專(zhuān)題12.33作輔助線證明三角形全等.倍長(zhǎng)中線（鞏固篇）

（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

1.如圖，已知人。是△AAC中8c邊上的中線，AB=5,AC=3,則人力的取值范圍是

（）

BDC

A.2VAOV8B.\<AD<4C.2<AD<5D.4<AD<S

2.如圖，八￡>是△A。。的邊〃。上的中線，AB=7,AD=5，則AC的取值范圍為（）

A.5<AC<\5B.3VAec15C.3<AC<\7D.5<AC<\1

3.如圖所示，A。是AA8C的邊8c上的中線，AB=5cm,>40=4cm,則邊AC的長(zhǎng)

度可能是（）

▲

DDc

A.3cmB.5cmC.14cmD.13cm

4.如圖，在△ABC中，。為3c的中點(diǎn)，若AC=3,4O=4.則A8的長(zhǎng)不?可?能?是（)

BD

A.5B.7C.8D.9

5.在△A4C中，AC=6,中線AO=5,則邊A4的取值范圍是

A.IVABVUB.4<AB<\3C.4VABV16D.11cA16

6.△ABC中，AC=5,中線AD=7,則AB邊的取值范圍是（)

A.9<AB<19B.4<AB<24C.3<AB<I3D.2<AB<I2

7.如圖,AD是AABC的中線,E是AD上一點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,若EF=AF,

BE=7.5,CF=6,則EF=().

C.1.5D.1

二、填空題

8.在aA3c中，AB=5,4c邊上的中線AQ=4,則AC的長(zhǎng)機(jī)的取值范圍是

9.如圖，在△ABC中，AO是AC邊上的中線，AC=3,AD=5,則A3的取值范圍是

10.已知A4=4,AC=2,。是3c的中點(diǎn)，4。是整數(shù)，則40=

11.小武?中，A8=4,AC=6,則第三邊3。邊上的中線〃?的取值范圍是

12.在AABC中，AC=4,中線AO=7,則A4邊長(zhǎng)的取值范圍是.

13.如圖，AA8C中，。為BC的中點(diǎn)，E是AO上一點(diǎn)，連接班并延長(zhǎng)交AC于廠,

BE=AC,且8尸=9,CF=6,那么AF的長(zhǎng)度為

14.如圖，△A8C中，8c邊上的中線AQ將N8AC分成了兩角NBA。、4AC分別為

70。和40。，若中線人。長(zhǎng)為2.4cm,則人。長(zhǎng)為cm.

15.如圖，在△ABC中，4B=8,AC=6,則8c邊上的中線4D的取值范闈是.

BC

三、解答題

16.【閱讀理解】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)?，老師提出了如下問(wèn)題：

如圖，△人8C中，若AB=8,AC=6,求邊上的中線人。的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：如圖，延長(zhǎng)4。到點(diǎn)E,使。E=

AD,連結(jié)BE.請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考:

A

(1)由已知和作圖能得到△APCZ△及汨的理由是().

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

(2)A。的取值范圍是().

A.6<A0<8B.12<AD<16C.1<AD<7D.2<AD<\4

⑶【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三

角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中.

【問(wèn)題解決】如圖，AO是AABC的中線，BE交AC于點(diǎn)、E,交A。于憶且AE=EF.求

證：AC=BF.

17.在通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決的問(wèn)題中，有一種典型的方法是倍延中線.

(1)如圖1,A。是AA8C的中線，A8=7,AC=5,求AO的取值范圍.我們可以延長(zhǎng)AO

到點(diǎn)M，使ZW=A￡>,連接8M,易證AADC三所以3M=AC.接下來(lái)，在AABM

中利用三角形的三邊關(guān)系可求得/W的取值范圍，從而得到中線八。的取值范圍

是：

(2)如圖2,八。是的中線，點(diǎn)E在邊AC上，跖交4。于點(diǎn)￡且AE=EF,

求訐：AC=BF：

(3)如圖3,在四邊形A8C。中，AD//4C,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接CE,EDnCE上DE,

試猜想線段8CCR4。之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.

18.某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來(lái)加入.

A

【探究與發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖I,4。是.A8C的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)&使￡D=人。，連接8E,證明:

2c的4EBD.

