前六章知識點精講與習題集一、選擇題（共10題，每題2分）1.下列哪一項不屬于第一章所述的基本概念？A.變量B.函數(shù)C.數(shù)列D.極限2.根據(jù)第二章的定義，函數(shù)f(x)在x=a處連續(xù)的充分必要條件是：A.f(a)存在B.lim(x→a)f(x)存在C.A和B同時成立D.A和B都不成立3.第三章中，不定積分∫sinxdx的結果是：A.-cosx+CB.cosx+CC.-sinx+CD.sinx+C4.根據(jù)第四章的定義，若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則必定存在c∈(a,b)使得：A.f(c)=0B.f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f(c)=f(b)D.f(c)=f(a)5.第五章中，級數(shù)∑(n=1to∞)1/n發(fā)散還是收斂？A.發(fā)散B.收斂C.無法判斷D.條件收斂6.第六章提到的基本初等函數(shù)中，不包括：A.指數(shù)函數(shù)B.對數(shù)函數(shù)C.三角函數(shù)D.分數(shù)函數(shù)7.第一章中，數(shù)列極限的定義是指：A.數(shù)列無限接近某個常數(shù)B.數(shù)列項數(shù)無限增加C.數(shù)列項數(shù)有限D.數(shù)列項值絕對值無限增大8.第二章所述的洛必達法則適用于：A.所有不定式B.只適用于0/0型不定式C.只適用于∞/∞型不定式D.A和B都正確9.第三章中，定積分的幾何意義是：A.曲線下的面積B.曲線上的面積C.曲線與x軸圍成的面積D.以上都不對10.第四章中，泰勒公式的主要用途是：A.求函數(shù)極限B.求函數(shù)導數(shù)C.求函數(shù)積分D.以上都不對二、填空題（共10題，每題2分）1.若f(x)=x2-3x+2，則f(2)=______。2.函數(shù)f(x)在x=1處間斷，但可去間斷，則f(1)=______。3.∫(1to2)(x2+1)dx=______。4.根據(jù)羅爾定理，若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，則存在c∈(a,b)使得f'(c)=______。5.若級數(shù)∑(n=1to∞)a?收斂，則lim(n→∞)a?=______。6.函數(shù)f(x)=e^x的基本性質包括：連續(xù)、可導、______。7.根據(jù)柯西收斂準則，級數(shù)∑b?收斂的必要條件是：對于任意ε>0，存在N，當m,n≥N時，|b?-b?|<______。8.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上有界，即存在M>0，使得|f(x)|≤______。9.函數(shù)f(x)=sinx在(-∞,∞)上的原函數(shù)是______。10.第六章提到的初等函數(shù)中，對數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,a≠1)的反函數(shù)是______。三、計算題（共5題，每題6分）1.計算極限lim(x→0)(sin3x)/x。2.求函數(shù)f(x)=x3-3x+2的導數(shù)f'(x)。3.計算定積分∫(0toπ)sin2xdx。4.求函數(shù)f(x)=x2lnx在(0,1)上的麥克勞林展開式的前三項。5.判斷級數(shù)∑(n=1to∞)(-1)?/(2n+1)的收斂性。四、證明題（共3題，每題8分）1.證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)上至少存在一點c，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。2.證明：若級數(shù)∑a?和∑b?都收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)a?b?也收斂。3.證明：函數(shù)f(x)=x3-3x+1在(-2,2)上至少有一個零點。答案與解析一、選擇題答案1.C2.C3.A4.B5.A6.D7.A8.D9.C10.A二、填空題答案1.02.任意實數(shù)3.34.05.06.單調遞增7.ε8.M9.-cosx+C10.ax^(a-1)三、計算題解析1.解：lim(x→0)(sin3x)/x=lim(x→0)(sin3x)/(3x)×3=3×1=3。2.解：f'(x)=3x2-3。3.解：∫(0toπ)sin2xdx=∫(0toπ)(1-cos2x)/2dx=(π/2)-0=π/2。4.解：f(x)=x2lnx=x2(x-1)/lnx，當x→0時，lnx→-∞，所以f(x)→0。前三項為x3-3x2+2x。5.解：絕對值級數(shù)為∑|(-1)?/(2n+1)|=∑1/(2n+1)，與調和級數(shù)類似，發(fā)散。原級數(shù)為交錯級數(shù)，不絕對收斂，但根據(jù)萊布尼茨判別法，條件收斂。四、證明題解析1.證明：構造函數(shù)g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)x，則g(a)=f(a)和g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))=f(a)，所以g(a)=g(b)。由羅爾定理，存在c∈(a,b)使得g'(c)=0，即f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。2.證明：由于∑a?收斂，故部分和S?→S，所以lim(n→∞)|a?|=0。同理b??→T?？紤]|a?b?|≤|a?||b?|+|a?b?|，由比較判別法，若a?和b?都絕對收斂，則a?b?絕對收斂，從而收斂。3.證明：f(-2)=-8+6+1=-1，f(2)