2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新1卷）

★祝大家學(xué)習(xí)生活愉快*

注意事項(xiàng)：

L答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào),試室號(hào),座位號(hào)填寫在答題卡上.

用2B鉛筆將試卷類型和考生號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后,再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：

如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案,不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案

無效.

一,選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.

請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

L（1+51）1的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

2.已知集合。=卜卜是小于9的正整數(shù)},A={1,3,5},則中元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.3C.5D.8

3.已知雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的6倍，則C的離心率為（）

A.垃B.2C.SD.2拒

4.若點(diǎn)（。,0）（。＞0）是函數(shù)y=2tanx—1的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，則a的最小值為（）

兀兀兀4兀

A.B.-D.

~632T

5.設(shè)/（%）是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)2Kx43時(shí)，/（x）=5-2x,則/1-力=（）

6.帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小與方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速.視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向

量是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和,其中船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等,方向

相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)，名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與

船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2所示（線段長(zhǎng)度代表速度大小,單位：（m/s）），則真風(fēng)為（）

級(jí)數(shù)名稱風(fēng)速大?。▎挝唬簃/s）

2輕風(fēng)1.6?3.3

3微風(fēng)3.4?5.4

4和風(fēng)5.5~7.9

5勁風(fēng)8.0?10.7

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

7.若圓好+（丁+2）2=/（/>0）上到直線>=也》+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè)，則r的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+oo)D.(0,+co)

8.已知2+log2x=3+log3y=5+logsz,則尤,％z的大小關(guān)系不可能是()

A.x>y>zB.X>z>y

Cy>x>zD_y>z>x

二,選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)

的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.在正三棱柱ABC—451G中，。為BC中點(diǎn)，則（）

A.AD±AXCB.

CADIIAXBXD.CCJ/平面A4Q

3

10.已知拋物線C:V=6x的焦點(diǎn)為凡過尸的一條直線交C于A,8兩點(diǎn),過A作直線/：x=—-的垂線,垂足為D,過

*2

尸且與直線A3垂直的直線交/于點(diǎn)瓦則（）

A.\AD\=\AF\B.\AE\-\AB\

C.|AB|>6D.|AE|-|BE|>18

11.已知VABC的面積為,，若cos2A+cos2_B+2sinC=2,cosAcos_BsinC=』，則（）

44

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=O

C.sinA+sinB=叱D.AC2+BC2=3

2

三，填空題：本大題共3小題,每小題5分，共計(jì)15分.

12.若直線y=2x+5是曲線＞的切線，則。=.

13.若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且前4項(xiàng)的和等于4,前8項(xiàng)的和等于68,則這個(gè)數(shù)列的公比為.

14.有5個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字123,4,5,從中有放回地隨機(jī)取3次,每次取1個(gè)球.記X為這5個(gè)球中至少被取出1

次的球的個(gè)數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.

四,解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：

波檢查結(jié)果

正常不正常合計(jì)

組別

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為尸,求尸的估計(jì)值.

(2)根據(jù)小概率值。=0.001獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

n{ad-bc￥

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.0500.0100.001

P(x2>k)

k3.8416.63510.828

已知數(shù)列｛a.｝中,q=3,也=a?,1

16.

〃+1〃(%+1)

(1)證明：數(shù)列｛%/“｝等差數(shù)列.

(2)給定正整數(shù)見設(shè)函數(shù)/(%)=。逮+。2必+1+。,“廿，求尸(-2).

17.如圖，在四棱錐尸―ABCD中，上4,平面ABCD,AB±AD,BC//AD.

p

(1)證明：平面K45,平面？AD.

(2)設(shè)尸4=48=0,3。=2,4￡>=1+占，且點(diǎn)匕B,C,。均在球。的球面上.

(i)證明：點(diǎn)。在平面ABC。內(nèi).

(ii)求直線AC與P0所成角的余弦值.

18.已知橢圓C：*+*.=l(a〉6〉0)的離心率為逑，下頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為8,|A3|=JI5.

?2b~3

(1)求C的方程.

(2)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸不在y軸上，點(diǎn)R在射線AP上,且滿足|4?卜|4尸|=3.

⑴設(shè)尸(根,〃)，求尺坐標(biāo)(用機(jī)，〃表示).

(ii)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。是。上的動(dòng)點(diǎn),直線OR的斜率為直線OP的斜率的3倍，求|尸。|的最大值.

