專題11平行線及其判定(鞏固提升五大類型25題+能力

培優(yōu)8題+拓展突破8題)

嫌知識(shí)清單

i.平行線

在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交(重合除外).

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線.

記作：a〃b；

讀作：直線a平行于直線b.

(2)同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交，對(duì)于這一知識(shí)的理解過(guò)程中要注意：

①前提是在同一平面內(nèi)；

②對(duì)于線段或射線來(lái)說(shuō)，指的是它們所在的直線.

2.平行公理及推論

(1)平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

(2)平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義.從作圖的角度說(shuō)，它是“能但只能畫出一條”的意

思.

(3)推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

(4)平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時(shí)應(yīng)

用.

3.平行線的判定

(1)定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相

等，兩直線平行.

(2)定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角

相等，兩直線平行.

(3)定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：同

旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

(4)定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

(5)定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

題型一平行及平行公理

1.（24-25七年級(jí)上,全國(guó),期末）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.不相交的兩條直線叫做平行線

B.相等的角是對(duì)頂角

C.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線平行

D.在平面中過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

【答案】D

【分析】本題考查了平行線的定義及公理，對(duì)頂角相等以及和垂直的概念，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)

定義.利用平行線的定義及公理，對(duì)頂角的概念和垂直的概念逐項(xiàng)分析判斷，即可解題.

【詳解】解：A、在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、對(duì)頂角相等，但是相等的不一定是對(duì)頂角，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、在同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、在平面中過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，選項(xiàng)說(shuō)法正確，符合題意.

故選：D.

2.（24-25七年級(jí)上?全國(guó),課后作業(yè)）在同一平面內(nèi)有三條不同的直線a,hc,若ale,61c,則a與6的位

置關(guān)系為（）

A.相交但不垂直B.垂直C,平行D.無(wú)法確定

【答案】C

【分析】本題主要考查垂直的定義，熟練掌握垂直的定義是解題關(guān)鍵.根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條

直線的兩條直線平行，即可得出結(jié)果.

【詳解】???在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

???a\\b,

故選：C.

3.（23-24七年級(jí)下?山東濟(jì)寧?階段練習(xí)）下列說(shuō)法中：①若a||b,b||c,則a||c；②若a與c相交，b與c相

交，則a與b相交；③相等的角是對(duì)頂角；④過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.不正確的有（）.

A.①②B.②③C.②③④D.③④

【答案】C

【分析】本題主要考查平行公理，對(duì)頂角相等，兩條直線的位置關(guān)系，熟練掌握兩條直線位置關(guān)系的相關(guān)

概念是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)平行公理，對(duì)頂角，兩條直線的位置關(guān)系，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①若aIIb,bIIc,貝!]a||c,故本項(xiàng)符合題意；

②若a與c相交，b與c相交，貝b與b不一定相交，故本項(xiàng)不符合題意；

③相等的角不一定是對(duì)頂角，故本項(xiàng)不符合題意；

④過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本項(xiàng)不符合題意；

故選：c.

4.(24-25七年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè))下列說(shuō)法：①在同一平面內(nèi)，若直線a||b,b\\c,則a||c；②在同一平

面內(nèi)，若直線allb,直線a與c相交，則直線b與c相交；③若直線a與直線b相交，直線b與直線c相交，則直

線a與直線c相交；④過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，其中說(shuō)法正確的是.(填序號(hào))

【答案】①②/②①

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和判定、相交線.利用同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系依次對(duì)各選項(xiàng)

進(jìn)行判斷即可.掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，若直線allb,bile,則a||c；故此說(shuō)法正確；

②在同一平面內(nèi)，若直線a||b,直線a與c相交，則直線b與c相交，故此說(shuō)法正確；

③若直線a與直線b相交，直線b與直線c相交，則直線a與直線c也有可能平行，故此說(shuō)法錯(cuò)誤；

④過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，故此說(shuō)法錯(cuò)誤.

