第1講二次根式與勾股定理(12大核心考點)

內容導航

向串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢

重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺

舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升

n復習提升：真題感知+提升專練，全面突破

>>>思維導圖串知識<<<

考點一：二次根式的有關定義

考點二：二次根式的性質

考點三：二次根式的計算

考點四：二次根式的求值

考點五：二次根式的應用

考點六：勾股定理的有關計算

用勾股定理解三角形12核心考點

考點七：勾股定理與平方關系

弦圖問題

考點A：勾股定理與翻折問題

樹形圖面積問題

勾股定理考點九：勾股定理的證明

平方關系的計算與證明

考點十：勾股定理的應用

折疊問器

考點+一：勾叫理的除理

最短距離問題

考點十二：勾股定理與最值問題

勾股定理的證明二次根式與勾股定理

二次根式的概念

滑梯問題

勾股定理二次根式有意義的條件

高度問題二次根式的畸與頻

二次根式的性質

選址問題勾股定理的應用

最簡二次根式

航海問題

二次根式二次根式的乘法

水中筷子問題

二次板式的除法

判定直角三角形

勾股定的逆定理二次根式的加減

二次根式的計算

勾股數(shù)

二次根式的混合運算

二次板式的求值

二次板式的應用

/X

???重點速記<<<

IJ

知識點1二次根式的概念與性質

1.二次根式的有關概念

一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，“一”稱為二次根號.

注意：

(1)必須含有二次根號“一，“/”的根指數(shù)為2,即“表”，我們一般省略根指數(shù)2,寫作“「.

(2)被開方數(shù)必須是,如口和，_片—3都不是二次根式.

(3)二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子.

(4)式子a表示非負數(shù)a的算術平方根，因此a'O,20.二次根式具有性.

2.二次根式的性質:

⑴G―(a>0)-

(2)(&)2=(￡?>0).一個非負數(shù)的算術平方根的平方等于這個非負數(shù)

(3)r(a〉o)?一個數(shù)的平方的算術平方根等于這個數(shù)的絕對值

=同=<0(a=0)

(a<0)

(4)疝=(a>0,/7>0).積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積

(5)r-(a>0,b>0).兩個數(shù)的算術平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術平方根

3.最簡二次根式

被開方數(shù)不含;被開方數(shù)中不含,我們把滿足上述兩個

條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

最簡二次根式的條件：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；(2)被開方數(shù)中不含有可化

為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.

知識點2二次根式的有關計算

1.二次根式的乘法：

(1)Ja-4b=(a>0,b>QY

⑵逆用：4ab=(a>0,b>0)

(3)推廣：①C?5&=(。之0,b>0,c>0)

y/abcd=-fa-4b,&?y[d(a>0,b>0,c>0,d>0)

②八歷.d=(b>0,d>Q)

=a(a>0)

2.二次根式的除法:

⑴也

(6Z>0,b>0)

(2)逆用:

(〃>0,b>0)

(3)推廣：①&+揚+&=(〃>0,Z7>0,c>0)

②(m8)Xn?=,其中方

3.二次根式的加減

(1)法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成,再將的二次根式

進行合并.

(2)步驟：

①將各個二次根式化成最簡二次根式；

②找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；

③合并被開方數(shù)相同的二次根式一一將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變.

(3)注意:

①化成最簡二次根式后被開方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結果的一部分.

②整式加減運算中的交換律、結合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用.

③根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要化為假分數(shù)的形式.

4.二次根式的混合運算

(1)二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先

算括號里面的(或先去掉括號).

(2)在二次根式的運算中，有理數(shù)的運算律、多項式乘法法則及乘法公式(平方差公式、完全平方公

式)仍然適用.

(3)二次根式混合運算的結果一定要化成最簡二次根式或整式.

知識點3勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于.如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為a,b,斜

邊長為c,那么.

注意：(1)勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系.

(2)利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這

樣就將數(shù)與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

(3)理解勾股定理的一些變式:b2=c2-a2,c2=(a+b)-2ab

知識點4勾股定理證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.

圖(1)中Sf，百=(a=c，+4x立，所以爐+/=/.

