專題26相似三角形（13大考點，精選60題）

考點概覽

考點1比例的性質(zhì)

考點2相似圖形

考點3平行線分線段成比例

考點4相似三角形的判定

考點5相似三角形的性質(zhì)

考點6相似三角形的應用

考點7位似與位似圖形

考點8相似三角形的新定義問題

考點9相似三角形的性質(zhì)與判定綜合問題

考點10相似三角形與圓綜合問題

考點11相似三角形與動點、函數(shù)關系式問題

考點12相似三角形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)

考點13相似三角形在二次函數(shù)壓軸題中的應用

專題26圖形的相似

考點1比例的性質(zhì)

1.（2025?四川南充?中考真題）已知==2=5=2,則的值是（）

beacababc

A.2B.3C.4D.6

2.（2025?四川成都?中考真題）若：=3,則宇的值為______.

bb

考點2相似圖形

3.（2025?河北?中考真題）“這么近，那么美，周末到河北〃.嘉嘉周末到弘濟橋游覽，發(fā)現(xiàn)青石橋面上有三

葉蟲化石，他想了解其長度，在化石旁放了一支筆拍下照片（如圖）.回家后量出照片上筆和化石的長度分

別為7cm和4cm,筆的實際長度為14cm,則該化石的實際長度為（）

A.2cmB.6cmC.8cmD.10cm

4.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）"九童散學歸來早，忙趁東風放紙鶯〃風箏古稱紙鶯，起源于春秋戰(zhàn)國時期，

風箏制作技藝己被列入國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄為豐富校園生活，某校開展風箏制作活動，小言和哥哥制

作了一大一小兩個形狀相同的風箏，風箏的形狀如圖所示，其中對角線AC/4O.已知大、小風箏的對應

邊之比為3:1,如果小風箏兩條對角線的長分別為30cm和35cm,那么大風箏兩條對角線長的和為cm.

考點3平行線分線段成比例

5.（2025?吉林長春?中考真題）將直角三角形紙片ABC（ZC=9O°）按如圖方式折置兩次再展開，下列結

論錯誤的是（）

6.（2025?河南?中考真題）如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,V43C的三個頂點均在網(wǎng)格線

的交點上，點。、E分別是邊胡、C4與網(wǎng)格線的交點，連接OE,則OE的長為（）

C

A.—B.1C.y/2D.y/j

4

7.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，O是坐標原點，反比例函數(shù)），=-白工>0）與直線交于點A,

X

4

點8在），=-一（1>0）的圖象上，直線A8與）'軸交于點C.連結08.若A"=3AC,則08的長為（）

X

A.V10B.—C.V34D.

22

考點4相似三角形的判定

8.（2025?河北?中考真題）如圖，在五邊形A4C/小中，AE//延長胡，BC,分別交直線。上于點M,

考點5相似三角形的性質(zhì)

9.（2025?黑龍江綏化?中考真題）兩個相似三角形的最長邊分別是10cm和6cm,并且它們的周長之和為48cm,

那么較小三角形的周長是（）

A.14cmB.18cmC.30cmD.34cm

10.（2025?貴州?中考真題）如圖，已知-A3CS_￡?,48:￡）E=2:1,若DF=2,則AC的長為（）

A.1B.2C.4D.8

11.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，用12個以點。為公共頂點的相似三角形組成

形如海螺的圖案，若。4=1,NOA8=90。，則點G的坐標為

項目報告表時間：2025年5月29日

活動目

項測量該城市規(guī)劃展覽館的實際高度并換算其3。打印模型的高度

標

目

分測量工

測角儀、皮尺

析具

以下是測得的相關數(shù)據(jù)，并畫出了如圖所示的測量草圖.

1.9可出測角儀的高8一1.4m.

2.才可用測角儀測出展覽館頂端A的仰角ZACE=61°.

3測.出測角儀底端D處到展覽館AB底端4處之間的距離DB=42m.

