拔高點(diǎn)突破03圓錐曲線背景下的新定義問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：定義新曲線.............................................................2

題型二：雙扭線.................................................................3

題型三：卡西尼卵形線...........................................................5

題型四：心形線.................................................................6

題型五：四葉草曲線.............................................................7

題型六：定義新圖形.............................................................9

題型七：定義新性質(zhì)............................................................11

題型八：綜合問題..............................................................13

03過關(guān)測試....................................................................15

亡法牯自與.柒年

//\\

圓錐曲線背景下的新定義問題，關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，并將其與常規(guī)圓錐曲線知識相結(jié)合。

方法總結(jié)如下：

1、明確新定義：首先仔細(xì)閱讀題目，明確新定義的內(nèi)容、符號及其含義。

2、聯(lián)系常規(guī)知識：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標(biāo)準(zhǔn)方程等常規(guī)知識聯(lián)系起來，找出它

們的相似之處或轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3、建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)新定義，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或方程，利用解析幾何或代數(shù)方法進(jìn)行求解。

4、驗(yàn)證與推理：在求解過程中，注意驗(yàn)證每一步推理的正確性，確保最終答案符合題目要求。

5、靈活應(yīng)用：對于復(fù)雜問題，可能需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識和方法，靈活應(yīng)對。

//

題型一：定義新曲線

【典例1-1】若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90。，所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn)，這樣的橢

圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）

A尤%丁,Rf+丁I「尤2尸2,D1

A.----1--------=1D.---------1--------=1U.------1--------=1U.---------1--------=1

84356269

【典例1-2］（多選題）泰戈?duì)栒f過一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星;

世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，卻在轉(zhuǎn)瞬間無處尋覓.已知點(diǎn)尸（1,0）,直線/:x=4,動點(diǎn)尸到

點(diǎn)尸的距離是點(diǎn)尸到直線1的距離的一半.若某直線上存在這樣的點(diǎn)尸，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則

下列結(jié)論中正確的是（）

22

A.點(diǎn)P的軌跡方程是上+乙=1

43

B.直線乙”+2丫-4=0是“最遠(yuǎn)距離直線”

C.平面上有一點(diǎn)A（-U）,則1PAi+2|尸尸|的最小值為5

D.點(diǎn)P的軌跡與圓C:/+y2-2x=0是沒有交匯的軌跡（也就是沒有交點(diǎn)）

【變式1-11（多選題）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新/og。.設(shè)計(jì)師的靈

II22

感來源于曲線C：kI"+|y廠=1.其中星形線E：|耶+1或=1常用于超輕材料的設(shè)計(jì)?則下列關(guān)于星形線說法

正確的是（）

A.E關(guān)于y軸對稱

B.E上的點(diǎn)到x軸、y軸的距離之積不超過:

O

c.E上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為:

D.曲線E所圍成圖形的面積小于2

題型二：雙扭線

【典例2-1]（多選題）（2024?高三?湖北鄂州?期末）中國結(jié)是一種手工編織工藝品，因?yàn)槠渫庥^對稱精致，

可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，故命名為中國結(jié).中國結(jié)的意義在于它所

顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側(cè)面，也是數(shù)學(xué)奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復(fù)雜曼妙的曲線，卻

可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結(jié)對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.曲線C：（f+y2『=9（尤2一?。┦?/p>

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.曲線C經(jīng)過5個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過3

D.若直線廣質(zhì)與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（F,T]U[L+<?）

【典例2-2】“四二一廣場”是重慶第一中學(xué)校的文化地標(biāo)（如圖1）,廣場中心的建筑形似火炬宛若花開，

三朵“花瓣”都是拓?fù)鋵W(xué)中的莫比烏斯帶（如圖2）.將莫比烏斯帶投影到平面上，會得到無窮大符號“8”.在

平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)線段AB長度為2a坐標(biāo)原點(diǎn)。為AB中點(diǎn)且點(diǎn)A,8均在x軸上，若動點(diǎn)

