)也要注意其與函數(shù)不同的

點(diǎn).

14.【答案】(4,+8)

【解析】【分析】利用余弦定理求出4=亭，由正弦定理得到。=總，c=駕，a?—02=駕+2,由

3smBsmBtanB

于0VB可得手|+2〉4,得到答案.

3tanB

【詳解】由題意爐+c2—a2=—be,b=2,

Z?+c2—a2

可得cos/=—be

2bc2bc

由于0<A<7T,

可得a="

由題意利用正弦定理可得

sinBsinC

pr??2_「2=_2__4s譏2c=3-4s譏2岸叫

'sin2Bsin2Bsin2B

2

2

3-4(芋cosB-基同/23sin5cosB+2sin52AA3,N

=------------------------=--------------5---------=-------FZ,

siri^Bsin2-BtanB

由于0<8<3，可得0VtanF<V-3>可得;一?>-7=?

3tanBV3

可得+2>4,

tanB

所以十一的取值范圍為(4,+00).

故答案為：(4,+8).

15.【答案】【詳解】(1)因?yàn)?一5=4,所以N的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

所以*2,即p=4,

所以M的方程為y2=8%.

(2)依題意得C的坐標(biāo)為(一3,0),

所以線段CF的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-20).

因?yàn)橐訡F為直徑的圓的半徑R=等=1

所以以CF為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(％+)+*=率

(3)依題意可得直線2的方程為y=-x+3.

,(y——x+3,，

由2o得/9—14x+9=0.

U=8x,

設(shè)8(%2，丫2)，貝必=14?—36>0,xT+x2=14,x1x2=9,

2

貝!=V1+k\xr—x2\=V-2-J(%i+冷/一4%I%2=V_2xV160=8V-5.

【解析】【分析】(1)先計(jì)算求出橢圓的焦點(diǎn)，再結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)得出拋物線方程；

(2)根據(jù)CF為直徑得出圓心及半徑即可得出圓的方程；

(3)先聯(lián)立方程組，再應(yīng)用弦長(zhǎng)公式計(jì)算求解.

16.【答案】【詳解】(1)設(shè)AB,BC中點(diǎn)分別為E,F,連接E%FB1；

由于平面ABC〃平面平面ABCC平面=AB,

平面C平面ZBDMi=41。1，

所以〃4%

又E是力B的中點(diǎn)，貝

1

由于48,所以4E//&D1，力5=41。1，

所以四邊形4EDi必是平行四邊形，所以44//ED],

同理，可得CCJ/FB]

又44i〃CC「所以ED'/FBr

所以確定平面EFB/i，又平面￡尸81。1C平面48c=EF,

平面EFBiAn平面4=B]D],

所以EfY/ZA，

由于EF是回ABC的中位線，貝UEF//4C,

所以4C〃Bi%

而B(niǎo)i%u平面BBiA，ACC平面

所以2C〃平面BBi%.

(2)在團(tuán)ABC中，因?yàn)锽C=2,AC=2,AB=2A<2,

所以=BO2+心，則"_LBC.

由于CCi_L平面力BC,

所以以。為原點(diǎn)，CA.CB、CG分別x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C—xyz,

則4(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),。式1,1,1),

所以方=(0,2,0),西=(1,1,1),砧=(-1,1,1)，

設(shè)平面BCD1的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

上取北所以降二=0,

取x=-1,貝！Jy=0,z=l,

所以元=(—1,0,1)為平面8cA的一個(gè)法向量.

設(shè)直線4%與平面BCD1所成角為0,

則SE。=|cos〈君砧〉|==口=孚，

所以直線45與平面BCQ所成角。的正弦值為苧.

【解析】【分析】(1)設(shè)4B,BC中點(diǎn)分別為E,F,由面面平行性質(zhì)定理證明力B〃4再證明

AAJ/ED^,CCJ/FBr,由此證明EF〃BiZ\,由平行的傳遞性證明4C〃BiD「再由線面平行判定定理證

明結(jié)論；

(2)結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，求直線4名的方向向量與平面BCD1的法向量，結(jié)合向量夾角公式求結(jié)論.

17.【答案】【詳解】(/)證明：???廝+2=3an+1-2an,

an+2—an+l=2(。九+1—Q九),

,*,a1—1,0,2=3,

斯+、

----2-----Q-/-i+-1=2(nENz*).

。幾+1一。九

???[an+1-是以g-%=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(〃)解:由(/)得冊(cè)+1-。九二2九(71GN*),

???an=(an一an-l)+(an-l一an-2)+--■+(a2-al)+al

=2n-1+2九一2+…+2+1

=2n-l(neN*>

(/〃)證明：???4憶14匕2T…4%T=(an+1)如，

nb

...^b1+b2+.：+bn)-n_2nf

???2[(瓦+b2+...+bn)-n]=ri跖①

2[(瓦+b2+...+bn+bn+1)-(n+1)]=(九+l)^n+i-(D

②一①，得2(b九+i—1)=(九+l)6n+i—nbn,

即(九一1)5rl+i-nbn+2=0.③)

nbn+2—(n+l)6n+1+2=0.④

④一③，得九%+2-2nhn+1+nbn=0,

即，i+2—2b九+i+bn=0,

—

b九+2—匕九+i=匕+1bn(n6N*),

???{%}是等差數(shù)列.

【解析】略

18.【答案】【詳解】(1)證明：a=1時(shí)，要證e%—%>InX+1,BPex—x—Inx—1>0.

設(shè)m(%)=ex—x—Inx—1,則zn'(%)=ex—1—p%>0.

x

紡i(%)=e—1--f%>0,則/(%)=e%+/>0在(0,+8)上恒成立.

所以租'(%)=ex-1在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又根'(l)=e-2>0,m'g)=e?-3<0,則方程加(久)=0只有一解，設(shè)為與，

且乂。6&1),1。-1號(hào)=。，

當(dāng)0<%<%。時(shí)，mf(x)<0,當(dāng)%>%。時(shí)，TH'(%)>0.

所以771(%)在(0,X。)上單調(diào)遞減，在(%o,+8)上單調(diào)遞增.

所以zn(%)min=rn(x)=ex0-XQ-lnx-1=---%o_lnx.

00%o0

因?yàn)?oW信,1)所以?！?,XQ<1,lnx0<0,所以工—XQ—lnx0>0.

即7H(%)min>。，所以e*-%-In%-1>0在(0,+8)上恒成立.從而原命題成立.

(2)當(dāng)％>0時(shí),/(%)>(%+I)2=^>—ax>(%+l)2ax<ex—(x+I)2,

當(dāng)％=0時(shí)，上式恒成立，即aER；

當(dāng)x>0時(shí)，a<e%-(x+1)2.

X

設(shè)g(%)=,x>o,

xx2

mrl,,、[e-2(%+l)]-x-[e-(x+l)](%-l)(e^-x-l)

則g(%)=---------/---------=—m—'

設(shè)九(%)=ex—x—1,x>0,則九'(%)=ex—1>0在(0,+8)上恒成立,

即以%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又九(0)=e°-0-1=0,所以/-%-1>0在(0,+8)上恒成立.

所以由g'Q)>0=>x>1,由g'Q)<0=>0<x<l.

所以g(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(%)min=g(l)=e-4,所以a<e-4.

綜上可知：。的取值范圍為(一8,?-4].

【解析】【分析】(1)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明e%-％-In%-1>0,設(shè)租(%)