14.2（第3課時）邊邊邊（原卷版）

目錄

類型一、判定方法SSS的識別.....................................................................1

類型二、用SSS證明三角形全等...................................................................3

類型三、全等的性質(zhì)與SSS綜合...................................................................3

夯基

類型一、判定方法SSS的識別

1.如圖，在VABC與△DCB中，若AB=CD,AC=DB,則△ABC四△OCB,這個結(jié)論的理由是（）

2.木工是古代社會中一種很重要的手工業(yè)，木工師傅積累的許多經(jīng)驗可以用數(shù)學(xué)知識解釋.如畫角平分線：

如圖，在已知的NAO3的兩邊分別取加=ON,將無彈性的繩子對折標記折痕（即繩子中點P）,將繩子

兩端分別固定在點〃、N處，從折痕點P處拉直繩子，點尸在平面—AO3內(nèi)，則。尸平分/AOB.原理是

構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得出/4O尸=/3OP.這里三角形全等的判定方法是（）

SASC.AASD.ASA

3.分水油紙傘是瀘州市江陽區(qū)分水嶺鎮(zhèn)特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn).油紙傘制

作非常巧妙，其中蘊含著許多數(shù)學(xué)知識.如圖是油紙傘的張開示意圖，GE=Gb,則△MG之△AFG

的判定依據(jù)是（）

C.AASD.SSS

4.如圖，AB=AC,BD=CD,則可推出（）

A./XBAD注ABCDB.△ABD^AACD

C.AACD^ABCDD.ACE^BDE

5.下列三角形中，與如圖所示的VABC全等的是（）

6.如圖所示，VABC中，AB=AC,EB=EC,則由“SSS”可以判定（）

A.AABD^AACDB.AABE/AACE

C.BDE^CDED.以上都不對

7.數(shù)學(xué)活動課上，嘉嘉與淇淇兩名同學(xué)各用長為a/,c的3根木棒首尾相接拼成三角形.

嘉嘉說："我不用測量，就知道這兩個三角形的三個內(nèi)角分別相等."

淇淇說："我不用畫圖，就知道兩個三角形中長為6的邊上的中線相等.”

關(guān)于二人的說法，判斷正確的是（）

A.嘉嘉的說法正確，淇淇的說法錯誤B.嘉嘉的說法錯誤，淇淇的說法正確

C.兩人的說法都正確D.兩人的說法都錯誤

類型二、用SSS證明三角形全等

8.如圖，A,B,C,D四點共線，AB=CD,CF=BE,AF=DE.求證：△ACFdDBE.

BC=DE,AC=AE.求證：AABC/AADE.

10.如圖，A,B,C,。四點依次在同一條直線上，AB=CD,EC=FB,AE=DF.求證：AAEC/ADFB.

11.如圖，點。，A,E,B在同一直線上，EF=BC,DF^AC,DA=EB.求證：DEF'ABC.

12.如圖，A、D、C、/在一條直線上，與DE交于點G,AD=CF,AB=DE,BC=EF,求證:

AABC^ADEF.

類型三、全等的性質(zhì)與SSS綜合

13.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,ZA+ZC=100°,貝=

AD

AB=CD,AE=CF,BF=DE,

⑴求證：AABEdCDF；

(2)求證：NDAE=/BCF；

15.如圖，點A、D、C、尸在同一條直線上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(2)若4=50。，ZB=70°,求NP的度數(shù).

16.如圖，AB=DE,BC=EF,AF=CD.

⑴求證：AABC沿ADEF；

⑵若ZA=30。，ZE=15°,求/BCF的度數(shù).

17.如圖，已知和BC相交于點。且=分別連接AC,AB,BD,已知AC=BD,ZABC=20°,

求—AO3的度數(shù).

CD

A

B提能力

1.如圖，在VABC中，AB=AC,E、。、尸是3c的四等分點，AE="，則圖中的全等三角形共有對.

2.如圖，AB//CD,AD//BC,AC和8。相交于點0,則圖中全等三角形共有對.

3.如圖，在四邊形ABC3中，ZA=115°,NC=65。，若線段4）=AB=a,線段CD=CB=6,則四邊形ABC。

的面積為（用含有八6的代數(shù)式表示）.

4.如圖，四邊形A3CD中，AB=AD,BC=DC,E、尸分別為A3、AD的中點，連接EC、FC.

⑴ZB與“相等嗎？請說明理由；

⑵求證：EC=FC.

