向量乘除題目解析題及答案1.題目：設(shè)向量\(\vec{a}=(2,3)\)和向量\(\vec=(1,-1)\)，求向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)的點(diǎn)積。解析：點(diǎn)積的計(jì)算公式為\(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2\)，其中\(zhòng)(a_1,a_2\)是向量\(\vec{a}\)的分量，\(b_1,b_2\)是向量\(\vec\)的分量。答案：將向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的對(duì)應(yīng)分量代入公式，得到\(\vec{a}\cdot\vec=2\times1+3\times(-1)=2-3=-1\)。2.題目：已知向量\(\vec{c}=(4,-2)\)和向量\(\vectthtlpb=(-1,3)\)，求向量\(\vec{c}\)與向量\(\vecvzdphhx\)的叉積。解析：二維向量的叉積可以通過(guò)行列式來(lái)計(jì)算，即\(\vec{c}\times\vecjvvdhdv=c_1d_2-c_2d_1\)。答案：代入向量\(\vec{c}\)和\(\vecbzllzzn\)的分量，得到\(\vec{c}\times\vectxlbttd=4\times3-(-2)\times(-1)=12-2=10\)。3.題目：設(shè)向量\(\vec{e}=(3,5)\)，求向量\(\vec{e}\)的模長(zhǎng)。解析：向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式為\(|\vec{e}|=\sqrt{e_1^2+e_2^2}\)。答案：代入向量\(\vec{e}\)的分量，得到\(|\vec{e}|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\)。4.題目：已知向量\(\vec{f}=(2,-4)\)和向量\(\vec{g}=(1,2)\)，求向量\(\vec{f}\)與向量\(\vec{g}\)的夾角\(\theta\)。解析：向量夾角的余弦值可以通過(guò)點(diǎn)積和模長(zhǎng)來(lái)計(jì)算，即\(\cos(\theta)=\frac{\vec{f}\cdot\vec{g}}{|\vec{f}||\vec{g}|}\)。答案：首先計(jì)算點(diǎn)積\(\vec{f}\cdot\vec{g}=2\times1+(-4)\times2=2-8=-6\)，然后計(jì)算模長(zhǎng)\(|\vec{f}|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\)和\(|\vec{g}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。代入公式得到\(\cos(\theta)=\frac{-6}{\sqrt{20}\sqrt{5}}=\frac{-6}{2\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{-6}{10}=-0.6\)，所以\(\theta=\cos^{-1}(-0.6)\)。5.題目：設(shè)向量\(\vec{h}=(1,1)\)，求向量\(\vec{h}\)與x軸正方向的單位向量的點(diǎn)積。解析：x軸正方向的單位向量為\((1,0)\)，點(diǎn)積計(jì)算公式為\(\vec{h}\cdot\vec{u}=h_1u_1+h_2u_2\)。答案：代入向量\(\vec{h}\)和單位向量\(\vec{u}\)的分量，得到\(\vec{h}\cdot\vec{u}=1\times1+1\times0=1\)。6.題目：已知向量\(\vec{i}=(3,6)\)，求向量\(\vec{i}\)除以2的結(jié)果。解析：向量除以一個(gè)標(biāo)量，即將向量的每個(gè)分量都除以該標(biāo)量。答案：將向量\(\vec{i}\)的每個(gè)分量除以2，得到\(\frac{\vec{i}}{2}=\left(\frac{3}{2},3\right)\)。7.題目：設(shè)向量\(\vec{j}=(-2,4)\)，求向量\(\vec{j}\)與向量\(\vec{k}=(2,-1)\)的叉積的模長(zhǎng)。解析：首先計(jì)算叉積\(\vec{j}\times\vec{k}=j_1k_2-j_2k_1\)，然后計(jì)算結(jié)果的模長(zhǎng)。答案：代入向量\(\vec{j}\)和\(\vec{k}\)的分量，得到\(\vec{j}\times\vec{k}=(-2)\times(-1)-4\times2=2-8=-6\)。模長(zhǎng)為\(|\vec{j}\times\vec{k}|=|-6|=6\)。8.題目：已知向量\(\vec{l}=(5,-3)\)和向量\(\vec{m}=(-1,2)\)，求向量\(\vec{l}\)與向量\(\vec{m}\)的單位向量。解析：?jiǎn)挝幌蛄康挠?jì)算公式為\(\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\)，其中\(zhòng)(\vec{v}\)是原向量，\(|\vec{v}|\)是原向量的模長(zhǎng)。答案：首先計(jì)算向量\(\vec{l}\)和\(\vec{m}\)的模長(zhǎng)，得到\(|\vec{l}|=\sqrt{5^2+(-3)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)和\(|\vec{m}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\)。然后計(jì)算單位向量，得到\(\frac{\vec{l}}{|\vec{l}|}=\left(\frac{5}{\sqrt{34}},\frac{-3}{\sqrt{34}}\right)\)和\(\frac{\vec{m}}{|\vec{m}|}=\left(\frac{-1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\)。9.題目：設(shè)向量\(\vec{n}=(7,0)\)，求向量\(\vec{n}\)與y軸正方向的單位向量的點(diǎn)積。解析：y軸正方向的單位向量為\((0,1)\)，點(diǎn)積計(jì)算公式為\(\vec{n}\cdot\vec{u}=n_1u_1+n_2u_2\)。答案：代入向量\(\vec{n}\)和單位向量\(\vec{u}\)的分量，得到\(\vec{n}\cdot\vec{u}=7\times0+0\times1=0\)。10.題目：已知向量\(\vec{o}=(1,1)\)，求向量\(\vec{o}\)與自身垂直的單位向量。解析：與向量\(\vec{o}\)垂直的向量可以是\((-1,1)\)或\((1,-1)\)，然后計(jì)算單位向量。答案：選擇向量\((-1,1)\)，計(jì)算模長(zhǎng)\(|\vec{p}|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\)。然后計(jì)算單位向量，得到\(\