/4

\

\

任務一\

\

\

\

測腦數(shù)\

\

\

\

據(jù)\

\

\

\

項\

\

\

\

目\

\

\

實L61%。

E

施

B<42m>D

任務二

根據(jù)上述測得的數(shù)據(jù)，計算該城市規(guī)劃展覽館人8的高度.（結果精確到

計算實

1m）（參考數(shù)據(jù)：sin61°=（）.875,cos61°=0.485,tan61°=1.804）

際高度

任務三

將該城市規(guī)劃展覽館A8的高度按1：物）等比例縮小，得到其3。打印模型

換算模

的高度約為________cm.（結果精確到km）

型高度

項目結果為社團制作城市規(guī)劃展覽館的3。打印模型提供數(shù)據(jù)

請結合上表中的測量草圖和相關數(shù)據(jù)，幫助該社團完成任務二和任務三.

15.（2025?河南?中考真題）焦裕祿紀念園是全國重點革命烈士紀念建筑物保護單位，革命烈士紀念碑位于

紀念園南部的中心.某綜合與實踐小組開展測量紀念碑高度的活動，記錄如下.

活動

測量紀念碑的高度

主題

實物

圖和

測量

示意

圖

如圖，紀念碑A8位于有臺階的平臺8C上，太陽光下，其頂端A的影子落在點。

測量處，同一時刻，豎直放置的標桿頂端后的影子落在點尸處，位于點M處的觀

說明測者眼睛所在位置為點N,點在一條直線上，紀念碑底部點8在觀測者的

水平視線上.

測量

E>E=2.1m,O/=2.1m,OM=lm,MN=1.2m

數(shù)據(jù)

備注點區(qū)例，￡＞〈在同一水平線上.

根據(jù)以上信息，解決下列問題.

⑴由標桿的影子。尸的長和標桿。E的長相等，可得CD=C4,請說明理由.

⑵求紀念碑A8的高度.

⑶小紅通過間接測量得到CQ的長，進而求出紀念碑A3的高度約為18.5m.查閱資料得知，紀念碑的實際高

度為19.64m.請判斷小紅的結果和（2）中的結果哪個誤差較大？并分析誤差較大的可能原因（寫出一條即

可）.

16.（2025?江蘇連云港?中考真題）一塊直角三角形木板，它的--條直角邊BC長2m,面積為L5nf.

⑴甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設計一個正方形京面，請說明哪個正方形面積較大；

(2)丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設計一個長方形桌面.請分別求出圖3、圖4中長方形的面積Mm?)與

OE的長x(m)之間的函數(shù)表達式，并分別求出面積的最大值.

圖4

考點7位似與位似圖形

17.(2025?甘肅蘭州?中考真題)如圖,在平面直角坐標系xQy中，VA3C與位似，位似中心是原點

O,已知80:89=1:2,則伙2,0)的對應點e的坐標是()

(4,0)C.(6,0)D.(8,0)

18.(2025?浙江?中考真題)如圖，五邊形4?。?！?4'8。力￡是以坐標原點0為位似中心的位似圖形，已知

點兒A的坐標分別為(2,0),(3,0).若OE的長為3,則DE的長為()

22

19.(2025?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，△Q4A的頂點坐標分別是0(0,0),A(2,l),3(1,2),

以原點。為位似中心，在第三象限畫△OA*與△Q4B位似，若△OA9與的相似比為2:1,則點A的

對應點4的坐標為()

A.(-2,-1)B.(*2)U（T-2）D.(-2,-4)

20.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，在4x3的方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,將△OA3以點。

為位似中心放大后得到，OCT）,則△OA3與,06的周長之比是（）

A.2:1B.1:2C.4:1D.1:4

21.（2025?山東煙臺?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點。的坐標為（6,|）,VA3C的頂點A的坐標

為（4,3）.以點P為位似中心作△ABC與VA8C位似，相似比為2,且與V/WC位于點P同側；以點P為位

似中心作△外與G與△44G位似：相似比為2,且與△44G位于點/＞同側……按照以上規(guī)律作圖，點A；的

坐標為.

