27.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系（重點練）一、單選題1．（2019·全國全國·九年級單元測試）下列說法正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦B．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角C．相等的圓心角所對的弧相等D．若一條直線與一個圓有公共點，則二者相交【答案】B【分析】利用圓與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、圓周角定理等有關(guān)圓的知識進(jìn)行判斷即可【詳解】A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項錯誤；B、半圓或直徑所對的圓周角是直角，故本選項正確；C、同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項錯誤；D、若一條直線與一個圓有公共點，則二者相交或相切，故本選項錯誤，故選B．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理.能清楚的知道每個定理的條件和它對應(yīng)的結(jié)論是解題的關(guān)鍵.2．（2019·全國全國·九年級課時練習(xí)）在中，，，，以點C為圓心，2cm長為半徑的圓與AB的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】C【分析】先利用勾股定理求得AB的長，再利用三角形的面積公式求得點C到AB的距離，進(jìn)而判定圓與AB的位置關(guān)系.【詳解】解：在中，，，，∴，∴點C到AB的距離=，則該圓與AB的位置關(guān)系是相離.故選C.【點睛】本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系，勾股定理，三角形的面積公式等，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.3．（2018·山東萊州·九年級期末）如圖，兩個圓都以點O為圓心，大圓的弦AB與小圓相切，已知AB=10cm，則兩圓形成的圓環(huán)的面積等于（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OC、OA，構(gòu)造出Rt△AOC，求出的值，再乘以π即為環(huán)形的面積．【詳解】連接OC、OA，則OC⊥AB，在Rt△AOC中，=25環(huán)形的面積為故選B.【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于求出的值4．（2021·浙江杭州·九年級期末）下列命題中是真命題的為（）A．弦是直徑B．直徑相等的兩個圓是等圓C．平面內(nèi)的任意一點不在圓上就在圓內(nèi)D．一個圓有且只有一條直徑【答案】B【分析】根據(jù)圓的相關(guān)概念逐個判斷排除.【詳解】解：弦不一定是直徑，A是假命題；直徑相等的兩個圓是等圓，B是真命題；平面內(nèi)的任意一點在圓上、圓內(nèi)或圓外，C是假命題；一個圓有無數(shù)條直徑，D是假命題；故選B．【點睛】本題考查圓的弦、直徑、平面內(nèi)點與圓的位置關(guān)系等概念.5．（2020·江西贛州·九年級月考）已知半徑為10的⊙O和直線l上一點A，且，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相交或相離 D．相切或相交【答案】D【分析】分兩種情況討論：OA垂直l和OA不垂直l，再根據(jù)OA與半徑的大小比較的結(jié)果來確定位置關(guān)系．【詳解】解：若OA⊥l，則圓心O到直線l的距離就是OA的長，又∵OA=10=r，∴直線l與⊙O相切；若OA與直線l不垂直，根據(jù)垂線段最短，圓心O到直線l的距離小于10，即小于半徑，所以直線l與⊙O相交；故選：D．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離d的大小與半徑r的大小關(guān)系解題，注意分情況討論．6．（2019·江蘇·江陰市祝塘中學(xué)九年級月考）一點到某圓的最小距離為4，最大距離為9，則該圓的半徑是（）A．2.5或6.5 B．2.5 C．6.5 D．5或13【答案】A【分析】本題應(yīng)分為兩種情況來討論，關(guān)鍵是得出：當(dāng)點在圓內(nèi)時，直徑=最近點的距離+最遠(yuǎn)點的距離；當(dāng)點在定圓外時，直徑=最遠(yuǎn)點的距離-最近點的距離．【詳解】解：應(yīng)分兩種情況討論：

①當(dāng)點在圓內(nèi)時，最近點的距離為4，最遠(yuǎn)點的距離為9，則直徑=最近點的距離+最遠(yuǎn)點的距離，即：直徑=4+9=13，因而半徑是6.5；

