專題09角及角平分線的有關(guān)計算

（鞏固提升練20題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）

《，知識清單

/I>

工癡有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做

這個角的邊.或：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的.

2.平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角.終邊繼續(xù)

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角.

3.角的表示：

①用數(shù)字表示單獨的角，如/I,Z2,N3等.

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如Na,ZP，ZV,等.

③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如/B,/C等.

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如NMD,ZBAE,/C4E等.

注意：產(chǎn)三個大寫英文藝母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè).

4.用一副三角板,可以畫出15°,30°,45°,60°,75。，90°,105°,120°,135°,150°,180。的角.

5.角的度量

角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用"。"表示，1度記作"1。"，

n度記作"n?！?

把1。的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作"1’".

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作"1"”.

即1°=60',r=60".

6.角的性質(zhì)

①角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān).

②角的大小可以度量，可以比較.

③角可以參與運算.

7?角的平分線

從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.

8.余角和補角

（1）余角：如果兩個角的和等于90。（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是另一個角的余角.

（2）補角：如果兩個角的和等于180。（平角），就說這兩個角互為補角.即其中一個角是另一個角的補

角?

（3）性質(zhì)：等角的補角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補角計算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關(guān)系.不論這兩個角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它

們就具備相應(yīng)的關(guān)系.

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一、單選題

1.（24-25七年級上,全國?期末）有下列關(guān)于角的說法：

①兩條射線組成的圖形叫作角；

②角的邊越長，角越大；

③在角一邊的延長線上取一點D；

④角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

其中正確的有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】本題主要考查了角的定義，根據(jù)角的概念對各選項分析判斷后利用排除法求解，熟練掌握有公共

端點的兩條射線組成的圖形叫做角是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】有公共端點的兩條射線組成的圖形叫作角，故①錯誤，不符合題意；

角的大小與開口大小有關(guān)，角的邊是射線，沒有長短之分，故②錯誤，不符合題意；

角的邊是射線，不能延長，故③錯誤，不符合題意；

角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，④正確，符合題意，

...只有④一個選項正確，

故選：A.

2.（24-25七年級上?河北邢臺?期中）如圖所示，N1還可以表示為（）

【答案】B

【分析】本題考查角的表示方法，根據(jù)一個角可以用三個大寫字母表示，進行判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，41還可以表示為NC4。；

故選B.

3.（24-25七年級上,全國?期末）若NA=52。，貝吐力的補角的度數(shù)為（）.

A.48°B.208°C.128°D.38°

【答案】C

【分析】此題主要考查了補角的定義，兩角相加為180。，則兩角互補.根據(jù)補角的定義進行解答即可.

【詳解】解：乙4的補角的度數(shù)為180。-52。=128。.

故選：C.

4.（18-19七年級?吉林長春,期末）如圖，。4是北偏東30。方向的一條射線，將射線04繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)80。

得到射線。B,則OB的方位角是（）

A.北偏西30°B.北偏西50。C.東偏北30°D.東偏北50。

【答案】B

【分析】本題考查了方位角的計算，理解圖示，掌握方位角的計算是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意，乙4OB=80。，可得OB在北偏西50。方向即可求解.

是北偏東30。方向的一條射線，

：.^AOC=30°,

?..將射線04繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)80。得到射線。B,

：.Z.AOB=80°,

：.^BOC=乙AOB-ZAOC=80°-30°=50°,

；.0B的方位角是北偏西50。，

故選：B.

5.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))若乙4=32。18',NB=32。15’30",ZC=32.25°,貝?。?)

A.Z.A>/.B>ZCB.乙B>乙A>ZC

C.Z71>Z.C>乙BD.ZC>ZT4>/.B

【答案】A

【分析】本題主要考查角的大小比較，需要熟練掌握度數(shù)與度分秒形式之間的轉(zhuǎn)化.將三個角的度數(shù)都轉(zhuǎn)

化成度分秒的形式后，即可得到三個角的大小關(guān)系.

【詳解】解：,??0,25°=60'x0,25=15',

AzC=32°15',

V32o18,>32o15,30,,>32°15,,

：.Z.A>48>NC.

故選：A.

6.（19-20七年級上?安徽馬鞍山?期末）如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若乙40。=160°,

則N80C等于（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】A

【分析】本題考查了角度的計算，如圖可知，NBOC的度數(shù)正好是兩直角相加減去乙4。。的度數(shù)，進而即可

解出答案.

【詳解】解：-.?Z.AOB=乙COD=90°,Z.AOD=160°,

???乙BOC=乙AOB+乙COD-4AOD=90°+90°-160°=20°,

故選：A.

7.（2024七年級上，全國?專題練習(xí)）如圖，將三個同樣的正方形的一個頂點重合放置，貝此1的度數(shù)是（）

C.25°D.20°

【答案】D

【分析】本題主要考查了角度的計算，根據(jù)41=NBOD+EOC-NBOE,利用正方形的角都是直角，即可

求得乙BOD和NEOC的度數(shù)從而求解.