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

.3」。.尸）=2小+#,所以J+從

知識點5勾股定理的逆定隹

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足，那么這個三角

形就是直角三角形.

說明:

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角.然后進一步結合

其他已知條件來解決問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的

兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

>>>核心考點舉一反三<<<

考點一：二次根式的有關定義

例1.（24-25八年級下?山東臨沂?期中）若二次根式有意義，則》的取值范圍是（）

3C.樂2

A.B.尤2一D.x<—

323

【變式訓練】1.（24-25八年級下?云南昆明?期中）下列各式是二次根式的是（）

A.7^4B.75C.石3D.鄧

2.（23-24八年級下?廣西河池?期中）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）

A.Jo.2B.J—C.y[4

D.75

3.（24-25八年級下?廣東江門?期中）若最簡二次根式比二工與g可以合并，則x的值為

考點二：二次根式的性質

例2.（24-25八年級下?全國?課后作業(yè)）若2,則加一2『+|37=

【變式訓練】

4.（24-25八年級下?重慶長壽?期中）已知實數(shù)。，6在數(shù)軸上的對應點如圖，則化簡

(V^)2+d(b-a)2—J(a+b)2為()

i■J-----

b0a

A.3aB.2b-a

C.a+2bD.a—2b

5.（24-25八年級下?全國?課后作業(yè)）若J（5+x『=5+X,則x的取值范圍是（）.

A.x>-5B.x>-5C.x<-5D.x<—5

6.（24-25八年級下?山東臨沂?期中）將一組數(shù)2,網(wǎng),2后，回,2vL…，后，…，按以下

方式進行排列:則第八行左起第2個數(shù)是（）

第一行

第二行2屈

第三行2A/2V102A/3

A.7&B.80C.4A/15D.2^/15

考點三：二次根式的計算

例3.（2025八年級下?湖北?專題練習）計算：

【變式訓練】

7.（24-25八年級下?全國?課后作業(yè)）計算：（友-6）（0+石）2=

8.（24-25八年級下?山東臨沂?期中）計算：

（1）^12-aJ|+V27；（2）[V2+1）（V2-1）-（A/3-2）2.

9.（2025八年級下?內蒙古?專題練習）計算：

考點四：二次根式的求值

例4.（24-25八年級下?江蘇蘇州?階段練習）已知：a=2+y[5,b=45-2.

（1）求/+。2-必的值;

（2）若機為。整數(shù)部分，〃為b小數(shù)部分，求%的值.

n

【變式訓練】

10.⑵-25八年級下?安徽合肥?期中）若片程,則代數(shù)式X—的值為一

11.（24-25八年級下?內蒙古鄂爾多斯?階段練習）已知y=+則（犬+才皿仁-獷期的值

為

1

12.（24-25八年級下?江西新余?期中）小明在解決問題：己知。=,求24。8a+1的值，他是這樣分

2+73

析與解答的:

a-2=—y/3?

—2y=3,即。2—4a+4=3.a2—4a=—1,2a~—8。+1=2(。？-4o)+l=2x(—1)+1=—1.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題:

⑴計算：看二——.

（2）若,求2片-8。+1的值.

考點五：二次根式的應用

例5.（24-25八年級下?甘肅蘭州?期中）閱讀材料：

若兩個正數(shù)a，b,則有下面不等式疝，當a=6時取等號，我們把學叫作正數(shù)。，6的算術平

均數(shù)，把疝叫作正數(shù)。，6的幾何平均數(shù)，于是上述不等式可以表述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于（即

大于或等于）它們的幾何平均數(shù).它在數(shù)學中有廣泛的應用，是解決最大（?。┲祮栴}的有力工具.不等式

審上點可以變形為不等式〃+822族，當且僅當a=6時取到等號.（。,人均為正數(shù)）

例：已知無>0,求了+,的最小值.