IIIw.

O\123456-x

22.（2025?廣東?中考真題）如圖，把VAOB放大后得到則VA08與△C8的相似比是.

VM

4

O\86~5

23.（2025,黑龍江綏化?中考真題）在平面直角坐標系中，把VA8C以原點。為位似中心放大，得到A6C.若

點A和它的對應點N的坐標分別為（3,7）,（-9,-21）,則VA8C與.MFC的相似比為.

24.（2025?安徽?中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系My,

V/1BC的頂點和A均為格點（網(wǎng)格線的交點）.已知點A和A的坐標分別為和（2,6）.

⑴在所給的網(wǎng)格圖中描出邊A4的中點。，并寫出點。的坐標；

（2）以點。為位似中心，將VABC放大得到△AMG，使得點A的對應點為A，請在所給的網(wǎng)格圖中畫出

考點8相似三角形的新定義問題

25.（2025?甘肅蘭州?中考真題）如圖，黃金矩形ABC。中空=亞二1,以寬AB為邊在其內(nèi)部作正方形ABFE,

AD2

得到四邊形COE尸是黃金矩形，依此作法，四邊形QEG”，四邊形KEGL也是黃金矩形.依次以點E,G,

L為圓心作人廠，F(xiàn)H，HK，曲線4股火叫做“黃金螺線若4。=2,則"黃金螺線〃的長

26.（2025?廣東?中考真題）定義：把某線段一分為二的點，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，

則稱此線段被分為中外比，這個點稱為中外比點.

（1）如圖，點尸是線段MN的中外比點，MP>PN,MN=2,求PN的K.

MPN

（2）如圖，用無刻度的直尺和圓規(guī)求作一點C把線段AB分為中外比.（保留作圖痕跡，不寫作法）

1J

AB

⑶如圖，動點B在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)），=與仕>0">0）的圖象分別與矩形048。的邊A8,BC相交

X

于點。，E,與對角線相交于點F.當々ODE是等腰直角三角形時，探究點。，E,產(chǎn)是否分別為

BC,08的中外比點，并證明.

考點9相似二角形的性質(zhì)與判定綜合問題

27.（2025?遼寧?中考真題）（1）如圖1,在V48C與△DC8中，/BAC=NCDB,AC與。B相交于點P,

PB=PC,求證：△AB84DCB；

（2）如圖2,將圖1中的△OC8澆點8逆時針旋轉得到DCB,當點。的對應點出在線段班的延長線上

時，8c'與4c相交于點例：若AB=2,BC=3,NABC=60。,求CM的長；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CC并延長，與8。的延長線相交于點N,連接MV,求bAMN的面

積.

（圖1）（圖2）（圖3）

28.（2025?廣東深圳?中考真題）綜合與探究

【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，小軍用兩個大小不同的等腰直角三角板拼接成一個四邊形.

【抽象定義】以等腰三角形為邊向外作等腰三角形，使該邊所對的角等于原等腰三角形的頂角，此時該四

邊形稱為“雙等四邊形“，原等腰三角形稱為四邊形的“伴隨三角形〃.如圖2,在V48C中，AB=AC,AC=AD,

ND=NBAC.此時，四邊形A3c。是“雙等四邊形"，VA4C是“伴隨三角形〃.

圖1圖2圖3

【問題解決】如圖3,在四邊形人4a＞中，AB=AC,AD=CD,ZD=NBAC.求:

①A/）與的位置關系為：：

②3ADBC.（填"或"="）

【方法應用】①如圖4,若AC=8C,將VA3C繞點A逆時針旋轉至VAOE,點。恰好落在8c邊上，求證：

四邊形A8DE是雙等四邊形.