???說(shuō)法正確的是①②.

故答案為：①②.

題型二平行線的作圖問題

5.(24-25七年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中)如圖，尸是直線WD上一點(diǎn)，按要求畫圖：

A-----------------B

⑴過(guò)點(diǎn)尸作直線的垂線段，垂足為E；

⑵過(guò)點(diǎn)卬作直線4B的平行線，交線段FE于點(diǎn)

⑶過(guò)點(diǎn)A作線段WD的垂線，垂足為N；

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】本題主要考查過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線段，和過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線，掌握作圖方法是解題

的關(guān)鍵.

(1)過(guò)直線外一點(diǎn)尸作已知直線4B的垂線畫出EF即可；

(2)過(guò)直線外一點(diǎn)W作已知直線4B的平行線畫出MW即可；

(3)過(guò)直線外一點(diǎn)A作已知直線山D的垂線畫出4V即可；

【詳解】(1)

6.(24-25七年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))妨圖所示的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).點(diǎn)力、B、C均

在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺在給定的網(wǎng)絡(luò)中按要求畫圖，不要求寫作法.

⑴畫射線AC;

(2)過(guò)點(diǎn)B畫AC的平行線BD(點(diǎn)。在格點(diǎn)上)；

⑶在射線AC上取一點(diǎn)E,畫線段BE14C.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】本題主要考查了射線、直線、線段作圖，作平行線，點(diǎn)到直線的距離.

(1)根據(jù)線段的定義作圖即可;

(2)根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)畫平行線即可;

(3)根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)2作AC的垂線即可.

【詳解】(1)解：如圖，射線AC即為所求;

(2)解：如圖，直線BD即為所求;

(3)解：如圖，線段BE即為所求.

7.(24-25七年級(jí)上?全國(guó),課后作業(yè))如圖，已知方格紙上有兩條線段4C,BC,根據(jù)下列要求完成以下操作:

(1)過(guò)點(diǎn)B作4c的平行線A；

(2)連接力B,取力B中點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作"的平行線"與BC交于點(diǎn)E.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了作平行線，掌握平行線的特征是解題的關(guān)鍵,

(1)根據(jù)所有橫線都是平行的作圖即可；

(2)根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)得到中點(diǎn)，根據(jù)所有橫線都是平行的作圖即可.

題型三平行線的判定方法

8.(2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，直線4B、CD被直線EF所截，F(xiàn)G平分NEFD交28于點(diǎn)G.下列

條件中，不能判定||CD的是()

AEMG

廠B

C------------D

A.N2=N3B.Z1=Z3C.Z4+Z5=180°D.Z4=Z2+Z3

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的判定及角平分線的定義，解題時(shí)注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系

判斷兩直線的位置關(guān)系.根據(jù)平行線的判定及角平分線的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由42=43可得4B||CD,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.FG平分NEFD交4B于點(diǎn)G.

zl=42,

,/zl=43,

???z?2=N3,

根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，由N2=43可得4B||CD,故本選項(xiàng)不符合題意;

C.；N4+N5=180°,Z.EFD+z5=180°,

Z4=乙EFD,

根據(jù)同位角相等，兩直線平行，由N4=NEFD可得4B||CD,故本選項(xiàng)不符合題意;

D.44=42+43不能得出4B||CD,故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

9.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，有以下四個(gè)條件：①4B+4BCD=180°；②Z.1=乙2；③43=Z4；

C.①②③D.①③④

【答案】D

【分析】此題考查了平行線的判定.此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，弄清截線與被截線.根

據(jù)平行線的判定定理求解，即可求得答案.

【詳解】解：①NB+NBCD=180。，

：.AB\\CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行）；

②,：zl=Z2,

：.AD\\BC（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）；

（3）"."Z_3=N4,

?1.ABKD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）；

④：乙B=45,

ABWCD（同位角相等兩直線平行）；

???能得到4BIICD的條件是①③④.