5.完成下面的證明：

如圖（1）,AB=AC,E、尸分別是AC、AB的中點.那么,ABE妾0Ab.

證明：SE、尸分別是AC、48的中點，

AE=-AC,AF=-AB.

22

BAB=AC

AE=AF.

在_ABE和△ACE中,

.-.ABEqACF()

(2)根據(jù)(1)的證明，若連接BC,如圖7(2).請證明：AEB8AFCB.

圖7

6.如圖，在VA3C中，AC=BC,。為A3邊上一點.

⑴請使用尺規(guī)作圖的方法作，3CE,使aBCE②ACD,且3E=&￡>,點E在VA3C外.

(2)在(1)所作圖形的基礎(chǔ)上，已知NA=40。，NECB=20。,求/CD3的度數(shù).

7.如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1,小正方形的頂點叫作格點，點A,點B,點C在格點

⑴畫出VABC的邊AC上的高80；

(2)畫出VABC中邊AC上的中線BE；

⑶直接寫出ABE的面積為;

⑷以48為一邊作一ABP(點尸與點C不重合)，使之與VASC全等，這樣的格點尸有個.

8.如圖，在VABC與△ADC中，已知=

⑴在不添加任何輔助線的前提下，以下條件中，能使/VRC之△仞C的條件有（填序號）;

@DC=BC；@ZD=ZB；（3）ZDAC=ABAC；@ZDCA=ZBCA.

（2）根據(jù)（1）中添加條件的情況分別判定△ABC之△ADC.

1.如圖，在VABC中，。為邊3C上一點，E為邊54上一點，S.AE=CD,連接AD,F為AD的中點.連

接防并延長，交AC于點G,在FG上截取點“，使FH=FE,連接GD,若HG=CG.

⑴求證：△AEF沼△DHF;

（2）求證：/B=2NGDC.

2.【教材呈現(xiàn)】

活動2用全等三角形研究："箏形"

如圖，四邊形ABC。中，AD=CD,AB=CB.我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形

叫做“箏形".請你自己畫一個箏形，用測量、折紙等方法猜想箏形的角、對角線有什么性

質(zhì)、然后用全等三角形的知識證明你的猜想.

【概念理解】

（1）如圖1,在正方形網(wǎng)格中，點A,B,C是網(wǎng)格線交點，請在網(wǎng)格中畫出箏形ABCZ）.

圖1

【性質(zhì)探究】

（2）小文得到箏形角的性質(zhì)是"箏形有一組對角相等"，請你幫他將證明過程補充完整.

已知：如圖2,在箏形ABCZ）中，AB=AD,CB=CD.求證：ZB=ZD.

證明：

（3）如圖3,連結(jié)箏形9CD的對角線AC,2。交于點。.請用文字語言寫出箏形對角線的一條性質(zhì)，并

給出證明.

A

(4)如圖4,在VA3C中，ZA=80°,4=40。，點。、E分別是邊BC,上的動點,當四邊形A￡DC

為箏形時，請直接與出N3DE的度數(shù).

點瓦廠分別在邊AB,AO上，AE=AF,CE=CF,連接AC.

⑴求證：AC平分NIMB；

(2)^AB=8,CD=6,求四邊形ABCD的面積;

⑶猜想ZDAB+ZECF與ZDFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

4.如圖1,點。在的平分線AN上.

(1)若NBDN=NCDN,求證：BD=CD.

(2)如圖2,^AC=AB+BD.

①已知NAB。=50，求NACD的度數(shù).

②點E在⑷V上，若CE=DE,求證：ZACE^ZBDE.

5.閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)

全等四邊形

根據(jù)全等圖形的定義可知：四條邊分別相等、四個角也分別相等的兩個四邊形全等.在"探索三角形

全等的條件"時，我們把兩個三角形中“一組邊相等"或"一組角相等"稱為一個條件，智慧小組的同學(xué)類比"探

索三角形全等的條件”的方法探索"四邊形全等的條件"，進行了如下思考：如圖，在四邊形ASCD和四邊形

AB'C'D中，連接對角線AC,AC',這樣兩個四邊形全等的問題就轉(zhuǎn)化為

"ACD^^AC'iy"的問題.若先給定△ABC/449<7的條件，只要再增加兩個條件使“ACEH"AGO”即可

推出兩個四邊形中"四條邊分別相等、四個角也分別相等"，從而說明兩個四邊形全等.