②如圖5,在等腰三角形A8C中，AC=BC,cos^=|,AB=5,在平面內(nèi)找一點。，使四邊形48C。是

以VA8C為伴隨三角形的雙等四逅形，若存在，請求出。。的長，若不存在，請說明理由.

圖4圖5備用圖

29.（2025?重慶?中考真題）在V4BC中，4B=AC,點。是BC邊上一點（不與端點重合），連接40.將

線段AD統(tǒng)點A逆時針旋轉。得到線段AE,連接。石.

⑴如圖1,a=N84C=60。，ZC4E=20°,求NAD8的度數(shù)；

（2）如圖2,a=ZBAC=90°,BDvCD,過點。作Z）GJ_8C,OG交C4的延長線于G,連接BG.點尸是

。￡的中點，點”是8G的中點，連接廠”，CF.用等式表示線段尸“與C尸的數(shù)量關系并證明：

⑶如圖3,N8AC=120。，。=60〉，A8=8,連接BE,CE.點力從點4移動到點C過程中，將比:繞點8

逆時針旋轉60。得線段連接EM,作MN1C4交C4的延長線于點N.當CE取最小值時，在直線A3

上取一點“，連接正，將VA莊:沿莊所在直線翻折到VA3C所在的平面內(nèi)，得AQPE,連接8Q,MQ,

M2,當8。取最大值時，請直接寫出△MNQ的面積.

30.（2025?河南?中考真題）在—A04中，點。是/的平分線上一點，過點C作CQJL08,五足為點。，

過點。作OEJLOA,垂足為點E,直線DE,OC交于點F,過點C作。G_L0E,垂足為點G.

圖1圖2

⑴觀察猜想

如圖1,當-AO8為銳角時，用等式表示線段CGOK,8的數(shù)量關系：.

⑵類比探究

如圖2,當-4OA為鈍角時，請依據(jù)題意補全圖形（無需尺規(guī)作圖），并判斷（1）中的結論是否仍然成立？

若成立，請證明；若不成立，請寫出正確結論，并證明.

⑶拓展應用

當0CvZAO3vl8（）c,且NAOS#90c時，若空=3,請直接寫出型的值.

EFCD

31.（2025?湖南?中考真題）【問題背景】

如圖1,在平行四邊形紙片A8CQ中，過點8作直線/_LCO于點E,沿直線/將紙片剪開，得到△片和

現(xiàn)將三角形紙片與G片和四邊形紙片A8EO進行如下操作（以下操作均能實現(xiàn)）

①將三角形紙片4Gg置于四邊形紙片A8E。內(nèi)部，使得點片與點8重合，點￡在線段48上，延長8G交

線段AD于點尸，如圖3所示：

②連接CG，過點C作直線CN1CO交射線E耳于點N,如圖4所示；

③在邊A3上取一點G,分別連接80,DG,FG,如圖5所示.

【問題解決】

請解決下列問題：

（1）如圖3,填空：NA+NABF=

(2)如圖4,求證：ACNM-CRM；

(3)如圖5.若AB=2AD=2y/iAF,ZAGD=60°,求證：FG//BD.

32.（2025?貴州?中考真題）如圖，在菱形48co中，NABC=60。，點P為線段AC上一動點，點E為射線AQ

上的一點（點E與點4不重合）.

【問題解決】

（1）如圖①，若點/與線段AC的中點。重合，則N依C=_度，線段8P與線段AC的位置關系是」

【問題探究】

（2）如圖②，在點P運動過程中，點￡在線段成上，且44所=30。,/尸石。二60。，探究線段跖與線段￡C

的數(shù)量關系，并說明理由；

【拓展延伸】

（3）在點P運動過程中，將線段2E繞點E逆時針旋轉120。得到EF,射線石尸交射線AC于點G,若

BE=2FG、AB=5,求4）的長.

33.（2025?上海?中考真題）在平行四邊形A4c。中，E,產(chǎn)分別為邊3C,CO上兩點.