故選：D.

10.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上，下列條件中不能判定BDII4C的是（）

A.zl=z2B.z3=z4C.z5=zCD.zC+zBDC=180°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)平行線的判定定理逐項(xiàng)分析判斷，即可求解.

【詳解】解：由41=/2可以根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到B0I4C,故A不符合題意；

由N3=N4可以根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得到4BIICD,不能得到B0I4C,故B符合題意；

由45="可以根據(jù)同位角相等，兩直線平行得到80I4C,故C不符合題意；

由NC+NBDC=180?？梢愿鶕?jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得到B0I力C,故D不符合題意；

故選：B.

11.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在48的延長(zhǎng)線上，下列條件中不能判斷4B||CD的是（）

A.Z.3=Z.4B.Zf=Z.CBE

C.ZC+Z,ABC=180°D.Z1=Z2

【答案】A

【分析】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行線的判定方法，逐

一進(jìn)行判定即可.

【詳解】解：A、---N3=N4,

AD||BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），不能判斷48||CD,符合題意；

B、：ZC=Z.CBE,

.?.AB||CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），能判斷ZB||CD,不符合題意;

C、???Zf+/.ABC=180°,

??.AB||CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），能判斷IICD,不符合題意；

D、Z.1=Z.2,

AB||CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），能判斷力B||C。，不符合題意；

故選：A.

12.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在84延長(zhǎng)線上，下列條件不能判斷4B||CD的是（）

F.

A.Z.1=Z2B.Z3=Z.4

C./-EAD=2LADCD.Zf+/.ABC=180°

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的判定，利用平行線的判定方法逐一判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線

的判定方法.

【詳解】解：A、???N1=42,

ABWCD,故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、Z.3-Z4,

■.ADWBC,故此選項(xiàng)不符合題意；

C、Z.EAD=Z.ADC,

.■.ABWCD,故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

Z.C+/.ABC=180°,

：.AB\\CD,故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選：B.

13.（24-25八年級(jí)上業(yè)東濱州?期中）如圖，要證4B||CD,只需滿足，根據(jù)是.

【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)平行線的判定定理結(jié)合圖形，即可求解.

【詳解】解：=

..AB||CD（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）

故答案為：N1=N2；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行（答案不唯一）.

題型四平行線的判定的過(guò)程填空問題

14.（23-24七年級(jí)下?河北唐山?期中）如圖，已知Nl=^ABC=乙4DC/3=z5,z2=z4,^ABC+/.BCD=

180°.將下列推理過(guò)程補(bǔ)充

zl=AABC（已知）,

AD||（）

Z.3=Z5（己知）

AB||（）

//.ABC+^BCD=180°（已知），

II（）,

【答案】見解析

【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)平行線的判定方法，作答即可.

【詳解】解:zl=ZXSC（已知），

AD||BC（同位角相等，兩直線平行）

z3=Z5（已知）

AB||CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

???A4BC+乙BCD=180°（已知），

AB||CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

15.（2024七年級(jí)下?安徽?專題練習(xí)）如圖,Nl=/.ABC=NADC,Z_3=z5,z2=N4,Z_A8C+乙BCD=180°,

將下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整：

(I)---Zl=ZXBC(已知)

AD||BC(_)

(2)vZ3=Z5(已知)

二」1_（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

（3）v4ABC+乙BCD=180°（已知）

（_）

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶見解析

【分析】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出結(jié)論；

（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出結(jié)論；

（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：???Nl=NABC（已知）

：.AD\\BC（同位角相等，兩直線平行）.

（2）Z.3=Z5,

：.AB\\CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

（3）???^ABC+乙BCD=180°（已知）

：.AB\\CD,（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.

16.（23-24七年級(jí)下?湖北省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）已知：如圖，CE平分乙4CD,zl=Z2,求證：AB\\CD.

