第一章《勾股定理》單元測試卷

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.已知△2BC中，a,b,c分別是4,/B,/C的對邊,下列條件不能判斷△ABC是直角三

角形的是（）

A.4=/C—B.NL4:/B:/C=2:3:4

C.（b+c）（b—c）=a2D.a=-,b=-,c=1

44

2.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)/,6表示的數(shù)分別為0,2,BC12B于點(diǎn)反且BC=1,連接AC,

在AC上截取CD=BC,以/為圓心，2。的長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)￡,則點(diǎn)￡表示的實(shí)

數(shù)是（）

A.V5-1B.-V5+1C.V5D.V5+1

3.如圖,分別以Rt△4BC的三邊為邊長向外側(cè)作正方形,面積分別記為Si，S2，S3.若S3+S2—

Si=20,則圖中陰影部分的面積為（）

A.5B.10C.15D.20

4.有一個(gè)邊長為1的大正方形，經(jīng)過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，

其中三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示.如

果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2025次后，形成的

圖形中所有的正方形的面積和是（）

圖2

A.2026B.2025C.22°25D.22022—1

5.如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中,從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A,B,C,。中任取三點(diǎn),所構(gòu)成的三角

形是直角三角形的是（）

A

BG

A./XABDB./XADCC.ABCDD.AABC

6.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB1,PC=2,

PA=3,則NBPC的度數(shù)為（）

A.120°B.135°C.140°D.150°

7.如圖，將一張邊長為8的正方形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)。落在BC的中點(diǎn)E處,點(diǎn)a落在點(diǎn)產(chǎn)

處，折痕為MN,則線段MN長的平方為（）

A.100B.80C.89D.84

8.如圖，在AABC中，AB=6,AC=9,ADLBC于D,M為AD上任一點(diǎn)，則MC?—MB?等于（）

9.斜拉橋是我國流行的橋型之一，大跨徑斜拉橋已居世界第一.如圖，OAX=A,A2=A2A3=

A3A4,0B1=BrB2=B2B3=B3B4,如果最長的鋼索4B4=80m,那么鋼索以巳、4當(dāng)?shù)拈L

A.60m,40mB.60m,30mC.40m,20mD.40m,10m

10.如圖有一圓柱，高為8cm,底面直徑為4cm,在圓柱下底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃上底

面與A相對的B點(diǎn)處的食物，需爬行的最短路程大約為（取兀=3）（）

A.10cmB.12cmC.14cmD.20cm

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.如圖，ZkaBC中，ZC:BC:2B=3:4:5,點(diǎn)。在BC上，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，AD,CE相交于點(diǎn)

F,且AD=DB.若NB=35。，則NDFE的度數(shù)是

A

BDC

12.如圖，高度為1米的平臺上有一根長為8米的木桿垂直于臺面ZB,在一降大風(fēng)后，木桿

從點(diǎn)E處折斷依然垂直于2B,木桿頂端落在地面的點(diǎn)。處，已知AB〃CD,aB=2米,CD=1

13.我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊

為弦.如圖1所示，數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年一公元295年）將勾股形分割成一個(gè)正方形和

兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長

方形，是由兩個(gè)完全相同的“勾股形”拼接而成，若4C=6,CD=2,則長方形的面積

為

圖2

14.如圖，在單位長度為1的3X4的網(wǎng)格系中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則/4BC=

15.如圖，射線。M、ON互相垂直，OA=8,在線段。4的垂直平分線2上取一點(diǎn)B,連接=

5.將線段ZB繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段2'B',若點(diǎn)B'恰好落在射線ON上，則

點(diǎn)2,到射線0M的距離d=

16.把一副三角板按如圖所示的位置放置，其中4CB=/CED=90。，ZCAB=45°,

/CDE=30°,斜邊ZB=12,CD=14,與CD相交于點(diǎn)0,若NBCE=15°,連接2D,則

的長為.