按照智慧小組的思路，小明對圖中的四邊形A2CD和四邊形AB'C'D先給出如下條件：AB=AB，

/B=NB'，3C=3'C',小亮在此基礎(chǔ)上又給出"AD=A'。'，CD=CD"兩個條件，他們認為滿足這五個條

件能得到“四邊形ABC*四邊形AB'C'D'"

任務(wù)：

⑴請根據(jù)小明和小亮給出的條件，請根據(jù)全等圖形的定義說明四邊形ABC9四邊形A?。。的理由.

(2)在材料小明所給條件的基礎(chǔ)上，小穎又給出兩個條件"AO=A'￡>'，ZBCD=ZB'C'D"'.滿足這五個條件.

(填"能"或"不能")得到四邊形ABCD^四邊形AB'C'D'.

14.2（第3課時）邊邊邊（解析版）

目錄

類型一、判定方法SSS的識別.....................................................................1

類型二、用SSS證明三角形全等...................................................................4

類型三、全等的性質(zhì)與SSS綜合...................................................................6

夯基

類型一、判定方法SSS的識別

1.如圖，在VABC與△DCB中，若AB=CD,AC=DB,則△ABC四△OCB,這個結(jié)論的理由是（）

A.ASAB.AASC.SSSD.SAS

【答案】C

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定的應(yīng)用，注意判定兩三角形的全等方法有ASA,AAS,SSS,SAS,

HL,選用適當?shù)姆椒ㄗC明兩三角形全等是解題的關(guān)鍵.

利用SSS證明AABCdDCB,即可求解.

【詳解】解：在VABC與△DC3中，

團AB=CD,AC=DB,BC=CB,

0AABC^ADCB（SSS）.

故選：C

2.木工是古代社會中一種很重要的手工業(yè)，木工師傅積累的許多經(jīng)驗可以用數(shù)學(xué)知識解釋.如畫角平分線：

如圖，在已知的ZAO3的兩邊分別取0M=ON,將無彈性的繩子對折標記折痕（即繩子中點P）,將繩子

兩端分別固定在點M、N處，從折痕點P處拉直繩子，點尸在平面NAO3內(nèi)，則0尸平分NAO3.原理是

構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等得出/4O尸=/3OP.這里三角形全等的判定方法是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，得OM=ON,PM=PN,結(jié)合。尸=尸。即可證明APMO絲PNO（SSS）,即可得證

ZAOP=ZBOP.

本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：根據(jù)題意，得OM=ON,PM=PN,

OM=ON

SilPM=PN,

PO=PO

0PMO空PNO（SSS）,

aZAOP=NBOP,

故選：A.

3.分水油紙傘是瀘州市江陽區(qū)分水嶺鎮(zhèn)特產(chǎn)，中國國家地理標志產(chǎn)品，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn).油紙傘制

作非常巧妙，其中蘊含著許多數(shù)學(xué)知識.如圖是油紙傘的張開示意圖，GE=G/，則△AEG絲△AFG

的判定依據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，靈活運用全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可解答.

【詳解】解：在△AEG和..AFG中，

AE=AF

<AG=AG,

EG=FG

:..,AEG^.AFG（SSS）.

故選：D.

4.如圖，AB=AC,BD=CD,則可推出（）

A./XBAD注ABCDB.△ABD^AACD

C.AACD^ABCDD.ACE密BDE

【答案】B

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合題意，根據(jù)全等三角形的判定性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】在△ABD和420中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

0ABD^.ACD（SSS）,

故選：B.

5.下列三角形中，與如圖所示的VABC全等的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

按判定全等的方法逐個驗證即可得出正確答案.

【詳解】解：A.三角形各邊與VA3C的各邊不相等，兩個三角形不全等，不符合題意;

B.三角形各邊與VA3C的各邊不相等，兩個三角形不全等，不符合題意；

C.三角形各邊與VABC的各邊相等，兩個三角形全等，符合題意；

D.三角形各邊與VABC的各邊不相等，兩個三角形不全等，不符合題意；

故選：C.

6.如圖所示，VABC中，AB=AC,EB=EC,則由“SSS"可以判定（）

B.AABEmAACE

C.BDE烏.CDED.以上都不對

【答案】B

【分析】本題主要考查全等三角形的判定，根據(jù)"SSS"證明△ME絲”。石，即可求解.

【詳解】解：因為AB=AC,￡B=EC,AE=AE,

所以ABE%ACE(SSS).

故選B.

7.數(shù)學(xué)活動課上，嘉嘉與淇淇兩名同學(xué)各用長為a,4c的3根木棒首尾相接拼成三角形.