證明：仁后平分4人。。（已知）

???N=Z（）

???zl=Z2（已知）

Z1=（）

zXBIICD（）

【答案】見解析

【分析】本題考查平行線的判定，角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義，等量代換，平行線的判定方法,

進(jìn)行作答即可.

【詳解】證明???CE平分"CD（已知）

Z2=乙DCE（角平分線的定義）

???Z1=42（已知）

zl=乙DCE（等量代換）

^ABWCD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

17.（22-23七年級(jí)下?遼寧撫順?階段練習(xí)）完成下面的證明.

如圖，AB1BC,DC1BC,BE,CF分另!］平分/ABC和Z_BCD.求證BE||CF.

證明：?：AB1BC,DC1BC,

???AABC=乙BCD=90°（）.

???BE,CF分另（j平分N4BC和ABCD,

AEBC=-/.ABC,乙BCF=（）.

2-------------------------------------------

又?：/.ABC=乙BCD,

：.KEBC=ZBCF（）.

BEWCF（）.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)垂直定義可得N4BC=乙BCD=90°,再利用角平分線的定義可得NEBC="ABC,乙BCF=

江BCD,然后利用等量代換可得4EBC=NBCF,從而利用平行線的判定，即可解答.

【詳解】證明：???ABIBC,DC1BC,

.-.Z.ABC=乙BCD=90°（垂直的定義）.

???BE,CF分另ij平分"BC和NBCD,

乙EBC=^ABC,Z.BCF=三4BCD（角平分線的定義）.

又???NABC=乙BCD,

.-./.EBC=乙BCF（等量代換）.

BEWCF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵.

題型五證明兩直線平行

18.（22-23七年級(jí)下?甘肅白銀?期末）如圖，這是一個(gè)由4條線段構(gòu)成的"魚"形圖案，其中41=62。,42=62°,

Z3=118%找出圖中的平行線，并說(shuō)明理由.

A

【答案】ABWCD,ACWBD,理由見解析.

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可得出4BIICD；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可得出4CIIBD.

【詳解】解：ABWCD,ACWBD.

理由：Z1=62°,42=62°,

/.N1=42,

ABWCD；

-：Z.1=62°,43=118°,

zl+Z3=180°,

ACWBD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩

直線平行.

19.（21-22七年級(jí)下?河北石家莊?階段練習(xí)）如圖,Z.BAC=134°,/.ACE=136°,CE1CD.問CD||4B嗎？

為什么？

【答案】CDWAB,理由見解析.

【分析】本題考查了平行線的判定，熟記判定定理內(nèi)容：內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行、同位角相等兩直線平行、

同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行等，是解題關(guān)鍵.

【詳解】解:CDWAB.理由如下：

???CELCD,

：.4DCE=90°.

???/.ACE=136°,

.-./.ACD=360°-136°-90°=134°.

??/-BAC=134°,

???Z-ACD=Z-BAC.

???CDWAB（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）

20.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知Nl=45。，乙2=135。，ND=45。，問：BC與DE平行嗎？

A8與CD呢？為什么？

【答案】BCWDE,ABWCD.理由見解析

【分析】本題考查的是鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，平行線的判定，證明N1=NBCD,乙D=4BCD,即可得到結(jié)論.

【詳解】解：BCWDE,ABWCD.

理由：Z2=135°,

.-.乙BCD=1800-Z2=45°.

???Z1=45°,4D=45°,

Z.1=乙BCD,Z-D=乙BCD,

/.BCWDE,ABWCD.

21.（24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末）如圖，直線過(guò)點(diǎn)C,若42=80。，Z.D=50°,乙1=43,試判斷與

DE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】平行，見解析

【分析】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，根據(jù)N1+N2+N3=180°,

42=80。，可得41=43=50。，從而得到41=4。，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可得到答案.