兀

19.(1)求函數(shù)/(x)=5cosx-cos5x在區(qū)間0,—的最大值.

(2)給定。€(0,兀)和aeR,證明：存在y€［。一夕,。+例使得cosyWcos。.

(3)設(shè)ZJGR,若存在0eR使得5cos尤一cos(5x+°)WZ?對(duì)尤eR恒成立，求。的最小值.

2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新1卷）

★祝大家學(xué)習(xí)生活愉快*

注意事項(xiàng)：

L答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào),試室號(hào),座位號(hào)填寫在答題卡上.

用2B鉛筆將試卷類型和考生號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后,再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：

如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案,不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案

無效.

一,選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.

請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

L（1+51）1的虛部為（）

A.-1B.0C.1D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及虛部的定義即可求出.

【詳解】因?yàn)椋╨+5i）i=i+5i?=-5+i,所以其虛部為1.

故選：C.

2.已知集合。=卜卜是小于9的正整數(shù)},A={1,3,5},則中元素個(gè)數(shù)為（）

A.0B.3C.5D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義即可求出.

【詳解】因?yàn)椤?{123,4,5,6,7,8},所以藥A={2,4,6,7,8},毛A中的元素個(gè)數(shù)為5.

故選：C.

3.已知雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的J7倍，則C的離心率為（）

A.72B.2C.yfjD.272

【答案】D

【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系,結(jié)合儲(chǔ)=c2和離心率公式求解

【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)軸，虛軸，焦距分別為2a,2b,2c.

由題知,6=J7a.

于是〃2+人2=+7〃2=8a2,則c-2\[2a.

即e=—=2^/2.

a

故選：D

若點(diǎn)（。,）（。>）是函數(shù)［

4.00y=2tanx—m的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心,則。的最小值為()

兀兀兀4兀

A.—B.—C.一D.—

6323

【答案】B

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心的結(jié)論求解.

jrjr/err

【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì),y=2tan(x--)的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足x--=—,k&Z.

即y=2tan(x——)的對(duì)稱中心是,0),左￡Z.

日n_兀?左兀7。

即〃---1-----，左￡Z.

32

一一兀

又〃>0,則左=0時(shí)a最小，最小值是一.

3

即a='.

3

故選：B

5.設(shè)/(%)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)24xK3時(shí)，/(x)=5-2%,則d()

]_

A.B.D.

242

【答案】A

【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為［2,3］的范圍中求解.

【詳解】由題知f(x)=/(-x),f(x+2)=/(x)對(duì)一切無￡R成立.

于是/(-|)=/(|)=/(^)=5-2x^=-1.

故選：A

6.帆船比賽中，運(yùn)動(dòng)員可借助風(fēng)力計(jì)測(cè)定風(fēng)速的大小與方向，測(cè)出的結(jié)果在航海學(xué)中稱為視風(fēng)風(fēng)速.視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向

量是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和,其中船行風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船速對(duì)應(yīng)的向量大小相等,方向

相反.圖1給出了部分風(fēng)力等級(jí)，名稱與風(fēng)速大小的對(duì)應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運(yùn)動(dòng)員在某時(shí)刻測(cè)得的視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與

船速對(duì)應(yīng)的向量如圖2所示(線段長(zhǎng)度代表速度大小，單位：(m/s))，則真風(fēng)為()

級(jí)數(shù)名稱風(fēng)速大小(單位：m/s)

2輕風(fēng)1.6?3.3

3微風(fēng)3.4?5.4

4和風(fēng)5.5~7.9

5勁風(fēng)8.0-10.7

A.輕風(fēng)B.微風(fēng)C.和風(fēng)D.勁風(fēng)

【答案】A

【分析】結(jié)合題目條件和圖2寫出視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量和船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，求出真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量，得出真風(fēng)風(fēng)

速的大小，即可由圖1得出結(jié)論.

【詳解】由題意及圖得.

視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為：n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1).

視風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量,是真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量與船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量之和.

船速方向和船行風(fēng)速的向量方向相反.

設(shè)真風(fēng)風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為)，船行風(fēng)速對(duì)應(yīng)的向量為后.

々+%，船行風(fēng)速：巧=-[(3,3)-(2,0)]=(-1,-3).

ni=n-Hj=(-3,-1)-1,-3)=(-2,2).