【詳解】解：如圖，

VZ.FOC=Z.EOB=A.DOA=90°,乙EOF=42°,/.AOB=28°,

4BOD=90°-Z.AOB=90°-28°=62°,乙EOC=90°-乙EOF=90°-42°=48°,

Vzl=乙BOD+乙EOC-乙BOE,

Azi=62°+48°-90°=20°.

故選D.

8.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，。8是乙4OC的平分線，。。是NCOE的平分線，若4COE=2a,

^AOB=40°,貝ikBOD的度數(shù)為（）

A.a+20°B.a+40°C.a-20°D.a+80°

【答案】B

【分析】本題主要考查角的計算，角平分線的定義，靈活運用角的和差計算角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.由角

平分線的定義可求解NBOC=乙4。8=40。，4COD=三4COE=a,進而可求解.

【詳解】因為OB是N40C的平分線，

所以N80C=Z.AOB=40°,

因為。。是NCOE的平分線，

所以NC。。=沁。5=a,

所以NB。。=4COD+ABOC=a+40°.

故選：B.

9.（22-23七年級上?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，已知乙4。。=［乙4OB,乙4。。=1乙4OB,且NC。。=20。，則

NAOB的度數(shù)為（）

BD

0A

A.100°B.110°C.120°D.135°

【答案】C

【分析】本題考查了角平分線的定義、角的計算、方程，根據(jù)已知條件列方程即可.

【詳解】設(shè)N40B=X,貝此4。。=梟，Z.AOD-|x.

因為N4。。-NAOC=NCOD,所以=解得％=120。.

所以NAOB=120°

故選：C.

10.（2024七年級上?云南?專題練習(xí)）將一張長方形紙片力BCD按如圖所示的方式折疊，AE,力尸為折痕,

點B、。折疊后的對應(yīng)點分別為次、D',若NB2D=10。，貝叱R4F的度數(shù)為（）

A.40°B.45°C.50°D.55°

【答案】A

【分析】本題考查了角的計算，可以設(shè)=乙FAB，=B，根據(jù)折疊可得NNZMF=4?力尸，乙BAE=

AB'AE,進而可求解.

【詳解】解：設(shè)NE4D'=a,Z.FAB'=p,

根據(jù)折疊性質(zhì)可知乙EMF=Z.D'AF,乙BAE=/.B'AE.

V/-B'AD'=10°,

J.LDAF=10°+)?,ABAE=10°+a.

?.?四邊形ABC。是長方形，

：.^DAB=90°,

?.10°+￡+S+10°+10°+a+a=90°,

.,.a+p=30°,

J./.EAF=/.B'AD'+Z.D'AE+乙FAB'=10°+30°=40°.

故選：A.

二、填空題

11.（24-25七年級上?河北石家莊?期中）比較大?。?0。15'30"20.25°.（填＞、＜或=）

【答案】＞

【分析】本題主要考查了度、分、秒的轉(zhuǎn)化運算，注意以60為進制，比較簡單.先進行度、分、秒的轉(zhuǎn)化

運算，再對比即可得出答案.

【詳解】解：???0.25。=0.25＞＜60'=15',

/.20.25°=20°15,,

.?.20°15'30"＞20.25°.

故答案為：＞.

12.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）社會熱點情境?野生動物保護天氣轉(zhuǎn)暖，每年的二、三月，一大批國

家二級保護動物白天鵝從三門峽天鵝湖國家城市濕地公園北遷，天鵝遷徙時常排成人字形，這個人字形的

一邊與其飛行方向夾角是54。44,8",從空氣動力學(xué)角度看，這個角度對于白天鵝隊伍飛行最佳，所受阻力最

小，則54。44,8"的補角是.

【答案】125°15'52”

【分析】本題考查了補角的定義和度、分、秒的互化，根據(jù)補角的定義列式計算即可.

【詳解】解：18。°一54°44'8"

=179°59'60"-54°44'8"

=125°15'52".

故答案為：125°15'52".

13.（2024七年級上,全國?專題練習(xí)）如圖，已知點。是直線ZB上一點，AAOC=50°,。。平分N力。C,ABOE=

90。，請寫出下列正確結(jié)論的序號.

①NBOC=130°；②NAOD=25°；③4BOD=155°；④NCOE=45°.

【答案】①②③

【分析】本題主要考查角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義、鄰補角和直角的概念求解可得.

【詳解】解：,??乙4。。=50。，

???/.BOC=180°-/-AOC=130°,故①正確；

???。。平分N40C,

2LAOD=l^AOC=|x50°=25°,故②項正確；

乙BOD=180°-/.AOD=155°,故③正確；

???4BOE=90°,40C=50°,

NCOE=180°-/LAOC-乙BOE=40°,故④錯誤；

故答案為：①②③.

14.（2019?廣西貴港?三模）小明把一副含45。，30。的直角三角板如圖擺放，其中NC=ZF=90。，"=45°,

=30°,貝Ika+N0等于.

【答案】210。/210度

【分析】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰

的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到NB=45。，NE=60。，根據(jù)三角形的外角的性

質(zhì)計算即可.

【詳解】解：如圖.