嘉嘉說："我不用測量，就知道這兩個三角形的三個內(nèi)角分別相等."

淇淇說："我不用畫圖，就知道兩個三角形中長為方的邊上的中線相等."

關(guān)于二人的說法，判斷正確的是()

A.嘉嘉的說法正確，淇淇的說法錯誤B.嘉嘉的說法錯誤，淇淇的說法正確

C.兩人的說法都正確D.兩人的說法都錯誤

【答案】C

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意，可利用SSS判定兩個三角形全等，從而判斷兩個

三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊上的中線相等，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意，嘉嘉與淇淇兩名同學(xué)拼成的三角形全等，

則兩個三角形的三個內(nèi)角分別相等；兩個三角形中長為6的邊上的中線相等.

故兩人的說法都正確，

故選：C.

類型二、用SSS證明三角形全等

8.如圖，四點共線，AB=CD,CF=BE,AF=DE.求證：AACF名△OSE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形SSS判

定即可證明.

【詳解】證明：AB=CD,

AB+BC—CD+BC9

/.AC=DB,

在△ACF和二。56中，

AC=DB

<CF=BE,

AF=DE

AACF^AZ)BE(SSS).

9.如圖，。是BC上一點，AB^AD,BC=DE,AC^AE.求證：AABC^AADE.

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

由SSS即可證明即可.

【詳解】證明：在VABC和VADE中，

AB=AD

<BC=DE

AC^AE

HAABC^ADEF(SSS).

10.如圖，A,B,C,。四點依次在同一條直線上，AB=CD,EC=FB,AE=DF.求證：AAEC%△DFB.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是全等三角形判定定理的應(yīng)用.先由AB=CD得出4?=口3,

結(jié)合EC=FB,AE=DF,可通過SSS證明/AOKB,即可作答.

【詳解】證明：0AS=CD,

國AB+BC=CD+BC,

團AC=DB,

團EC=FB,AE=DF,

0AEC^DFB(SSS).

11.如圖，點。，A,E,B在同一直線上，EF=BC,DF^AC,DA=EB.求證：DEFaABC.

FC

【答案】詳見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SSS.

三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，由此即可證明問題.

【詳解】證明：SDA^EB,

^DA+AE=AE+EB，即DE=AB,

在，一戶和ABC中，

EF=BC

<DF=AC,

DE=AB

0DEF咨ABC(SSS).

12.如圖，A、D、C、/在一條直線上，BC與DE交于點、G,AD=CF,AB=DE,BC=EF,求證:

AABC^ADEF.

【答案】見解析

【分析】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,HL,

熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

首先得出AC=DF,再利用SSS證明/XABC烏八DEF即可.

【詳解】證明：回AD=CF,

^\AD+DC^CF+DC,即&。=￡>尸

在VA5C和DEF中

AB=DE

<BC=EF

AC=DF

HAABC^ADEF.

類型三、全等的性質(zhì)與SSS綜合

13.如圖，在四邊形ABC。中，AB=CD,AD=BC,ZA+ZC=100°,則'

AD

BC

【答案】130。/130度

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理解相關(guān)知識是解答關(guān)鍵.

連接50,利用〃SSS〃易得汪△CD5,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)易得NABC=NADC,根據(jù)三角形的內(nèi)

角和定理得到ZABC+ZADC的度數(shù)來求解.

【詳解】解：連接5。，如下圖

在△板)和△CDB中

AB=CD

<AD=BC,

BD=BD

.?^AfiD^CDB(SSS),

:.ZADB=/CBD,ZABD=ZCDB,

I.ZADB+NCDB=ZABD+NCBD,

ZABC=ZADC.

ZA+ZC=100°,

.?.ZABC+ZADC=180°+180°-(ZADB+ZABD+ZBDC+ZCBD)=360°-100°=260°.

260°

ZABC=ZADC=—-=130°.

2

故答案為：130°.

14.如圖，四邊形ABC。中，AB=CD,AE=CF,BF=DE,

⑴求證：AABEHCDF；

(2)求證：NDAE=/BCF；

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

(1)由SSS證明:ABE二二CD尸即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得NABE=NCZ)b,利用SAS證明，ABZ涇J2D3,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出

NBAD=NDCB,再根據(jù)角的和差得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：BF=DE,

:.BF-EF=DE-EF,

即=尸，

在，ABE■和CDP中，

AB=CD

<AE=CF

BE=DF

ABE烏二CDF(SSS)

(2)證明：由(1)可知，4ABE必CDF,

:.ZABE=/CDF,

在，ABD和CD3中，

AB=CD

<NABD=NCDB

BD=DB

AB*CDS(SAS),

:.NBAD=NDCB,

:"BAD-ZBAE=NDCB-NDCF,

即=

15.如圖，點A、D、C、尸在同一條直線上，AD=CF,AB=DE,BC=EF.