【詳解】解：AB||DE,

理由：???zl+z2+Z3=180°,42=80。，41=43,

Nl=N3=；X（180°-80°）=50°,

乙D=50°,

zl=z￡）,

AB||DE.

22.（23-24七年級(jí)下?遼寧鐵嶺?期中）如圖，已知2B1BC,CD1BC,zl=z2,BE與CF平行嗎？

【答案】BE||CF,理由見解析

【分析】本題考查了平行線的判定，垂直的定義，得到NEBC=ABCF是解題的關(guān)鍵.由4B1BC,CD1BC

得至IJNABC=/.BCD=90°,繼而NEBC=乙BCF,即可求證.

【詳解】解：BE||CF,理由如下，

證明，AB1BC,CD1BC,

：.乙ABC=乙BCD=90°,

?/Z1=42,

Z.EBC=Z.BCF,

：.BE||CF.

23.（24-25七年級(jí)上全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，乙8與NBC?；橛嘟?，Z.B=^ACD,DE1BC,垂足為E,AC與

DE平行嗎？為什么？

【答案】ACWDE,見解析

【分析】本題考查了平行線的判定，垂線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，求出乙4cB=ZDEB=90。，根據(jù)平行線的判定

定理即可推出答案.

【詳解】解：ACWDE,理由如下：

?，-乙B=AACD,4B+4BCD=90°,

^LACD+乙BCD=90°,

即N4CB=90°,

DE1BC,

：.乙DEB=90°=AACB,

ACWDE.

24.（22-23七年級(jí)下?全國(guó)?期末）如圖，已知CD1D4DA1AB,41=22,試確定直線DF與4E的位置

關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】DF||AE,理由見解析

【分析】本題考查垂直的定義、平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵.先通過(guò)垂直和

已知條件得到乙3=Z4,即可判定得出兩直線平行.

【詳解】解：DF||AE,理由如下：

,/CD1DA,DA1AB,

：.ACDA=^DAB=90°,

?/zl=z.2,

Z-CDA-z.2—Z.DAB-z.1,

即=z4,

/.DF||AE.

25.（18-19七年級(jí)下?寧夏石嘴山?期末）已知如圖所示，ZB=ZC,點(diǎn)B、4、E在同一條直線上，/.EAC=

NB+NC,且力。平分NE4C,證明：AD||BC.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定.根據(jù)題意可得NE4C=2NC,根據(jù)一般地，從一個(gè)角

的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線得出NEAC=2Z1,即可得出41=ZC,

根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可證明.

【詳解】證明：NB=NC,=+

Z-EAC=2Z.C,

「ZO平分24C,

Z.EAC=2Z.1,

/.zl=Z.C,

：.AD||BC,

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

26.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，已知41=42=乙3=44,則圖中所有平行的直線是（）

A.AB||CD||EFB.CD||EF

C.AB\\EFD.AB||CD||EF,BC||DE

【答案】D

【分析】本題考查的是平行線的判定,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行直接證明結(jié)論即可.

【詳解】解：,??N1=42,Z3=Z4,

：AB||CD,CD||EF,

/.AB||CD||EF,

z.2=z.3,

??.BC||DE.

故選：D.

27.（2024七年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，ABWDE,乙8=50。，40=110。，則NC的度數(shù)為（）

C.110°D.100°

【答案】A

【分析】本題主要考查了平行公理的推論，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)等知識(shí)點(diǎn),

熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)C作CFII4B,由平行公理的推論可得4BIIDEIICF,由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得NBCF=NB,由兩直線

平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得ND+/-DCF=180°,結(jié)合已知條件NB=50°,乙D=110°,進(jìn)而可得N8CF=50°,

乙DCF=180°一4D=70°,然后根據(jù)N8CD=4BCF+NDCF即可得出答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CFII4B,

ABWDE,

：.ABWDEWCF,

???(BCF=Z-B,NO+乙DCF=180°,

???乙B=50°,乙D=110°,

???乙BCF=50°,匕DCF=180°一乙D=70°,

???（BCD=乙BCF+乙DCF=50°+70°=120°,

故選：A.