三.解答題(共8小題，滿分72分)

17.(6分)如圖，將矩形4BCD沿直線4E折疊，頂點(diǎn)。恰好落在BC邊上的點(diǎn)尸處.已知BC=10cm,

AB=8cm.

(1)求CF、CE的長；

(2)求陰影部分的面積.

18.（6分）如圖，在一條東西走向的省級干線公路/的一側(cè)有一村莊只由尸原有兩條筆直小

路PB、P2與/相連接，其中2P=4B,由于某種原因，由尸到/的路已經(jīng)不通，現(xiàn)今該村的

鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興小組為方便村民運(yùn)輸農(nóng)產(chǎn)品與出行，爭取上級支持新建了一條公路PC（凡GB

在同一條直線上），測得PB=6.5千米，BC=2.5千米，PC=6千米.

（1）問是否為從村莊戶到公路/的最近路線？請通過計(jì)算加以說明:

（2）求原來的路線P2的長.

19.（8分）如圖所示，一個(gè)實(shí)心長方體盒子，長4B=4,寬BC=2,高=1,一只螞蟻從

頂點(diǎn)/出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)的處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？

（點(diǎn)撥：分三種情況討論解答）

A

B

20.(8分)如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).

圖1圖2圖3

(1)在圖1中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為5的正方形.

(2)在圖2中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)三角形，使三角形三邊長分別為2、瓜V13.

⑶如圖3,點(diǎn)4B、C是小正方形的頂點(diǎn)，求4BC的度數(shù).

21.(10分)對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形

ABCD,對角線ZC,BD交于點(diǎn)。.

(1)若4。=2,BO=3,CO=4,。。=5,請求出ZB2,BC2,CD2,的值.

(2)若4B=6,CD=10,求BC2+4￡)2的值.

⑶請根據(jù)(1)(2)題中的信息，寫出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論.

22.(10分)【創(chuàng)新考法】閱讀與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記(部分)，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)

等面積法在解題中的應(yīng)用

等面積法是初中幾何中的重要解題方法，它一般是利用等面積把幾何問

題中的線段關(guān)系或量與量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系來解決問題的一種方法，

這種方法可以把問題

簡捷化，提高學(xué)習(xí)效率.下面是我利用等面積法證明勾股定理的例子.

例：如圖1,AABC=ADAE,點(diǎn)￡在線段2C上，ZACB=^AED=90°,記

BC-AE-a,AC-DE-b,AB—DA-c.求證：a2+b2—c2.

證明：連接CD,BD,過點(diǎn)。作BC邊上的高DF,則DF=EC=匕-a.

11

VS四邊形4DCB=S&ACD+^AABC-+-ab,

121

S四邊形4DCB=+S4DCB=+］磯人一12),

111,1

-b^?+-ab+-a(b-d),

a2+b2—c2

A

ffll

A

BCBCC

圖2圖3圖4

任務(wù)：

(1)如圖2,點(diǎn)。是AaBC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，作。D14B,垂足為點(diǎn)〃(尺規(guī)作圖，保留作

圖痕跡，不寫作法).OD-2cm,△2BC的周長為30cm,則△ABC的面積為cm2.

(2)將兩個(gè)全等的直角三角形按圖3所示擺放，其中/1MB=9O。，參照閱讀材料中例題的證

明方法，求證：a2+b2=c2.

⑶如圖4,在菱形ABC。中，對角線2C,BD交于點(diǎn)0,￡是8。上一點(diǎn)，且BE=2DE.若AC=

8cm,BD=6cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

23.（12分）【背景材料】小穎和小強(qiáng)在做課后習(xí)題時(shí)，遇到這樣一道題：“已知中，

ZACB=90°,CA=CB,/MCN=45。,如圖（a）所示，當(dāng)點(diǎn)〃、N在上時(shí)，試判斷線段

AM,MN,BN的數(shù)量關(guān)系.