【理解與應(yīng)用】

(2)如圖2,EP是上。所的中線，若EF=5,DE=3,設(shè)=則x的取值范圍是

(3)如圖3,A。是△48C的中線,E、”分別在A3、AC上，且DE1DF，求證:

BE^CF>EF.

19.如圖，AB=AE,AB±AE,AD=AC,DE=2AM,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，連接AM.求

證：AD±AC

20.(1)如圖1,在△ABC中，AB=4,AC=6,AD是BC邊上的中線，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)

E使DE=AD,連接CE,把AB,AC,2AD集中在aACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD

的取值范圍是:

(2)如圖2,在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E,F分別在AB,AC上，且

DE1DF,求證：BE+CF>EF：

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ZA為鈍角，ZC為銳角，ZB+ZADC=180°,DA=DC,

點(diǎn)E,F分別在BC,ABI.,且NEDF=g/ADC,連接EF,試探索線段AF,EF,CEN

間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2圖3

21.(1)閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：

在△ABC中，AB=9,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法(如圖1)：

①延長(zhǎng)AD到Q,使得DQ=AD；

②再連接BQ,把AB、AC、2AD集中在AABQ中；

③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14,則AD的取值范圍是_____________.

感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線''等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角

形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中.

(2)請(qǐng)你寫(xiě)出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明.

(3)思考：已知，如圖2,AD是dABC的中線，AB=AE,AC=A卜，ZBAE=ZFAC

=90。.試探究線段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系并加以征明.

圖I圖2

22.(1)【問(wèn)題情境】

課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問(wèn)題:

如圖①，在^ABC中，AD是^ABC的中線,若AB=IO,AC=8,求AD的取值范圍.

圖1圖2

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD,連

接BE.請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

I.由已知和作圖能得到^ADC^AEDB,依據(jù)是________.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

II.由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是_______.

解后反思：題FI中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分

散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形之中.

(2)【學(xué)會(huì)運(yùn)用】

如圖②，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，CE=AB.ZBAC=ZBCA,求

證：AE=2AD.

23.數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在^ABC中，AB=8,

AC=6,D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,請(qǐng)補(bǔ)

充完整證明“△ADCg^EDB”的推理過(guò)程.

⑴求證：△ADCgaEDB

證明：???延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD

在△ADC和AEDB中AD=ED（已作），

2ADC=/EDB（）,

CD=HD（中點(diǎn)定義），

/.△ADC^AEDB（）,

（2）探究得出AD的取值范圍是；

【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角

形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三箱形中.

【問(wèn)題解決】

⑶如圖2,4ABC中，/B=90,AB=2,AD是&ABC的中線，CE1BC,CE=4,

且NADE=90,求AE的長(zhǎng).

24.【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，AABC中，A8=7,AC=5,點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，求AD的

取值范圍.

小明的解法如下：延長(zhǎng)人。到點(diǎn)E使。石=人。，連接C￡

BD=DC

在^ABD與^ECD中，/ADB=Z.EDC

AD=DE

:AABD/ECD(SAS)

???"=.

又???在△人EC中EC-ACVAEVEC+AC,而人B=EC=7,AC=5,

???<AE<.

又???4￡：=2AD.

/.<AD<.

【探索應(yīng)用】如圖②，A8〃CQ,A8=25,CO=8,點(diǎn)E為8C的中點(diǎn)，ZDFE=ZBAE,

求。尸的長(zhǎng)為.(直接寫(xiě)答案)

【應(yīng)用拓展】如圖③，/84C=60。，ZCDE=120°,AI3=AC,DC=DE,連接BE,P

為BE的中點(diǎn)，求證：APLDP.

25.(1)如圖1,已知“BC中，A。是中線，求證：AB+AC>2AD；

(2)如圖2,在△ABC中，。，七是8c的三等分點(diǎn)，求證：AB+AC>AD+AE：

(3)如圖3,在aA6clD,上在邊上，且8Q=C七.求證：AB+AOAD+AE.

A

參考答案

1.B

【分析】

如圖所示，延長(zhǎng)人。到E,使。E=AP，連接CE,先證△/W。二△EC。，得/W=CK,

再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出入E的取值范圍.