⑴當E是邊中點時，

①如圖（1）,聯(lián)結E尸，如果AE=EF,求證：ZBAE=ZCFE；

②如圖（2）,如果C尸=。/，聯(lián)結4E,BF交邊AE于點、G,求5秒?yún)n：5八八"的值；

（2）如圖（3）所示，聯(lián)結AE,AF,如果AO=5,A8=3,CF=\,ZAEB=ZAFE=Z.EFC.求"的長.

34.（2025?四川成都?中考真題）如圖，在：A8a＞中，點E在邊上，點“關于直線AE的對稱點尸落在

c/lBCO內(nèi)，射線融交射線。。于點G,交射線/3C于點P,射線￡尸交CO邊于點Q.

【特例感知】

（1）如圖1,當CE=4七時，點P在3。延長線上，求證：△EFPgZXECQ；

【問題探究】

（2）在（1）的條件下，若CG=3,GQ=5,求。。的長;

【拓展延伸】

CQ1

（3）如圖2,當CE=2“時，點P在8C邊上，若點=一，求的值.（用含〃的代數(shù)式表示）

DQnDG

35.（2025?安徽?中考真題）已知點4在正方形A3co內(nèi)，點￡在邊A。上，BE是線段4W的垂直平分線,

連接A'E,A!H.

（1）如圖1,若84'的延長線經(jīng)過點Q,AE=\,求A4的長；

（2）如圖2,點尸是A4'的延長線與。。的交點，連接CA.

①求證：ZC4,F=45°；

②如圖3,設"'BE相交于點G,連接CG,DG,DAf.若CG=CB,判斷./'DG的形狀，并說明理由.

36.（2025?江蘇揚州?中考真題）問題：如圖1,點P為正方形ABC。內(nèi)一個動點，過點P作斯〃AO,G”〃A8,

矩形PHCF的面積是矩形尸G4E面枳的2倍，探索ZLFAH的度數(shù)隨點，運動的變化情況.

【從特例開始】

（1）小玲利用正方形網(wǎng)格畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖2）,請你僅用無刻度的直尺連接一條線段，

由此可得此圖形中ZFAH=°；

（2）小亮也畫出了一個符合條件的特殊圖形（如圖3）,其中PE=PF=6,PG=4,PH=8，求此圖形中

上反〃的度數(shù)；

【一般化探索】

（3）利用圖1,探索上述問題中的度數(shù)隨點P運動的變化情況，并說明理由.

37.（2025?江西?中考真題）綜合與實踐

從特殊到一股是研究數(shù)學問題的一般思路，綜合實踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的磨專敢緬問題展

開探究.

特例研究

在正方形48co中，AC,80相交于點0.

（1）如圖1,3。。可以看成是VAO8繞點A逆時針旋轉并放大上倍得到，此時旋轉角的度數(shù)為,

女的值為:

（2）如圖2,將VA08繞點A逆時針旋轉，旋轉角為a,并放大得到（點O,B的對應點分別為點

E,F）,使得點E落在OD」:，點F落在BC上，求普的值

D_______C

區(qū)

AB

圖1

類比探究

（3）如圖3,在菱形人BCO中，ZA4C=60。，。是A5的垂直平分線與3。的交點，將VA08繞點A逆時

針旋轉，旋轉角為a，并放縮得到（點。，B的對應點分別為點F）,使得點E落在。。上，點尸

落在8。上.猜想為BF的值是否與a有關，并說明理由;

OE

（4）若（3）中=其余條件不變，探究B4BE,B/之間的數(shù)量關系（用含。的式子表示）.

38.（2025?山西?中考真題）綜合與探究

問題情境：如圖，在V48c紙片中，A8>3C,點。在邊人B上，AD>BD.沿過點。的直線折疊該紙片,

使08的對應線段O9與8。平行，且折痕與邊8C交于點￡,得到'OB'E,然后展平.