產(chǎn)滿足4Hp理=Y,那么點(diǎn)P的軌跡稱為雙紐線，其形狀也是無窮大符號“8”（如圖3）.若4=1,點(diǎn)、P

3

在第一象限且cos/POB=],則卜（）

圖1圖2圖3

A.-B.交C.J2D.2

22

【變式2-1］（2024?陜西榆林?三模）在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，把到定點(diǎn)耳（-a,。）,B（七。）距離之積等于

/（a>0）的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.若a=2,點(diǎn)P（%,%）為雙紐線C上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是

（）

①C關(guān)于x軸不對稱

②c關(guān)于y軸對稱

③直線y=x與c只有一個交點(diǎn)

④c上存在點(diǎn)P,使得|「耳|=|帆|

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2-2］在平面上，定點(diǎn)小居之間的距離|欣|=2c.曲線C是到定點(diǎn)耳、工距離之積等于

的點(diǎn)的軌跡.以點(diǎn)后、居所在直線為x軸，線段月月的中垂線為V軸，建立直角坐標(biāo)系.已知點(diǎn)P（尤0,%）是

曲線C上一點(diǎn)，下列說法中正確的有（）

①曲線C是中心對稱圖形：

②曲線C上有兩個點(diǎn)到點(diǎn)且、工距離相等；

③曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是-法；

④曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為0c

A.①②B.①③C,①③④D.①②③④

【變式2-3］（2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模）2022年卡塔爾世界杯中的數(shù)字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯

努利雙紐線.定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)￡（-?,0）/^（?,0）的距離之積等于片（a>0）的點(diǎn)的軌

跡稱為雙紐線C.已知網(wǎng)飛,%）是雙紐線C上的一點(diǎn)，下列說法錯誤的是（）

A.雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)。成中心對稱

aa

B.——<y<—

202

C.雙曲線C上滿足I尸團(tuán)=|尸閶的點(diǎn)尸有兩個

D.的最大值為缶

題型三：卡西尼卵形線

【典例3-1］（多選題）我們在解析幾何學(xué)習(xí)過程中知道橢圓、雙曲線定義分別是到兩定點(diǎn)距離之和、距離之

差的絕對值等于某個定值.天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)了到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)

的點(diǎn)的軌跡，我們稱之為卡西尼卵形線.已知兩定點(diǎn)耳（-2,0）,8（2,0）,動點(diǎn)尸（%%）滿足|尸￡卜|%|=4,

設(shè)P的軌跡為曲線C,則下列命題正確的是（）

A.曲線C過原點(diǎn)

B.P的橫坐標(biāo)最大值是2加

C.P的縱坐標(biāo)最大值是；

2

D.巾W21n（,+1）

【典例3-2】天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之積為常

數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線（CassiniOval）.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為耳（-。，。），居（c,。），點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)P（x,y）滿足忸用療聞=合且為常數(shù)），化簡得曲線及

222224

x+y+c=^xc+a.下列命題中正確序號是.

①曲線￡既是中心對稱又是軸對稱圖形；

②凰+|P用的最小值為2a；

③當(dāng)a=c時，/0|的最大值為缶；

④AEPB面積不大于:

【變式3-1】卵形線是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線，卡西尼卵形線是平面內(nèi)與兩個

定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）的距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.某同學(xué)類比橢圓與雙曲線對卡西尼卵形線進(jìn)行了相關(guān)性

質(zhì)的探究，設(shè)耳（-C,。），鳥（G。）是平面內(nèi)的兩個定點(diǎn)，I尸耳”PBI=a2（。是定長），得出卡西尼卵形線的

相關(guān)結(jié)論：①該曲線既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；②若。=。，則曲線過原點(diǎn)；③若。<a<c,則曲

線不存在；④若0<c<a,則合一。24/+/4/+。2.其中正確命題的序號是—.