28.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?期末）將兩張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示擺放，使其中一張紙片的一個(gè)頂點(diǎn)恰好落

在另一張紙片的一條邊上，N1與42的關(guān)系是（）

A.Zl=Z2B.Z1+Z2=45°C.41+42=90。D.Z1+Z2=180°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理推論，過(guò)B作BNIIGF,由平行公理推論得GFIHEIIBN,

則41=4MBN,乙2=CABN,從而求解，掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，過(guò)B作BNIIGF,

?/GFWHE,

GF\\HE\\BN,

Zl=Z.MBN,乙2=（ABN,

41+42=乙MBN+乙ABN=乙ABC=90°,

故選：C.

29.（23-24七年級(jí)下?河南濮陽(yáng)?期末）如圖是一個(gè)可折疊的衣架，是地平線，當(dāng)41=42,△3=44時(shí),

PM||AB,PN||AB；于是就可確定點(diǎn)N,P,M在同一條直線上的依據(jù)是.

N3

M

B

【答案】過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行

【分析】本題考查平行線的判定，平行公理，根據(jù)平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知

直線平行進(jìn)行判斷即可，掌握經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：?；N1=N2,

PM||AB,

-：Z.3=Z4,

PN||AB,

?.?過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行，

.?.點(diǎn)N,P,M在同一條直線上，

故答案為：過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行.

30.（23-24八年級(jí)下,內(nèi)蒙古鄂爾多斯,期末）將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：

①N1=43；

②如果N2=30°,則有4CIIDE；

③如果N2=45°,則有BCII4D；

④如果N4=ZC,必有N3=2Z2.

其中正確的有一（請(qǐng)?zhí)顚懰姓_的序號(hào)）

【答案】①②③④

【分析】本題考查了平行線的判定，余角性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，由余角性質(zhì)可判斷①；證明NC4D+

/.D=180。可判斷②；證明43=48可判斷③；分別求出43=60°,42=30?？膳袛啖?；正確識(shí)圖是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】解：「ABAC=Z.DAE=90°,

N1+N2=N3+N2=90°,

.Z1=43,故①正確；

如果乙2=30°,貝此3=90°一匕2=90°-30°=60°,

^CAD=Z.BAC+乙3=90°+60°=150°,

Z,D=30°,

Z.CAD+40=150°+30°=180°,

：.AC\\DE9故②正確；

如果42=45°,貝叱3=90°-Z2=90°-45°=45°,

?「乙B=45°,

Z.3=2B,

BCWAD,故③正確；

48=NC=45°,

如果N4=ZC,

乙BME=90°,

Z.AMD=90°,

乙D=30°,

Z3=9O°-3O°=6O°,

Z2=90°-Z3=90°-60°=30°,

Z3=2/2,故④正確；

其中正確的有①②③④，

故答案為：①②③④.

31.(23-24七年級(jí)下?浙江嘉興?期末)將一副三角板如圖放置，邊EF與邊BC在同一條直線上，ZXCF=

Z.DFE=90°,AABC=60°,NE=45。.三角板DEF保持不動(dòng)，將三角板力BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度

(00<ct<180°).當(dāng)戊=度時(shí)，ABWDE.

【答案】15

【分析】本題考查平行線的判定，角的和差.

當(dāng)乙4BF=NE=45。時(shí)，ABWDE,則"BC=乙ABC-￡ABF=15°,即可解答.

【詳解】解：如圖，

當(dāng)A4BF=NE=45°時(shí)，ABWDE,

貝此FBC=^ABC-乙ABF=60°-45°=15°,

三角板4BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15度，即a=15°

32.（21-22七年級(jí)下?新疆喀什,期中）如圖所示，已知4B1BC,BC1CD,zl=Z2.試判斷BE與CF的

關(guān)系，并說(shuō)明你的理由.