Vz.a=zl+zD,乙夕=乙4+乙尸，zC=ZF=90°,

/.z.a+“

=zl+zP+z4+zF

=z2+zP+z3+zF

=42+43+30°+90°

=90°+30°+90°

=210°.

故答案為：210。.

三、解答題

15.(2024七年級上,全國?專題練習(xí))計算：

(1)83。46,+52°39'16"；

(2)96°-18°26,59n.

【答案】⑴136°25'16"

(2)77°33'1"

【分析】本題考查了度分秒的加減計算，熟練掌握換算方法是解題的關(guān)鍵.

(1)兩個度數(shù)相加，需要將度與度，分與分，秒與秒對應(yīng)相加，分或秒的結(jié)果滿60分別化為度和分求解;

(2)兩個度數(shù)相減，借1。化為60，，借1，化為60”,然后進行計算即可.

【詳解】⑴解：83°46'+52°39'16",

=135°85'16",

=136°25'16".

(2)解：96°-18°26'59",

=95。59'60"-18°26'59",

=77°33T.

16.(2024七年級上?全國?專題練習(xí))如圖，已知輪船4在燈塔P的北偏西20。的方向上，輪船B在燈塔P的南

偏東80。的方向上.

北

⑴求從燈塔P看兩輪船的視角(即N4PB)的度數(shù)；

(2)輪船C在N4PB的平分線上，則輪船C在燈塔P的什么方向上？

【答案】⑴120。

⑵輪船C在燈塔P的北偏東40。方向上

【分析】(1)根據(jù)乙4PB=-1PM+ZJWPN+NBPN即可求出；

(2)根據(jù)PC平分乙4PB求出乙4PC,然后根據(jù)NCPM=乙4PC-41PM即可解答.

本題主要考查方向角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是搞懂方向角的概念和利用好角平分線的知識點.

【詳解】(1)解：如圖所示，因為輪船4在燈塔P的北偏西20。的方向上，

北

輪船B在燈塔P的南偏東80。的方向上，

所以=Z.APM+4MPN+乙BPN

=20°+90°+(90°-80°)

=120°.

(2)解：因為PC平分N&PB,

-I-1

所以N4PC=*PB=；x120°=60°,

所以NCPM=乙APC-乙4PM

=60°-20°=40°,

所以輪船C在燈塔P的北偏東40。方向上.

17.(2024七年級上,全國?專題練習(xí))如圖，4、。、B三點在一條直線上，AAOC=2乙COD,OE平分乙BOD,

乙COE=77°,求NC。。的度數(shù).

rE

C、\/

AB

O

【答案】260

【分析】本題考查了角平分線的定義，平角的定義以及角度的和差計算問題的，解答本題的關(guān)鍵是方程思

想的運用.

首先根據(jù)角平分線的概念得到NBOE=乙DOE=77°-乙COD,然后利用平角的概念求解即可.

【詳解】解：因為。E平分48。。，々。￡=77。，

所以NDOE=乙BOE.

所以NBOE=乙DOE=77°-乙COD.

因為UOC+乙COD+Z.BOD=180°,/.AOC=2/.COD,

所以2“。0+乙COD+2(77°-4COD)=180°,

所以“。0=180°-2x77°=26°.

18.(2024七年級上?全國,專題練習(xí))線段與角的計算.

圖①圖②

(1)如圖①，已知線段4B=12cm,點C為線段48上的一點，AC=4cm,點￡),E分別是AC和BC的中點，

求DE的長；

(2)如圖②，已知NA08被分成=2:3:4,OM平分/力。。，ON平分/DOB,且NMON=90°,

求N4。8的度數(shù).

【答案】⑴6cm

(2)135°

【分析】本題考查了線段的中點、線段的和差、角平分線的定義，熟練掌握以知識點并靈活運用是解此題

的關(guān)鍵.

(1)由線段的中點得出CD=2cm,CE=4cm,再由DE=DC+CE計算即可得解；

(2)設(shè)乙40c=(2x)°,zCOD=(3x)°,ZDOB=(4x)。，則乙408=(9x)°,由角平分線的定義得出NMOC=x°,

乙NOD=(2x)°,求出NMON=(6x)°,結(jié)合LMON=90°,得出6%=90,求解即可.

【詳解】(1)解：因為。，E分別是4C和的中點，

-1-1

所以DC=±4C,CE=-CB.

22

因為4c=4cm,

所以CD=2cm.

因為4B=12cm,AC=4cm,

所以BC=8cm,

所以CE=4cm,

所以DE=DC+CE=6cm.

(2)解：設(shè)N40C=(2x)。，/.COD=(3x)°,ADOB=(4x)°,貝此力OB=(9x)。.

因為。M平分4OC,ON平分乙DOB,

所以NMOC=xO,乙NOD=(2x)°,

所以NMON=X°+(3X)°+(2尤)。=(6x)°.

因為NMON=90°,

所以6x=90,

所以x=15,

所以NAOB=135°.

19.(2024七年級上?全國,專題練習(xí))如圖，點。在直線力B上，NEOC與NCOF互余，射線OC平分乙4OF.

