2025年數(shù)學(xué)之星的題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.化簡(jiǎn)：\((3x^2y)^3\)的結(jié)果是（）A.\(9x^6y^3\)B.\(27x^6y^3\)C.\(27x^5y^3\)D.\(9x^5y^3\)答案：B2.一次函數(shù)\(y=2x-3\)與\(y\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,-3)\)B.\((0,3)\)C.\((-3,0)\)D.\((3,0)\)答案：A3.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是\(720^{\circ}\)，則這個(gè)多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形答案：C4.若分式\(\frac{x-2}{x+3}\)的值為\(0\)，則\(x\)的值是（）A.\(x=2\)B.\(x=-3\)C.\(x=0\)D.\(x\neq-3\)答案：A5.已知\(\odotO\)的半徑為\(5\)，圓心\(O\)到直線\(l\)的距離為\(3\)，則直線\(l\)與\(\odotO\)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法確定答案：A6.數(shù)據(jù)\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)的中位數(shù)是（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(4.5\)答案：B7.計(jì)算\(\sqrt{12}-\sqrt{3}\)的結(jié)果是（）A.\(\sqrt{3}\)B.\(2\sqrt{3}\)C.\(3\sqrt{3}\)D.\(1\)答案：A8.拋物線\(y=x^2-4x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,-1)\)B.\((-2,1)\)C.\((-2,-1)\)D.\((2,1)\)答案：A9.若\(x_1\)，\(x_2\)是一元二次方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個(gè)根，則\(x_1+x_2\)的值是（）A.\(5\)B.\(-5\)C.\(6\)D.\(-6\)答案：A10.如圖，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(AB=10\)，則\(BC\)的長(zhǎng)是（）A.\(6\)B.\(8\)C.\(3\)D.\(4\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^2\cdota^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^6\)C.\(a^6\diva^2=a^4\)D.\((ab)^3=a^3b^3\)答案：ABCD2.以下函數(shù)中，\(y\)隨\(x\)的增大而增大的函數(shù)有（）A.\(y=3x\)B.\(y=-2x+1\)C.\(y=\frac{1}{2}x-3\)D.\(y=-x-2\)答案：AC3.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的有（）A.線段B.等腰三角形C.平行四邊形D.圓答案：ABD4.下列方程中，是一元二次方程的有（）A.\(x^2+3x-1=0\)B.\(x^2+1=0\)C.\(x^2+\frac{1}{x}=0\)D.\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）答案：ABD5.一個(gè)不透明的袋子中裝有\(zhòng)(3\)個(gè)紅球和\(2\)個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，從中隨機(jī)摸出\(2\)個(gè)球，下列事件是必然事件的有（）A.至少有\(zhòng)(1\)個(gè)紅球B.至少有\(zhòng)(1\)個(gè)白球C.至少有\(zhòng)(2\)個(gè)紅球D.至少有\(zhòng)(2\)個(gè)球答案：AD6.下列命題中，是真命題的有（）A.對(duì)頂角相等B.同位角相等C.三角形的內(nèi)角和是\(180^{\circ}\)D.直角三角形的兩個(gè)銳角互余答案：ACD7.如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，下列結(jié)論正確的是（）A.\(AB=CD\)B.\(AD=BC\)C.\(\angleA=\angleC\)D.\(\angleA+\angleB=180^{\circ}\)答案：ABCD8.已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小，則\(k\)的值可以是（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(3\)D.\(-3\)答案：AC9.若二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((-1,0)\)，\((3,0)\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)稱軸是直線\(x=1\)B.\(a+b+c=0\)C.\(4a+2b+c=0\)D.\(9a+3b+c=0\)答案：AD10.下列因式分解正確的是（）A.\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)B.\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)C.\(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\)D.\(2x^2-8=2(x^2-4)\)答案：ABC三、判斷題1.\(0\)的算術(shù)平方根是\(0\)。（）答案：√2.所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。（）答案：√3.三角形的外角和是\(360^{\circ}\)。（）答案：√4.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（）答案：×（當(dāng)\(c=0\)時(shí)，\(ac^2=bc^2=0\)）5.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。（）答案：√6.二次函數(shù)\(y=x^2\)的圖象開(kāi)口向上。（）答案：√7.分式方程\(\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}\)的解是\(x=3\)。