【答案】BEWCF,理由見解析

【分析】本題考查垂直的定義，等角的余角相等，平行線的判定.

由垂直的定義得到4力8。=488=90。，根據(jù)等角的余角相等得到4口。=/3。?，再由“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩

直線平行”得到BEIICF.

【詳解】解：BEWCF,理由如下：

,/AB1BC,BC1CD,

：./.ABC=乙BCD=90°,

?/Z1=Z2,

*1./.ABC—Z.1=乙BCD-Z.21

即NEBC=/.BCF,

：.BEWCF.

33.（15-16七年級(jí)下?江蘇南京?期末）如圖，在四邊形ABCD中，N4=NC=90°,BE平濟(jì)乙B,DF平分ND,

求證：BE||DF..

A

【答案】見解析

【分析】此題考查平行線的判定、多邊形的內(nèi)角和、角平分線的定義，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義和四邊

形的內(nèi)角和進(jìn)行解答.根據(jù)角平分線的定義和多邊形的內(nèi)角和進(jìn)行解答即可.

【詳解】證明：??,在四邊形A8CD中，乙4=90。，

???乙4BC+乙4OC=180°,

???BE平分㈤OF平分m

Z.EBF+乙FDC=90°,

???ZC=90°,

???乙DFC+Z.FDC=90°,

???Z-EBF=Z-DFC,

???BE||DF.

--------?-?-?-O-?--------

34.（23-24七年級(jí)下?云南昆明?階段練習(xí)）如圖，給出下列條件：①Nl=N3；②N2=Z4；③=乙EDC；

④NZMB+NB=180。.其中，能推出4D||BC的條件有（）

A,①②B.②④C.②③D.①④

【答案】D

【分析】此題考查了平行線的判定，利用平行線的判定方法判斷即可得到正確的選項(xiàng)，熟練掌握平行線的

判定方法是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.-zl=z3,：.AD\\BC,故①符合題意；

@vz2=z4,：.AB\\CD,故②不符合題意；

/.DAB=/.EDC,：.AB||CD,故③不符合題意；

/.DAB+ZB=180°,AD||BC,故④符合題意；

符合題意的選項(xiàng)是①④，

故選：D.

35.（22-23七年級(jí)下?浙江溫州?期中）如圖,ABIICD,PG平分4EPF,乙4+乙AHP=180。，以下結(jié)論:①CD\\PH；

②乙BEP+乙DFP=24EPG；③4FPH=4GPH；（4）zX+^AGP+ADFP-AFPG=180°；其中正確結(jié)論

A.②③④B.①②④C.①③④D.①②

【答案】B

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，由乙4+NAHP=180。，可得PHII4B,

根據(jù)力BIIC。，可得2BIICDIIPH,再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得出正確結(jié)論.

【詳解】解：N4+N4HP=180。，

,-,PHWAB,

■：ABWCD,

CDWPH,故①正確；

ABWCDWPH,

，乙BEP=￡EPH,4DFP=4FPH,

乙BEP+4DFP=4EPF,

又PG平分NEPF,

乙EPF=2乙EPG,

：.乙BEP+乙DFP=2乙EPG,故②正確；

NGPH與NFPH不一定相等，

4FPH=NGPH不一定成立，故③錯(cuò)誤；

■:4AGP=4HPG+4PHG,乙DFP=4FPH,4FPH+4GPH=4FPG,Z.FPG=AEPG,

：.乙4+N4GP+Z.DFP-乙FPG=乙4+4HPG+4PHG+乙DFP-4FPG

=44+乙HPG+乙PHG+Z.FPH-Z.FPG

=乙4+/.FPG+/-PHG-乙EPG

=乙4+NPHG,

,NA+NPHG=180。，即N4+NAGP+NDFP—/FPG=180。，故④正確；

綜上所述，正確的選項(xiàng)①②④，

故選：B.