②當(dāng)點在圓外時，最近點的距離為4，最遠(yuǎn)點的距離為9，則直徑=最遠(yuǎn)點的距離-最近點的距離=9-4=5，因而半徑是2.5．

故選A．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．7．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點A為圓心作圓，如果圓A與線段BC沒有公共點，那么圓A的半徑r的取值范圍是()A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5【答案】D【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時有一交點，再結(jié)合圖形即可得出答案．【詳解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點A為圓心作圓，當(dāng)圓A的半徑0＜r＜3或r＞5時，圓A與線段BC沒有公共點；故選D．【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，從而得出答案．8．（2019·江蘇鹽城·九年級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB經(jīng)過A（4，0）、B（0，4），⊙O的半徑為2（O為坐標(biāo)原點），點P是直線AB上的一動點，過點P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點，則切線長PQ的最小值為（）A．7 B．22﹣1 C．2 D．32【答案】C【分析】連接OP、OQ，根據(jù)勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，【詳解】解：如圖，連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；由勾股定理知PQ∵當(dāng)PO⊥AB時，線段PQ最短；又∵A（4，0）、B（0，4），∴OA＝OB＝4，∴AB＝∴OP=1∵OQ＝2，∴PQ＝故選C．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識點．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角來解決有關(guān)問題．9．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級期末）如圖，是的外接圓，過點作的切線，且，點、分別在、上，且.若的半徑為，，則的長為（）A．4 B．5 C． D．【答案】D【分析】首先連接OA，并反向延長交CD于點H，連接OC，由直線AD與相切于點A，，可求得OH的長，然后勾股定理求得AC的長，又由可證得EF=AC，進(jìn)而求得答案.【詳解】解：連接OA，并反向延長交CD于點H，連接OC∵直線AD與相切于點A∴AH⊥AD又∵∴AH⊥BC∴∵的半徑為根據(jù)勾股定理：∴根據(jù)勾股定理：∵∴∴∴故選D【點睛】本題考查了圓的知識點的綜合應(yīng)用，難度較大，熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì)定理、利用轉(zhuǎn)化思想是解答本題的關(guān)鍵.二、填空題10．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為x的圓，使點A、B、C三點都在圓外，則x的取值范圍是______．【答案】0＜x＜3【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進(jìn)行判斷．當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上；當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．【詳解】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，則BD==5．∵點A、B、C三點都在圓外，∴0＜x＜3．故答案為0＜x＜3.【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及點與圓的位置關(guān)系．11．（2019·浙江·九年級月考）已知⊙O的面積為9π，若PO=4，則點P在圓__．【答案】外【分析】先求出圓的半徑，再根據(jù)點和圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：設(shè)⊙O的半徑為r，∵⊙O的面積為9π，∴，解得r=3.∵PO=4＞3，∴點P在圓外.【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，判斷點和圓的位置關(guān)系時，關(guān)鍵是比較點到圓心的距離與圓的半徑的大小，再根據(jù)大小關(guān)系進(jìn)行作答.若點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則d＞r時，點在圓外，當(dāng)d=r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi).12．（2019·江蘇·南京市第二十九中學(xué)九年級月考）如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交它的外接圓于D、E兩點．