小穎的解題思路：如圖(b)所示，將△2CM沿直線CM對折，得AZ'CM,連Z,N,

(1)你認(rèn)為ZMA'N的度數(shù)為.

⑵按照小穎的思路，判斷圖(b)線段AM,MN,BN的數(shù)量關(guān)系,并完整證明.

(3)【解決問題】當(dāng)〃在的延長線上，點(diǎn)N在線段上，其他條件不變，如圖(C)所示,

第(2)問中的結(jié)論是否成立.如果成立，請證明.如果不成立，請說明理由.

24.(12分)綜合與探究

四邊形2BCD是一張正方形紙片，小明用該紙片玩折紙游戲.

【探究發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,小明將△ABE沿2E翻折得到△ZB'后,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B',將紙片展平后，連接

BB'并延長交邊CD于點(diǎn)F,小明發(fā)現(xiàn)折痕2E與BF存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系為——；

說明理由.

圖1

【類比探究】

(2)如圖2,小明繼續(xù)折紙，將四邊形ZBEG沿GE所在直線翻折得到四邊形4'B'EG,點(diǎn)2的

對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)a',點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B',將紙片展平后，連接BB'交邊CD于點(diǎn)尸，請你猜想線

段4G、CE、DF之間的數(shù)量關(guān)系并證明;

【拓展延伸】

(3)在(2)的翻折過程中，如圖3,若線段4'B'恰好經(jīng)過點(diǎn)。，如果正方形ABC。的邊長為9,

CF=3,直接寫出CE的長.

圖3

參考答案

選擇題

1.B

【分析】本題考查勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題

的關(guān)鍵.

根據(jù)直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理分析各選項(xiàng)是否存

在90。角即可求解.

【詳解】解：A.由4=41—/B,結(jié)合內(nèi)角和得4+/B+/C=180°,

代入得/C-+/C=180°,解得/C=90°,

△4BC為直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意.

B.設(shè)N%=2x,/B-3x,NC-4x,

貝I2x+3x+4x—180°,

解得%=20°,

故4=40。，ZB=60°,ZC=80°,無直角，不能判定為直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意.

C.(b+c)(b—c)-a?展開得/—c2-a2,即/—a2+c2,

由勾股定理的逆定理知=90。，AaBC為直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意.

D.'：a2=(^2=-,b2+c2^f-)2+l2=-

\4716\4/16

a2—b2+c2,

由勾股定理的逆定理知4=90。，

...故△ABC為直角三角形故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：B.

2.A

【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系是解

題的關(guān)鍵，根據(jù)勾股定理可求得2C的長，再根據(jù)題意得到4。=2E,從而得到答案.

【詳解】解：由題可得：BCVAB,BC=1,AB=2,

：.由勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=A/22+l2=V5,

VCD=BC=1,

：.AD=遍一1,

'：AD=AE,

：.AE=V5-1,

，點(diǎn)￡表示的實(shí)數(shù)是逐—1,

故選：A.

3.A

【分析】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)以及三角形面積，由勾股定理得a。？—ZB2=

BC2,再由正方形面積公式得S3—S1=S2,求出$2=10,即可得到陰影部分的面積.

【詳解】解：???RtZXABC是以4C為斜邊的直角三角形，

AC2-AB2=BC2,

,1?S3—S]=S2,

,**S3+S2—Si=209

???5,2=10,

，陰影部分的面積為;$2=5,

故選：A.

4.A

【分析】本題考查了勾股定理，能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原

正方形的面積之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形

中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【詳解】解：如圖，由題意得，正方形/的面積為1,

由勾股定理得，正方形8的面積+正方形。的面積=正方形/的面積=1,

二“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

二“生長”了2025次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2026.

故選：A.

5.A

【分析】本題主要考查了網(wǎng)格與勾股定理，直角三角形的判定，先利用網(wǎng)格與勾股定理分別求

出各邊長，然后按照勾股定理逆定理依次判斷即可.