(1)如圖①，若NEOC=20。，求NBOF的度數(shù)；

(2)如圖②，若NEOC=55。，求N80F的度數(shù)；

⑶請你猜想NEOC和NBOF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴40。

(2)110°

⑶NEOC=>8。/，理由見解析

【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的計算、互余，熟練掌握互余的定義是解題關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)互余的定義可得NCOF=70°,再根據(jù)角平分線的定義可得N40F=140°,然后根據(jù)平角的定義

求解即可得；

(2)先根據(jù)互余的定義可得NCOF=35。，再根據(jù)角平分線的定義可得乙4OF=70。，然后根據(jù)平角的定義

求解即可得；

(3)先根據(jù)互余的定義可得NCOF=90°-Z.EOC,再根據(jù)角平分線的定義可得乙4OF=2乙COF=180°-

2乙EOC,然后根據(jù)平角的定義即可得.

【詳解】([)解：???NEOC與“。F互余，

ZCOE+ZCOF=90°.

???AEOC=20°,

???乙COF=70°.

???射線OC平分乙4。尸，

???乙AOF=2乙COF=140°,

???乙BOF=180°-AAOF=40°.

(2)解：???NEOC與乙COF互余，

???乙COE+Z.COF=90°.

???Z.EOC=55°,

???乙COF=35°.

???射線OC平分乙4。尸，

???乙AOF=2Z.COF=70°,

???乙BOF=180°-^AOF=110°.

(3)解：乙EOC=三乙BOF.理由如下：

???乙EOC與乙COF互余,

??.Z.EOC+ACOF=90°,

???乙COF=90°-Z.EOC,

???射線OC平分乙4OF,

???^AOF=2/.COF=180°-2乙EOC,

???Z.BOF=180°-AAOF=2乙EOC.

-1

BPzfOC=jzBOF.

20.(24-25七年級上?河北石家莊?期中)【實踐活動】

如圖1,將一副三角板的直角頂點重合擺放.

(1)若NDCE=50。，則NACE=；/.ACE乙BCD(填＞、＜、=)；

(2)①若NDCE=20。，貝I|N2C8=；若Z_ACB=150。，則ADCE=；

②乙4cB與NDCE之間的數(shù)量關(guān)系是.

【折展探究】

(3)如圖2,若乙4CDK/BCE,且乙4CD+NBCE=180。，探索乙4cB與NDCE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

【答案】(1)40°,=；(2)①160°,30°；②N4C8+NDCE=180°；^.ACB+^.DCE=180°,理由見解

析

【分析】本題考查了角的計算，角的大小比較，掌握角的計算，角的大小比較方法是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)圖形中角的關(guān)系即可得出乙4CE的度數(shù).由題意，得乙4CD=90°,乙ECB=90°,進而得出〃CE+

Z.DCE=90°,ADCE+ABCD=90°,然后根據(jù)角度運算可得出答案；

(2)①根據(jù)角的運算可得出N4CE的度數(shù)，再根據(jù)N4CB=NECB+乙4CE計算即可得出乙4cB的度數(shù)；先

根據(jù)N4CE=乙ACB-NECB計算得出入4CE的度數(shù)，再根據(jù)角的運算即可得出ADCE的度數(shù)；

②由NACD=90。，/-ECB=90°,可得出NACE+NDCE=90。，ADCE+^BCD=90°,則得出N4CE+

2Z.DCE+/.BCD=180°,進而得出N4CB+NDCE=NACE+2/DCE+/BCD=180。，進而得出答案；

(3)根據(jù)題意，由N4CD+NBCE=180。得出：/.ACE+2^DCE+^BCD=180°,進而得出NACB+NDCE=

/.ACE+2乙DCE+乙BCD=180°,由此可得乙4cB與NOCE之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：(1)由題意，得乙4CD=90。，NECB=90。，zDCE=50°,

：./LACE=乙ACD-乙DCE=90°-50°=40°,

乙BCD=Z.ECB-乙DCE=90°-50°=40°,

：.^ACE=乙BCD.

故答案為：40°,=；

(2)(r)\^ACD=90°,Z.ECB=90°,ND"=20。,

：.Z.ACE=/.ACD-乙DCE=90°-20°=70°,

J.Z.ACB=/.ACE+Z.ECB=70°+90°=160°,

；4ACB=150°,

：.AACE=乙ACB-乙ECB=150°-90°=60°,

:.乙DCE=/.ACD-/.ACE=90°-60°=30°.

故答案為：160°,30°；

(2)"：^ACD=90°,A.ECB=90°,

：.^ACE+乙DCE=90°,乙DCE+乙BCD=90°,

J.Z.ACE+2乙DCE+乙BCD=180°.

XVzXCB=/.ACE+Z.DCE+乙BCD,

：.Z.ACB+/.DCE

=Z.ACE+Z.DCE+乙BCD+乙DCE

=Z-ACE+2/-DCE+乙BCD

=180°,

???乙4cB與4OCE之間的數(shù)量關(guān)系是乙4cB+乙DCE=180°.