猜想證明：（1）判斷四邊雙犯￡的形狀，并說明理由

拓展延伸：（2）如圖，繼續(xù)沿過點D的直線折疊該紙片，使點4的對應點A落在射線。9上，且折痕與邊4c

交于點、F,然后展平.連接AE交邊4c于點G,連接4戶.

①若八￡>一2/比>,判斷。石與的位置關系，并說明理由;

②若NC=90。，48=15,BC=9,當是以4尸為腰的等腰三角形時，請直接寫出AF的長

39.（2025吶蒙古?中考真題）如圖，A8C。是一個平行四邊形紙片，8。是一條對角線，BD=BC=5,CD=6.

（1）如圖1,將平行四邊形紙片ABCD沿8。折疊，點A的對應點落在點尸處，PB交CD于點、M.

①試猜想PM與CM的數(shù)量關系，并說明理由；

②求的面積；

⑵如圖2,點E,尸分別在平行四邊形紙片八AC力的48,AO邊上，連接EF,且E尸〃3D,將平行四邊

形紙片48c力沿石尸折疊，使點A的對應點G落在CO邊上，求DG的長.

40.（2025?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

在探索幾何圖形變化的過程中，通過直觀猜想、邏輯推理、歸納總結可以獲得典型的幾何模型，運用幾何

模型能夠輕松解決很多問題，讓我們共同體會幾何模型的“數(shù)學之美〃.

A

備用圖

（1）【幾何直觀】如圖1,VABC中，NB4C=90。，AB=AC,在VA8C內(nèi)部取一點。，連接AO,將線段4。

繞點A逆時針旋轉90。得到線段47,連接BO,CO,則CD與4。的數(shù)量關系是：NAOC與

NADB的數(shù)量關系是：

⑵【類比推理】如圖2,在正方形A8CQ內(nèi)部取一點E,使NCEQ=90。，將線段CE繞點。逆時針旋轉90。

得到線段。廳，連接￡3,延長￡8交OE的延長線于點尸，求證：四邊形C￡F￡是正方形；

⑶【深度探究】如圖3,矩形4BCO中，AB=3,BC=4,在其內(nèi)部取一點E,使NC￡O=90。，將線段CE

繞點。逆時針旋轉90。得到線段C￡,延長CE至點G,使C器G=；4，連接G8,延長G8交OE的延長線于

CE3

點尸，連接A尸，若A/=2,則8/=；

（4）【拓展延伸】在矩形A8CO中，點石為邊上的一點，連接AE,將線段A￡繞點A逆時針旋轉60。得到

線段AE，連接￡>￡*，若AO=3〃，A3=石，則OE的最小值為.

41.（2025?甘肅平?jīng)?中考真題）四邊形4BC。是正方形，點￡是邊AO上一動點（點。除外），.￡FG是直

角三角形.EG=M.點G在CQ的延長線卜.

⑴如圖1,當點E與點A重合，且點尸在邊上時，寫出跖和力G的數(shù)量關系，并說明理由；

⑵如圖2,當點E與點A不重合，且點尸在正方形48co內(nèi)部時，小的延長線與8的延長線交于點P,如

果EF=EP,寫出4E和。G的數(shù)量關系，并說明理由；

⑶如圖3,在（2）的條件下，連擊BF,寫出所和。G的數(shù)量關系，并說明理由.

42.（2025?湖北?中考真題）在VA8C中，ZAC8=90。，將VABC繞點。旋轉得到OEC,點A的對應點。落

⑴如圖1,求證：△BCES^ACD；

⑵如圖2,當BC=2,AC=1時,求朋的長；

（3）如圖3,過點E作AB的平行線交AC的延長線于點尸，過點3作AC的平行線交EF于點G,DE與BC交

于點、K.

①求證：AC=CF；

②當先時，直接寫出粵的值?

GB6''''KE

43.（2025?甘肅?中考真題）四邊形A8CO是正方形，點E是邊A力上一動點（點。除外），EFG是直角三

角形，成7=斯，點G在CO的延長線上.