(2)若NA=50。，ZB=70。,求ZF的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)60°

【分析】本題考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

(1)先證明AC=D尸，再運用SSS證明△ABC當ADEF；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求NACB=60。，由(1)知N/=NACB,從而可得結(jié)論.

【詳解】(1)AD=CF,

AD+DC=CF+DC,

..AC=DF

在VABC與_DEF中

AC=DF

<AB=DE

BC=EF

ABC均DEF

(2).ABC沿立DEF

.'.ZF=ZACB

ZACB=180。一ZA-ZB=180?！?0?！?0°=60°

z.々=60。

16.如圖，AB=DE,BC=EF,AF=CD.

⑴求證：AABC9ADEF；

⑵若NA=30。，NE=75。，求/BC尸的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)105°

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定、全等三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識點，掌握全等

三角形的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

(1)先說明AC=D產(chǎn)，再運用SSS證明三角形全等即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得/B=/E=75。，再運用三角形外角的性質(zhì)即可解答.

【詳解】(1)證明：SAF=CD,

SAF-CF=CD-CF,即：AC=DF.

在VABC與DEF中,

AB=DE

<AC=DF,

BC=EF

0AABC^ADEF(SSS).

(2)解：EAABC^ADEF

==75°,

0ZBCF=30°+75°=105°.

17.如圖，已知A￡>和BC相交于點。且AD=BC,分別連接AC,AB,BD,已知AC=BD,ZABC=20°,

求203的度數(shù).

【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，先證明.ABC咨ABW(SSS),得出

ZABC=ZBAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NAC?=180。-20。-20。=140。即可.

【詳解】解：在VABC與工54。中，

AD=BC

<AB=BA,

BD=AC

ABC^BAD(SSS),

:.ZABC=/BAD,

ZABC=20°,

ZAOB=180。—20°-20°=140°.

——?B?——

1.如圖，在VA5C中，AB=AC,石、。、尸是5c的四等分點，AE=AF,則圖中的全等三角形共有對.

【分析】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.

由“邊邊邊”可證明圖中4對三角形全等.

【詳解】解：E、D、尸是5C的四等分點，

:.BE=ED=DF=FC,

:.BD=2DE,CD=2DF,BF=3DE,CE=3DE,

:.DB=CD,BF=CE,

AB=AC,AE=AF,AD=AD,

/.VAEr)^VAFD(SSS),ABE^.ACF(SSS),_ACD(SSS),ABF-ACE(SSS).

???圖中的全等三角形共有4對.

故答案為：4.

2.如圖，AB//CD,AD//BC,AC和3。相交于點0,則圖中全等三角形共有對.

n

【分析】本題考查了全等三角形的判定，先證明ABC%QM(ASA),可得M=CD,AD=BC,再進一步證明其它

三角形全等即可，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：團AB〃CD，AD//BC,

^ZACD=ZCAB,ZDAC=ZBCA,

ZACD=ZCAB

AC=CA,

ZDAC=ZBCA

0ABC^.OM(ASA)；

團AB=CD，AD=BC,

AD=CB

團<AB=CD,

BD=DB

0ABD空COB(SSS)；

ZDAC=ZBCA

^\\AAOD=ACOB,

AD=BC

0AOD^COB(AAS)；

0OA=OC?OB=0D，

AB=CD

^OA=OC,

OB=OD

回AOB^COD(SSS)；

國共有4對全等三角形，

故答案為：4.

3.如圖，在四邊形A5CD中，ZA=115°,NC=65。，若線段AD=AB=a,線段CD=CB=b,則四邊形ABC。

的面積為(用含有服6的代數(shù)式表示).

A

DB

C

【答案】ab/ba

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，連接AC,證明一/一A5C（SSS）得出"=再由四

邊形的內(nèi)角和求出ND=N3=90。，最后由面積公式計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接AC,

在△ADC和VABC中，

AD=AB

<DC=BC,

AC=AC

團4X7會ABC(SSS),

團ND=NB,

團ND+N5+ZA+NC=360。，ZA=115°,ZC=65°,

mZD=ZB=90°f

國四邊形MCD的面積為S皿+SABC=^ab+^ab=ab'

故答案為：ab.