故答案為：z_ACB+乙DCE=180°；

(3)44cB與NDCE之間的數(shù)量關(guān)系是+=180。，理由如下:

*：Z.ACD=AACE-^^DCE.乙BCE=^DCE+乙BCD,AACD+Z.BCE=180°,

：.^ACE+乙DCE+乙DCE+乙BCD=180°,

SP^ACE+2Z.DCE+乙BCD=180°,

：.Z.ACB+Z.DCE

=Z-ACE+Z.DCE+乙BCD+Z-DCE

=Z-ACE+2乙DCE+乙BCD

=180°.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

21.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）已知N40B=50°,從頂點O引一條射線。C,若乙4OC=20°,貝iJ/BOC

是（）

A.20°B.30°C.70°D.30°或70°

【答案】D

【分析】本題考查了角的計算，分為兩種情況：①當(dāng)。C在NB04內(nèi)部時，②當(dāng)。C在NB04外部時，根據(jù)角

之間的關(guān)系求出即可.

【詳解】解：分為兩種情況：

①如圖①，當(dāng)。C在ZB04內(nèi)部時，A.BOC=￡.AOB-Z.AOC=50°-20°=30°；

②如圖②，當(dāng)。C在/?BOA外部時，ZBOC=Z.AOB+Z.AOC=50°+20°=70°.

C

故選D.

22.（2024七年級上,全國?專題練習(xí)）如圖，若NBOD=2乙40B,OC是乙4。。的平分線，則①NBOC=［乙40B；

②4DOC=2乙BOC；③“。8=2。8；④KCOD=3乙BOC.正確的是（）

D

A,①②B.③④C.②③D.①④

【答案】B

【分析】本題主要考查角的比較與運算這一知識點，熟練掌握角平分線定義是解題關(guān)鍵.設(shè)N40B=a,由

NBOD=2N40B,0C是N4。。的平分線，可得NBOC=N40C—力。B=[a,Z.BOD=2a,^A0C=Z.COD=

|a,故能判斷出選項中各角大小關(guān)系.

【詳解】解：設(shè)乙40B=a,

???乙BOD=2乙4。8,。（?是4力。。的平分線，

3

???Z.BOD—2a,Z.AOC—乙COD=-a

:.乙BOC=/-AOC-AOB=-a

2

.-.乙COB=-/.AOB,/.COD=3乙BOC.

2

故③④正確，①②錯誤，

故選B.

23.（24-25七年級上?河北保定?期中）如圖，。。是ABOD的平分線，0E是NBOC內(nèi)部一條射線，過點。作

射線。4,在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動，使得乙4OB:/BOE=3:2,若乙8。。=120。，4COE=30。則乙40C的度

A

A.15°B.105°C.15?；?05。D.無法計算

【答案】C

【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，明確題意，理清圖中各角度之間的數(shù)量關(guān)系是解答本題的

關(guān)鍵.由。C是NBOO的平分線得4coe=乙COB==60°,進而求得MOE=4COB-乙COE=30°,

結(jié)合=3:2得乙203==45°,再分兩種情況：當(dāng)。2在28下方時，，當(dāng)。4在4B上方時，

分別討論即可求解.

【詳解】解：=120。，0C是48。。的平分線，

:.乙COD=乙COB=-/.BOD=60°,

2

又,.,a0E=30°,

工乙BOE=乙COB一(COE=30°,

而乙4O&NBOE=3:2,

J.Z.AOB=-ZBOF=45°,

2

如圖，當(dāng)。4在下方時，

止匕時，ZXOC=ACOB+N40B=60°+45°=105°；

如圖，當(dāng)。A在4B上方時，

止匕時，Z.AOC=乙COB-Z.AOB=60°-45°=15°；

即：乙4OC=15°或10或,

故選：C.

24.（24-25七年級上?全國?期末）已知一個角的余角比這個角的補角的1小20。，則這個角的余角的度數(shù)

是，補角的度數(shù)是.

【答案】15°105°

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，余角和補角的知識，設(shè)這個角的度數(shù)是X,則它的余角為90。-

x,補角為180。-%,根據(jù)一個角的余角比這個角的補角的1多20。，即可列方程求解，熟練掌握余角的和等

于90。，互補的兩角之和為180。是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)這個角的度數(shù)是％,則它的余角為90。-%,補角為180。-x,

根據(jù)題意，得90。一萬=久180。一無）一20。，

解得x=75°.

；.90°—75°=15°,180°—75°=105°,

即這個角的余角的度數(shù)為15。，補角的度數(shù)為105。，

故答案為：15°,105°.

25.（2024七年級上?云南?專題練習(xí)）如圖，已知點。是直線A8上一點，乙4OC=50°,。。平分乙4OC,乙BOE=

90。，請寫出下列正確結(jié)論的序號

①乙BOC=130°；②N4。。=25°；③4BOD=155°；④NCOE=45°.

【答案】①②③

【分析】本題主要考查角平分線、垂直、鄰補角的定義以及角的和差，熟知鄰補角的定義及角平分線的定

義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)圖形的特點及角平分線的概念依次求出各角度即可解答.