⑴如圖1,當點E與點A重合，且點尸在邊8c上時，寫出所和女的數(shù)量關系，并說明理由；

（2）如圖2,當點E與點A不重合，且點尸在正方形人BC。內(nèi)部時，莊的延長線與胡的延長線交于點P,

如果EF=EP,寫出AE和。G的數(shù)量關系，并說明理由；

⑶如圖3,在（2）的條件下，連接用"寫出W?,和OG的數(shù)量關系，并說明理由.

考點10相似三角形與圓綜合問題

44.（2025?北京?中考真題）如圖，過點。作。的兩條切線，切點分別為A,B,連接OA,08,OP,取OP

的中點C，連接AC并延長，交于點。，連接BO.

（2）延長OP交OB的延長線于點￡若AP=10,tanZAOP=p求OE的長.

45.（2025?甘肅蘭州?中考真題）如圖，。是VABC的外接圓，A8是O的直徑，過點B的切線交AC的

延長線于點D，連接并延長，交。于點E,連接AECE.

(2)若/W=4,cosZAEC=—,求OO的長.

3

AE=CE,連接4C,BD.

⑵如圖2,連接EO并延長交3。千點尸，求證:/BEF=/DEF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，作。M_LC。于點"，連接A。，點G在圻'上，連接EG,點〃在AO上,

連接交八。于點丁，交EG于點Q,連接7E,若DE-CM=,AH=AC^DGE=2ZBAD,FG=2,

AC=8,求7Q的長.

47.（2025?湖南長沙?中考真題）如圖1,點O是以A8為直徑的半圓的圓心，4。與8c均為該半圓的切線,

C,。均為直徑A3上方的動點，連接C。，且始終滿足CO=A/）+BC.

⑴求證：C。與該半圓相切；

GG7

⑵當半徑/?=&時，令A￡）=a,BC=b,m=,n=—^―+-^―,比較小與〃的大小，并說明

2+42+b\+a\+b

理由；

⑶在（1）的條件下，如圖2,當半徑廠=1時，若點E為CD與該半圓的切點，4C與8。交于點G,連接EG

41

并延長交A8于點片連接AE,BE，令EG=x,+CD=y,求,，關于x的函數(shù)解析式.（不

AE,BEFG

考慮自變量x的取值范圍）

48.（2025?云南?中考真題）如圖，。是五邊形48CDE的外接圓，B。是《。的直徑.連接AC，BE,CE,

ZAEC=ZACF.

CF

（1）若。石=C4,且NCBE=60。，求NBCE的度數(shù)；

（2）求證：直線。尸是。的切線；

⑶探究，發(fā)現(xiàn)與證明：已知AC平分/明石，是否存在常數(shù)。為，使等式AC2=a3CC￡+bA5A￡成立？

若存在，請直接寫出一個〃的值和一個力的值，并證明你寫出的〃的值和〃的值，使等式

AC2=aBC-CE+bAB-AE;若不存在，請說明理由.

考點11相似三角形與動點、函數(shù)關系式問題

49.（2025?新疆?中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC中，Z4=90°,BC=4,AD=aBN,點、M是AB

的中點，點。和點N分別是線段AC和上的動點.

A

M.

八J

BNC

⑴當點。和點N分別是AC和BC的中點時，求a的值；

（2）當〃=正時，以點C,D,N為頂點的三角形與,相似，求3N的值；

（3）當〃=夜時，求MN+N0的最小值.

50.（2025?四川南充?中考真題）矩形ABOT中，9=10,初=17,點E是線段BC上異于點8的一個動

點，連接4E,把一ABE沿直線AE折疊，使點8落在點P處.

【初步感知】（1）如圖1,當E為8c的中點時，延長交CO于點死求證：FP=FC.

【深入探究】（2）如圖2,點M在線段C。上，CM=4.點七在移動過程中，求尸M的最小值.