【變式3-2］（2024?河南濮陽?模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱

為卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)尸（x,y）到兩個定點(diǎn)耳（-1,0）,鳥（1,0）的距離之積等于3,

化簡得曲線C：/+^+1=收+9,下列結(jié)論不正確的是（）

A.曲線C關(guān)于y軸對稱

B.|尸耳|+|尸段的最小值為23

3

C.△耳尸工面積的最大值為；

D.|。耳的取值范圍為［痣,2］

題型四：心形線

【典例4-1］（多選題）（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）數(shù)學(xué)家笛卡爾研究了很多曲線，傳說笛卡爾給公主克里

斯蒂娜寄的最后一封信上只有一個數(shù)學(xué)表達(dá)式：sin。），克里斯蒂娜用極坐標(biāo)知識畫出了該曲線圖

IX=Z"COS01------------

”，明白了笛卡爾的心意.已知利用關(guān)系式.〃和r=乒手可將信中表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的

曲線方程.如圖，該曲線圖象過點(diǎn)-2）,則（）

B.曲線經(jīng)過點(diǎn)

C.當(dāng)點(diǎn)（七,%）在曲線上時，一半Mx/當(dāng)

D.當(dāng)點(diǎn)在曲線上時，—24%4彳

【典例4-2］（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）“心形線”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，某研究小組用函數(shù)圖象：

2

G:y=4+J—V+4X，C2:y=4+y/-x-4x和拋物線C3：^=2py的部分圖象圍成了一個封閉的“心形線”,

過G焦點(diǎn)/的直線/交C3（包含邊界點(diǎn)）于A,8兩點(diǎn)，P是G或Q上的動點(diǎn)，下列說法正確的是（）

p

「o|X

A.拋物線C3的方程為C3:/=4y

B.|P8|+|F3|的最小值為5

C.S/AB的最大值為7

D.若尸在G上，則可.麗的最小值為T

【變式4-1］（多選題）（2024?高三?海南省直轄縣級單位?開學(xué)考試）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲

線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標(biāo)方程

可表示為V+_/+◎=“好”,°>0,圖形如圖所示.當(dāng)。=1時，點(diǎn)4（百,%）,￡（無2,%）在這條心形線C

上，且王々70,則下列說法正確的是（）

A.若西〃砥，則由閭=2

B.若西〃苑，貝U|O6Ho?=1

C.|。制+網(wǎng)<4

D.C上有4個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

題型五：四葉草曲線

【典例5-1］（2024.云南昆明.模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線C:（/+/1=4//被稱為

，幸運(yùn)四葉草曲線”（如圖所示）.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C關(guān)于直線＞=一不對稱；

②存在一個以原點(diǎn)為中心、邊長為1的正方形，使得曲線c在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；

③存在一個以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；

④曲線C上存在一個點(diǎn)M,使得點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離之積等于1.

其中，正確結(jié)論的序號是.

【典例5-2】（2024.云南昆明.模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線。:（/+/）3=4/3；2被稱為

“幸運(yùn)四葉草曲線''（如圖所示）.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C關(guān)于直線y=交于不同于原點(diǎn)。的兩點(diǎn)，則無1+%+%+%=0

②存在一個以原點(diǎn)為中心、邊長為1的正方形，使得曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）；

③存在一個以原點(diǎn)為中心、半徑為1的圓，使得曲線C在此圓面內(nèi)（含邊界）；

④曲線C上存在一個點(diǎn)使得點(diǎn)M到兩坐標(biāo)軸的距離之積大于3.

其中，正確結(jié)論的序號是.