【詳解】解：A.'：AB2=5,BZ)2=5,AD2=10,：.AB2+BD2AD2,則△ABD為直角三

角形，故該選項(xiàng)符合題意；

B.'：AD2=10,CD2=5,AC2=13,：.AD2+DC2AC2,則△4AC不是直角三角形,故該

選項(xiàng)不符合題意；

C.'：BD2=5,CD2=5,BC2=16,：.BD2+DC2BC2,則△BCD不是直角三角形，故該

選項(xiàng)不符合題意；

D.,：AB2=5,AC2=13,BC2=16,：.AB2+AC2BC2,則△ABC不是直角三角形，故該

選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

6.B

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記

各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.

將△ACP繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出NQPC=45。，根據(jù)勾股定理可證出NPBQ=

90°,從而可得出答案.

【詳解】如圖，將△ZCP繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。，得△BCQ,連接PQ,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：Rt△2CB-PCQ,ZPCQ=90°,

:.CQ=CP=2,BQ=PA=3,ZQBC=APAC,

：.PQ2=CQ2+CP2=8,且NQPC=45。，

在△BPQ中，PE?+PQ2=8+i=9,

：.PB2+PQ2=BQ2,

：.ZQPB=90°,

ZBPC=ZQPB+ZQPC=135°.

故選B.

7.B

【分析】本題考查折疊問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理

求解是解決本題的關(guān)鍵.連接ME,作MP1CD交CD于點(diǎn)P,根據(jù)折疊的性質(zhì)，在Rt^ECN

中，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長.在RSMFE中，有時(shí)產(chǎn)+95=時(shí)5,

在RtZ\MBE中，tBE2+BM2=ME2,根據(jù)這兩個(gè)式子可求得MF=1,得到2M=PD=1,

NP=4,在RtAMPN中，運(yùn)用勾股定理求出MN=80.

【詳解】解：如圖，連接ME,作MP1CD交CD于點(diǎn)P,

由四邊形ZBCD是正方形及折疊性知,

AM=MF,EN=DN,EF=AD,ZMFE=ZBAD=90°,

在RtZXECN中，CE?+CN2=EN2,

,.FB=BC=CD=￡L4=8,E為BC的中點(diǎn),

?.CE=4,

/.42+CN2=(8-CW)2,

解得CN=3,

在RtZ\MFE中，MF2+FE2=ME2,

在RtZXMBE中，BE2+BM2=ME2,

/.MF2+FE2=BE2+BM2,

/.MF2+82=42+(8-MF)2,

解得，MF=1,

：.AM=PD=1,

；.NP=CD—CN—PD=8—3—1=4,

在Rt△MPN中，

MN2=MP2+NP2=82+42=80,

故選：B.

8.D

【分析】在Rt^ABD及Rt^ADC中可分別表示出BD?及CD?,在RtaBDM及Rt^CDM中分別將BD?

及CD?的表示形式代入表示出BU和然后作差即可得出結(jié)果.

【詳解】解：在RtZ^ABD和Rt^ADC中，

BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,

在Rt^BDM和RtACDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,

/.MC2-MB2=(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2)

=AC2-AB2

=45.

故選：D.

9.C

【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)。&=%m,OBi=ym,先根據(jù)。4=&&=

42^3—23^4，OB]-B1B2—B2B3-B3B4,得出。人2—2xm,OA4-4xm,OB2—2ym,OB4—

4ym,再根據(jù)/。=90。，得到△。&B】,△O&B2,△。484都是直角三角形，得到。4?+

222

OB4^A4B4=80,即16/+16y2=16x5x80,由4$/=。&2+。呂/人臺2？=

22

OA2+OB2,代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：設(shè)。A1=%m,OB】=ym,

'/OAi=4142=4243=4344，OBI=8^2=B2B3=B3B4,

OA2=2xm,OA4=4xm,OB2=2ym,OB4=4ym,

???NO=90°,

都是直角三角形，

?