【拓展運用】（3）如圖2,點N在線段人。上，AN=4.點E在移動過程中，點尸在矩形內(nèi)部，為APDN是

以DN為斜邊的直角三角形時，求此的長.

圖1圖2

51.（2025?吉林?中考真題）如圖，在VABC中，"=3&，BC=5,ZBAC=45°.動點P從點A出發(fā)，沿

邊AC以每秒1個單位長度的速度向終點。勻速運動.當點尸出發(fā)后，以AP為邊作正方形APDE,使點。

和點B始終在邊AC同側.設點P的運動時間為x（s）（x>0）,正方形4POE與V48C重疊部分圖形的面積為

y（平方單位）.

備用圖

（1）AC的長為.

（2）求），關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

⑶當正方形APZ店的對稱中心與點B重合時，直接寫出x的值.

52.（2025?黑龍江綏化?中考真題）綜合與實踐

如圖，在邊長為8的正方形A8CD中，作射線B。，點正是射線8。上的一個動點，連接AE,以AE為邊作

正方形AEFG,連接CG交射線8。于點M,連接OG.（提示：依題意補全圖形，并解答）

【用數(shù)學的眼光觀察】

（1）請判斷與ZX7的位置關系，并利用圖（1）說明你的理由.

【用數(shù)學的思維思考】

（2）若ZX；=a,請你用含。的代數(shù)式直接寫出NCMB的正切值________.

【用數(shù)學的語言表達】

（3）設=正方形4瓦G的面枳為S.請求出S與x的函數(shù)解析式.（不要求寫出自變量x的取值范圍）

圖（D得用圖符用圖

考點12相似三角形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)

53.（2025?四川宜賓?中考真題）如圖，過原點0的直線與反比例函數(shù)y=4伙工0）的圖象交于A、B兩點,

.X

一次函數(shù)）=〃“+M〃yO）的圖象過點人與反比例函數(shù)交于另一點C,與X軸交于點其中4（—2,1）,

⑴求一次函數(shù)y=+〃的表達式，并求AQM的面積.

（2）連接BC,在直線AC上是否存在點Q,使以。、A、/）為頂點的三角形與V4AC相似，若存在，求出點

。坐標；若不存在，請說明理由.

54.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，一次函數(shù)），=如+〃與反比例函數(shù)），=：的圖象相交于A（l,4）、8（4,〃z）

兩點，與X軸交于點C,點。與點八關于點O對稱，連接AD.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式：

⑵點P在X軸的負半軸上，且△AOC與相似，求點P的坐標.

考點13相似三角形在二次函數(shù)壓軸題中的應用

55.（2025?遼寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-；（1-1『+1的圖象與x軸的正

半軸相交于點A,二次函數(shù)為=aP+c的圖象經(jīng)過點A,且與二次函數(shù)力的圖象的另一個交點為3,點3的

⑵直線*=機與二次函數(shù)）3%的圖象分別相交于點C,D,與直線人A相交于點當-時，

①求證：DE=2CE；

②當四邊形4c8。的一組對邊平號時，請直接寫出加的值.

⑶二次函數(shù)）；=一；（'-if+lgd）與二次函數(shù)%=加+《轉3）組成新函數(shù)為，當一—〃時,

4IJ，3

函數(shù)外的最小值為《-之，最大值為。-f,求〃的取值范圍.

9t3

56.（2025?江蘇蘇州?中考真題）如圖，二次函數(shù)產(chǎn)-』+2x+3的圖像與x軸交于AB兩點（點A在點3的

左側），與），軸交于點C,作直線BC,M（sy），7（〃7+2,%）為二次函數(shù).丫=-/+2工+3圖像上兩點.

⑴求直線4c對應函數(shù)的表達式：

（2）試判斷是否存在實數(shù)〃?使得乂+2%=10.若存在，求出機的值；若不存在，請說明理由.

⑶已知〃是二次函數(shù)y=*