同=,y(-2)2+22=2V2X2.828.

由表得,真風(fēng)風(fēng)速為輕風(fēng).

故選：A.

7.若圓/+(丁+2)2=/(廠〉0)上到直線>=6》+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè),則『的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+oo)D.(0,+co)

【答案】B

【分析】先求出圓心石(0,-2)到直線yfx+2的距離,然后結(jié)合圖象,即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意.

在圓V+(y+2)2=r2(r>0)中,圓心￡(0,-2),半徑為r.

到直線y=6x+2的距離為1的點(diǎn)有且僅有2個(gè).

|0xV3-（-2）xl+2l

d

?.?圓心E（0,—2）到直線y=y[3x+2的距離為：=-/..2

，（⑹+（T）

故由圖可知.

當(dāng)廠=1時(shí).

圓了2+（丁+2）2=/（r>0）上有且僅有一個(gè)點(diǎn)（A點(diǎn)）到直線y=gx+2距離等于1.

當(dāng)r=3時(shí).

圓好+（丁+2）2=/（廠>0）上有且僅有三個(gè)點(diǎn)（BC,。點(diǎn)）到直線>=瓜+2的距離等于1.

當(dāng)則廠的取值范圍為（L3）時(shí).

圓+（y+2）2=/（r>0）上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線y=6+2的距離等于1.

故選：B.

8.已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,則尤,y,z的大小關(guān)系不可能是（）

A.x>y>zB.x>z>y

Cy>x>zD.y>z>x

【答案】B

【分析】法一：設(shè)2+log2x=3+log3y=5+log5z=機(jī)，對(duì)機(jī)討論賦值求出國(guó)％z,即可得出大小關(guān)系,利用排除法求

出.

法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.

【詳解】法一：設(shè)2+log2X=3+log3y=5+log5Z=m,所以

,1,1

令加=2,則x=l,y=3T=—,Z=5.3=——，此時(shí)x>y>z,A有可能.

3125

令m=5,則％=8,丁=9/=1,此時(shí)丁>兀>2,（2有可能.

令加=8,則x=2,=64,y=35=243,z=53=125,此時(shí)>>Z>X,D有可能.

故選：B.

ffl-2m-3

法二：設(shè)2+log2x=3+log3y=5+log5z=加，所以，x=2,y=3,z=5"巧

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根.

3

作出函數(shù)y=2，-2,y=3，-3,y=5工-5的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)J=2"-2,y=3^,y=5T的圖象與直線X=m

的交點(diǎn)縱坐標(biāo),如圖所示:

易知，隨著機(jī)的變化可能出現(xiàn)：x>y>z,y>x>z,y>z>x,z>y>x.

故選：B.

二,選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)

的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.在正三棱柱ABC—A4G中，。為BC中點(diǎn)，則（）

A.AD±AXCB.片。1_1_平面

C.AD//AXBXD.。。"/平面懼。

【答案】BD

【分析】法一：對(duì)于A,利用空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算即可判斷,對(duì)于B,利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可

判斷，對(duì)于D,利用線面平行的判定定理即可判斷，對(duì)于C,利用反證法即可判斷，法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】法一：對(duì)于A,在正三棱柱ABC—A4G中，M，平面ABC.

又ADu平面ABC,則則不?礪=0.

因?yàn)閂ABC是正三角形，。為3c中點(diǎn)，則AD工3C,則說.而=0

又AA+AD+CD.

所以京?蒞=（必+通+國(guó)）?而=*.而+而萬?詬二而？w0

則A。，4c不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,因?yàn)樵谡庵鵄BC-44cl中，AA平面A與G.

又BGU平面44G，則44］，用G.

因?yàn)閂ABC是正三角形，。為5c中點(diǎn)，則ADIBC,ADLBXCX.

又A41rlAD=A,相,A。u平面懼。.

所以耳G，平面A&。，故B正確.

對(duì)于D,因?yàn)樵谡庵鵄BC—A4cl中，CG//AAj

又44,u平面A412cGU平面A41rl，所以CC"/平面M。，故D正確.

對(duì)于C,因?yàn)樵谡庵鵄BC—A4cl中，\BJIAB.

假設(shè)AD〃片與，則AD//AB,這與AZ?cAB=A矛盾.

所以AD〃A與不成立,故C錯(cuò)誤.

故選：BD.

