練案53棚圓第2課時

A組基礎(chǔ)鞏固9

一、單選題

1.（2025?福建泉州適應(yīng)性練習(xí)）橢圓C：V+2產(chǎn)=1,其右焦點為R若直

線/過點/與。交于4B,則|48|最小值為（）

色

A.2B.1

C.啦D.2

B

［解析］要使0網(wǎng)最小，即為/和焦點/在的軸垂直的直線截得的線段

色

長.右焦點為，直線為x=2,聯(lián)立此直線和橢圓解得交點的縱坐標(biāo)為

1

±2,故最小值為1.故選B.

2.（2024?福建三明一中月考）焦距為2隹，并且截直線y=2xT所得弦的

2

中點的橫坐標(biāo)是7的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.x2+3=1

B.x2+3v2=l

x2y2

C.石=1

y2x2

D.N+3=1或3+產(chǎn)=1

A

x2y2

［解析］設(shè)橢圓方程為加+"=1,m>0,〃>0,m豐n,

直線y=2x—1與橢圓相交的兩點坐標(biāo)為/（xi，刃），Bg，及），由題意可知

4

+、2=7，

1/16

46

所以為+及=（2修-1）+（2必-1）=2（%1+%2）-2=2x7—2=-7,

xl—x2yl—y2

又兩式相減得加+〃=0,

□xl+x2□Dxl—x2□□yl+y2□Qyl-y2口yl-y2

整理得加=-〃,所以2=xl—x2=

2n

3m,即n=3m.

又c=J〃f=啦,由解得

以

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為N+3=1.故選A.

x2y2

3.（2024?浙江杭金湖四校聯(lián)考）已知橢圓。2+62=1伍》＞0）的左頂點為幺，

右焦點為尸2，過右焦點作X軸垂線交橢圓于8、C兩點，連接5。并延長交ZC

于點若"為ZC的中點，則橢圓的離心率為（）

1亞

A.2B.2

2小

C.3D.萬

A

c2y2b2

［解析］當(dāng)x=c時，a2+b2=i,號=±。，

.??/(—a,0),B,C,(9(0,0),

故〃，

2/16

c-ab21

又II,所以2-a—c=0,???a=2c,???e=2.故選A.

x2

4.斜率為1的直線/與橢圓4+產(chǎn)=1相交于z,8兩點，則14gl的最大值

為（）

4小

A.2B.5

47108710

C.5D.5

C

［解析］設(shè)45兩點的坐標(biāo)分別為（修，川），（叼，n），直線/的方程為

y=x+t,

由消去y,得5N+8/x+4（祥一1）=0,

84DZ2-1D

則%1+%2=—X\X2~5.

...1^1=71+^2|X1-X2|

=^1+k2.yjnxl+x2D2—4x1x2

4M

=郎?=5；-12,

4^/10

當(dāng)/=0時，|48瀛=$.故選C.

x2y2

5.（2024?安徽江淮十校聯(lián)考）已知橢圓C：。2+62=1伍泌＞0）的左焦點為

兀

FP過左焦點后作傾斜角為％的直線交橢圓于48兩點，且=3,則

橢圓C的離心率為（）

12

A.2B.3

色期

C.3D.3

C

3/16

兀

［解析］設(shè)中（一c,0）,zg乃）,5（X2,>2），過點為傾斜角為6的直線方程

所以為+改=°2+362,yiy2=-a2+3b2,①

因為=3,所以刃=—3y2，（1）

3c21

由①②得。2+362=3,所以小+3岳=%2,

聯(lián)立得°2=302,e2=3=e=3,故選C.

x2y2

6.（2024?貴州名校協(xié)作體聯(lián)考）已知橢圓C：9+8=1的左右焦點分別為

Fi，/2，點〃在直線/：x+y—4=0上運動，則?的最小值為（）

A.7B.9

C.13D.15

A

x2y2

［解析］由橢圓C：9+8=1可得為（一1,0）,巳（1,0）,點M在直線

/：x-\-y—4=0上運動，設(shè)M（x,—x+4）,

則,二（一1一x,x-4）-（1一x,x-4）=x2-l+（x-4）

2=2N—8x+15=2(x—2)2+7,當(dāng)x=2時，2(x—2尸+7取到最小值7,即

的最小值為7,故選A.