【詳解】解：???乙4OC=50°,

乙BOC=180°-4Aoe=130°,故①正確；

???0。平分44OC,

.-./.AOD=l^AOC=25°,故②正確；

???Z.BOD=180°-AAOD=155°,故③正確；

VZ-BOE=90°,^AOC=50°,

???乙COE=180°-ZXOC-乙BOE=40°,故④錯誤.

綜上，正確的是①②③，

故答案為：①②③.

26.（24-25七年級上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，點。在直線4B上，OC平分4BOD,OE平分乙4。。.給出

下面四個結(jié)論：①乙4OE與NB。?；ビ啵孩贜BOE與NE。。互補；（3）^AOD+乙BOE=￡BOD+180°；

④乙AOC-乙BOC=24EOD.上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②④

【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)、余角、補角和角度的和差關(guān)系，根據(jù)角平分線得NBOC=NC。。和

乙AOE=LEOD,利用平角即可判定①，結(jié)合余角和補角得定義即可判斷②，利用角平分線的性質(zhì)和平角

即可判斷③，利用角度和差關(guān)系即可判斷④.

【詳解】解：：。C平分ZB。。，OE平分N4。。

:.4BOC=LCOD,Z.AOE=Z.EOD,

VA,O,2三點在同一直線上，

2/.BOC+2Z.AOE=2QLB0C+N40E）=180°,

：.Z.BOC+Z.AOE=90°,

即N80C與z_40E互余，故①正確；

VA,O,B三點在同一直線上，

：.^BOE+^AOE=180°,

?.?。5平分/力。。，

：.AAOE=NE。。，

:.4BOE+乙EOD=180°,

即Z8OE與ZE。?；パa，故②正確；

VZ71OZ）+乙BOD=180°,

：.Z.AOD+/.BOD+Z.EOD=乙EOD+180°,

貝IJN力。D+乙BOE=乙EOD+180°,

不能得至UNE。。=NB。。即N4。。+乙BOE=4BOD+180°,

故③錯誤；

■:乙BOC=ACOD,乙AOE=KEOD,

：.AAOC-乙BOC=AAOD+Z.DOC-乙BOC=AAOD=2乙EOD,故④正確；

故答案為：①②④.

27.（2024七年級上?全國?專題練習(xí)）如圖①，把直角三角形M0N的直角頂點。放在直線48上，射線OC平

分乙AON.

（1）若NMOC=28°,求NBON的度數(shù)；

（2）若NMOC=zn。，則ABON的度數(shù)為；（用含根的代數(shù)式表示）

⑶由（1）和（2）可得，ABON和NMOC之間的數(shù)量關(guān)系是；

⑷若將直角三角形MON繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，其他條件不變，請問：NBON和NMOC之間的數(shù)

量關(guān)系是否發(fā)生變化？請說明理由.

【答案】⑴56。

（2）2771。

⑶乙BON=24Moe

⑷不發(fā)生變化，見解析

【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計算，根據(jù)圖形直觀得出各個角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，等量

代換起到非常重要的作用.

（1）根據(jù)角平分線和互為余角的意義，可求出NNOC,乙40C,再根據(jù)互為補角求出N80N即可；

（2）由（1）的計算過程，將NMOC=小。進行計算即可得出答案；

（3）根據(jù)（1）（2）的解題過程得出NBON=2NM0C；

（4）根據(jù)角平分線和互為余角的意義可得乙40c=Z.N0C=90°-ZMOC,再根據(jù)互為補角的意義得到

乙BON=180°-2/NOC=180°-2（90°-乙MOC）=2/MOC.

【詳解】（1）解：如圖1,

"J/.MOC=28°,Z.MON=90°,

ANOC=90°-28°=62°,

又平分乙4ON,

???AAON=2乙NOC=124°,

.-.乙BON=180°-4AON=180°-124°=56°.

(2)解：如圖1,

圖1

VzMOC=m°,AMON=90°,

???乙NOC=乙MON-乙MOC=90°-m°=(90-m)0,

又：OC平分N40N,

.-./.AON=2Z.NOC=2(90-m)°,

.-.乙BON=180°-4AON=180°-2(90-m)°=2m°.

(3)解：由(1)和(2)可得：乙BON=2/.MOC-,

理由：；。。平分44。7，

乙AON=2乙NOC=2(乙MON-Z_MOC)=2(90°-zMOC),

???乙NOC=4MON-NMOC,

???乙BON=180°-AAON=180°-2(90°-NMOC)=2乙MOC.

(4)解：NMOC和NBON之間的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化，

如圖2,

???乙40c=乙NOC,

■：乙MON=90°,

???^AOC=乙NOC=90°-乙MOC,

???乙BON=180°-2乙NOC=180°-2(90°-zMOC)=2乙MOC,

即NBON=2乙MOC,

NMOC和NBON之間的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化,

28.（24-25七年級上?陜西西安?階段練習(xí)）探究與實踐

將一副三角板按如圖方式拼接在一起，已知N/108=90。,乙COD=60°,按如圖1所示擺放，將。4、。。邊

重合在直線MN上，OB、。。邊在直線MN的兩側(cè):

【問題發(fā)現(xiàn)】

（1）保持三角板力。B不動，將三角板C。。繞點。旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則

①N40C+乙BOD=.