（）答案：√8.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直。（）答案：×（一般平行四邊形對(duì)角線不互相垂直，特殊的如菱形、正方形對(duì)角線互相垂直）9.數(shù)據(jù)\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)的方差是\(2\)。（）答案：√10.若\(\sinA=\frac{1}{2}\)，則\(\angleA=30^{\circ}\)。（）答案：×（在\(0^{\circ}\ltA\lt180^{\circ}\)范圍內(nèi)，\(\sinA=\frac{1}{2}\)時(shí)，\(A=30^{\circ}\)或\(150^{\circ}\)）四、簡(jiǎn)答題1.先化簡(jiǎn)，再求值：\((x+2)^2-(x+1)(x-1)\)，其中\(zhòng)(x=\frac{1}{2}\)。答案：先化簡(jiǎn)：\[\begin{align}&(x+2)^2-(x+1)(x-1)\\=&x^2+4x+4-(x^2-1)\\=&x^2+4x+4-x^2+1\\=&4x+5\end{align}\]當(dāng)\(x=\frac{1}{2}\)時(shí)，代入\(4x+5\)得：\(4\times\frac{1}{2}+5=2+5=7\)。2.解不等式組：\(\begin{cases}2x+1\gt-1\\3-x\geq1\end{cases}\)答案：解不等式\(2x+1\gt-1\)，移項(xiàng)得\(2x\gt-1-1\)，即\(2x\gt-2\)，兩邊同時(shí)除以\(2\)得\(x\gt-1\)。解不等式\(3-x\geq1\)，移項(xiàng)得\(-x\geq1-3\)，即\(-x\geq-2\)，兩邊同時(shí)乘以\(-1\)，不等號(hào)變向得\(x\leq2\)。所以不等式組的解集為\(-1\ltx\leq2\)。3.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的\(3\)倍少\(180^{\circ}\)，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。答案：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為\(n\)。多邊形外角和為\(360^{\circ}\)，內(nèi)角和公式為\((n-2)\times180^{\circ}\)。由題意可得\((n-2)\times180=3\times360-180\)，\((n-2)\times180=1080-180\)，\((n-2)\times180=900\)，\(n-2=900\div180\)，\(n-2=5\)，\(n=5+2=7\)。所以這個(gè)多邊形是七邊形。4.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\)是\(BC\)邊上的中線，\(\angleBAC=100^{\circ}\)，求\(\angleB\)和\(\angleBAD\)的度數(shù)。答案：因?yàn)閈(AB=AC\)，所以\(\triangleABC\)是等腰三角形。等腰三角形兩底角相等，三角形內(nèi)角和為\(180^{\circ}\)，所以\(\angleB=\angleC=(180^{\circ}-\angleBAC)\div2=(180^{\circ}-100^{\circ})\div2=40^{\circ}\)。因?yàn)閈(AD\)是\(BC\)邊上的中線，等腰三角形三線合一，所以\(AD\)也是\(\angleBAC\)的平分線，則\(\angleBAD=\frac{1}{2}\angleBAC=\frac{1}{2}\times100^{\circ}=50^{\circ}\)。五、討論題1.在一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）中，\(k\)和\(b\)的取值對(duì)函數(shù)圖象有怎樣的影響？請(qǐng)舉例說(shuō)明。答案：\(k\)決定函數(shù)圖象的增減性，當(dāng)\(k\gt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大，例如\(y=2x+1\)，\(x\)增大時(shí)\(y\)也增大；當(dāng)\(k\lt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小，如\(y=-3x+2\)。\(b\)決定函數(shù)圖象與\(y\)軸的交點(diǎn)位置，\(b\gt0\)時(shí)，圖象與\(y\)軸交于正半軸，如\(y=x+3\)與\(y\)軸交于\((0,3)\)；\(b\lt0\)時(shí)，圖象與\(y\)軸交于負(fù)半軸，如\(y=4x-5\)與\(y\)軸交于\((0,-5)\)；\(b=0\)時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)，如\(y=5x\)。2.對(duì)于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），我們學(xué)習(xí)了多種解法，如直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法，請(qǐng)選擇一種方程并說(shuō)明用不同方法求解的過(guò)程及思路。答案：以方程\(x^2-4x-5=0\)為例。因式分解法：原方程可化為\((x-5)(x+1)=0\)，則\(x-5=0\)或\(x+1=0\)，解得\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)，思路是將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式乘積，令每個(gè)因式為\(0\)求解。配方法：移項(xiàng)得\(x^2-4x=5\)，配方\(x^2-4x+4=5+4\)，即\((x-2)^2=9\)，開(kāi)方得\(x-2=\pm3\)，解得\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)，思路是將方程左邊配成完全平方式，再開(kāi)方求解。公式法：這里\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=-5\)，先算\(\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times1\times(-5)=36\)，再代入求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)，得\(x=\frac{4\pm\sqrt{36}}{2}\)，解得\(x_1=5\)，\(x_2=-1\)，思路是先確定系數(shù)，算判