x2y2

7.（2025?江蘇揚州高郵月考）已知橢圓E：。2+62=1伍>6>o）的右焦點為

廠（3,0）,過點尸的直線交橢圓于48兩點，若M（l,—1）且

+=2,則￡的方程為（）

x2y2x2y2

A.6+3=1B.9+6=1

4/16

x2y2x2y2

C.12+3=1D.18+9=1

D

［解析］因為右焦點打3,0）,故〃=〃+9,

設(shè)N（xi，%），8（X2,竺），由+=2可知〃是48的中點，

xlylx2y2

.,.XI+X2=2,為+及=-2,且。2+62=1,。2+人2=1,

□xl+x2DDxl-x2DHyl+y2nUyl-y2U

兩式相減得。2+b2=o,

yl—y2b2Dxl+x2D2b2b20+11

.?.自§=xl-x2=—。2口、1+y2口=—―2Q2=Q2=3-1=^^=2,

-a-a2=2b2=b2+9,:將=9,tz2=18,

x2y2

故橢圓E方程為18+9=i,故選D.

x2y2

8.（2025?江西撫州聯(lián)考）已知橢圓T：。2+人2=1伍>6>0）的右焦點為E,過

尸且斜率為1的直線/與T交于Z,5兩點，若線段48的中點/在直線

x+2y=0上，則T的離心率為（）

.e

A.4B.3

C.5D.2

D

［解析］設(shè)N（xi，乃），8（x2,J2）>直線/：y=x—c,由題意可知，線段4s

的中點〃是直線/與直線x+2y=0的交點，聯(lián)立解得M,另一方

面.聯(lián)立得(a2+〃)x2—2a2cx+a2c2-42抉=0.易知/>0,由韋達(dá)定理得

2a2c4c也

xi+x2=a2+62=3。,解得42=2〃,所以42=232—^2).故離心率e=a=2.故

選D.

二、多選題

5/16

9.（2025?廣東大灣區(qū)調(diào)研）若某等腰直角三角形的其中兩個頂點恰為橢圓

C的兩個焦點，另一個頂點在。上，則C的離心率可能為（）

12

A.2B.2

4一1

C.也一1D.2

BC

［解析］在等腰直角△NBC中，在不影響離心率的情況下不妨設(shè)

兀

乙4=2,AB=AC=k,k>0,且橢圓焦點位于x軸上，當(dāng)橢圓以8,C為焦點時,

根據(jù)橢圓和等腰直角三角形對稱性知點A為橢圓上頂點，則

A

色g9

2。=2攵，左;2c=y［^k,c=2k,離心率e=a=k=2.當(dāng)橢圓以幺，。或

□1+出口左k

A,8為焦點時，2。=左+於左=（1+m）左，a=2,2c=k,c=2,離心率

c^2

e=a==也一1,綜上，橢圓的離心率為2或在一1.故選BC.

10.如圖所示，用一個與圓柱底面成。角的平面截圓柱，截面是一個

兀

橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2,0=3,則下列說法正確的是（）

A.橢圓的長軸長等于4

色

B.橢圓的離心率為2

x2y2

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是16+4=i

6/16

D.橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4—24

BCD

［解析］設(shè)橢圓的長半軸長為短半軸長為兒半焦距為c,橢圓長軸在

兀

圓柱底面上的投影為圓柱底面圓直徑，則由截面與圓柱底面成銳二面角。=與得:

4

2a=cosO=8,解得口=4,A不正確；顯然6=2,則c=J°2—62=24,離心

c小

率e=a=2,B正確；當(dāng)以橢圓長軸所在直線為x軸，短軸所在直線為了軸建

x2y2

立平面直角坐標(biāo)系時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為16+4=1,c正確；橢圓上的點到焦

點的距離的最小值為a—c=4—2小，D正確.故選BCD.

x2y2

11.（2025?河北滄州聯(lián)考）已知橢圓C：2+根2=1的焦點分別為為（0,2）,

F2（0,-2）,設(shè)直線/與橢圓C交于N兩點，且點尸為線段跖V的中

點，則下列說法正確的是（）

A.加2=6

色

B.橢圓C的離心率為3

C.直線/的方程為3x+.v—2=0

D.△HMN的周長為4M

AC

［解析］根據(jù)題意，因為焦點在y軸上，所以2=4,則掰2=6,故選

c#

項A正確；橢圓C的離心率為e=a==3,故選項B不正確；根據(jù)點差

61

法的結(jié)論可得用2=—3,所以左/=—3,所以直線/的方程為了一2=—3

,即3x+.v—2=0,故選項C正確；因為直線/過外,所以△/的周長

為4a=4#,故選項D不正確，故選AC.