如圖所示，延長(zhǎng)A。到￡,使OE=AD，連接

???AD是△A8C中8c邊上的中線，

:.BD=CD,

在△A3。與△ECD中，

BD=CD

/ADB=/EDC,

AD=DE

“BD"CD、

AB=CE=5,

在△ACE中，由三角形三邊關(guān)系得：

CE-AC<AE<CE+AC,

vAC=3,AE=AD+DE=AD+AD=2AD,

:.5-3<2AD<5+3,

：A<AD<4.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造全等

三角形是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】

延長(zhǎng)A。至點(diǎn)￡,使OE=AO=5,連接CE,證明瓦注△ECD,可得CE=A3=7,

然后運(yùn)用三角形三邊關(guān)系可得結(jié)果.

解：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)石，使DE=AD=5,連接CE.

VAD為AABC的4c邊上的中線,

???BD=CD,

AD=ED,

在△A3。和AECD中一^ADB=4EDC,

BD=CD,

：.△人8/運(yùn)△ECO(SAS),

???CE=AB=7.

在AACE中，AE-EC<AC<AE+CE,

即5+5-7<AC<5+5+7,

/.3<AC<17,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了仝等三角形的判定弓性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，根據(jù)中點(diǎn)倍長(zhǎng)法構(gòu)造

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】

延長(zhǎng)AD至M使DM=AD,連接CM,根據(jù)SAS得出△AD8^MDC,得出AB=CM=^cm,

再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出AC的范圍，從而得出結(jié)論.

解：延長(zhǎng)AD至M使DM-AD,連接CM,

*/4。是AA8C的邊8c上的中線，

:?BD=CD,

???NAZ)B=NCOM,

：.^ADB^MDC(SAS),

MC=AB=5cm,AD=DM=4cm,

.*.A/V/=8cm

在△AMC中，AM-CM<AC<AM+CM

即：3VAeV13,

故選：B

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形的三

邊關(guān)系找出AC長(zhǎng)度的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】

延長(zhǎng)4。到E,使證明△AOCgZXEQB,然后利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.

解：延長(zhǎng)A。到E,使4。=。/二4,連接8E,

E

???。是4c的中點(diǎn)，

:,BD=CD

又/BDE=4CDX

???△AQC也△ED8,

???BE=AC=3

由三角形三邊關(guān)系得，AE-BE<AB<AE+BE

即:5<AB<11

故選：A

【點(diǎn)撥】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助

線是解答此題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】

作出圖形，延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等,

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=CE,再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角

形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍.

解：如圖，延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,

ABC的中線，

/.BD=CD,

在4ABDECD中，

BD=CD,ZADB=ZEDC,AD=DE,

.,.△ABD^AECD(SAS)，

Z.AB=CE,

VAD=5,

??.AE=5+5=10,

V10+6=16,10-6=4,

/.4<CE<16,

即4<AB<16.

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三

角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，延長(zhǎng)AD至l」E使DE=AD,連接BE,先證明AACDG/XEBD,從而

得到BE=AC,在AAEB中，由三角形的三邊關(guān)系即可求得AB的取值范圍.

解.：如圖所示：

延長(zhǎng)AD至IJE使DE=AD,連接BE,

???D是BC的中點(diǎn)，

.,.CD=BD.

在aACD和AEBD中

AD=ED

ZADC=ZEDB,

CD=BD

AAACD^AEBD(SAS),

，AC=EB=5.

VAD=7,

AAE=14.

由三角形的三邊關(guān)系為：14-5VAB<14+5,

即9<AB<19.

故選A.

【點(diǎn)撥】考查了中線的性質(zhì)的運(yùn)用，解決此題的關(guān)鍵是通過(guò)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形,

把要求的線段和已知的線段放到一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.

7.C

【分析】

延長(zhǎng)AD,使DG=AD,連接BG,由“SAS”可證△ADC0ZXGDB,可得

AC=DG=CF+AF=6+AF,ZDAC=ZG,由等腰三角形的性質(zhì)可得BE=BG=7.5,即可求EF

的長(zhǎng).

解：如圖，延長(zhǎng)AD,使DG=AD,連接BG,

%

〈AD是ZkABC的中線，

ABD=CD,且DG=AD,ZADC=ZBDG,

.?.△ADC^AGDB(SAS),

AAC=DG=CF+AF=6+AF,ZDAC=ZG,

VEF=AF,

AZDAC=ZAEF,

AZG=ZAEF=ZBEG,

.\BE=BG=7.5,

，6+AF=BG=7.5,

AAF=1.5=EF,

故選擇：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)

造全等三角形是本題的關(guān)健.