【變式5-1］（2024?四川內(nèi)江?三模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如圖：四葉草曲線C就是其

中一種，其方程為（Y+Vy=尤2y2.給出下列四個結(jié)論:

①曲線C有四條對稱軸；

②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為:；

③在第一象限內(nèi)，過曲線C上一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積的最大值為看;

O

④四葉草面積小于5.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【變式5-2］（多選題）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方

程為（―+/丫=fy2,則（）

A.曲線C有兩條對稱軸

B.曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為;

C.曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積最大值為:

O

TT

D.四葉草面積小于彳

題型六：定義新圖形

【典例6-1】（2024?浙江舟山?模擬預(yù)測）阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用.如圖，在平

面直角坐標(biāo)系xOy中，螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)

4（一1,0），4（0,-2）,4（3,0）,4（0,4）,A（—5,0）4（0,-6）,4（7,0）,4（0,8）,并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去.

⑴求4A，AA+4.

(2)求證：不存在正整數(shù)〃，使得三角形44+A+2的面積為2022;

(3)求證：對于任意正整數(shù)〃，三角形44+A+2為銳角三角形.

222

【典例6-2】(2024?河北衡水.一模)在空間直角坐標(biāo)系下，由方程彳+2+彳=l(a>0,6>0,c>0)所表示

abc

的曲面叫做橢球面(或稱橢圓面).如果用坐標(biāo)平面z=0,y=0,x=0分別截橢球面，所得截面都是橢圓(如

22

X2y21x2z2,

---F—=1匕+二=1

圖所示)，這三個截面的方程分別為a2b2b2c2上述三個橢圓叫做橢球面的主

z=00x=0

.X2y2

截線(或主橢圓).已知橢球面的軸與坐標(biāo)軸重合,且過橢圓<豆+記=與點(diǎn)后)，則這個橢球面

z=0

【變式6-1](2024?山東青島.三模)在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的頂點(diǎn)到直

22

線/的距離之和相等，則稱/為多邊形的一條“等線”，已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線E:之-4=l(a>0,，>())

ab

的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳,石的離心率為2,點(diǎn)尸為E右支上一動點(diǎn)，直線機(jī)與曲線E相切于點(diǎn)尸，且與E

的漸近線交于A8兩點(diǎn)，當(dāng)尸耳，無軸時，直線y=l為可弱的等線.

(1)求E的方程；

(2)若y=是四邊形的等線，求四邊形的面積；

(3)設(shè)礪=：而，點(diǎn)G的軌跡為曲線「，證明:「在點(diǎn)G處的切線，為△4月月的等線

【變式6-2](2024.河南信陽?模擬預(yù)測)在空間解析幾何中，可以定義曲面(含平面)S的方程，若曲面S

和三元方程y,z)=。之間滿足：①曲面S上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程F(x,y,z)=0的解；②以三

元方程網(wǎng)x,y,z)=0的任意解(如%,z0)為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面S上，則稱曲面S的方程為網(wǎng)x,y,z)=0,方程

*x,y,z)=。的曲面為S.已知空間中某單葉雙曲面C的方程為彳+。-曰=1,雙曲面C可視為平面xOz中

某雙曲線的一支繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面，已知直線/過C上一點(diǎn)。(1,1,2),且以d=(-2,0,T)為方向

向量.

(D指出xQy平面截曲面c所得交線是什么曲線，并說明理由；

(2)證明：直線/在曲面c上；

(3)若過曲面C上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面C上.設(shè)直線/'在曲面C上，且過點(diǎn)

7(收,0,2),求異面直線/與1所成角的余弦值.

題型七：定義新性質(zhì)

【典例7-1】(2024.江西新余.二模)通過研究，已知對任意平面向量通=",?),把通繞其起點(diǎn)A沿逆時針

方向旋轉(zhuǎn)6角得到向量而=(%85。-可11仇八由夕+“05。)，叫做把點(diǎn)3繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)P,

(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)4卜6,2君)，點(diǎn)3(6,-2百)，把點(diǎn)8繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)冷得到點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

22

⑵已知二次方程尤2+9一孫=1的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓2r=ig>6>0)繞原點(diǎn)。逆

ab

時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C,

4

(i)求斜橢圓C的離心率；

(ii)過點(diǎn)看作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線乙交斜橢圓C于點(diǎn)M、N,過原點(diǎn)。作直線4與直線

夜]

4垂直，直線4交斜橢圓C于點(diǎn)G、H,判斷\MN\+\OHf是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說

明理由.