4.如圖，四邊形A3CD中，AB=AD,BC=DC,E、尸分別為AB、AD的中點，連接EC、FC.

c

(1)/8與“相等嗎？請說明理由；

(2)求證：EC=FC.

【答案】(1)/8與“相等，理由見解析；

(2)證明見解析.

【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及線段中點定義，

(1)在ABC和二ADC中，利用SSS即可證明AABC四△ADC,則NB=ND；

(2)根據(jù)題意得=1A3,AF=^AD,則=結(jié)合(1)^ZEAC=ZFAC,即可證明

△AEC2△AFC,有EC=FC.

【詳解】(1)解：NB與NO相等，

理由如下：連接AC,

在，ABC和ADC中，

AB=AD

<BC=DC,

AC=AC

0AABC^AAr)C(SSS),

團NB=ND；

(2)證明：0點E與尸分別是AB、AD的中點，

0AC=yAB,AF=AD,

團AB=AD,

BAE=AF,

團△/W&ZXADC,

團NE4C=NE4C,

在.AEC和一AFC中，

AE=AF

<ZEAC=ZFAC,

AC=AC

0AAEC^AAFC(SAS),

團EC=FC.

5.完成下面的證明：

如圖(1),AB=AC,E、b分別是AC、AB的中點.那么，ABEqACF.

證明：回E、b分別是AC、A5的中點，

AE=-ACAF=-AB.

2f2

BAB=AC

AE=AF.

在_ABE和△ACE中,

.-.ABEqACF（）

（2）根據(jù)（1）的證明，若連接BC,如圖7（2）.請證明：AEB8AFCB.

圖7

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定.

（1）根據(jù)中點的定義得出=AF=^AB,貝即可根據(jù)SAS求證，ABE%ACR；

（2）由（1）可得△ABC四△ACF,貝UCF=B&根據(jù)中點的定義推出3P=CE,即可根據(jù)SSS證明

△EB8LFCB.

【詳解】（1）證明：&E、/分別是AC、A8的中點，

AE=-AC,AF=-AB.

22

0AB=AC,

AE=AF.

在，ABE'和△ACF中，

AE=AF

<ZA=ZA,

AB=AC

（SAS）；

（2）證明：由（1）可得絲ACF,

0CF=BE,

ae、尸分別是AC、A8的中點，

CE=-AC,BF=-AB.

22

0AB=AC,

團BF=CE,

在，EBC和中,

CF=BE

<BF=CE,

BC=CB

0￡BC^?FCfi(SSS).

6.如圖，在VA3C中，AC=BC,。為AB邊上一點.

⑴請使用尺規(guī)作圖的方法作，BCE,使nBCE絲ACD，且3E=AD，點E在VABC外.

(2)在(1)所作圖形的基礎(chǔ)上，已知NA=40。，NECB=20。,求/CD3的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)60°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，尺規(guī)作圖一作三角形，熟知全等三

角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)以C為圓心，以的長為半徑畫弧，以2為圓心，以AD的長為半徑畫弧,兩弧交于點E,連接CE,BE,

則CE=CD,BE=AD,再由AC=BC即可證明,3CE四二ACO；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得NACD的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

(2)解：0BCE沿ACD,

^ZACD=ZBCE=20°,

0NCDB=ZA+ZACD=60°.

7.如圖所示方格紙中，每個小正方形的邊長均為1,小正方形的頂點叫作格點，點A,點3,點C在格點

上.

⑴畫出VABC的邊AC上的高80；

⑵畫出VABC中邊AC卜.的中線BE；

⑶直接寫出_ABE的面積為；

⑷以42為一邊作,ABP(點尸與點C不重合)，使之與V/1SC全等，這樣的格點尸有個.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

(3)5

(4)3

【分析】本題主要考查了網(wǎng)格作圖，全等三角形的判定，三角形高，中線的概念，以及三角形面積求法,

掌握概念是解本題的關(guān)鍵.

(1)延長AC,過8作于。，即可得到答案；

(2)結(jié)合網(wǎng)格信息，根據(jù)中線的定義可得E點，連接BE即可得到答案；

(3)根據(jù)三角形面積公式即可得到答案.

(4)根據(jù)全等三角形的判定和網(wǎng)格的特點作圖即可.

【詳解】(1)解：如圖，8D即為所求；

(2)解：如圖，3E即為所求，

（3）解：S9=}10義1=5；

（4）如圖，以A3為一邊作ABP（點P與點C不重合），使之與VA3C全等，這樣的格點P有3個.

