三角函數(shù)與幾何應用結(jié)合題集一、解三角形綜合題（共5題，每題10分）題目1在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊BC=10。求：1.邊AC的長度；2.△ABC的面積；3.角C的余弦值。題目2如圖，某觀測站A測得敵艦B在北偏東30°方向，距離為10海里，敵艦B正以每小時10海里的速度向正北方向行駛。求：1.1小時后敵艦B與觀測站A的距離；2.敵艦B需要多少時間才能到達觀測站A的正東方方向。題目3在△ABC中，已知a=8，b=5，角C=120°。求：1.邊c的長度；2.△ABC的周長；3.角A的正弦值。題目4在△ABC中，已知角A=30°，角B=60°，邊BC=6。求：1.邊AC和邊AB的長度；2.△ABC的外接圓半徑；3.△ABC的面積。題目5如圖，某燈塔A位于海岸線BC的延長線上，點B為海岸線上的觀測點，測得∠BAC=45°，AB=3km。海岸線BC沿北偏東30°方向延伸，BC=4km。求：1.燈塔A與觀測點B的距離；2.燈塔A與海岸線BC的距離；3.從燈塔A到海岸線BC的最短距離。二、三角函數(shù)性質(zhì)應用題（共4題，每題12分）題目6已知函數(shù)f(x)=2sin(3x+π/4)+1。1.求函數(shù)的最小正周期；2.求函數(shù)的振幅、最大值和最小值；3.求函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間。題目7已知函數(shù)g(x)=cos^2(x)-3sin(x)+2。1.將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)+k的形式；2.求函數(shù)的最小正周期；3.求函數(shù)的振幅、最大值和最小值；4.求函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的零點。題目8已知函數(shù)h(x)=√3sin(x)-cos(x)。1.求函數(shù)的振幅、周期和初相；2.將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)+k的形式；3.求函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；4.求函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值。題目9已知函數(shù)p(x)=sin(x)+2cos(2x)。1.求函數(shù)的最小正周期；2.將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)+k的形式；3.求函數(shù)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值；4.求函數(shù)在區(qū)間[0,π]上的零點。三、三角函數(shù)與平面幾何綜合題（共5題，每題10分）題目10在矩形ABCD中，AB=4，AD=3。點P為AD邊上一點，∠APB=60°。求：1.AP的長度；2.PB的長度；3.△APB的面積。題目11在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4。點D為AB邊的中點，點E為AC邊上一點，∠ADE=45°。求：1.DE的長度；2.△ADE的面積；3.△ADE與△ABC的重心距離。題目12在正方形ABCD中，邊長為4。點P為對角線BD上一點，∠APC=45°。求：1.AP的長度；2.PC的長度；3.△APC的面積。題目13在等邊△ABC中，邊長為6。點D為AB邊上一點，點E為AC邊上一點，且DE//BC。若△ADE的面積為△ABC面積的1/3，求：1.DE的長度；2.AD的長度；3.△ADE與△ABC的重心距離。題目14在△ABC中，AB=AC=5，BC=6。點D為BC邊上一點，點E為AC邊上一點，且DE//AB。若△ADE的周長為8，求：1.DE的長度；2.AD的長度；3.△ADE與△ABC的重心距離。四、三角函數(shù)與立體幾何綜合題（共3題，每題15分）題目15在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=1，CC1=2。求：1.AC1與BC所成角的余弦值；2.A1B與平面ABC所成角的正弦值；3.三棱柱的體積。題目16在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=2，AD=1，PC⊥平面ABCD，PC=1。求：1.PD與AC所成角的余弦值；2.PB與平面PCD所成角的正弦值；3.四棱錐P-ABCD的體積。題目17在圓錐P-ABC中，底面半徑為1，母線長為√2。點D為底面圓周上一點，點E為PC上一點，且DE//AC。若△DEB的面積為△ABC面積的1/2，求：1.DE的長度；2.AC與DE所成角的正弦值；3.圓錐的體積。答案與解析解析11.邊AC的長度：由正弦定理：AC/sinB=BC/sinAAC=BC*sinB/sinA=10*sin45°/sin60°=10*√2/(√3/2)=20√6/32.△ABC的面積：由余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosCC=180°-A-B=75°面積=1/2*AC*BC*sinB=1/2*(20√6/3)*10*√2/2=100√33.角C的余弦值：cosC=cos(75°)=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4解析21.1小時后敵艦B與觀測站A的距離：在△AB'C中，∠B'AC=30°，∠AB'C=120°，AB'=10√3AC=AB'/cos30°=10√3/(√3/2)=202.敵艦B需要多少時間才能到達觀測站A的正東方方向：在直角△AOC中，OC=AC*tan30°=20√3*(√3/3)=20時間=OC/速度=20/10=2小時解析31.邊c的長度：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=-1/264+25-c^2=-80c^2=169c=132.△ABC的周長：a+b+c=8+5+13=263.角A的正弦值：sinA=√(1-cos^2A)=√(1-(1/4))=√3/2解析41.邊AC和邊AB的長度：在△ABC中，由正弦定理：AC/sinB=BC/sinAAC=BC*sinB/sinA=6*sin60°/sin30°=6*(√3/2)/(1/2)=6√3AB=BC*sinA/sinB=6*sin30°/sin60°=6*(1/2)/(√3/2)=2√32.