【典例7-2］（多選題）黃金分割比例如匚具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)價

2

值.這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例.我們把離心率e=S匚的橢圓稱為

2

“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（）

x2y2

A.橢圓1+=1是“黃金橢圓”

22

B.若橢圓二+3=1（°>6>0）的右焦點(diǎn)為b（G。），且滿足62=&C,則該橢圓為“黃金橢圓”

ab

22

C.設(shè)橢圓二+2=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為S右頂點(diǎn)為A,若NAB尸=90。，則該橢圓

ab

為“黃金橢圓”

22

D.設(shè)橢圓*+1=1（。>6>0）的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是尸-F2,若

ab

忸閭2=|A周MH,則該橢圓為“黃金橢圓”

【變式7-1］（2024?遼寧大連?模擬預(yù)測）曲率半徑可用來描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度，曲率半徑

22

越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小.已知橢圓c：3+多=1（。>6>0）上點(diǎn)p（%,y。）處的曲率半徑公式

ab

3

為尺=//（芯，+豆￥.若橢圓。上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值是最小值的2夜倍，則橢圓C的離心

7刈

率為___.

【變式7-2］（2024.高三.北京順義?期末）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租車往往不

能沿直線到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.在平面直角坐標(biāo)系中，定義"（P，2）=%-即+帆-叼為

兩點(diǎn)P&,乂）、,％）之間的“出租車距離”.

給出下列四個結(jié)論：①若點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)4（1,2）,則d（O,A）=3；

②到點(diǎn)0（0,0）的“出租車距離”不超過1的點(diǎn)的集合所構(gòu)成的平面圖形面積是乃;

③若點(diǎn)4（1,2）,點(diǎn)B是拋物線產(chǎn)=x上的動點(diǎn)，則"（A3）的最小值是1；

④若點(diǎn)4(1,2),點(diǎn)B是圓/+產(chǎn)=1上的動點(diǎn)，則d(AB)的最大值是3+0.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【變式7-3](2024?山東棗莊.模擬預(yù)測)設(shè)4(%,必),以程力)為平面上兩點(diǎn)，定義

</(AB)=|x1-x2|+|y1-y2|,已知點(diǎn)尸為拋物線C:V=2py(p>0)上一動點(diǎn)，點(diǎn)。(3,0),d(P,。)的最小值為

2,則。=；若斜率為|■的直線/過點(diǎn)。，點(diǎn)M是直線/上一動點(diǎn)，則d(P,M)的最小值為.

題型八：綜合問題

【典例8-1】(2024.新疆烏魯木齊.二模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，重新定義兩點(diǎn)4(與必),磯々，%)之間

的“距離”為|明=上「力+昆-引，我們把到兩定點(diǎn)耳瑪(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>C)

的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓

⑴求“橢圓”的方程；

(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；

⑶設(shè)c=l,a=2,作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為CC的左頂點(diǎn)為A,過工作直線交C于

兩點(diǎn)，AAAW的外心為。，求證：直線。。與的斜率之積為定值.

【典例8-2](2024.湖南.二模)直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x=0>+l表示過點(diǎn)(1，。)

的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一

點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.

(1)若圓G：Y9=1是直線族mx+ny^1(見wwR)的包絡(luò)曲線，求機(jī)，〃滿足的關(guān)系式；

(2)若點(diǎn)PG。,yo)不在直線族：Q(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(aeR)的任意一條直線上，求y。的取值范圍和

直線族。的包絡(luò)曲線E;

⑶在(2)的條件下，過曲線E上A3兩點(diǎn)作曲線E的切線4，，其交點(diǎn)為P.已知點(diǎn)C(0,l),若A,氏(^三

點(diǎn)不共線，探究=是否成立？請說明理由.

