高中競賽知識試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.復數(shù)\(z=3-4i\)，則\(\vertz\vert\)等于（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(7\)3.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，則\(a_7\)的值為（）A.\(11\)B.\(13\)C.\(15\)D.\(17\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,x)\)，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(4\)D.\(-4\)5.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(x-y-1=0\)B.\(x+y-1=0\)C.\(2x-y-2=0\)D.\(2x+y-2=0\)6.若\(\log_a\frac{2}{3}\lt1\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），則\(a\)的取值范圍是（）A.\((0,\frac{2}{3})\)B.\((\frac{2}{3},1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((0,\frac{2}{3})\cup(1,+\infty)\)7.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，則\(z=2x-y\)的最大值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)8.從\(5\)名男生和\(3\)名女生中選\(3\)人參加活動，至少有\(zhòng)(1\)名女生的選法有（）種A.\(25\)B.\(46\)C.\(56\)D.\(70\)9.橢圓\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的離心率為（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{4}{5}\)D.\(\frac{3}{5}\)10.已知\(a=\log_3\pi\)，\(b=\log_{\pi}3\)，\(c=\log_3\sqrt{3}\)，則\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小關系是（）A.\(a\gtb\gtc\)B.\(a\gtc\gtb\)C.\(b\gta\gtc\)D.\(c\gta\gtb\)答案：1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.C8.B9.A10.A多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些函數(shù)是奇函數(shù)（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.一個正方體的棱長為\(a\)，以下說法正確的是（）A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的體對角線長為\(\sqrt{3}a\)D.正方體的面對角線長為\(\sqrt{2}a\)3.下列關于直線與圓的位置關系，說法正確的是（）A.直線\(x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交B.直線\(x+y-2=0\)與圓\((x-1)^2+(y-1)^2=1\)相切C.直線\(2x+y-1=0\)與圓\(x^2+y^2-2x-4y=0\)相離D.直線\(x=3\)與圓\((x-2)^2+y^2=1\)相切4.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)（\(\vert\varphi\vert\lt\frac{\pi}{2}\)），其圖象經過點\((\frac{\pi}{6},1)\)，則（）A.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{3}]\)上單調遞增C.\(f(x)\)的圖象關于點\((\frac{5\pi}{12},0)\)對稱D.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)5.以下屬于等比數(shù)列的性質有（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)B.\(S_n\)為前\(n\)項和，則\(S_n\)，\(S_{2n}-S_n\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)仍成等比數(shù)列（\(q\neq-1\)）C.等比數(shù)列的通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)D.等比數(shù)列所有項都不能為\(0\)6.關于二項式\((x+1)^n\)（\(n\inN^\)），以下說法正確的是（）A.展開式的通項公式為\(T_{r+1}=C_n^rx^{n-r}\)B.當\(n=5\)時，展開式中\(zhòng)(x^3\)的系數(shù)為\(10\)C.展開式中各項系數(shù)之和為\(2^n\)D.展開式中二項式系數(shù)最大的項一定是中間項7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(m,1)\)，\(\overrightarrow=(1,n)\)，則下列說法正確的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(mn=1\)B.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(m+n=0\)C.\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert=\sqrt{(m+1)^2+(n+1)^2}\)D.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=m+n\)8.以下哪些是對數(shù)函數(shù)的性質（）A.對數(shù)函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的定義域為\((0,+\infty)\)B.當\(a\gt1\)時，函數(shù)在\((0,+\infty)\)上單調遞增C.對數(shù)函數(shù)的圖象恒過點\((1,0)\)D.\(\log_aM+\log_aN=\log_a(MN)\)（\(a\gt0\)，\(a\neq1\)，\(M\gt0\)，\(N\gt0\)）9.對于函數(shù)\(y=\cos(2x-\frac{\pi}{3})\)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對稱C.在\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的值域為\([-\frac{1}{2},1]\)D.圖象可以由\(y=\cos2x\)向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位得到10.已知集合\(A=\{x\midx^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midax-1=0\}\)，若\(B\subseteqA\)，則\(a\)的值可以為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)答案：1.ABD2.ABCD3.ABD4.ACD5.ABCD6.ABC7.ACD8.ABCD9.ACD10.ABC判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）2.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x\midx\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）3.空間中，垂直于同一條直線的兩條直線一定平行。（）4.若\(z_1\)，\(z_2\)為復數(shù)，且\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)，則\(z_1=z_2\)。（）5.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)。（）6.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的長軸長為\(2a\)。（）7.函數(shù)\(y=e^x\)與\(y=\lnx\)的圖象關于直線\(y=x\)對稱。（）8.若直線\(l_1\)：\(A_1x+B_1y+C_1=0\)與直線\(l_2\)：\(A_2x+B_2y+C_2=0\)平行，則\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)。（）9.三角形的內角和為\(180^{\circ}\)，在空間中三棱錐的四個面的內角和也為\(360^{\circ}\)。（）10.二項式\((a+b)^n\)展開式的二項式系數(shù)之和為\(2^n\)。（）答案：1.×2.√3.×4.×5.×6.√7.√8.√9.×10.√簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域和值域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x-1\neq0\)，即\(x\neq1\)，定義域為\(\{x\midx\neq1\}\)。因為\(x\neq1\)，所以\(y\neq0\)，值域為\(\{y\midy\neq0\}\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，求其前\(n\)項和\(S_n\)的公式。答案：根據(jù)等差數(shù)列前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，將\(a_1=1\)，\(d=2\)代入可得\(S_n=n\times1+\frac{n(n-1)}{2}\times2=n^2\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)為第二象限角，求\(\cos\alpha\)的值。答案：根據(jù)\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，可得\(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)。因為\(\alpha\)為第二象限角，\(\cos\alpha\lt0\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}\)。討論題（每題5分，共4題）1.在高中數(shù)學中，函數(shù)這一板塊非常重要，討論一下函數(shù)的單調性在實際解題中的應用。答案：函數(shù)單調性可用于比較函數(shù)值大小，通過判斷函數(shù)在某區(qū)間單調性，比較自變量對應的函數(shù)值。還能求解不等式，將不等式轉化為函數(shù)值大小比較。在求最值問題中，利用單調性確定函數(shù)在區(qū)間端點或特殊點取得最值。2.立體幾何中，線面垂直的判定定理和性質定理在解題時如何靈活運用？答案：判定定理用于證明線面垂直，找到線與平面內兩條相交直線垂直即可得線面垂直。性質定理用于已知線面垂直時推導線線垂直等關系。解題時，要分析條件與結論，若要證線面垂直用判定，已有線面垂直則考慮性質來進一步推導。3.數(shù)列在生活