8.3<w<13

【分析】

延長(zhǎng)4。至E,使。E=AQ=4,連接CE,利用SAS證明△可得CE=A&

再根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系即可解決問(wèn)題.

解：如圖，延長(zhǎng)A。至E,使。氏AO=4,連接CE,

A

BD\

E

??FQ是8C邊上的中線，

，BD=CD,

在△4。8和4CDE中，

AD=ED

4ADB=4EDC,

BD=CD

：.^ABD^AECD(SAS),

：.CE;AB,

在^ACE中,AE-CE<AC<AE+CE,

yCE=AB=5,AE=8,

???8-5VACV8+5,

A3<AC<13,

：.3<m<\3.

故答案為：3<w<13.

【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利

用已知條件構(gòu)造全等三角形，然后利用三角形的三邊的關(guān)系解決問(wèn)題.

9.7<AB<\3

【分析】

延長(zhǎng)AQ至點(diǎn)￡,使。E=AQ,證明△入△力=△￡口),由全等性質(zhì)求出相關(guān)的線段長(zhǎng)度，在

VC4E中，由AE+AC>￡C,A￡—ACvEC,代入數(shù)值即可得到答案.

解：延長(zhǎng)AO至點(diǎn)E,使如下圖:

B/D

E

???D是8c的中點(diǎn)

BD=CD

在△48。和△EC￡>中：

BD=CD

AADB=AEDC

AD=ED

:.AABD-ECD

???AB=EC

V4D=5

：.AE=\O

在VC4E中，由AE+AC>EC,AE—AC<EC得：7<EC<13

即：7<AB<\3

故答案為：1<AB<\3

【點(diǎn)撥】本題考查三用形的全等判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈

活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

10.2

【分析】

延長(zhǎng)八。至E,使得八連接EC,可證明△人。8g△EOC,從而有石C=A8=4,即

有：4-2<AE<4+2,然后確定A。的取值范圍，從而確定AD的值.

解：延長(zhǎng)AO至E,使得4。=。良連接EC,如圖

H

E

???。是8c的中點(diǎn)

：.BD=CD

在△4。8與4EDC中

AD=DE

,NADB=NEDC

BD=CD

：.AADB^AEDC

：.EC=AB=4

,:AC=2

:.4-2<AE<4+2

即2vAE<6

*：AE=2AD

：.1<AD<3

???4。為整數(shù)

：.AD=2

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的三邊不等關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造全

等三角形，即常說(shuō)的倍長(zhǎng)中線方法.

11.\<a<5

【分析】

如圖延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使得DE=AD,可證△ABD也ZXCDE,可得AB=CE,AD=DE,

在△ACE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，即可解題.

解：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使得DE=AD,

A

???點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

??.BD=CD

在△ABD和aCDE中，

AD=DE

ZADB=NCDE,

BD=CD

AAABD^ACDE(SAS),

AAB=CE,

:△ACE中，AC-CE<AE<AC+CE,即：AC-AB<AE<AC+AB,

.\2<AE<10,

Al<AD<5.

故答案為：1VADV5.

【點(diǎn)撥】本題考查了仝等三角形的判定，考杳了仝等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中

求證△ABD^ACDE是解題的關(guān)鍵.

12.10<AB<18.

【分析】

如圖，延長(zhǎng)AD到E使DE=AD,連接BE,通過(guò)證明入△ACD且aEBD就可以得出

BE=AC,在AAEB中，由三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論.

解：延KAD到E使DE-AD,連接BE,

???D是BC的中點(diǎn)，

.\CD=BD.

在ZkACD和aEBD中

AD=ED

<NADC=NEDB,

CD=BD

.,.△ACD^AEBD(SAS),

.\AC=EB=4,

VAD=7,

/.AE=14,

由三角形的三邊關(guān)系：14-4〈AB<14+4,

即10<AB<18,

故答案為：10<AB<18.

w

E

【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，三角形中線，根據(jù)三角

形的中線利用延長(zhǎng)中線法解決邊的取值問(wèn)題的思路是解題的關(guān)鍵.

13工

.2'

【分析】

延長(zhǎng)AO至G使4￡>=QG,連接BG,得出AACOw/XGBO,得出AC=AG=8E,所以

得出AA￡尸是等腰三角形，根據(jù)已知線段長(zhǎng)度建立等量關(guān)系計(jì)算.