【變式8-1](2024?河南南陽?一模)在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上,

該圓的圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于橢圓（雙曲線）長半軸（實(shí)半軸）與短半軸（虛半軸）平方和（差）的算

22

術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓￡：=+2=1（。＞。＞0）的蒙日圓的面積為13兀，該橢圓的上頂點(diǎn)和

ab

下頂點(diǎn)分別為6,鳥，且由6|=2,設(shè)過點(diǎn)的直線4與橢圓E交于A,3兩點(diǎn)（不與42兩點(diǎn)重合）

且直線4：x+2y-6=0.

（1）證明：APt,8鳥的交點(diǎn)尸在直線y=2上；

（2）求直線A/B耳4圍成的三角形面積的最小值.

【變式8-2］（2024.山東荷澤.模擬預(yù)測）行列式是代數(shù)學(xué)中線性代數(shù)的重要分支，是一個方陣所對應(yīng)的一

個標(biāo)量值.行列式具有簡潔、對稱、優(yōu)美的特點(diǎn)，可以用來求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.

利用行列式進(jìn)行求解，則可以簡化運(yùn)算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義為：

a

"12i3

aaaaaa

ili2，^,,,22232\23,“21022

=aax-ax+ax

H22-al2a2l-二階仃列式定義為：a21a22a23=an1213

12,、

例如：§5=1X5-2X3=-1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知VABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為A5,%）,

-1

xx1

B（x2,y2）,C（x3,j3）,則VABC的面積公式可表示為：^ABC=~2%-

Ik%i

⑴已知0（0,0）,M（-3,—2）,N（l,-6）,求VW的面積.

⑵已知點(diǎn)A（-2,0）,3（0,2）,若點(diǎn)C是圓尤2-2x+y2=。上的動點(diǎn)，求VA2C面積的最小值.

22

（3）已知橢圓宗+訝=1（。＞匕＞0）,它的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為卜2石,0）,右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

（2,1）,過原點(diǎn)0的直線交橢圓于點(diǎn)瓦/，求尸面積的最大值.

【變式8-3］（2024?吉林?模擬預(yù)測）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如左'（x-2）-（y-l）=0

表示過點(diǎn)（2,1）且斜率存在的直線族，y=x+〃表示斜率為1的直線族直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中

的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.

⑴若直線族mx+〃y+l=o（租,〃eR）的包絡(luò)曲線是圓。：尤2+尸=16,求加，〃滿足的關(guān)系式；

⑵若點(diǎn)%）不在直線族中:2Ax-8y-A2=0（2eR）的任意一條直線上，對于給定的實(shí)數(shù)%,求為的

取值范圍和直線族①的包絡(luò)曲線E；

⑶在（2）的條件下，過直線》-4>-8=0上一個動點(diǎn)P作曲線E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,求原點(diǎn)0

到直線48距離的最大值.

1.數(shù)學(xué)中有許多寓意美好的曲線，曲線C：（/+y2）3=4無2y2被稱為“四葉玫瑰線,，（如圖所示）.給出下列

三個結(jié)論：

①曲線C關(guān)于直線丫=%對稱；

②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過1；

③存在一個以原點(diǎn)為中心、邊長為近的正方形，使曲線C在此正方形區(qū)域內(nèi)（含邊界）.