若∠B=24°，∠C=106°，則的度數(shù)為____【答案】82°【分析】根據(jù)垂徑定理的推理可判斷DE為直徑，根據(jù)垂徑定理得到，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，連結(jié)OC、OA，如圖，再利用三角形內(nèi)角和計算出∠BAC=50°，利用圓周角定理得到∠EOC=∠BAC=50°，∠AOC=2∠B=48°，然后計算出∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)求解即可．【詳解】解：∵DE垂直平分BC，∴DE為直徑，，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，連結(jié)OC、OA，如圖，∵∠B=24°，∠C=106°，∴∠BAC=180°-24°-106°=50°，∴∠EOC=∠BAC=50°，∵∠AOC=2∠B=48°，∴∠AOD=180°-∠COE-∠AOC=180°-50°-48°=82°，∴的度數(shù)為82°．故答案為82°.【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．解決本題的關(guān)鍵是把求弧的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求弧所對的圓心角的度數(shù)．13．（2020·湖北武漢·九年級月考）已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C為圓心，以r為半徑作圓．若此圓與線段AB只有一個交點，則r的取值范圍為_____．【答案】3＜r≤4或r＝．【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出相切時有一交點，再結(jié)合圖形得出另一種有一個交點的情況，即可得出答案．【詳解】解：過點C作CD⊥AB于點D，∵AC＝3，BC＝4．∴AB＝5，如果以點C為圓心，r為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點，當(dāng)直線與圓相切時，d＝r，圓與斜邊AB只有一個公共點，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，當(dāng)直線與圓如圖所示也可以有一個交點，∴3＜r≤4，故答案為3＜r≤4或r＝．【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，從而得出答案，此題比較容易漏解．14．（2020·江蘇昆山·九年級月考）如圖，為外一點，、分別切于、，切于點，分別交，于點、，若的周長為24，的半徑是5，則點到圓心的距離______．【答案】13.【分析】根據(jù)切線長定理和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：、切于、，；同理，可得：，；的周長為24，∴PC+DC+PD=PC+CD+ED+PD=PA+PB，，，連接，，，，故答案為：13．【點睛】此題主要考查的是切線長定理的應(yīng)用．能夠?qū)⒌闹荛L轉(zhuǎn)換為切線、的長是解答此題的關(guān)鍵．15．（2020·內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬秋實中學(xué)九年級期中）在一個不透明的盒子里裝有4個標(biāo)有1，2，3，4的小球，它們形狀、大小完全相同．小明從盒子里隨機取出一個小球，記下球上的數(shù)字，作為點P的橫坐標(biāo)x，放回然后再隨機取出一個小球，記下球上的數(shù)字，作為點P的縱坐標(biāo)y．則點P在以原點為圓心，5為半徑的圓上的概率為_____．【答案】【分析】用列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，注意每一種情況出現(xiàn)的可能性是均等的，而點P在以原點為圓心，5為半徑的圓上的結(jié)果有2個，即(3，4)，(4，3)，由概率公式即可得出答案．【詳解】（1）由列表法列舉所有可能出現(xiàn)的情況：∵點P在以原點為圓心，5為半徑的圓上的結(jié)果有2個，即(3，4)，(4，3)，∴點P在以原點為圓心，5為半徑的圓上的概率為故答案為．【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求等可能事件發(fā)生的概率，利用這種方法注意每一種情況出現(xiàn)的可能性是均等的．16．（2020·全國·九年級課時練習(xí)）圓心O到直線l的距離為d，的半徑為R，若d，R是方程的兩個根，則直線和圓的位置關(guān)系是________；若d，R是方程的兩個根，則________時，直線與圓相切.【答案】相離或相交【分析】（1）先求解方程得到兩個根，然后分情況討論即可；（2）根據(jù)切線的判定可得d=R，然后根據(jù)根的判別式△=0即可求得m的值.【詳解】解：（1）∵，∴，解得：x1=4，x2=5，∵d，R是方程的兩個根，當(dāng)d=4，R=5時，直線和圓的位置關(guān)系是相交；當(dāng)d=5，R=4時，直線和圓的位置關(guān)系是相離；（2）∵直線與圓相切，∴d=R，∵d，R是方程的兩個根，∴△=m2﹣4×2=0，解得，∵d，R均為正數(shù)，∴m=.故答案為(1).相離或相交；(2)..