7/16

x2y2

12.（2025?四川大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)教學(xué)聯(lián)盟聯(lián)考）已知橢圓E：4+3=1的左頂點

為A,左、右焦點分別為外,凡過點乃的直線與橢圓相交于P,0兩點，則（）

A.尸匹|=1

B.\PQ\<4

C.當(dāng)尸2,P，0不共線時，尸。的周長為8

D.設(shè)點尸到直線x=—4的距離為小則d=2|0人|

BCD

［解析］由題意知：a=2,b=3.?.c=Ja2—，2=1,

??.|尸匹|=2。=2,A錯誤；

”。為橢圓。的焦點弦，??.|PQ|W2a=4,B正確;

■.■\PF^\PF2\=\QF^\QF2\=2a=4,

???△死尸。的周長為|尸0|十|尸尸2|十|。尸2|=『人|+|尸尸2|+|。行|+|。尸2|=8,C正

作尸初垂直于直線x=-4,垂足為初,

設(shè)尸的，地），則"?=%+4|,,??丹（—1,0），

|-xQ+2xO+4

???|尸尸i|==|2%0+2\,

???2|尸&=|沏+4|,.???=2|尸碎,D正確.故選BCD.

MP)

x2y2

13.（2024?河南模擬預(yù)測）已知橢圓C：。2+62=1（°乂>0）的左、右焦點分

別為為，凡，點P（G4）為橢圓C上一點，且△尸為三的面積為2#.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若傾斜角為4的直線/與C相交于兩個不同的點4B,求|幺目的最大

值.

8/16

［解析］(1)由題意可得

解得

x2y2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為12+4=1.

兀

（2）k=tan4=1,故可設(shè)y=x~\~tyA（x\,%），B（X29及）,

聯(lián)立消去y可得4N+6及+3代—12=0,

4=36祥一16（3祥一12）=12（16—祥）>0,即一4<t<4,

—6t3t3/2—12

X\~\~X2~4——2,X]%2=4,

則當(dāng)％=0時，|48|有最大值，且其最大值為=2#.

x2y2

14.(2025?四川巴中診斷)已知橢圓C：。2+62=13乂＞0)的左、右頂點分

3

別為4,生，點/在橢圓C上，且?=-4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的右焦點為尸，過點尸斜率不為0的直線/交橢圓C于P,Q

兩點，記直線"P與直線MQ的斜率分別為自，后，當(dāng)品+左2=0時，求

的面積.

［解析］(1)由題意知4(—a,0),4(a,0),

又M,則=,=,

3

l)(a-l)+2=—4,解得。=2(負(fù)值舍去)，

19

由〃在橢圓C上及a=2得4+和2=1,

9/16

解得抉=3,

x2y2

???橢圓。的方程為4+3=1.

(2)由⑴知,右焦點為網(wǎng)1,0),

據(jù)題意設(shè)直線/的方程為x=my+l(機(jī)網(wǎng))，P(myi+1,刃)，Q(my2+\,及),

33

yl----y2----

22yl-322》2-3

則h=叩1=2mvl,k2=叩2=2my2,

2yl-32y2-3

于是由e+左2=0得2叩1+2叩2=0,

化簡得4川；2=3。1+/)(*)

由消去x整理得(3/+4?2+6/即-9=0,

J=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,

6m9

為+刃=-3機(jī)2+4,九及=一3機(jī)2+4,

18m36

代入(*)式得—3相2+4=—3切2+4,

解得m=2,

??.直線I的方程為x—2y—1=0,

39

4

解法一：4=144(22+1)=720,yi+y2=~>3=一應(yīng)

^5772015

\PQ\=^1+22\yi-yi\=16=4,

3V5

又點〃到直線/的距離d==5,

11153而9^5

:?S>MPQ=4尸0口=5x4x5=8.