其中，正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

2.（多選題）（2024.高三.河南.開學(xué)考試）雙紐線是卡西尼卵形線的一類分支，在數(shù)學(xué)曲線領(lǐng)域占有至關(guān)重

要的地位，同時也具有特殊的有價值的藝術(shù)美.它既是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)

家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素.雙紐線的圖形輪廓像阿拉伯?dāng)?shù)字中的“8"，如圖曲線C:（尤2+?2『=912一y2）

是雙紐線，下列說法正確的是（）

A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

B.曲線C經(jīng)過7個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過3

D.若直線>=區(qū)與曲線C只有一個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（f,-l]UU,+8）

3.（多選題）（2024?高三?廣東?開學(xué)考試）到兩個定點(diǎn)的距離之積為大于零的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵

形線.設(shè)K（-c，。）和F2（C,0）且c>0,動點(diǎn)M滿足|肛口叫|=1（a>0）,動點(diǎn)Af的軌跡顯然是卡西尼卵形

線，記該卡西尼卵形線為曲線C,則下列描述正確的是（）

A.曲線C的方程是（『+/）2_2,2卜2_/）=/_。4

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對稱

C.曲線C與X軸沒有交點(diǎn)

D.△孫月的面積不大于g/

4.（多選題）卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是

平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)（叫做焦點(diǎn)）距離之積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.設(shè)焦點(diǎn)耳（-C，。），g（c，。）是平面內(nèi)兩個定點(diǎn),

2

\PFl\-\PF2\=a（a是定長），特別地，當(dāng)c=a時的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學(xué)通過類比

橢圓與雙曲線的研究方法，對伯努利雙紐線進(jìn)行了相關(guān)性質(zhì)的探究，得到下列結(jié)論，其中正確的是（）

A.曲線過原點(diǎn)

B.關(guān)于原點(diǎn)中心對稱且關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱

C.方程為，+嫡2=2/（/_y）

D,曲線上任意點(diǎn)P（%，%）,x0s[—a,a],y0G[--,—■]

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓E：5+V=I外一動點(diǎn)P作E的兩條切線且

（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）對于給定非空點(diǎn)集若M中的每個點(diǎn)在N中都存在距離最小的點(diǎn)，且所有最小距離的最大值存在,

則記此最大值為d（M,N）.已知直線/與曲線C相交于A8兩點(diǎn)，若M,N分別是線段和曲線C上所有點(diǎn)

構(gòu)成的集合，。為曲線C上一點(diǎn)，當(dāng)AQAB的面積最大時，求

6.在xOy平面上，我們把與定點(diǎn)片（-。,0）,乙（。,0）（“>0）距離之積等于/的動點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐線,

耳,耳為該曲線的兩個焦點(diǎn).已知曲線C:（x2+y2）2=9（Y_y2）是一條伯努利雙紐線.

⑴求曲線C的焦點(diǎn)耳,耳的坐標(biāo)；

（2）判斷曲線C上是否存在兩個不同的點(diǎn)A、B（異于坐標(biāo)原點(diǎn)。），使得以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)

0.如果存在，求點(diǎn)A、3坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

7.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛.

它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結(jié)”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的伯努利雙紐

線.在xQy平面上，我們把與定點(diǎn)月（-。，0）,乙（。,。）（。>。）距離之積等于小的動點(diǎn)的軌跡稱為伯努利雙紐

線，F(xiàn)l；玲為該曲線的兩個焦點(diǎn).數(shù)學(xué)家雅各布.伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究.己知曲

線C：（f+/=9/）是一條伯努利雙紐線.

⑴求曲線C的焦點(diǎn)4，F(xiàn)?的坐標(biāo)；

（2）試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點(diǎn)48（異于坐標(biāo)原點(diǎn)。），使得以4B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)0.

如果存在，求出A,B坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

22

8.（2024?全國?模擬預(yù)測）定義：一般地，當(dāng)2>0且Xwl時，我們把方程會+方=2伍>6>0）表示的橢

222

圓6稱為橢圓會+方=1（。>6>0）的相似橢圓.已知橢圓C:3+y2=l,橢圓C/（2〉0且是橢圓

C的相似橢圓，點(diǎn)尸為橢圓C，上異于其左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn).