??A4B4=80m,

2222

OA4+OB4=A4B4=80,即16/+16y2=16x5x80,

???x2+y2=400,4x2+4y2=1600,

ZiBj=OA^+OB/=%2+y2=400)A2B2=0A2+0B2=4%2+4y2=1600)

AA2B2=40m(負(fù)值舍去)，&Bi=20m(負(fù)值舍去)，

故選：C.

10.A

【分析】首先將此圓柱展成平面圖，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得

需要爬行的最短路程.

?.?圓柱的高等于8cm,底面直徑等于4cm(口=3),

AC=8cm,BC=|BB'=|x4n=6(cm)

AB=V,4C2+BC2—V82+62==10(cm).

答：它需要爬行的最短路程為10cm.

故選A

二.填空題

11.105°

【分析】根據(jù)aC：BC:4B=3:4:5,可知△2BC為直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一

半，可知BE=CE=4E,利用等邊對等角，可求得NECB=/B,/B=/BAD,接著利用

外角，推出/NDC,最后利用/DFE=/ECB+NRDC求得答案.

【詳解】解：△4BC中，AC-.BC-.AB=3:4:5,不妨設(shè)47=3,BC=4,AB=5,

■AC2=32=9,BC2=42=16,AB2=52=25,

.AC2+BC2=AB2,

^ACB=90。，

???點(diǎn)E為ZB的中點(diǎn)，

BE-CE-AE,

NECB;NB,

,:AD-DB,

：.ZB=ZBAD,

???NB=35°,

ZECB=/BAD=/B=35°,

?:ZADC=+/BAD,

4DC=35°+35°=70°,

ZDFE=NECB+ZADC=35°+70°=105°.

故答案為:105°.

12.3

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，延長￡4交DC延長線于點(diǎn)F,證明四邊形2BCF

是矩形，則4F=BC=lm,ZB=CF=2m,故有FD=FC+CD=3m,設(shè)ZE=xm,則DE=

(8-x)m,EF(%+l)m,由勾股定理得：EF2+FD2=DE2,?P(x+l)2+32=(8-%)2,

然后求出K的值即可，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長E4交DC延長線于點(diǎn)F,

：.AE1CD,

由BC1CD,

則有/4FB=/BCF=NB=90°,

.I四邊形2BCF是矩形，

'.AF—BC—lm,AB—CF—2m,

：.FD=FC+CD=3m,

設(shè)ZE=xm,則DE=(8—x)m,EF—(x+l)m,

由勾股定理得：EF2+FD2=DE2,

...(%+1)2+32=(8-%)2,解得：X-3,

.\AE=3m,

故答案為：3.

13.48

【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)BD的長為x,在直角三角形4CB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，進(jìn)而可求出該矩形

的面積.

【詳解】解：由已知可得CQ=CE,AF=AE,BF=BD,

CE=CD=2,

設(shè)BD的長為x,

"：AC=6,CD=2,

：.AE=4F=AC—CD=4,BF=BD=x

BC-BD+CD—x+2,AB—4+x

在心△ABC中，AC2+BC2AB2,

~22

即(2+%)+6?=(4+%),

整理得，4%=24,

.*.%=6

:?BC=%+2=8

而矩形面積為：8X6=48,

故答案為：48.

14.135°

【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性質(zhì).取格點(diǎn)。，使得=BC=^,

CD=AB=同,連接BD.證明△ABD,△BCD是等腰直角三角形即可求解.

【詳解】解：AB-Vl2+32=V10,BC-Vl2+22=V5,

取格點(diǎn)D,使得4。=BC=逐，CD=AB=V10,

連接BD,

.'.BD-Vl2+22-V5,

222

.".TID=BD,AD2+BD2=(V5)+(V5)=10=(VIU)AB2,

.?.△ZB。是等腰直角三角形，

/./ABD=45°,

,:BD=CD,BD2+BC2=CD2,

...△BCD是等腰直角三角形，

：./CBD=90°,

/.ZABC=/ABD+/CBD=45°+90°=135°.