10/16

13

==

解法—■：由題意可知S^MPQSS^MQF^\MF\(]XP\+\XQ\)=4(|xP|+|xg|),

將x-2y~1=0代入3N+4產(chǎn)-12=0消去y得4x2+2x-11=0,

.?./=22—4x4x(—ll)=180>0,

111

Xp~\~XQ=-2,xpXQ=-4<0,

33

==

?'?SAMPQ^(\XP\~\~\XQ\)^\XP—XQ\

339而

=4^/D%P+XQD2—AXPXQ=4x4=8

注：也可直接解出孫，和求解.

6B組能力提升9

x2y2

1.(2024?河北邢臺五校質(zhì)檢聯(lián)盟期中)已知橢圓C：4+3=1的左、右頂

點分別為Z、B,尸為C上異于Z、8的一點，直線尸4尸8與直線x=4分別交

于M、N兩點，則的最小值為()

15

A.2B.7

13

C.2D.6

D

xQyQ

［解析］設(shè)P(xo,%)，則4+3=1,易知省一2,0),5(2,0),直線總和

W70例3

直線PB的斜率之積任/左PB=X0+2.X0—2=加-4=—4,設(shè)直線PA的方程為

3

y=k(x+2),則M(4,6左)，直線網(wǎng)的方程為y=-4左Q—2),則N,所以

1

\MN\=>2=6.當(dāng)且僅當(dāng)左=±2時，等號成立，故選D.

2.(2024?江蘇淮安淮陰中學(xué)期中)若點(x,仍在橢圓以2+產(chǎn)=4上，則

11/16

y

X—2的最小值為（）

A.1B.-1

2小

C.—3D.以上都不對

C

［解析］設(shè)直線y=k（x—2）,代入橢圓方程消去了得（4+左2）

2小

x2-4k2x+4k2-4=0,令/=16F—4（4+42）（4左2—4）=0,解得左=±3,由圖可

走上

知，直線與橢圓相切時左取得最值，所以上min=-3，即％—2的最小值為一

2小

3.故選C.

x2y2

3.已知橢圓C：。2+52=1伍泌>0）的左、右焦點分別為F2,。為坐標(biāo)

原點，以巴為圓心，乃尸2為半徑的圓與橢圓。交于〃，N兩點，若

=I歐3則橢圓C的離心率為（）

A.企—1B.2一於

C.A/3-1D.2一小

B

［解析］由題意得，|&F2|=|S|=2C,由橢圓定義得Wi|+|g|=2a,故

\MFi\=\OM\=2a~2c,-■\FIF2\=\MF2\,\OM\=\MF^,：.^F2MF1=^F2F1M=ZM

\F2M\\MF1\2c2a~2c

B。，.?.△"FQ與△尸2版1相似，力"對鼻尸10，即2a—20=c,整理得

c2—4ac+2c2=0,故e?—4e+2=0,解得e=2土由0<e<l得，e=2一於，

即橢圓C的離心率為2—在.故選B.

12/16

4.(2025?河南許昌中學(xué)月考)已知橢圓C的兩個焦點坐標(biāo)分別是為(一2,0),

F2(2,0),且經(jīng)過點尸.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線/與尸死平行，且與。有且只有一個公共點，求/的方程.

［解析］(1)由于橢圓。的焦點在x軸上，

x2y2

所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為。2+62=1伍＞步0),

由橢圓的定義知，

c=2,2a=+=2阿

可得所以按=02—02=10—4=6,

x2y2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為10+6=1.

3

2

5一

—2

(2)已知川尸尸2，所以々=狂狗2=2=3,

設(shè)直線I方程為y=3x+機(jī)，

由方程組消去修

得48x2+30mx+5m2-30=0,

該方程的判別式

A=900ZM2—4><48x(5m2—30)=160(m2—96),

13/16

由/=-60（根2—96）=0,得m=±4?,

此時/與。有且只有一個公共點，所以/的方程為：y=3x±4".

x2y2

5.（2025?湖北“宜荊荊恩”聯(lián)考）已知橢圓C：。2+62=1伍>6>0）經(jīng)過點/

1

,且離心率為2

（1）求橢圓c的方程；

（2）過橢圓C右焦點廠的直線/與橢圓C交于48兩點，^.\FA\=2\FB\,

求/的方程.

［解析］⑴聯(lián)立

得。2=4,bi2=3,

x2y2

故所求橢圓的方程為C：