如圖：延長(zhǎng)AO至G使AO=QG,連接5G

在AACQ和AGAD中：

CD=BD

,ZADC=NBDG

AD=DG

：.MCD^AGBD

:.ZCAD=ZG,AC=BG

,?BE=AC

：.BE=BG

???/G=/BEG

???ZBEG=ZAEF

???ZAEF=NEAF

???EF=AF

??.AF+CF=BF-EF

即AF+6=9-EF

???AF=-

2

【點(diǎn)撥】倍長(zhǎng)中線是常見(jiàn)的輔助線、全等中相關(guān)的用的代換是解決本題的關(guān)鍵.

14.4.8

【分析】

延長(zhǎng)AD到E,取DE=AE,連接CE,用邊角邊可證△ABDW^ECD,“J'得

ZE=ZBAD=70°,由NDAC=40。，可推出△ACE為等腰三角形，則AC二AE.

解：延長(zhǎng)AD到E,取DE=AE,連接CE,如圖所示，

在4慶8口和aECD中,

BD=CD

<ZBDA=ZCDE

AD=ED

.,.△ABD^AECD(SAS)

/.ZE=ZBAD=70°

在△AEC中，ZACE=180-ZE-ADAC=180,-70,-40=70"

AZE=ZACE,

AAC=AE=2AD=4.8cm

故答案為4.8

【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，利用“倍長(zhǎng)中線法”構(gòu)造全等三角形是解題

的關(guān)鍵.

15.1<AD<7

【分析】

延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接CE.根據(jù)SAS證明△ABDgZXECD,得CE=AH,再

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解.

解：延長(zhǎng)A。至E,DE=AD,連接CE.

E

在“臺(tái)。和△￡(?￡)中，

DE=AD

?ZADB=Z.CDE

DB=DC,

/.A^BD^AECZXSAS),

：.CE=AB.

在"CE中，CE-AC<AE<CE+AC,

即2<2AZX14,

故1SD<7.

故答案為1SZX7.

【點(diǎn)撥】考杳全等三用形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形的任意兩邊之和大

于第三邊.

16.(1)4(2)C(3)見(jiàn)分析

【分析】

(1)根據(jù)AQ=QE,ZADC=ZBDE,80=。。推出△4OC和△石。8全等即可；

(2)根據(jù)全等得出BE=AC=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6V2AOV8+6,

求出即可；

(3)延長(zhǎng)AD到M,使AD=DM,連接BM,根據(jù)SAHiUADCW4MDB,推出BM=ACf

ZCAD=ZM,根據(jù)AE=￡F,推出NCA￡>=N4"E=N〃"Q,求出N3FQ=NM,根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)求出即可.

解：(1)???在△AOC和△石。8中

AD=DE

NADC=NBDE,

BD=CD

:.△ADg/\EDB(SAS),

故選B；

(2)???由(1)知：△ADC^^EDB,

:?BE=AC=6,AE=2AD,

???在△48E中，AB=8,由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6V2AOV8+6,

???1VAOV7,

故選：C.

(3)延長(zhǎng)A。到點(diǎn)M,使AO=QM,連接8M.

??NO是△ABC中線

：.CD=BD

???在△AOC和△MQ3中

DC=DB

<ZADC=NMDB

DA=DM

Z.△A￡>C也△AOB(SAS)

：,BM=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)

ZCAD=ZM(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)

*：AE=EF,

；?NCAD=NAFE(等邊對(duì)等角)

乙AFE=/BFD,

；?/BFD=NM,

：.BF=BM(等角對(duì)等邊)

XV^W=AC,

：.AC=liF.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線，三角形的三邊關(guān)系定理，等腰三角形性質(zhì)和判定,

全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)彳丁推理的能力.

17.(1)1<4￡><6：(2)見(jiàn)分析；(3)CD=BC+AD,證明見(jiàn)分析

【分析】

(1)延長(zhǎng)AO到點(diǎn)M,使ZW=AD,連接8M,即可證明AAQC=AMO3,則可得

BM=AC,在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到AM的取值范圍，進(jìn)而得到中線AO

的取值范圍；

(2)延長(zhǎng)人。到點(diǎn)M,使。W=A￡>,連接BM,由(1)^^ADC=^DB,則可得

/M=/CAD,BM=AC,由AE=即可知，NCAD=ZAFE,由角度關(guān)系即可推出

ZBMF=ZBFM，故BM=BF,即可得到AC=8/；

(3)延長(zhǎng)CE到戶，使EF=EC,連接質(zhì)，即可證明AAEb二ABEC,則可得

/EAF=/B,4〃=4C,由AO//BC,以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)E4。在一條直線上，通過(guò)

證明昭△￡>斯經(jīng)RtZSOEC,即可得到&)=CQ,進(jìn)而通過(guò)線段的和差關(guān)系得到

CD=BC+AD.