故答案為:135°

32

⑸T

【分析】連接。B,oa',作a'DiOB'aciOB,垂足分別為D,C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

AOAB'=△OAB,進(jìn)而得到a'o=ac,中垂線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出BE的長，等積法

求出ac的長，進(jìn)而得到a'。的長，再根據(jù)勾股定理求出。。的長，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：連接。作a'oiOB'aciOB,設(shè)，與。M交于點(diǎn)&

N

D

B'/避、

O\EAM

二.旋轉(zhuǎn)，

：./\OAB=△OAB,

0A=0A=8,AD=ACy

...在線段。a的垂直平分線2上取一點(diǎn)B,

1

：.0BABS,AE=OE=-0A=4,BE1OA,

：.BE=7AB2一旃=3,

,：AC1OB,BE1OA,

11

：

.-2OA-BE^-2OB-AC,

.xc號24,

：.AfD=ac=g,

在Rt△a'。。中，OD=JOA'2一a'。2=,，

?.?射線OM、ON互相垂直，A'DOB',

：.ArD||OM,

???點(diǎn)到射線OM的距離d=。。=羨；

故答案為：,

16.10

【分析】先證明CD12B,再由等腰直角三角形的性質(zhì)得。a=OB=^43=6,

1

OC^jAB=6,則。。=CD—0C=14—6=8,然后在RtZ\2。。中，由勾股定理求出的

長即可.

【詳解】解：4CB=NCED=90。，^CAB=45°,/CDE=30。，

???△4CB是等腰直角三角形，/DCE=90°-30°=60°,

?:/BCE=15°,

/DCB=60°-15°=45°,

ZACO=90°-45°=45°,

ZAOC=180°-45°-45°=90°,

CD1AB,

1

OA—OB--AB—6,

2

OC--2AB—6,

。。=CD-OC=14—6=8,

在Rtzxa。。中，由勾股定理得：AD=70醍+。。2=加2+82=10.

故答案為：10.

三.解答題

17.(1)解：?..四邊形ABC。是矩形，BC=10cm,AB=8cm,

:.NB=NC=ND=90°,AD=BC=10cm,CDAB8cm

由折疊的性質(zhì)得，/AFE=/D=9。。,AF^AD^10cm,DE=EF,

在Rt△ABF中，BF=y/AF2-AB2=V102-82=6cm,

/.CF=BC-BF=10-6=4cm.

設(shè)CE=x,則EF=DE=CD—CE=8—x,

在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2,

.,.x2+42=(8—%)2,

解得％=3,

CE=3cm；

(2)解：陰影部分面積為］aB.BF+；CF.CE=；x8x6+；x4x3=30cm2.

18.(1)解：是；

理由是：在△PCB中，

???PC2+BC2=62+2.52=42.25,PB2=6.52=42.25,

PC2+BC2=PB2,

??.△PCB是直角三角形，

PC1AB,

PC是從村莊P到1的最近路；

(2)解：設(shè)2P=%,則2。=%一2.5,

在RtZ\P4C中，vPC2+AC2=PA2,

62+(x—2,5)2=x2,

解得：x=8.45,

答：原來的路線力的長為8.45千米.

19.解：如圖所示，把長方體沿CD展開，則螞蟻沿著2的的路線爬行的路程最短,

由題意得，AB=4,BCi=BC+CCi=3,

2

/.由勾股定理得aci=JAB+BC/=5；

如圖所示，把長方體沿BB1展開，則螞蟻沿著ZC1的路線爬行的路程最短,

由題意得，ACAB+BC6,CC1=1,

2

/.由勾股定理得2的=JAC+cc/=737；

A\B\Ci

-11

A

4B2C

如圖所示，把長方體沿為小展開，則螞蟻沿著Ng的路線爬行的路程最短,

由題意得，ABi—AA1+A1B1—5,B1C1=2,

/.由勾股定理得at]=JAB/+=V29；

5<V29<V37,

???把長方體沿CD展開，螞蟻沿著a。的路線爬行的路程最短，最短距離為5.