X

解：由a+Z?2得x+422%,=2x=2,當且僅當x=L即x=l時，有最小值，最小值為2.根

xVxx

據(jù)上面材料回答下列問題：

（1）5+62^/5^6；6+6276^6；（用“="“<”“>”填空）

9

（2）當％>0,則x+—的最小值為------，止匕時％=_

x

9

（3）當x〉2,則工+一^的最小值為；

x-2

⑷用籬笆圍一個面積為lOOn?的長方形花園，問這個長方形花園的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短,

最短籬笆是多少？

【變式訓練】

13.（24-25八年級下?河南商丘?階段練習）如圖用6個完全相同的小長方形拼成一個無重疊的大長方形,

已知小長方形的長為20，寬為血，下列對大長方形的判斷不正確的是（）

A.大長方形的長為4?B.大長方形的寬為3萬

C.大長方形的周長為7&D.大長方形的面積為24

14.（24-25八年級下?山東德州?期中）先觀察下列等式，再回答問題:

G?11111

①+F=1+-------

VI22212

請你利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：

V11~+F1+?r+Vr1_+^1+?r+Vr1_+iyVr++2[+而i日者i-一…202,4—

15.（24-25八年級下?山東臨沂?期中）（1）請用：“=填空:

①2+3______272^3；②1+；

③5+5______2A/5^5.

（2）由（1）中各式猜想根+〃與2標（m>0,n>0）的大小關系，并說明理由.

（3）學以致用：某園林設計師要用籬笆圍成一個矩形的花圃.如圖所示，花圃恰好可以借用一段墻體（墻

體足夠長），為了圍成面積為128m2的花圃，所用的籬笆至少是多少米？

考點六：勾股定理的有關計算

.\、例6.（24-25八年級下?遼寧營口?期中）在VA3C中，AB=AC=10,BC=16,點。是8C的中點,

點E是線段8。上的動點，過點￡作所，5。交于點R連接AE,若NAEF=NB.

（1）求證：AE±AC；

（2）求￡>￡的長.

【變式訓練】

16.（2025?安徽蕪湖?二模）如圖，VABC中20為AC上的中線，AE±BC,垂足為E,AB5,AC=2,

BO=y/6,則AE的長為（）

A.叵

B.275「75

17.（24-25八年級下?遼寧阜新?期中）RtaABC中，/A,NB,NC的對邊分別為a,b,c,ZC=90°,

c=y[5,VABC面積為1,貝iJ/6+"3=.

18.（24-25八年級下?山東青島?期中）已知：如圖，在VABC中，ZACB=90°,/4=30°,AB的垂直平

分線分別交AB,AC于點。，E,連接8E.

隊

（1）求證：CE=DE；

（2）連接CO,BE與。之間有怎樣的位置和數(shù)量關系？請說明理由.

考點七：勾股定理與平方關系

例7.(23-24八年級下?安徽蚌埠?期中)如圖，在VA3C中，AD±BC.

A

(1)求證：AB1-AC~=BD2-CD2；

(2)當AB=8,BC=6,AC=2jim時，求A。的值.

【變式訓練】

19.(24-25八年級上?貴州貴陽?期中)對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美

四邊形ABCD,對角線AC,BD交于點、0.

(1)若AO=2,BO=3,8=4,￡>0=5,請求出BC2,CD2,DA?的值.

⑵若AB=6,CD=10,求3C2+AD2的值.

(3)請根據(jù)(1)(2)題中的信息，寫出關于“垂美”四邊形關于邊的一條結論.

20.(23-24八年級下?安徽阜陽?期中)如圖，四邊形ABC。的對角線相交于點。.若AB=3CD=6,

貝I]A￡)2+BC2=

B

21.（23-24八年級下?山西呂梁?階段練習）如圖，在VABC中，的垂直平分線所交8c于點E,交AB

于點是線段CE上一點，且滿足條件：CD=DE,NADC=90。.若/B=36。，AB=y/5+3,4C=指+1，

則A￡>2=

考點八：勾股定理與翻折問題

例8.（24-25八年級下?遼寧沈陽?期中）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線30對折，點C落在點E

的位置，AD與BE相交于點

（1）求證：VBD尸是等腰三角形;

(2)若AB=8,AD=10,求SVBQ.

【變式訓練】

22.（24-25八年級下?北京房山?期中）如圖，折疊矩形紙片ABC。，先折出折痕（對角線BD）,再折疊使

落在對角線8。上，得到折痕DG,已知AB=8,BC=6,則折痕DG的長是（）

A.2回B.3A/5C.4A/3D.572

23.（23-24八年級下?四川南充?期中）如圖，平面直角坐標系中，矩形。18C中點8（8,

4）,若將VABC沿AC折疊，使3落在方處，則方的縱坐標是.