法二：如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)該正三棱柱的底邊為2,高為歷

則￡>(0,0,0)川60,0)，4(后0,力。0,-1,0)6(0,-1,人),3(。,1,0)，4(0,1,初

對(duì)于A,AD=b60,0)，4C=b6-l,-7z).

則通.品=卜6卜［6)+0=3/0.

則A。，AC不成立，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于BD,BC=(O,-2,O),Cq=(O,O,/z)，M=(O,O,/z),An=(-Ao,o).

設(shè)平面懼。的法向量為方=(x,y,z).

-h=hz-Q

則，得x=z=0,令y=1,則元=(0,1,0).

g?n=—yfix—0

---?/.UUU1

所以3C=（0,—2,0）=-2n,CCcn=0.

則3CJ_平面①。，CC"/平面的。，故BD正確.

對(duì)于C,AD=卜百,0,0）,刎=（-73,1,0）.

則二型H9,顯然AD〃4用不成立,故c錯(cuò)誤.

-V31

故選：BD.

3

10.已知拋物線C：V=6x的焦點(diǎn)為尸，過P的一條直線交C于4,2兩點(diǎn),過4作直線/：x=—-的垂線，垂足為。過

-2

尸且與直線A3垂直的直線交/于點(diǎn)瓦則（）

A.\AD\=\AF\B.\AE\-\AB\

C.|AB|>6D.\AE\-\BE\>18

【答案】ACD

3

【分析】對(duì)于A,先判斷得直線l；x=—-為拋物線的準(zhǔn)線,再利用拋物線的定義即可判斷,對(duì)于B,利用三角形相似證得

2

NAEB=90。，進(jìn)而得以判斷，對(duì)于C,利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合

韋達(dá)定理與焦點(diǎn)弦公式可判斷C,利用利用三角形相似證得=恒斗|/明，忸42=忸斗|4同，結(jié)合焦半徑公式可

判斷D.

【詳解】法一：對(duì)于A,對(duì)于拋物線C:V=6x.

則P=3,其準(zhǔn)線方程為x=—|,焦點(diǎn)/||,。］

則|AD|為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，同為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.

由拋物線的定義可知，1">1=|4尸1,故人正確.

對(duì)于B,過點(diǎn)B作準(zhǔn)線I的垂線,交于點(diǎn)尸.

由題意可知AD，/,反，AB,則NADE=NAFE=90°.

又|AD|=|A尸|,|AE|,所以VADE@/AFE.

所以NAED=NAE戶，同理NBEP=NB石戶.

又ZAED+ZAEF+ZBEP+ZBEF=180°.

所以40+ZBEF=90°,即NAEB=9。。.

顯然AB為AABE的斜邊,貝『AE|<|AB|,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,易知直線A3的斜率不為0.

設(shè)直線的方程為x=my+|,A(xi,y1),B(x2,y2).

f3

x=my+—0

聯(lián)立<"2,得-6n?y-9=0.

y=6x

易知A>0,則%+%=6m,%%=-9.

p33

又％=myr+—,x0=my,+—.

所以|AB|=%1+%2+p=加(％+%)+3+3=6加?+6>6.

當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取等號(hào),故C正確.

對(duì)于D,在RtAABE與RUAEF中，ZBAE=ZEAF.

\AE\\AF\

所以RIAABE?RtA￡F，貝U=匕』,即|AE「=\AF\-\AB\.

AABAE

同理忸邛=\BF\-\AB\.

玉+|%+|

又|A斗忸刊==(my+3)(my2+3)

222

=nry1y2+3〃?(必+%)+9=—9m+18m+9=9^m+1).

|AB|=6m2+6=6(加+1).

所以|AE「.忸E『=忸77HAp卜|.『=91m2+1,36(/+1)2.

13

WJ|AE|-|BE|=3"+1)3X6"+1)=18"+1)5218,故D正確.

故選：ACD.

法二：對(duì)于A,對(duì)于拋物線C:=6x.

則P=3,其準(zhǔn)線方程為x=—|,焦點(diǎn)/||,0

則為拋物線上點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，|A"|為拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.

由拋物線的定義可知，I/⑦1=1AFI,故A正確.

對(duì)于B,過點(diǎn)B作準(zhǔn)線/的垂線,交于點(diǎn)P.

由題意可知AD，跖，AB,則NADE=NAEE=90°.

又|AD|=|AF|,|AE|=|AE|,所以VADE@/AFE.