【點睛】本題主要考查圓和直線的位置關(guān)系，切線的判定，解一元二次方程及其根的判別式，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.17．（2021·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，為上一點，過點的切線交的延長線于點，為弦的中點，，，若點為直徑上的一個動點，連接，當(dāng)是直角三角形時，的長為__________．【答案】4或2.56．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的長，當(dāng)是直角三角形時，分∠AEP=90°和∠APE=90°兩種情況進(jìn)行討論,可求出AP長有2種情況.【詳解】解：連接BC過點的切線交的延長線于點，，，當(dāng)時，，經(jīng)過圓心，；當(dāng)時，則，，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°.∵∠BCD＝∠ABD，∠D是公共角，∴△BCD∽△ABD.∴，，，，，．綜上的長為4或2.56．故答案為4或2.56．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.18．（2021·江蘇·鹽城市第一初級中學(xué)九年級月考）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，，點在以為圓心，為半徑的⊙上，是的中點，若長的最大值為,則的值為__________．【答案】【分析】由三角形中位線的性質(zhì)可知BP長的最大值為3，此時BP過圓心C，過B作BD⊥x軸于D，設(shè)B(t，2t)，則CD=t+2，BD=?2t，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理即可求得t的值，再根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征即可求出k的值.【詳解】連接BP,由對稱性得:OA=OB,∵Q是AP的中點,∴OQ=12BP,∵OQ長的最大值為,∴BP長的最大值為×2=3,如圖,當(dāng)BP過圓心C時,BP最長,過B作BD⊥x軸于D,∵CP=1,∴BC=2,∵B在直線y=2x上,設(shè)B(t,2t),則CD=t?(?2)=t+2,BD=?2t,在Rt△BCD中,由勾股定理得:；BC2=CD2+BD2,∴22=(t+2)2+(?2t)2,t=0(舍)或?,∴B(?,?),∵點B在反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上,∴k=?×(?)=；故答案為．【點睛】本題考查了三角形的中位線，點與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，勾股定理及反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，求出點B的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵.19．（2019·全國全國·九年級單元測試）直線l與⊙O有兩個公共點A，B，O到直線l的距離為5cm，AB=24cm，則⊙O的半徑是______cm．【答案】13【分析】先作出圖形，利用垂徑定理構(gòu)造自己三角形，然后利用勾股定理即可解答．【詳解】如圖，∵AB=24cm，OD⊥AB，∴AD=BD=24×=12cm，又∵O到直線l的距離OD=5cm，根據(jù)勾股定理，OA==13cm．故答案為13．【點睛】本題涉及到垂徑定理和勾股定理，解答此類題目時一般要構(gòu)造直角三角形來解答．20．（2018·北京·九年級期末）下面是“作頂角為120°的等腰三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程．已知：△ABC，AB＝AC，∠A＝120°．求作：△ABC的外接圓．作法：（1）分別以點B和點C為圓心，AB的長為半徑作弧，兩弧的一個交點為O；（2）連接BO；（3）以O(shè)為圓心，BO為半徑作⊙O．⊙O即為所求作的圓．請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是_______．【答案】該尺規(guī)作圖的依據(jù)為：四邊相等的四邊形是菱形、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形、圓的定義．【分析】由作圖知AB=OB=OC=AC可判定四邊形ABOC為菱形，根據(jù)∠BAC=120°知∠BAO=∠CAO=60°，從而得∠BAO=∠CAO=60°，即△OAB、△OAC為等邊三角形，繼而由OB=OA=OC可得所求作的圓．【詳解】如圖，連接OA、OC，由作圖知BA=BO、OC=OA，∵AB=AC，∴AB=OB=OC=AC，∴四邊形ABOC為菱形（四邊形相等的四邊形是菱形），又∵∠BAC=120°，∴∠BAO=∠CAO=60°，則△OAB、△OAC為等邊三角形（有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形），∴OB=OA=OC，∴點A、B、C在以O(shè)為圓心、OB為半徑的圓上（圓的定義），綜上，該尺規(guī)作圖的依據(jù)為：四邊形相等的四邊形是菱形、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形、圓的定義．