解：(I)延長(zhǎng)人。到點(diǎn)M,使DW=A。，連接3M,

AO是AA8C的中線，

???DC=DB,

在MDC和AMDB中，

AD=MD,NADC=NMDB,DC=DB,

△ADCwbMDB,

???BM=AC,

在A48W中，

AB-BM<AM<AB+BM,

???7-5<AM<J+5,即2<AM<\2,

???KAZX6：

(2)證明:延長(zhǎng)AO到點(diǎn)M,使0M=AO.連接3M,

由(1)知

\AE=EF,

ZCAD=ZAFE,

?;ZMFB=ZAFE,

:."FB=NCAD,

:"BMF=/BFM,

:.BM=BF、

..AC=BF,

(3)CD=BC+AD,

延長(zhǎng)CE到/，使EF=EC,連接AF,

?;AE=BE,ZAEF=/BEC,

:2EF=bBEC,

:"EAF=/B,AF=BC,

vAD//BC,

.-.ZBAD+ZB=180°,

:.ZEAF+ZBAD=\SO0,

.?.點(diǎn)￡A。在一條直線上，

?：CEA-ED,

???/DEF=/DEC=90。,

J在Rt/\DEF和RtZ\D￡C中，

EF—EC，Z.DEF=/DEC,DE=DE，

???Rt/\DEF^Rt/\DEC,

:.FD=CD,

???FD=AD+AF=AD+BC,

:.CD=13C+AD.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰

三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜

合運(yùn)用以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.

18.(1)見(jiàn)分析：(2)l<x<4；(3)見(jiàn)分析

【分析】

(1)根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)EP至點(diǎn)。，使連接尸Q.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到世二。七=3,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論：

(3)延長(zhǎng)尸。至G,使得GZ)=。/,連接BG,EG,結(jié)合前面的做題思路，利用三角

形三邊關(guān)系判斷即可.

解：(1)證明：CD=BD,ZADC=ZEDBtAD=EDf

(2)l<x<4：

如圖，延長(zhǎng)臂至點(diǎn)。，使PQ=PE,連接尸。.

在"DE%"QF中,

PE=PQ

<NEPD=NQPF,

PD=PF

:NEPwgFP,

:.FQ=DE=3,

在AE"2中，EF-FQ<QE<EF+FQ,

即5-3<2x<5+3,

\x的取值范圍是lvx<4；

故答案為：l<x<4；

(3)延長(zhǎng)FD至G,使得GO=OF\連接8G,EG,

在△OR?和△Z)G8中，DF=DG，/CDF=/BDG,DC=DB,

/.△DFC^ADGB(SAS),BG=CF,

,在△瓦必和△EDG中，

DF=DG,/FDE=NGDE=9(甲.DE=DE,

:4EDFAEDG6AS),EF=EG,

在瓦;中，兩邊之和大于第三邊

,;.BG+BE>EG,

又?.?EF=EG,BG=CF,

:.BE+CF>EF

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的定義，三角形的三邊關(guān)

系，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

19.見(jiàn)分析

【分析】

延長(zhǎng)AM至N,使MN=AM,證△AMCgZSNMB,推出AC=BN=AD,ED=AN,證

△EAD^AABN,得到NEAD+NBAC=180。，即可證明ADJ_AC.

解：延長(zhǎng)AM至N,使MN=AM,連接BN,

???點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

?\CM=BM,

在4NMB中，

AM=MN

/AMC=NNMB,

CM=BM

.,.△AMC^ANMB(SAS),

AAC=BN,ZC=ZNBM,ZCAM=ZN,

VDE=2AM,AD=AC,

ADE=AN,AD=BN,

在4EAD和△ABN中，

AE=AB

<DE=AN,

AD=BN

r.AEAD^AABN(SSS),

AZEAD=ZABN,

???ZEAD+ZBAC=ZEAD+ZBAN+ZCAM=ZABN+ZBAN+ZN=180°,

VAB±AE,

AZEAB=90°,

/.ZDAC=360u-ZEAB-(ZEAD+ZBAC)=90u,

AAD±AC.