所以NAED=NAEF,同理NSEP=NB即.

又ZAED+ZAEF+ZBEP+ZBEF=180°.

所以40+ABEF=90°,即NAEB=9。。.

顯然AB為AABE的斜邊,貝U|AE|<|AB|,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，|AB|=2p=6.

x-j

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB方程為y=k

-1

/\Q

聯(lián)立《消去y,得左2%2—（3左2+6）x+j左2=0.

>2=6x

69

易知A>0,則%/=3+至，再％=4

3+>6.

綜上，|AB|26,故C正確.

對(duì)于D,在RtZkABE與RUAEF中，ZBAE=ZEAF.

所以RIAABE?RIAAEF，則圈=捻>^\AEf=\AF\-\AB\.

同理忸邛=\BF\-\AB\.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，|AB|=6,仙K=忸司=34創(chuàng)=3.

所以|AE卜忸目2=忸耳.,斗|他『=3x3x62,HP|AE|.|BE|=18.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，|A3|=6

+-X+X+

|AF|.|BF|=*/|(12)^

所以|AE『.忸E「=|即,“/ABF=91+

貝卜即叫=31+>18-

綜上，|A￡|?忸田218,故D正確.

故選：ACD.

11.已知VABC的面積為,，若cos2A+cos2B+2sinC=2,cosAcosBsinC=工，則()

44

A.sinC=sin2A+sin2BB.AB=42

C.sinA+sin5=D.AC2+BC2=3

2

【答案】ABC

TT

【分析】對(duì)cos2A+COS23+2sinC=2由二倍角公式先可推知A選項(xiàng)正確,方法一分情況比較A+3和一的大小,方

2

法二亦可使用正余弦定理討論解決,方法三可結(jié)合射影定理解決,方法四可在法三的基礎(chǔ)上,利用和差化積公式，回避討

論過程,，然后利用cosAcosBsinC=」算出A,3取值,最后利用三角形面積求出三邊長(zhǎng)，即可判斷每個(gè)選項(xiàng).

4

【詳解】cos2A+cos2B+2sinC=2,由二倍角公式，l-Zsin?A+i-Zsin?B+2sinC=2.

整理可得，sinC=sin?A+sin?5,A選項(xiàng)正確.

由誘導(dǎo)公式，sin(A+B)=sin(7i-C)=sinC.

展開可得sinAcosB+sinBcosA=sin2A+sin2B.

即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0.

下證

2

方法一：分類討論

7T

若A+3=—，則sinA=cos3,sin5=cosA可知等式成立.

2

jrjr

若A+5<—，即A<——B,由誘導(dǎo)公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，sinA<cosB,同理sin5vcosA.

22

又sinA>0,sin6>0,于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0.

與條件不符,則A+3<—不成立.

2

jrjr

若A+5>—,類似可推導(dǎo)出sinA(sinA-cos^+sinRsinB-cosA)>0,則A+5>—不成立.

22

jrjr

綜上討論可知，A+B=~,即。=—.

22

方法二：邊角轉(zhuǎn)化

sinC=sin2A+sin28時(shí)，由Cw(0,兀),則sinCe(0,1].

于是IxsinC=sin2A+sin2B>sin2C-

由正弦定理，力+人22c2.

IT

由余弦定理可知，cosC20,則CeQ'].

若Ce(0,馬，則A+3〉烏，注意到cosAcosBsinC=-,貝cosAcosB>0.

224

于是cosA>0,cos3>0(兩者同負(fù)會(huì)有兩個(gè)鈍角，不成立)，于是

結(jié)合A+3>/oA>二—5,而A,巴—5都是銳角，則sinA>sin(二一51=cosB〉0.

222^2)

于是sinC=sin2A+sin2B>cos23+sii?5=1,這和sinCV1相矛盾.

jrjr

故Ce(0,當(dāng)不成立,則C=—

22

方法三：結(jié)合射影定理(方法一改進(jìn))

由sinC=sin2A+sin2B,結(jié)合正弦定理可得，c=asinA+bsinB,由射影定理可得c=acos6+Z?cosA,于是

asinA+bsinB=acosB+bcosA.

TT

則。(sinA-cos3)+雙sin3-cosA)=0,可同方法一種討論的角度,推出A+B=—.