B

⑴在不添加任何輔助線的前提下，以下條件中，能使△ABC名△ADC的條件有（填序號）；

@DC=BC；②ZD=ZB；（3）ZDAC=ZBAC；@ZDCA=ZBCA.

（2）根據(jù)（1）中添加條件的情況分別判定△ABC之△ADC.

【答案】⑴①③

（2）見解析

【分析】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

（1）利用全等三角形的判定定理進行判斷；

（2）利用SAS,SSS進行證明即可.

【詳解】（1）解：①已知=DC=BC,且AC為公共邊，根據(jù)全等三角形判定定理"邊邊邊"，可

以判定ZX/IBC絲AWC；

②雖然=ZD=ZB,AC=AC,但"邊邊角"SSA不能判定兩個三角形全等；

③因為=ADAC=ABAC,AC=AC,根據(jù)全等三角形判定定理“邊角邊"，可以判定△回（?烏△ADC；

@AD=AB,ZDCA=ZBCA,AC=AC,"邊邊角"不能判定兩個三角形全等；

故答案為：①③.

（2）證明：選條件①時，

在VABC和△ADC中，

AB=AD

<AC=AC,

BC=DC

所以ABC^,ADC(SSS)；

選條件③時，

在VABC和△ADC中，

AB=AD

<ABAC=ADAC,

AC=AC

所以ABC咨ADC(SAS).

1.如圖，在VABC中，。為邊BC上一點，E為邊54上一點，且AE=CD,連接AD,尸為AD的中點.連

接所并延長，交AC于點G,在尸G上截取點使FH=FE,連接GD,若HG=CG.

⑴求證：/^AEF^ADHF;

(2)求證：/B=2NGDC.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

(1)利用SAS證明即可；

(2)利用全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出=再利用SSS來證明△〃GD9△CGD,利用等量代

換即可證明.

【詳解】(1):點尸是AD的中點，

:.AF=DF,

AF=DF

在△AEF和AZ汨F中，"ZAFE=NDFH,

FE=FH

AAEF^ADHF(SAS).

(2)AAEF^ADHF，

:.AE=DH,ZAEF=/DHF,

:.AB//DH,

:.ZB=ZHDC,

\'AE=CD,

:.DH=CD.

DH=CD

在△HGD和△CG￡>中，\HG=CG,

DG=DG

AHGZ)^ACGD(SSS),

:"HDG=ZCDG,

:.ZHDC=2ZGDC,

:.ZB=2ZGDC.

2.【教材呈現(xiàn)】

活動2用全等三角形研究："箏形"

如圖，四邊形A58中，AD=CD,AB=CB.我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形

叫做"箏形請你自己畫一個箏形，用測量、折紙等方法猜想箏形的角、對角線有什么性

質(zhì)、然后用全等三角形的知識證明你的猜想.

請結(jié)合教材內(nèi)容，解決下面問題：

【概念理解】

（1）如圖1,在正方形網(wǎng)格中，點A,B,C是網(wǎng)格線交點，請在網(wǎng)格中畫出箏形ABCZ）.

【性質(zhì)探究】

(2)小文得到箏形角的性質(zhì)是"箏形有一組對角相等"，請你幫他將證明過程補充完整.

已知：如圖2,在箏形A3C。中，AB=AD,CB=CD.求證：ZB=ZD.

圖2

證明：

(3)如圖3,連結(jié)箏形98的對角線AC,3D交于點。.請用文字語言寫出箏形對角線的一條性質(zhì)，并

給出證明.

【拓展應(yīng)用】

(4)如圖4,在VABC中，ZA=80°,/8=40。，點。、E分別是邊BC,A3上的動點，當四邊形AEDC

為箏形時，請直接與出乙RDE的度數(shù).

A

圖4

【答案】【教材呈現(xiàn)】NBAD=NBCD,30垂直平分AC,3。平分/AZX?和NABC,證明見解析

K概念理解工(1)見解析

K性質(zhì)探究》(2)見解析

(3)有一條對角線平分一組對角(答案不唯一)，證明見解析

K拓展應(yīng)用R(4)100。或20。

【分析】K教材呈現(xiàn)力利用SSS證明/XABC之7DC,即可得出結(jié)論；

(1)取格點2的關(guān)于AC對稱格點。，連接AD、C。即可；

(2)連接AC,利用SSS證明△ABCgAWC,即可得出結(jié)論；

(3)利用SSS證明A4BC當7DC,即可得出結(jié)論；

(4)分兩種情況：①當箏形A￡DC中，NCDE=NA=80。時，②當箏形AEDC中，/AEE>=/C時，分別

求解即可.

