2025年最難競賽初中題目及答案

一、單項選擇題1.在平面直角坐標系中，點\(A(x,y)\)滿足\(x+y=10\)，且\(x\)、\(y\)均為正整數(shù)，\(A\)點到原點\(O\)的距離的最小值是（）A.\(4\sqrt{5}\)B.\(5\sqrt{2}\)C.\(2\sqrt{13}\)D.\(5\sqrt{5}\)答案：C2.若關(guān)于\(x\)的分式方程\(\frac{x}{x-3}-\frac{m}{3-x}=2\)有增根，則\(m\)的值為（）A.\(3\)B.\(-3\)C.\(\frac{3}{2}\)D.\(-\frac{3}{2}\)答案：A3.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(3\)倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A.\(7\)B.\(8\)C.\(9\)D.\(10\)答案：B4.已知二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖象如圖所示，對稱軸為直線\(x=1\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(abc\gt0\)B.\(2a+b=0\)C.\(b^{2}-4ac\lt0\)D.\(a-c\gt0\)答案：B5.如圖，在\(\odotO\)中，弦\(AB=8\)，半徑\(OC\perpAB\)于點\(D\)，且\(OD=3\)，則\(\odotO\)的半徑為（）A.\(5\)B.\(6\)C.\(8\)D.\(10\)答案：A6.已知\(a\)、\(b\)滿足\(a^{2}+b^{2}-4a-6b+13=0\)，則\(a+b\)的值為（）A.\(3\)B.\(5\)C.\(7\)D.\(9\)答案：C7.不等式組\(\begin{cases}2x+1\gt-1\\3x-5\leq1\end{cases}\)的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A.略B.略C.略D.略答案：略（按正確數(shù)軸表示選）8.把多項式\(x^{3}-4x\)分解因式的結(jié)果是（）A.\(x(x^{2}-4)\)B.\(x(x+2)(x-2)\)C.\(x(x-2)^{2}\)D.\(x(x+2)^{2}\)答案：B9.若\(\sqrt{x-3}+\verty+2\vert=0\)，則\((x+y)^{2025}\)的值為（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(2025\)D.\(-2025\)答案：A10.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD:DB=1:2\)，則\(\triangleADE\)與\(\triangleABC\)的面積比為（）A.\(1:2\)B.\(1:4\)C.\(1:9\)D.\(1:16\)答案：C二、多項選擇題1.下列運算正確的是（）A.\(a^{2}\cdota^{3}=a^{5}\)B.\((a^{2})^{3}=a^{6}\)C.\((ab)^{3}=a^{3}b^{3}\)D.\(a^{6}\diva^{2}=a^{4}\)答案：ABCD2.以下關(guān)于一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的說法正確的是（）A.當\(k\gt0\)，\(b\gt0\)時，函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、三象限B.當\(k\gt0\)，\(b\lt0\)時，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三、四象限C.當\(k\lt0\)，\(b\gt0\)時，函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限D(zhuǎn).當\(k\lt0\)，\(b\lt0\)時，函數(shù)圖象經(jīng)過二、三、四象限答案：ABCD3.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.圓答案：ABCD4.已知三角形的三邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，且滿足\(a^{2}+b^{2}-c^{2}=ab\)，則以下說法正確的是（）A.這個三角形是直角三角形B.這個三角形是等腰三角形C.\(\cosC=\frac{1}{2}\)D.\(C=60^{\circ}\)答案：CD5.關(guān)于反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），下列說法正確的是（）A.當\(k\gt0\)時，函數(shù)圖象在一、三象限B.當\(k\lt0\)時，函數(shù)圖象在二、四象限C.若點\((1,-k)\)在函數(shù)圖象上，則\(k\lt0\)D.若點\((x_{1},y_{1})\)、\((x_{2},y_{2})\)在函數(shù)圖象上，且\(x_{1}\ltx_{2}\lt0\)，則\(y_{1}\lty_{2}\)答案：ABC6.以下能判定四邊形\(ABCD\)是平行四邊形的條件有（）A.\(AB\parallelCD\)，\(AD=BC\)B.\(AB=CD\)，\(AD=BC\)C.\(\angleA=\angleC\)，\(\angleB=\angleD\)D.\(AB\parallelCD\)，\(AB=CD\)答案：BCD7.若一元二次方程\(x^{2}-2x+m=0\)有兩個不相等的實數(shù)根，則\(m\)的值可以是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)答案：AC8.下列命題中，真命題有（）A.對頂角相等B.同位角相等C.三角形的內(nèi)角和是\(180^{\circ}\)D.直角三角形的兩個銳角互余答案：ACD9.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，垂足分別為\(E\)、\(F\)，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(DE=DF\)B.\(AE=AF\)C.\(AD\)垂直平分\(EF\)D.\(\triangleBDE\cong\triangleCDF\)答案：ABCD10.