2

方法四：和差化積(方法一改進(jìn))

續(xù)法三：

?(sinA-cosB)+Z?(sinB-cosA)=0,可知sinA-cosB,sinB-cosA同時(shí)為0或者異號(hào)，即

(sinA-cosB)(sinB-cosA)<0,展開可得.

sinAsinB—sinAcosA—cosBsinB+cosAcosB<0.

即cos(A—3)—3卜也24+5M23)<0,結(jié)合和差化積，cos(A-B)(l-sin(A+B))<0,由上述分析，A,Be^O,|

I7T711jr

則A—Be—不力，則cos(A—3)20,則1—sinCA+BWO,即sinC'l,于是sinC=l,可知C=—.

I22

1兀1

由cosAcos3sinC---cosAcosB,由A+5=—，則cosB=sinA,即sinAcosA=—.

424

則sin2A=2，同理sin23=1，由上述推導(dǎo)，J0,巴，則2A23d(0,兀).

22k2j

7T5717T571

不妨設(shè)A<5,則2A=：,23=L，即A=^，B==.

661212

由兩角和差的正弦公式可知sinM+sin2==如，c選項(xiàng)正確

1212442

由兩角和的正切公式可得，tan—=2+73.

12

設(shè)_BC=AC=(2+^/^)/，則AB=+

由‘板=9(2+6)產(chǎn)=；，貝卜2=i^=［浮;，貝h=勺.

\7乙

于是A3=(#+&?=&,B選項(xiàng)正確，由勾股定理可知，+=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

三，填空題：本大題共3小題,每小題5分，共計(jì)15分.

12.若直線y=2x+5是曲線y=e*+x+a的切線,則a=.

【答案】4

【分析】法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求得切點(diǎn)，進(jìn)而代入曲線方程即可得解,法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何

性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得到關(guān)于切點(diǎn)(％,%)與a的方程組,解之即可得解.

【詳解】法一：對(duì)于y=e'+x+a,其導(dǎo)數(shù)為/=/+：!.

因?yàn)橹本€y=2x+5是曲線的切線,直線的斜率為2.

令y'=e*+1=2,即e"=1,解得%=0.

將％=0代入切線方程y=2%+5,可得y=2x0+5=5.

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5).

因?yàn)榍悬c(diǎn)(0,5)在曲線y=e'+x+a上.

所以5=6°+0+。，即5=1+。，解得。=4.

故答案為：4.

法二：對(duì)于y=e*+x+a,其導(dǎo)數(shù)為y'=e'+l.

假設(shè)y=2%+5與y=e*+x+a的切點(diǎn)為(尤0，為).

e~+1=2

則<%=2%+5，解得。=4.

%=e%+/+a

故答案為：4.

13.若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且前4項(xiàng)的和等于4,前8項(xiàng)的和等于68,則這個(gè)數(shù)列的公比為.

【答案】2

【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解,法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和的定義，得到關(guān)于

q的方程,解之即可得解，法三：利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于q的方程,解之即可得解.

【詳解】法—：設(shè)該等比數(shù)列為｛a“｝,S”是其前〃項(xiàng)和，則S4=4,S8=68.

設(shè)｛4｝的公比為q(q>0).

當(dāng)q=1時(shí)，S4=4al=4,即％=1,貝!|Sg=84=8w68,顯然不成立,舍去.

當(dāng)qwl時(shí),則$4="Ji)=4,S8=4(1—4)=68.

41-q8l—q

兩式相除得=￥，即(W)=17.

j41—二

貝打+不=17,所以q=2.

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法二：設(shè)該等比數(shù)列為｛4｝,S“是其前〃項(xiàng)和，則用=4d8=68.

設(shè)｛4｝的公比為q(q>0).

所以S4=q+〃2+43+”4=4.

S*g=q+%+Q3+。4+%+R+%+

4444

=q+%+/+/+—+a?q+ct3q+aAq

=(q+tz2+/+%乂1+q4)—68.

所以4(l+q)=68,貝口+(/=17,所以q=2.

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法三：設(shè)該等比數(shù)列為｛4｝,S“是其前〃項(xiàng)和，則S4=4d8=68.

設(shè)｛4｝的公比為q(q>0).

因?yàn)镾g—S4=%+4+%+%=+4+"3+%)q，=68—4=64.

又=%+%+%+%=4.

S.-S464〃

所以弋'41=4=丁=16,所以q=2.