【點睛】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)及圓的定義．21．（2021·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點Q為CA延長線上一點，延長QD交BC于點P，連接OD．，若AQ＝AC，AD＝4時，寫出BP的長為_________．【答案】.【分析】連接，通過圓周角定理及推論證明是的切線；再根據(jù)切線長定理求得，連接，得到，根據(jù)平行線分線段長比例定理得到，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到，根據(jù)射影定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，，，，是的直徑，，，，，是切線；，為半徑．是切線，，連接，，，，，，，，是的中位線，，，，，，．故答案為：.【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線分線段長比例定理，三角形的中位線的性質(zhì)，射影定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題22．（2019·全國·九年級課時練習(xí)）已知：不在同一直線上的三個點A，B，C（如圖所示），求作，使它經(jīng)過點A，B，C．【分析】連接AB，BC.，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，作出邊AB、BC的垂直平分線相交于點O，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑，作出圓即可．【詳解】解：如圖，（1）連接AB，BC.（2）分別作線段AB，BC的垂直平分線DE，GF，DE與GF相交于點O，（3）以點O為圓心，·以O(shè)A長為半徑作圓.即為所要求作的圓【點睛】本題考查基本作圖，主要是線段垂直平分線的作法，需熟練掌握．23．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑做圓，與相切于點，過點作交的延長線于點，且．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）過點作于點，先由∠AOD=∠BAD推得∠ABD=∠OAD，再由∠BCO=∠D=90°及∠BOC=∠AOD推得∠OBC=∠OAD=∠ABD，最后證△BOC≌△BOE可得∠OEB=∠BCO=90°，最后根據(jù)切線的定義即可證明：（2）先證明∠EOA=∠ABC，在Rt△ABC中解三角形可得AC=24、A8=26，然后由切線長定理知BE=BC=10，進(jìn)一步求得BO；再證明，最后相似三角形的性質(zhì)列式求解即可．【詳解】解：（1）過點作于點，于點，，，，，，又為的切線，，，，，在和中，，，，，是的切線；（2），，，，，，則，由（1）知，，，，，，，，，，即，．【點睛】本題主要考查切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用，掌握切線的判定、切線長定理、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．24．（2019·寧夏·銀川市第三中學(xué)一模）如圖，中，，以為直徑作，點為上一點，且，連接并延長交的延長線于點．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的長．【答案】（1）是的切線，理由見解析；（2）【分析】（1）連接，已知，公共邊，半徑，則可證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到，即可證得是的切線．（2）設(shè)圓的半徑為r，在中用勾股定理可列方程，解得，再在和中分別表示，可得，最后在中用勾股定理即可計算出的長．【詳解】（1）是的切線，理由如下：連接．∵，，，∴，∴，∴，∴是的切線．（2）解：設(shè)的半徑為．在中，∵，∴，∴，∴,∵，∴，∴，在中，．【點睛】本題考查圓的切線，需要用到全等三角形、三角函數(shù)、勾股定理的知識，掌握圓的基本性質(zhì)為解題關(guān)鍵．25．（2021·廣東深圳·一模）如圖1，AB是⊙O的直徑，點P在⊙O上，且PA=PB，點M是⊙O外一點，MB與⊙O相切于點B，連接OM，過點A作AC∥OM交⊙O于點C，連接BC交OM于點D．（1）填空：OD=AC；求證：MC是⊙O的切線；（2）若OD=9，DM=16，連接PC，求sin∠APC的值；（3）如圖2，在（2）的條件下，延長OB至N，使BN=，在⊙O上找一點Q，使得的值最小，請直接寫出其最小值為．【答案】（1）；證明見解析；（2）sin∠APC=；（3）=．【分析】（1）先證明△BOD～△BAC，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可，連接OC，先利用切線的性質(zhì)得到∠OBM=90°，然后依據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠BOM=∠COM，然后利用SAS證明△OCM≌△OBM，由全等三角形的性質(zhì)可得到∠OCM=∠OBM=90°；（2）根據(jù)，得出CD=BD=12，再根據(jù)解直角三角形得出結(jié)果即可;（3）在OM上取點D，使,得出恒成立，再根據(jù)當(dāng)D、Q、N共線時，DQ+QN最小求解即可．【詳解】解：（1）∵AC∥OM，