24.(24-25八年級下?安徽合肥?期中)已知在長方形ABC。中，AB=4,BC=3.按下列要求折疊，試求

出所要求的結果.

BE交CD于點、F,求Sy"：

(2)如圖(2)所示,折疊長方形ABC。，使落在對角線8。上，求折痕OE的長;

(3)如圖(3)所示,折疊長方形使點。與點8重合，求折痕所的長.

考點九：勾股定理的證明

0^例9.(24-25八年級下?內蒙古烏蘭察布?期中)直角三角形的三邊關系：如果直角三角形兩條直角

邊長為a、b,斜邊長為c,

(1)圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖1推導上面的關系式.利用以上所得的直

角三角形的三邊關系進行解答；

(2)如圖2,在一條東西走向河流的一側有一村莊C,河邊原有兩個取水點A、B,其中AB=AC,由于某種

原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點”(A、H、B在一條

直線上)，并新修一條路CH,且8,A3.測得C"=6千米，EB=4千米，求新路C”比原路C4少多

少千米？

(3)在第(2)問中若ABHAC時，CH±AB,AC=8,BC=10,AB=12,設=求x的值.

【變式訓練】

25.（23-24八年級上?全國?課后作業(yè)）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

26.（24-25八年級下?山東臨沂?期中）某版本教材提供了一種勾股定理無字證明的方法：如圖所示,

ZACB=90。，古人把正方形BCFV沿乙。，兩線段剪成四塊四邊形①、②、③、④，使得包=CM=QB=W,

之后再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形MHG.他們通過這種簡單的剪切、

拼接，就以實驗的方式驗證了勾股定理.現(xiàn)在，探究小組，經(jīng)過分析初步得出了

下面一些結論：

①.IL=IM=IQ=IK.②.若測得AC=2,BC=4,設FL=x,LV^y,則x=l；

③.AC=^AB.④.N,O,J,尸分別為正方形ABHG四邊的中點.

上面結論正確的是.

27.（24-25八年級下?安徽亳州?期中）【背景介紹】千百年來，人們對勾股定理

的證明樂此不疲，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向常春構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個

全等的Rt^ABC和RtED4按如圖1方式放置，其三邊長分別為〃,仇。,/歷^=/?！?=90°.

圖I圖2

（1）請你利用圖1證明勾股定理；

（2）如圖2,在VABC中，BC=a,AC=b,AB=c,^,c>b>a,當VABC是鈍角三角形時，猜想/+〃與之

間的關系，并說明理由；

（3）已知Rt^ABC的三邊為a/,c為斜邊），其中。，8滿足+/）（4+/=5,求RtA4BC的斜邊

的長.

考點十：勾股定理的應用

例10.(24-25八年級下?河南三門峽?期中)八年級11班松松同學學習了“勾股定理”之后，為了測量

如圖的風箏的高度CE,測得如下數(shù)據(jù):

①測得80的長度為8米：(注：BDLCE)

②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線的長為17米;

③牽線放風箏的松松身高1.6米.

(1)求風箏的高度CE.

(2)若松松同學想風箏沿8方向下降9米，則他應該往回收線多少米?

【變式訓練】

28.(24-25八年級下?廣東汕頭?期中)2025年1月1日，汕頭市區(qū)春節(jié)煙火晚會精彩呈現(xiàn)，吸引了近萬名

市民共同感受“粵東之城，蛇年呈祥”的美好圖景.如圖，東海岸道路上有A、3兩個出口，相距250米，在

公路北面不遠處的C地是煙火晚會煙花燃放處，已知C與A的距離為150米，與8的距離為200米，在煙

花燃放過程中，為了安全起見，燃放點C周圍半徑130米范圍內不得進入.

(1)煙花燃放點C距離公路的垂直距離為多少米?

(2)煙花燃放過程中，按照安全要求，A、B之間的公路是否需要暫時封鎖？若需要封鎖，請說明理由，并求

出需要封鎖的公路長.