（1）當(dāng)4=2時，若與橢圓c有且只有一個公共點(diǎn)的直線4,4恰好相交于點(diǎn)尸，直線4,4的斜率分別為勺,%2,

求A隹的值；

（2）當(dāng)彳=/（e為橢圓C的離心率）時，設(shè)直線尸M與橢圓C交于點(diǎn)A3,直線PN與橢圓C交于點(diǎn)2E,

求|Afi|+|DE|的值.

22

9.己知橢圓「:=+與=1(°>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片、耳，直線/的斜率為％,在y軸上的截距為利

(i)設(shè)％=1,若r的焦距為2,/過點(diǎn)《，求/的方程；

(2)設(shè)m=0,若尸［百,是r上的一點(diǎn)，且歸司+|A同=4,/與r交于不同的兩點(diǎn)A、B,。為「的上頂點(diǎn),

求AAB。面積的最大值；

⑶設(shè)而是/的一個法向量，M是/上一點(diǎn)，對于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)N,定義“用a、b、k、m表

\n\

示斗?黑，并利用慫?期與/的大小關(guān)系，提出一個關(guān)于/與「位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，對于直線/:依+by+c=0和點(diǎn)片(%,%),由%,%)，記

〃=(叼+購+。)(3+勿2+c),若〃<0,則稱點(diǎn)片，鳥被直線/分離，若曲線c與直線/沒有公共點(diǎn)，且

曲線c上存在點(diǎn)片，鳥被直線/分隔，則稱直線/為曲線c的一條分隔線.

(1)求證：點(diǎn)4(1,2),3(-1,0)被直線x+y-1=0分隔；

(2)若直線>=丘是曲線/-4丁=1的分隔線，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(3)動點(diǎn)M到點(diǎn)。(0,2)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E,求證：通過原點(diǎn)的直

線中，有且僅有一條直線是E的分隔線.

11.設(shè)直線/：>=g(x),曲線S:y=F(x).若直線/與曲線S同時滿足下列兩個條件：①直線/與曲線S相

切且至少有兩個切點(diǎn)；②對任意xeR都有g(shù)(x)與R(x).則稱直線/為曲線S的“上夾線”.

(1)已知函數(shù)/'(x)=x-2sinx.求證：、=尤+2為曲線/(x)的“上夾線”；

(2)觀察下圖：

根據(jù)上圖，試推測曲線S：y=〃a-"sinx(">0)的“上夾線”的方程，并給出證明.

12.在平面直角坐標(biāo)系。孫中，定義：如果曲線G和C2上分別存在點(diǎn)V,N關(guān)于X軸對稱，則稱點(diǎn)M和

點(diǎn)N為G和c2的一對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

22

⑴若CI：x+xy+y=6上任意一點(diǎn)p的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)。，求點(diǎn)。所在的曲線方程和\OP\+\OQ\的最小值；

⑵若C,:(/+力？=4盯2(丫zx>0)上任意一點(diǎn)S的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”為點(diǎn)T,求|ST怕勺最大值；

⑶若G:y=2Inx-2融和C2:y=1-(a+1)V在區(qū)間(0,+功上有且僅有兩對“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范

圍.

22

13.定義：若橢圓C*+方上的兩個點(diǎn)滿足竽+第=。，則稱A8為

該橢圓的一個“共朝點(diǎn)對

22

如圖’AB為橢圓c幣5=l的“共抽點(diǎn)k,已知gl),且點(diǎn)3在直線,上’直線/過原點(diǎn).

(1)求直線/的方程；

⑵已知P,。是橢圓C上的兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且尸?！ā?.

ci)求證：線段尸Q被直線/平分；

(ii)若點(diǎn)B在第二象限，直線/與PQ相交于點(diǎn)點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，求ABMN面積的最大值.

14.(2024.高三.湖北.開學(xué)考試)類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面

(含平面)s的方程，若曲面S和三元方程尸(x,y,z)=o之間滿足：①曲面s上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方

程P(x,y,z)=。的解；②以三元方程P(x,y,z)=0的任意解(x°,%,z°)為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面s上，則稱曲面