∴△BOD～△BAC，

∴．

∴OD=AC．連接OC，∵AC∥OM，

∴∠OAC=∠BOM，∠ACO=∠COM，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠ACO

∴∠BOM=∠COM，

在∴△OCM與△OBM中，，

∴△OCM≌△OBM；

又∵M(jìn)B是⊙O的切線，

∴∠OCM=∠OBM=90°，

∴MC是⊙O的切線；（2）∵M(jìn)B，MC是⊙O的切線，∴OM⊥BC,∴∠ODB=∠ODC＝90°,∵OC⊥MC,∴∠OCM=90°，∴∠COM=∠DCM,∴,∴，∴,∴CD=BD=12，在RTBOD中，OB=,∴,∴；（3）AB=30，OM=25，BM=20，OQ=OB=15，∵,∴OM上取點D，使，∴OD=9,D為定點，∵,且,∴恒成立，∴求的值最小，相當(dāng)于求DQ+QN最小，∴當(dāng)D、Q、N共線時，DQ+QN最小，∴NQ+MQ=DN,作DH⊥ON于點H,可得OH=,,∴NH=15-,∴DH=，即NQ+MQ的最小值為．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（2020·湖北嘉魚·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F(xiàn)兩點，過點F作FG⊥AB于點G．（1）試判斷FG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC=6，CD＝5，求FG的長．【答案】（1）與相切，證明見詳解；（2）【分析】（1）如圖，連接OF，DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD，由CD為直徑，得到DF⊥BC，得到F為BC中點，證明OF∥AB，進(jìn)而證明GF⊥OF，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出BC，BF,根據(jù)三角函數(shù)sinB的定義即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）答：與相切．證明：連接OF，DF，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD=BD=，∵CD為⊙O直徑，∴DF⊥BC，∴F為BC中點，∵OC=OD，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，∴為的切線；（2）∵CD為Rt△ABC斜邊上中線，∴AB=2CD=10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴BC=，∴BF=，∵FG⊥AB，∴sinB=，∴，∴．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，三角形的中位線，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（2018·四川涼山·模擬預(yù)測）在中，，以為直徑的圓交于，交于.過點的切線交的延長線于．求證：是的切線．【分析】連接OE，由OB=OD和AB=AC可得，則OF∥AC，可得，由圓周角定理和等量代換可得，由SAS證得，從而得到，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∵∴，則，∴，∴，即，在和中，∵，∴，∴∵是的切線，則，∴，∴，則，∴是的切線．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和判定、圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2021·湖南衡陽·九年級期末）如圖，AB為半圓O的直徑，點C在半圓上，過點O作BC的平行線交AC于點E，交過點A的直線于點D，且∠D=∠BAC（1）求證：AD是半圓O的切線；（2）求證：△ABC∽△DOA；（3）若BC=2，CE=，求AD的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）要證AD是半圓O的切線只要證明∠DAO=90°即可；（2）根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可得證；（3）先求出AC、AB、AO的長，由第（2）問的結(jié)論△ABC∽△DOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例可得到AD的長．【詳解】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴∠AOD+∠BAC=90°，又∵∠D=∠BAC，∴∠AOD+∠D=90°，∴∠OAD=90°，∴AD⊥OA，∴AD是半圓O的切線；（2）證明：由（1）得∠ACB=∠OAD=90°，又∵∠D=∠BAC，∴△ABC∽△DOA；（3）解：∵O為AB中點，OD∥BC，∴OE是△ABC的中位線，則E為AC中點，∴AC=2CE，∵BC=2，CE=，∴AC=∴AB=，∴OA=AB=，由（2）得：△ABC∽△DOA，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．同時考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．29．（2020·全國·九年級課時練習(xí)）的斜邊，直角邊，圓心為C，半徑為2cm和3cm的兩個圓和與直線AB有怎樣的位置關(guān)系？半徑為多少時，AB與相切？【答案】與AB相離；與AB相交；當(dāng)半徑為時，AB與相切.【分析】過點C作于點D，利用勾股定理求得BC的長，再利用三角形的面積公式求得CD的長，進(jìn)而判定圓和與AB的位置關(guān)系，根據(jù)切線的判定得到的半徑.【詳解】解：如圖，過點C作于點D.在中，，，由面積公式，得，，，與AB相離；，與AB相交；當(dāng)半徑為時，AB與相切.【點睛】本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系，切線的判定，勾股定理等，解此題的關(guān)鍵在于熟