②乙BOC-AAOD=.

【問題探究】

（2）若三角板C。。按每分鐘6。的速度繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)，三角板40B按每分鐘4。的速度也繞點。逆時

針方向旋轉(zhuǎn),OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時都停止運動,設(shè)旋轉(zhuǎn)f分鐘，計算NMOC-乙4。。（用含/的代數(shù)式表示）.

【問題解決】

（3）保持三角板力OB不動，將三角板COD繞點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)滸（＞4360）,若射線OE平分乙4OC,射

線。F平分NBOD,求NEOF的大小.

【答案】(1)①150°；②30°；(2)AMOC-AAOD=(8t-60)°；(3)/EOF=15°或165°

【分析】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，角的動態(tài)定義的理解;

(1)①將+4BOD轉(zhuǎn)彳匕為乙COD+NAOB即可得；②依據(jù)NBOC=乙AOB-NAOC、Z.AOD=乙COD-

Z.AOC,將原式轉(zhuǎn)化為乙408-NC。。計算可得；

(2)設(shè)運動時間為f秒，0<tW30,NMOC=(6t)。，只需表示出乙4。￡)即可得出答案，而乙4。。在。。與04

相遇時，t=30,再畫出圖形求解即可；

(3)設(shè)4。。。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)九。，再分①①0<n。W180。時，如圖；②180。<幾。W360。時，如圖，

分別畫出圖形求解即可.

【詳解】解：(1)①2OC+4BOD=N40C+^AOD+^AOB

=/.COD+4AOB=60°+90°=150°,

②乙BOC-AAOD=(NAOB-Z40C)-(乙COD-Z40C)

=LAOB-AAOC-ACOD+乙4OC

=Z.AOB-乙COD=90°-60°=30°；

(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為f秒，則0<tW30,ZMOC=(6t)°,

當(dāng)。。與。4相遇時，6t-4t=60,

解得：t=30,

：.Z.MOC-Z.AOD=(8t-60)0；

(3)設(shè)4OCD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)n。,

①0<n0<180。時，如圖,

?.Z0B=90°,^MOD=60°-n°,

:.乙BOD=Z.AOB+Z.MOD=(150-n)°,

?.?。F平分乙3?！?,

11

:.乙BOF=^(150-n)°=75°-^n°,

VZ.MOC=n°,OE平分乙4OC,

：.^MOE=-^MOC=-n°

22

:.乙BOE=(90-jn)°,

：.Z.EOF=4BOE-Z.BOF=15°；

②180°<n°W360°時，如圖，

,：/.AOB=90。,NMOD=n°-60°,

:.乙BOD=Z.MOD-Z.AOB=(n-150)0,

?.?。/平分43?！?,

4BOF=乙DOF=|(n-150)°,

Z.MOC=360°-n°,OE平分N40C,

11

:.乙MOE=^COE=-Z-MOC=180°--n°,

22

???乙EOF=360°-乙BOE-乙BOF=360°-90°一(180。-|n°)-|(n-150°)=165°.

綜上，乙EOF=15。或165。.

--------?-O-?-?-?--------

29.（23-24七年級上,重慶?期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點重合于點O,若乙COB=3乙4。。,

0E為410。的角平分線，貝吐COE的度數(shù)是（）

A.45°B.60°C.65°D.67.5°

【答案】D

【分析】本題考查了三角板中的角度計算和角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.設(shè)

AAOD=X,貝!UCOB=3%,得至UNBOC=180°-x,貝!）180°-x=3x,解得x=45°,貝UzDOE=^AOD=

22.5°,即可求出NCOE的度數(shù).

【詳解】解:設(shè)40D=x,則NCOB=3%,

由題意可知，^AOB=ACOD=90°,

???4BOC=U0B+LCOD-AOD=90°+90°-尤=180°-%,

/.180°—x=3x

解得，x=45°,

：.Z,AOD=45°,

：0E為410D的角平分線,

:.乙DOE=三乙4。0=22.5°,

2

:.乙COE=乙COD-乙DOE=67.5°

故選：D.

30.（23-24七年級上■湖北荊門?單元測試）如圖，射線。C,。。都在乙4。8的內(nèi)部，乙40c和＜8。。都是直角，

下歹I」說法：@/.AOD=乙BOC；@^.DOC+/.AOB=180°；③若44。8=5ZDOC,貝=30°；④若

。〃平分乙4OB,ON平分乙BOC,貝I]NMON=45。.其中結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】本題考查幾何圖形中角度的計算，與角平分線有關(guān)的計算，找準角度之間的和差關(guān)系，逐一進行

判斷即可.