△ABC的外接圓半徑：R=a/(2sinA)=6/(2sin30°)=6/(2*1/2)=63.△ABC的面積：面積=1/2*AC*AB*sinB=1/2*6√3*2√3*√3/2=9√3解析51.燈塔A與觀測點B的距離：在△ABC中，由正弦定理：AB/sinC=BC/sinAAB=BC*sinC/sinA=4*sin45°/sin30°=4*(√2/2)/(1/2)=4√22.燈塔A與海岸線BC的距離：在直角△ABD中，AD=AB*sin30°=4√2*(1/2)=2√23.從燈塔A到海岸線BC的最短距離：最短距離=AD*cos30°=2√2*(√3/2)=√6解析61.函數(shù)的最小正周期：T=2π/ω=2π/32.函數(shù)的振幅、最大值和最小值：振幅=|A|=2最大值=A+k=2+1=3最小值=-A+k=-2+1=-13.函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間：3x+π/4∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]x∈[-3π/8+2kπ,π/8+2kπ]在[0,2π]上：[0,π/8]和[19π/24,2π]解析71.將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)+k的形式：g(x)=cos^2(x)-3sin(x)+2=1-sin^2(x)-3sin(x)+2=-sin^2(x)-3sin(x)+3令t=sin(x)，則y=-t^2-3t+3=-(t+3/2)^2+21/4t∈[-1,1]將sin(x)=-cos(x+π/2)代入：y=-cos^2(x+π/2)-3cos(x+π/2)+3=-cos^2(x+π/2)-3cos(x+π/2)+3化為余弦形式：y=3-3cos(x+π/2)-cos^2(x+π/2)=3-3cos(x+π/2)-(1+cos(2x+π))=2-3cos(x+π/2)-cos(2x)2.函數(shù)的最小正周期：T=2π3.函數(shù)的振幅、最大值和最小值：振幅=3最大值=2+3=5最小值=2-3=-14.函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的零點：令g(x)=0-cos^2(x)-3cos(x)+3=0(cos(x)+1)(cos(x)-3)=0cos(x)=-1x=π解析81.函數(shù)的振幅、周期和初相：振幅=√(√3^2+(-1)^2)=√4=2周期=2π/1=2π初相=-π/62.將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)+k的形式：h(x)=√3cos(x)-cos(x)=2cos(x-π/6)3.函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間：x-π/6∈[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]x∈[2π/3+2kπ,5π/3+2kπ]在[0,2π]上：[2π/3,5π/3]4.函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的最大值和最小值：最大值=2最小值=-2解析91.函數(shù)的最小正周期：T=2π/2=π2.將函數(shù)化為y=Acos(ωx+φ)+k的形式：p(x)=sin(x)+2cos(2x)=sin(x)+2(2cos^2(x)-1)=sin(x)+4cos^2(x)-2令t=cos(x)，則y=sin(x)+4t^2-2=√(1-t^2)+4t^2-2將sin(x)=cos(π/2-x)代入：y=cos(π/2-x)+4cos^2(x)-2=cos(π/2-x)+4cos^2(x)-2化為余弦形式：y=cos(π/2-x)+4cos^2(x)-2=cos(π/2-x)+4cos^2(x)-23.函數(shù)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值：最大值=3最小值=-14.函數(shù)在區(qū)間[0,π]上的零點：令p(x)=0sin(x)+2cos(2x)=0sin(x)+2(2cos^2(x)-1)=0sin(x)+4cos^2(x)-2=0sin(x)=-4cos^2(x)+2sin(x)=-4(1-sin^2(x))+25sin^2(x)-sin(x)-2=0(sin(x)-2)(5sin(x)+1)=0sin(x)=2（舍去）或sin(x)=-1/5x=arcsin(-1/5)解析101.AP的長度：在△APB中，由余弦定理：AB^2=AP^2+BP^2-2AP*BP*cos60°16=AP^2+BP^2-AP*BP又AP^2+BP^2=(AP+BP)^2-2AP*BP=16解得AP=42.PB的長度：由正弦定理：AP/sinB=AB/sinA4/sin60°=4/sin45°BP=√8=2√23.△APB的面積：面積=1/2*AP*BP*sin60°=1/2*4*2√2*√3/2=2√6解析111.DE的長度：在△ADE中，由正弦定理：DE/sin60°=AD/sin45°DE=AD*sin60°/sin45°=(√2/2)*(√3/2)/(√2/2)=√3/22.△ADE的面積：面積=1/2*AD*DE*sin45°=1/2*√2*√3/2*√2/2=√6/43.△ADE與△ABC的重心距離：重心到頂點的距離=2/3*高高=AC*sin60°=4*√3/2=2√3距離=2/3*2√3=4√3/3解析121.AP的長度：在△APB中，由正弦定理：AB/sin60°=AP/sin45°4/sin60°=AP/sin45°AP=4*sin45°/sin60°=4*(√2/2)/(√3/2)=4√6/32.PC的長度：在△APC中，由余弦定理：AC^2=AP^2+PC^2-2AP*PC*cos60°16=(4√6/3)^2+PC^2-(4√6/3)*PC解得PC=4√6/33.△APC的面積：面積=1/2*AP*PC*sin60°=1/2*(4√6/3)*(4√6/3)*√3/2=16√2解析131.DE的長度：在△ADE中，由正弦定理：DE/sin60°=AD/sin45°DE=AD*sin60°/sin45°=AD*(√3/2)/(√2/2)=AD*√6/22.AD的長度：△ADE面積=1/3*△ABC面積1/2*AD*D