【點(diǎn)撥】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要

考查學(xué)生的推理能力，延長(zhǎng)AM至N,使MN=AM,利用“中線倍長(zhǎng)”構(gòu)造全等三角形的是解

題的關(guān)鍵.

20.(1)1<AD<5：(2)見(jiàn)分析；(3)AF+EOEF,見(jiàn)分析

【分析】

(1)證明ACDEgABDA(SAS),推出CE=AB=4,在△ACE中，利用三角形的三

邊關(guān)系解決問(wèn)題即可.

(2)如圖2中，延長(zhǎng)ED到H,使得DH=DE,連接DH,FH.證明△BDEgZ\CDH

(SAS),推出BE=CH,再證明EF=FH,利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題.

(3)結(jié)論：AF+EOEF.延長(zhǎng)BC到H,使得CH=AF.提供兩次全等證明AF=CE,

EF=EH即可解決問(wèn)題.

解：(1)VCD=BD,AD=DE,ZCDE=ZADB,

AACDE^ABDA(SAS),

AEC=AB=4,

V6-4VAEV6+4,

.\2<2AD<10,

/.1<AD<5,

故答案為：1VAD<5；

(2)如圖2中，延長(zhǎng)ED到H,使得DH二DE,連接DH,FH.

B

圖2

VBD=DC,ZBDE=ZCDH,DE=DH,

AABDE^ACDH(SAS),

ABE=CH,

VFD±EH,乂DE二DH,

AEF=FH,

在△CFH中，CH+CF>FH,

VCH=BE,FH=EF,

.\BE+CF>EF；

(3)結(jié)論：AF+EOEF.

理由：延長(zhǎng)BC到H,使得CH=AF.

VZB+ZADC=180°,

/.ZA+ZBCD=180°,

VZDCH+ZBCD=180°,

.\A=ZDCH,

VAF=CH,AD=CD,

.,.△AFD^ACHD(SAS),

/.DF=DH,ZADF=ZCDH,

/.ZADC=ZFDH,

VZEDF=-ZADC,

2

.\ZEDF=-ZFDH,

2

.,.ZEDF=ZEDH,

???DE-DE,

/.△EDF^AEDH(SAS),

AEF=EH,

EH=EC+CH=EC+AF,

/.EF=AF+EC.

【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)

系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等二角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

21.(I)2<AD<7；(2)AC//BQ,理由見(jiàn)分析；(3)EF=2AD,ADLEF,理由

見(jiàn)分析

【分析】

(1)先判斷出BO=C。，進(jìn)而得出△QOB絲△ADC(SAS),得出BQ=AC=5,最后

用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)由(1)知，AQDB^AADC(SAS),得出N3QQ=NC4。，即可得出結(jié)論；

(3)同(1)的方法得出AB。。且△CD4(SAS),則//%Q=NAC。，BQ=AC,進(jìn)

而判斷出//WQ=NE4F,進(jìn)而判斷出△ABQWZXEA尸，得出AQ=EF,ZBAQ=ZAEF,即

可得出結(jié)論.

解：(1)延長(zhǎng)A。到。使得QQ=A。，連接BQ,

〈A。是AABC的中線，

/.BD=CD,

BD=CD

在△QO8和△AOC中，N3￡)Q=/COA,

DQ=DA

:.△QDB//XADC(SAS),

???BQ=AC=5,

在AAB。中，A3-BQ<AQ<AB+BQ,

???4<AQ<14,

：.2<AD<1,

故答案為2VAOV7；

(2)AC//BQ,理由：由(1)知，△QQBg/SAOC,

：.ZBQD=ZCAD,

???AC〃8Q；

(3)EF=2AD,ADLEF,

理由：如圖2,延長(zhǎng)AQ到Q使得3Q=AO,連接4Q,

由(I)知，"DQ^ACDA(SAS),

：?NDBQ=NACD,BQ=AC,

\'AC=AF,

：.BQ=AF,

在AABC中，NBAC+N人BC+NACB=I80。,

???NBAC+NA8C+NOBQ=180。,

???N84C+48Q=180°,

VZBAE=ZMC=90°,

AZBAC+ZEAF=180°,

ZABQ=ZEAF,

AB=EA

在△A6Q和中，，/48Q=NE4/，

BQ=AF

J△A8Q也Z\E4尸，

：,AQ=EF,ZBAQ=ZAEF,

延長(zhǎng)DA交歷于P,

VZ/?/\E=90°,

???NB4Q+NE4P=90。，

???N4E尸+NE4尸=90。，

:.NAPE=90。，

：.ADLEF,

*：AD=DQ,

：.AQ=2AD,

?；AQ=EF,

：,EF=2AD,

即：EF=2AD,AD1EF.