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

14.有5個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機(jī)取3次,每次取1個(gè)球.記X為這5個(gè)球中至少被取出1

次的球的個(gè)數(shù),則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.

【答案】—##2.44

25

【分析】法一：根據(jù)題意得到X的可能取值,再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得X的分布列，從而求得

E(X),法二,根據(jù)題意假設(shè)隨機(jī)變量X,，利用對(duì)立事件與獨(dú)立事件的概率公式求得E(XJ,進(jìn)而利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

求得E(X).

【詳解】法一：依題意，X的可能取值為1.2,3.

總的選取可能數(shù)為53=125.

其中X=l：三次抽取同一球，選擇球的編號(hào)有5種方式.

故P(X=1)=----=—

12525

X=2：恰好兩種不同球被取出(即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次).

選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式,選取出現(xiàn)一次的球有4種方式.

其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能,故事件X=2的可能情況有5x4x3=60種.

故P(X=2)=@~=12

12525

X=3：三種不同球被取出.

由排列數(shù)可知事件X=3的可能情有況5x4x3=60種.

故p（X=3）=@>=12

12525

所以E（X）=lxP（X=l）+2xP（X=2）+3xP（X=3）

=lx二+2x竺+3，竺=61

125252525

故答案為：——?

法二：依題意,假設(shè)隨機(jī)變量X,,其中，=1,2,3,4,5：

。，這3次選取中，球,至少被取出一次之x.

其中X產(chǎn)

10,這3次選取中，球,?一次都沒被取出‘幺

由于球的對(duì)稱性,易知所有E[X』相等.

55

則由期望的線性性質(zhì)，得E[X]=E>=ZE[X/=5E[X1.

_i=i」i=i

4

由題意可知,球i在單次抽取中未被取出的概率為y.

4；_64

由于抽取獨(dú)立,三次均未取出球/的概率為尸(X,=0)=?~125

因此球i至少被取出一次的概率為：P(X,.=1)=1--=—

\,125125

故司X』小

所以現(xiàn)X]=5司X,]=5x言=||

故答案為：—.

25

四,解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15.為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表:

波檢查結(jié)果

正常不正常合計(jì)

組別

患該疾病20180200

未患該疾病78020800

合計(jì)8002001000

(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為尸,求尸的估計(jì)值.

(2)根據(jù)小概率值c=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).

附/二〃(ad-bc)2

''"(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

0.0500.0100.001

P[x2>k)

k38416.63510.828

9

【答案】(1)—

10

(2)有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)古典概型的概率公式即可求出.

(2)根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想,求出小,然后與小概率值c=0.001對(duì)應(yīng)的臨界值10.828比較,即可判斷.

【小問1詳解】

根據(jù)表格可知,檢查結(jié)果不正常的200人中有180人患病,所以P的估計(jì)值為國(guó)=2.

20010

【小問2詳解】

零假設(shè)為“°：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān).

1000x(20x20-780xl80)2

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，力2

=765.625>10.828=x0001.

800x200x800x200

根據(jù)小概率值a=0.001的/2獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷J/。不成立，即認(rèn)為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān),該推斷犯錯(cuò)誤

的概率不超過0.001.

16.已知數(shù)列｛4｝中,q=3,色紅—_4I?1

〃+1〃(幾+1)

⑴證明：數(shù)列｛如力為等差數(shù)列.

(2)給定正整數(shù)兀設(shè)函數(shù)_/(幻=卬:+。2，+1+4/'",求「(一2).

【答案】(1)證明見解析，

(2)/^-2)=Z-(3m+7)(-2)

aa1

【分析】(1)根據(jù)題目所給條件‘n"+l="7n+一/一不化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.

nn+\n\n+\)

(2)先求出｛a“｝的通項(xiàng)公式，代入函數(shù)并求導(dǎo)，函數(shù)兩邊同乘以x,作差并利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和得出導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式,即

可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

由題意證明如下，neN*.

在數(shù)列｛4｝中，?i=3,=+

1n)nn+1+

?,?(〃+1)%+i=啊,+1,即(〃+1)%+i-％=L

；?｛w〃｝是以％=3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.

【小問2詳解】

由題意及(1)得，〃wN*.

在數(shù)列｛"<%｝中,首項(xiàng)為3,公差為1.

2

nan=3+lx(〃_l),即=1+—.

m

在f(x)=OyX+%大2H----Famx