36.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行，小

慶和小鐵采用了兩種不同的方法:小慶把紙帶①沿折疊，量得Nl=42=59。；小鐵把紙帶②沿GH折疊，

發(fā)現(xiàn)GD與GC重合，HF與HE重合.且點(diǎn)C,G,。在同一直線上，點(diǎn)E,H,尸也在同一直線上.則下列判

A.紙帶①、②的邊線都平行

B.紙帶①、②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

【答案】D

【分析】對(duì)于紙帶①，根據(jù)對(duì)頂角相等可得N1=乙4。3=59。，利用三角形內(nèi)角和定理求得NDB4=62。,

再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得乙48C=NDB4=62。，由平行線的判定即可判斷；對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得,

ACGH=^DGH,乙EHG=4FHG,由平角的定義從而可得NEHG=NFHG=90。，ACGH=^DGH=90°,

再根據(jù)平行線的判定即可判斷.

【詳解】解：對(duì)于紙帶①，

zl=Z2=59°,

zl=LADB=59°,

/.DBA=180°-59°-59°=62°,

由折疊的性質(zhì)得，乙4BC=4DBA=62°,

42豐/.ABC,

：.4。與BC不平行，

對(duì)于紙帶②，由折疊的性質(zhì)得，乙CGH=乙DGH,乙EHG=LFHG,

又?.?點(diǎn)C,G,D在同一直線上，點(diǎn)￡,H,尸也在同一直線上，

乙CGH+乙DGH=180°,EHG+乙FHG=180°,

乙EHG=4FHG=90°,乙CGH=4DGH=90°,

4EHG+Z.CGH=180°,

CDWEF,

綜上所述，紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定、對(duì)頂角相等、三角形內(nèi)角和定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定

和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

37.（23-24七年級(jí)下?上海?階段練習(xí)）如圖，已知BC平分入4BE,NC=34°,則NBED=。時(shí)，AB||CD.

【答案】68

【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，平行線的判定定理，平行線的性質(zhì)；根據(jù)三

角形的外角的性質(zhì)得N8ED=/.CBE+NC=34°+a,根據(jù)當(dāng)乙4BE=NBED時(shí)42||CD,即可求解.

【詳解】解：???BC平分N48E,

???乙ABC=乙EBC,

設(shè)4A8C=乙EBC=a,

「乙BED=乙CBE+Z.C=34°+a,

^Z.ABE=時(shí)||CD,

2a=34°+a,

a—34°,

/.（BED=68°,

故答案為：68.

38.（23-24七年級(jí)下?山東淄博?期中）在同一平面內(nèi)，有12條互不重合的直線①l2,l3,-l12,若。1%，

引片，卜皿,〃％，,..，依此類推，則匕與心的位置關(guān)系是.（填"平行"或"垂直"）

【答案】平行

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用"在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行''是解決此類

問題的關(guān)鍵.如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，那么它與另一條一定也垂直.再根據(jù)“在同一平面內(nèi)，

垂直于同一條直線的兩直線平行"，可知。與匕2的位置關(guān)系是平行.

【詳解】解：匕1G，引0HJ此…

??上14,14上18…，

?I?112，

.，，2,

??IU12,

故答案為：平行.

39.（23-24七年級(jí)下?江蘇南京?階段練習(xí)）上周末，小金研究的一道幾何題如下：

如圖，點(diǎn)G在CD上，已知/BAG+NAGD=180。，EA平分NB4G,FG平分N4GC,請(qǐng)說(shuō)明4E||GF的理由.

（1）小金的思路是：先根據(jù)"同角的補(bǔ)角相等"得到NB4G=乙1GC,再根據(jù)"角平分線的定義"，得到乙3=44,

然后根據(jù)"內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行"，得到4EIIGF.你認(rèn)為小金的思路是一的（"正確"或"錯(cuò)誤