已知\(a\)、\(b\)、\(c\)是\(\triangleABC\)的三邊，且滿足\((a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0\)，則\(\triangleABC\)的形狀可能是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形答案：ABC三、判斷題1.無限小數(shù)都是無理數(shù)。（×）2.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。（×）3.二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），當\(a\gt0\)時，函數(shù)圖象開口向上，\(y\)隨\(x\)的增大而增大。（×）4.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。（√）5.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（×）6.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。（√）7.兩個銳角分別相等的兩個直角三角形全等。（×）8.分式\(\frac{x+1}{x^{2}-1}\)的值為\(0\)時，\(x=-1\)。（×）9.不等式\(3x-1\gt2x+1\)的解集是\(x\gt2\)。（√）10.菱形的對角線互相垂直且相等。（×）四、簡答題1.先化簡，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^{2}-1})\div\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x+1}\)，其中\(zhòng)(x=2\)。答案：先對原式進行化簡，\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^{2}-1})\div\frac{x^{2}+x}{x^{2}+2x+1}=[\frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x+1)^{2}}=\frac{x^{2}+x-1}{(x+1)(x-1)}\cdot\frac{(x+1)^{2}}{x(x+1)}=\frac{x^{2}+x-1}{x(x-1)}\)。當\(x=2\)時，代入可得\(\frac{2^{2}+2-1}{2\times(2-1)}=\frac{4+2-1}{2}=\frac{5}{2}\)。2.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過點\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，求該一次函數(shù)的解析式。答案：把點\((1,3)\)和\((-1,-1)\)代入一次函數(shù)\(y=kx+b\)中，得到方程組\(\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\)。將兩式相加可得\(2b=2\)，解得\(b=1\)。把\(b=1\)代入\(k+b=3\)，得\(k+1=3\)，解得\(k=2\)。所以該一次函數(shù)的解析式為\(y=2x+1\)。3.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=8\)，\(BC=6\)，求\(\sinA\)、\(\cosA\)和\(\tanA\)的值。答案：首先根據(jù)勾股定理求出斜邊\(AB\)的長度，\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10\)。那么\(\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)，\(\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)，\(\tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)。4.已知關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}-2x+m=0\)有兩個實數(shù)根，求\(m\)的取值范圍。答案：對于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），其判別式\(\Delta=b^{2}-4ac\)。在方程\(x^{2}-2x+m=0\)中，\(a=1\)，\(b=-2\)，\(c=m\)。因為方程有兩個實數(shù)根，所以\(\Delta\geq0\)，即\((-2)^{2}-4\times1\timesm\geq0\)，\(4-4m\geq0\)，移項可得\(4\geq4m\)，解得\(m\leq1\)。五、討論題1.在平面直角坐標系中，拋物線\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖象與\(x\)軸交于\(A(x_{1},0)\)、\(B(x_{2},0)\)兩點（\(x_{1}\ltx_{2}\)），與\(y\)軸交于點\(C\)。請討論\(a\)、\(b\)、\(c\)的正負性對拋物線形狀、位置以及與坐標軸交點的影響。答案：當\(a\gt0\)時，拋物線開口向上；\(a\lt0\)時，開口向下。\(c\)決定拋物線與\(y\)軸交點位置，\(c\gt0\)時交\(y\)軸正半軸，\(c\lt0\)時交\(y\)軸負半軸，\(c=0\)時過原點。對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，\(a\)、\(b\)同號時對稱軸在\(y\)軸左側(cè)，異號時在右側(cè)。與\(x\)軸交點由判別式\(\Delta=b^{2}-4ac\)決定，\(\Delta\gt0\)有兩個交點，\(\Delta=0\)有一個交點，\(\Delta\lt0\)無交點。2.如圖，在四邊形\(ABCD\)中，\(AB=CD\)，\(AD=BC\)，請討論四邊形\(ABCD\)的性質(zhì)。答案：因為\(AB=CD\)，\(AD=BC\)，所以四邊形\(ABCD\)是平行四邊形。平行四邊形的性質(zhì)有：對邊平行且相等，即\(AB\parallelCD\)，\(AD\parallelBC\)，\(AB=CD\)，\(AD=BC\)；對角相等，\(\angleA=\angleC\)，\(\angleB=\angleD\)；對角線互相平分，設對角線\(AC\)、\(BD\)相交于點\(O\)，則\(AO=CO\)，\(BO=DO\)。這些性質(zhì)在解決與四邊形相關(guān)的計算和證明問題中有重要作用。3.在學習相似三角形時，我們知道相似三角形有多種判定方法。請討論相似三角形判定方法在實際解題中的應用思路和技巧。答案：相似三角形判定