29.(24-25八年級下?北京?期中)如圖，《九章算術》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻

行，去本八尺而索盡.問索長幾何.譯文：現(xiàn)在有一根豎直的木頭，繩子系在其頂端.將繩子垂到地面時,

繩子還有三尺余在地上.拉著繩子后退，離木頭根部八尺時，繩子被拉直用完.問繩子的長度是多少？

30.(24-25八年級下?廣西南寧?階段練習)消防云梯主要是用于高層建筑火災等救援任務，消防云梯的使

用可以大幅提高消防救援的效率，縮短救援時間，減少救援難度和風險.如圖，某棟樓房EH發(fā)生火災，在

這棟樓離地面24米的B處有一老人需要救援，已知消防車高AG為4米，救人時消防車上的云梯4?必須伸

(1)求此時消防車的位置A與樓房的距離Q4的長;

(2)完成8處的救援后，消防員發(fā)現(xiàn)在3處的上方4米的。處有一小孩沒有及時撤離，為了能成功地救出小

孩，消防車需從A處駛近到C處，云梯A3移動至C。，消防車高為CF,問消防車靠近的距離AC也為4米

嗎？請說明理由.

考點H^一：勾股定理的逆定理

例H.(24-25八年級下?重慶長壽?期中)如圖，長壽某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地(圖

中的四邊形ABCD),經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，ZACB=90°,AB=15m,SC=9m,AD=5m,￡>C=13m.

(1)ACD是直角三角形嗎？為什么？

(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元?

【變式訓練】

31.（24-25八年級下?內蒙古呼和浩特?期中）為了響應國家生態(tài)文明建設的號召，提升居民生活品質，營

造更加宜居和諧的居住環(huán)境，呼和浩特某小區(qū)全面啟動了綠化升級工程，以“生態(tài)、美觀、實用”為原則，科

學規(guī)劃，精心布局，打造多功能的綠色空間.社區(qū)在住宅樓和臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）.如

CD=10V5m,AT）=10m,兩條街道互相垂直.

（1）由于綠化區(qū)的存在，小區(qū)居民要想從點A走再到點C必須經(jīng)過點B繞行，為了方便居民出入，該小區(qū)計

劃在該綠化區(qū)中開辟一條從點A直通點C的小路（小路寬度忽略不計）.若此計劃落實，則居民從點A到

點C能少走多少米?

（2）求這片綠化區(qū)的面積.

32.（24-25八年級下?新疆喀什?期中）如圖，在一條東西走向的河道的一側有一村莊C,河邊原有兩個取

水點A,B,由于某種原因.由村莊C到取水點A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新

建一個取水點H（點A,H,8在同一條直線上），并新修一條路C”，測得CB=13km,CH=12km,

HB=5km.C”是否為從村莊C到河邊最近的路？（即C”與AB是否垂直？）請通過計算加以說明.

33.（24-25八年級下?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，網(wǎng)格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段A3、CD的端

（1）在圖中畫出以為邊的正方形CDE/"點E和點廠均在小正方形的頂點上;

（2）在圖中畫出以48為斜邊的等腰直角一AB/f,點8在小正方形的頂點上;

（3）連接請直接寫出線段HE的長.

考點十二：勾股定理與最值問題

例12.（24-25八年級上?甘肅蘭州?期中）綜合與實踐

背景介紹：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力.千百年來，人們對它的證明趨之若鷲，其中有著名

的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者.向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法.

（1）把兩個全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為。、b、c.顯然，ZDAB=ZB=90°,AC±DE.用

含a、b、c的式子分別表示出梯形ABC。、四邊形AEC。、￡BC的面積，再探究這三個圖形面積之間的

關系，可得到勾股定理.上述圖形的面積滿足的關系式為,經(jīng)化簡，可得到勾股定理/+62=02.

（2）如圖2,鐵路上A、8兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，C、O為兩個村莊（看作兩個點），AD±AB,

BCLAB,垂足分別為A、B,AD=24千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米（直接填

空）；

（3）在（2）的條件下，要在A3上建造一個供應站尸，使得PC=陽，求出AP的距離.

（4）借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式+-xp+81的最小值（0<x<16）.