20.(1)解：如圖，正方形4BCD即為所求，

(2)如圖，△￡)￡1?即為所求,

(3)如圖，AB2=42+22=20,AC2=I2+32=10,BC2=I2+32=10,

：.AB2AC2+BC2,AC=BC

??.△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°

ZABC=45°

21.(1)解：???四邊形2BCD是“垂美”四邊形，對角線AC,BD交于點(diǎn)。，

AC1BD,

■:A0-2,B0——3,CO-4,DO-5,

AB2=AO2+BO2=22+32=13,BC2=BO2+OC2=32+42=25,CD2=CO2+DO2=

42+52=41,DA2=AO2+DO2=22+52=29,

AB2=13,BC2=25,CD2=41,AD2=29；

(2)???四邊形ZBCD是“垂美”四邊形,對角線AC,BD交于點(diǎn)0,

：.AC1BD,

■:AB-6,CD-10,

AO2+BO2=AB2=62=36,CO2+DO2=CD2=102=100,

BC2+AD2=BO2+CO2+DO2+AO2=36+100=136；

(3)由(1)(2)可得：AB2+CD2^BC2+AD2,即“垂美”四邊形對邊的平方和相等.

22.(1)解:如圖,。。即為所求;

連接。40B,0C,

?.?點(diǎn)。是△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，0D1AB,

...點(diǎn)。到△2BC三邊的距離相等均為。。的長，

\'0D=2cm,△ABC的周長為30cm,

??SMBC-+S/^AQC+SAC0B

1

=-(iAB+BC+ACyOD

1

=-x30x2

2

=30cm2；

故答案為：30；

(2)解：如圖，延長DE交CB延長線于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作DN1巴4延長線于點(diǎn)N,連接BD,CD,

由題意得RtAZBC三ZDAB=90°,

/DAE=ZBAC,

：./EAC=/EAB+NBAC=ZEAB+ZDAE=ZDAB=90°,

ZEAC=/EAN=/N=ZBCA=ZAEM=ZAED=90°,

四邊形ACME和四邊形4VDE是矩形，

.\EM=AC=b9DN=AE=b,

J.DM=DE+EM=a+b9

VS四邊形wC=SMBD+SAABC=:力。,+^BC,AC=+9血

S四邊形ADBC=S^ADC+SWCB=,DN+|BC,DM=+1a(a+b),

???-c2+-ab=-b2+-a(^a+b).

2222'7

???a2+b2=c2；

(3)解：???菱形力BCD中，AC=8cm,BD=6cm,

OB=OD=3cm,OA=OC=4cm,AC1BD,

?：BE=2DE,

.\BD=3DE=6cm,

:?DE=2cm,

OE=OD-DE=lcm,

i10

二?S陰影=~0A?OE=-x4x1=2cm2；

故答案為：2.

23.(1)解：?「Rt△力BC中，ZACB=90°,CA=CB,

：.ZCAB=NCBA=45°,

:折疊，

/.ZMA'N=CAM=45°,/NA'C=ZCBA=45°,

/.ZMA'N=ZCA'M+ZCA'N=ZCAB+NCBA=90°,

故答案為：90°.

⑵解:,；^ACB=90°,CA=CB

：.ZCAB=ZCBA=45°

依題知：/xacM三'CM(折疊的性質(zhì))

：.AC=AC,ZACM=^A'CM,ZCAM=ZCA'M,

：.CB^AC

'：/A'CN=/MCN—4'CM=45°—4'CM,/BCN=ZACB-/MCN-ZACM

45°-^ACM

：./A'CN=/BCN

'：CN=CN,

...△a'CN=△BCN(SAS)

:.A'N=BN,ZCA'N=/CBN=45°,

/.ZMAN=ZCA'M+ZCA'N=90°,

a'M2+a