【詳解】解：］教材呈現(xiàn)》如圖，

猜想箏形的角、對角線有的性質(zhì)：ZBAD=ZBCD,3D垂直平分AC,平分ZADC和/ABC,

證明：^AD=CD,AB=CB,BD=BD,

0AfiD四一CBD(SSS),

SZBAD=ZBCD,ZABD=ZCBD,ZADB=ZBDC,

即30平分/ADC和ZABC,

團80垂直平分AC.

K概念理解I(1)如圖1,四邊形ABCZ)即為所求；

A

K性質(zhì)探究』

(2)如圖2,連接AC,

AB=AD

<BC=DC,

AC=AC

團ABC咨AZ)C(SSS),

BZB=ZD；

(3)有一條對角線平分一組對角(答案不唯一)，

證明團在VABC與中，

AB=AD

<BC=DC,

AC=AC

團ABC^ADC(SSS),

BZCAB=ZCAD,ZACB=ZACDf

即AC平分/BA。、/BCD.

K拓展應(yīng)用2

(4)分兩種情況：①當箏形AEDC中，NCD￡=NA=80。時，如圖4-1,

圖4-1

0NBDE=180°-ZCDE=180°-80°=100°；

②當箏形中，=時，如圖4-2,

圖4-2

0ZC=18OO-ZA-ZB=18O°-8OO-4O0=60°

0ZA￡D=ZC=6O°

0ZBDE=ZAED-ZB=60°-40°=20°

綜上，當四邊形AEDC為箏形時，乙BDE的度數(shù)為100°或20。.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，網(wǎng)格作圖，三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì),

熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用.

3.如圖，在四邊形中，ZB=ZD=90°,點昆尸分別在邊人員上，AE=AF,CE=CF,連接AC.

⑴求證：AC平分N1MB；

(2)若AB=8,CD=6,求四邊形ABCD的面積；

⑶猜想ZDAB+ZECF與ZDFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】⑴見詳解

⑵48

⑶ZDAB+ZECF=2ZDFC

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，證明VACE絲VACF、

ABCE四△DCF是解題關(guān)鍵.

(1)利用"SSS"證明VACEAACF,由全等三角形的性質(zhì)可得NC4E=NG4尸，即可證明結(jié)論；

(2)利用"AAS"證明△BCE/^DCF,由全等三角形的性質(zhì)可得5E=D戶，BC=DC=6,進而可知

AD=AB=8,然后由四邊形ABCD的面積=SvABC+SVADC求解即可；

(3)由VACEaACF可得ZACE=ZACF,結(jié)合Z.CAE=ZG4F,可得ZDAB+ZECF=2(ZC4F+ZACF),

再結(jié)合即可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：回在AACE和△ACP中，

AE=AF

<CE=CF,

AC=AC

0ACE^ACF(SSS),

SZCAE=ZCAF,

EMC平分/DAB；

(2)OVACE^VACF,

SZAEC=ZAFC,

0180?1AEC180?7AFC,ZCEB=ZCFD,

在，3CE和OC/中，

ZB=ZD=90°

■ZCEB=ZCFD,

CE=CF

0BCE.DCF(AAS),

QBE=DF,BC=DC=6,

SAD=AF+DF=AE+BE=AB=8,

回四邊形ABCD的面積=S旗c+SAOC=|AB-BC+|A￡).￡>C=1X8X6+1X8X6=48；

(3)EIVACEAACr,

SZACE=ZACF,

y.BZCAE=ZCAF,

0ZDAB+ZECF=(ZC4E,+ZC4F)+(ZAEC+ZACF)=2(ZC4F+ZACF),

0ZDFC=ZCAF+ZACF,

0ZDAB+NECF=2ZDFC.

4.如圖1,點。在/A4C的平分線AN上.

(1)若NBDN=NCDN,求證：BD=CD.

(2)如圖2,若AC=AB+3D.

①已知NA5￡)=50,求NACD的度數(shù).

②點E在4V上，若CE=DE,求證：ZACE=ZBDE.

【答案】⑴見解析

(2)?ZACD=25；②見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的意義，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.

(1)先利用ASA證明/ADC,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論成立；

(2)①先利用SAS證明一AD噲一AD尸，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OR