【詳解】解：：乙4。（7和NBOD都是直角，

/.Z.AOD+乙COD=乙BOC+Z.COD=90°,

：.Z.AOD=/.BOC,故①正確；

'：^AOC=90。"。。=90°,

：.^AOC+乙BOD=/.AOD+乙COD+Z.BOC+乙COD=乙DOC+/.AOB=180°,故②正確；

若乙1OB=5/DOC,貝IJ：4DOC+5/DOC=180°,

J./.COD=30°,故③正確;

若。M平分UOB,ON平分■乙BOC,

-1-111

貝lj：Z.BOM=^Z.AOB=^Z.AOC+^BOC）=45°+jzBOC,4BON=：乙BOC,

:.乙MON=LBOM—乙BON=45°；故④正確；

故選：D.

31.（22-23七年級下?安徽淮南?開學(xué)考試）一副三角板ABC、DBE,如圖1放置，乙D=30。、乙BAC=45°,

將三角板DBE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且0。<乙CBE<90。,則下列結(jié)論中正確的是(

①NDBC+41BE的角度恒為105。；②NDBC+N28E的角度不恒為105。；③在旋轉(zhuǎn)過程中，若8M平分

乙DBA,BN平分乙EBC,貝此MBN=52.5°.

圖2

C.③D.①③

【答案】B

【分析】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)題意正確進行角的和差計算.

①②計算旋轉(zhuǎn)角度大于45。時，ADBC+N力BE的大小與105。比較便可得結(jié)論；③分類討論，利用角的和

差與角的平分線得NMBN=/.DBC-1/.DBA-|/.CBE,便可求出其值；

【詳解】解：①設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為“，當(dāng)x>45。時，ND8C+/.ABE=(x+60)°+(x-45)°=(2x+15)°>105°,

于是此小題結(jié)論錯誤，②正確；

③當(dāng)0。<NC2E<45。時，設(shè)=

???平分NDB4,

???Z-ABM=Z.DBM=%,

???乙ABE=60°-2x,乙EBC=45°-(60°-2x)=2%-15°,

???乙EBN=x-7.5°,乙MBN=x+60°-2x+x-7.5°=52.5°,

當(dāng)45。VV90。時，^DBM=x,

???BM平分4084

???乙ABM=乙DBM=%,

Z.ABE=60°—2%,

???乙EBC=2x-15°,乙MBE=60°-%,

???乙EBN=乙CBN=x-7.5°,

:.乙MBN=60°-x+x-7.5°=52.5°,故③正確，

故選：B.

32.(24-25七年級上?全國?期末)已知N20B=60。,乙4OC=1乙4OB,射線。。平分N80C,貝吐。。。的度數(shù)

為________

【答案】20?；?0。

【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，正確求得NBOC的度數(shù)是關(guān)鍵，因考慮不周，容易漏掉一

種情況的解.分兩種情況（OC在乙4OB內(nèi)或外），分別首先求得NBOC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求

得4coD的度數(shù).

【詳解】解：當(dāng)。C在乙力。8內(nèi)時，如圖1,

圖1

貝此80C=^AOB-Z.AOC=60°-|x60°=40°,

???射線。。平分NBOC,

???乙COD=-^BOC=20°；

2

當(dāng)。C在NAOB外時，如圖2,

圖2

貝此BOC=AAOB+AAOC=60°+|x60°=80°,

,謝線。。平分NBOC,

???ACOD=-/.BOC=40°.

2

綜上,乙COD=20。或40。.

故答案為：20?；?0。.

33.（24-25七年級上?吉林長春?階段練習(xí)）如圖，AAOB=90°,OC是其內(nèi)部一條射線，以。C為一邊作直

角4COD,點。與點A在邊。C同側(cè)，給出下列四個結(jié)論：①乙4。。只與NBOC互余；②乙4OC與互補;

③。C平分乙4OB,貝平分NCOD；④NA。。的平分線與NBOC的平分線的夾角是直角.其中正確的是—

（填序號）.

【答案】②③④

【分析】本題考查幾何圖形中角的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)互余的概念即可判斷①；根據(jù)互補的概念即可判斷②;

說明乙40D=NA0C,即可判斷③；說明乙4。￡+乙4。。+/。。尸=90。即可判斷@.解題的關(guān)鍵是掌握互

余、互補、角平分線的定義.

【詳解】解：①：4402=90。，乙COD=90°,

：.AAOC+ABOC=90°,N4。C+N力。D=90°,

...N40C分另U與NBOC、NA。?；ビ啵式Y(jié)論①錯誤；

@'：/.AOB=90°,/.COD=90°,

：./.AOC+^AOD=90°,

：.Z.AOC+Z.BOD

=^AOC+AAOD+4AOB

=Z.AOC+Z.AOD+4AOB

=90°+90°

=180°,

.?.乙4OC與乙8。?；パa，故結(jié)論②正確；

③：OC平分乙4。8,ZXOB=90°,ACOD=90°,

11

：.Z.AOC=-Z.AOB=-x90°=45°,

22

：.Z.AOD=乙COD-Z.AOC=90°-45°=45°,

：.Z-AOD=乙4。。，

???。4平分乙COO,故結(jié)論③正確；

④如圖，0E為乙4。0的平分線，。尸為乙8。。的平分線，

：.Z.AOE+A.AOC+Z.C