【變式訓練】

34.（24-25八年級下?河南三門峽?階段練習）如圖，A,B個村在河CD的同側，且AB=a?km,A,B兩

村到河的距離分別為AC=1km,5D=3km.現(xiàn)要在河邊C￡>上建一水廠分別向A,B兩村輸送自來水，鋪

設水管的工程費每千米需3000元.請你在河岸8上選擇水廠位置O,使鋪設水管的費用最省，并求出鋪

設水管的總費用卬（元）.

35.（24-25八年級下?四川自貢?期中）如圖，圓柱的高為12cm,底面圓的周長為18cm,在圓柱下底面的

點A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點8處的食物，沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？

36.（24-25八年級上?上海浦東新?期末）【背景介紹】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年

來，人們對它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了

一個新的證法.

【小試牛刀】（1）把兩個全等的直角三角形如圖1放置，ZDAB=ZB=90°,已知AB=AD=a,AE=BC=b,

DE=AC=c,AC1,DE,試證明=C?.

圖I圖2圖3

【知識運用】

（2）如圖2,鐵路上A,3兩點（看作直線上的兩點）相距24千米，C,。為兩個村莊（看作兩個點），

ADJ.AB,BC1.AB,垂足分別為A、B,AD=23千米，BC=16千米，則兩個村莊的距離為千米（直

接填空）；

（3）在（2）的背景下，要在A3上建造一個供應站尸，使得PC=PD,求AP的長.

（4）【知識遷移】借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式Jd+9+JQ6-X）2+81的最小值—.

[>>>復習提升<<<:

一、單選題

1.（23-24八年級下?廣西河池?期末）要使式子后與有意義，則x的值可以是（）

A.-2B.0C.1D.2

2.（24-25八年級下?陜西西安?階段練習）以下列數(shù)據(jù)為長度的線段中，可以構成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.1.5,2,2.5D.0,3,5

已知6?1.732,則2J；x（76+73）（76-73）的值保留小數(shù)點后兩位

3.（24-25八年級下?新疆喀什?期中）

是（）

A.6.93B.3.47C.3.46D.1.73

4.（24-25八年級下?湖北武漢?期中）如圖，Rt^ABC中，ZACB=90.以Rt^ABC

的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為正邑，S3,若4+S+S3=40,則瓦的

值為（）

A.18B.20C.22D.25

5.（24-25八年級下?湖北武漢?期中）已知J49一d+Jis+d=10,貝!J/49一/一J15+Y的值為（）

A.277B.-2A/7C.±2A/7D.以上都不對

6.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，AD.

4=60°,AC=2.則OE長為（）

A.73-1B.亨

7.（24-25八年級下?內蒙古呼和浩特?期中）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學的偉大成就,

它巧妙的利用面積關系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成

的一個大正方形（如圖2）.設直角三角形的較長的直角邊為。，較短的直角邊為6,若圖2中大正方形的

面積為32,線段E尸的長為4應，圖2中4個全等的直角三角形面積和為（）

A.28C.20D.16

8.（24-25八年級下?四川德陽?期中）如圖，在Rt^ABC中，AB=AC,N54C=90。，￡為8C上兩點,

NZME=45。，尸為VABC外一點，且EBL3C,FAYAE,則以下結論：①BD=BF；?BD2+CE2=DE2；

③S"B=：AD.EF；@CE2+BE2^2AE2.其中正確的是（）

A.①②③④B.②③④C.①③④D.②④

二、填空題

9.（24-25八年級下?全國?課后作業(yè)）填空：

（1）若M與最簡二次根式6標二1是同類二次根式，則相=;

（2）若a、b都是無理數(shù)，且。+6=1,請寫出一組符合條件的。、6的值：.

10.（24-25八年級下?安徽蚌埠?階段練習）已知點尸（x,y）滿足y=萬I+^/^與+l,則點P到原點的距離

為.

11.（24-25八年級下?新疆喀什?期中）如圖，庭院中有兩棵樹，小鳥要從一棵高10m的樹頂飛到另一棵高5m

的樹頂上，若兩棵樹相距8m,則小鳥至少要飛—m.

12.（24-25八年級下?廣西玉林?期中）已知機為正整數(shù)