E

【點(diǎn)撥】本題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，倍長(zhǎng)中線法，構(gòu)造

全等三角形是解題的關(guān)鍵.

22.（1）I.B；II.1<AD<9；（2）證明見(jiàn)分析.

【分析】

（1）I.根據(jù)全等三角形的判定定理解答；

II.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得AB-BEVAEVAB+BE,結(jié)合BE=AC可確定AE

的取值范圍，易得AD的取值范圍；

（2）首先延長(zhǎng)AD至M,使DM=AD,先證明△ABD@Z\MCD,進(jìn)而得出MC=AB,

ZB=ZMCD,即可得出/ACM=NACE,再證明△ACMgAACE,即可證明結(jié)論.

BD=CD

解：（I）I.在△ADC和△EDB中，，

DE=AD

AAADC^AEDB(SAS),

故選B;

II.VAADC^AEDB,

???BE=AC,

VAB-BE<AE<AB+BE,

/.AB-AC<AE<AB+AC,即2VAEV18,

1<AD<9,

故答案為1<ADV9；

(2)延長(zhǎng)AD至M,使DM=AD,

???也是乙ABC的中線，

???BD=CD,

[Bl)=CD

在AABD和AMCD中，<ZADB=ZMDCt

[AD=DM

/.△ABD^AMCD(SAS),

/.MC=AB,ZB=ZMCD,

VAB=CE,

ACM=CE,

VZBAC=ZBCA,

???NB+ZBAC=ZACB+ZMCD,即ZACE=ZACM,

AC=AC

在^ACE和^ACM中，＜N4CE=N4CM,

CM=CE

AAACM^AACE(SAS),

，AE=AM,

VAM=2AD,

AAE=2AD.

【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形三邊關(guān)系以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形

的判定定理和性質(zhì)定理利用倍長(zhǎng)中線得出輔助線是解題關(guān)鍵.

23.⑴見(jiàn)分析；⑵1<AD<7；（3）AE=6.

【分析】

（1）延KAD到點(diǎn)E,使DE=AD,根據(jù)SAS定理證明△ADCgZXEDB：

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；

（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F,證明aABD絲4FCD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答.

解：（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,

在△ADC和AEDB中，

AD=ED（已作），

/ADC=N，EDB（對(duì)頂角相等）,

CD=BD（中點(diǎn)定義），

.-.△ADC^AEDB（SAS）,

故答案為對(duì)頂角相等，SAS；

⑵???△ADC%EDB,

.-.BE=AC=6,

8-6<AE<8+6,

.\1<AD<7,

故答案為1<AD<7；

（3）延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于F,

VAB1BC,EF±BC,

/.^ABD=^FCD,

在AABD和aFCD中，

NABD=NFCD

BD=CD,

NADB=NFDC

..△ABD^AFCD,

,-.CF=AB=2,AD=DF，

NADE=90,

.?.AE=EF，

vEF=CE+CF=CE+AB=4+2=6,

AE=6.

【點(diǎn)撥】本題考杳了三角形的三邊關(guān)系定理和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是熟

記全等三角形的判定條件.

24.觀察發(fā)現(xiàn)：EC,2,12,1,6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見(jiàn)分析

【分析】

觀察發(fā)現(xiàn)：由“S4歹可證△A&）出△自?,可得A4=￡C,由三角形的三邊關(guān)系可求解；

探索應(yīng)用：由“S4S'可證可得AB=CH=25,即可求解；

應(yīng)用拓展：由“SAS'可證△8%且△即凡可得NPBA=NPEF,由“SAS'可證

△ACg△卜ED,可得由等腰二角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

解：觀察發(fā)現(xiàn)

解：如圖①，延長(zhǎng)4Q到點(diǎn)E,使。后A。，連接