第07講拋物線及其性質(zhì)

目錄

01?？碱}型過關(guān)練

題型01拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

題型02拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程

題型03拋物線的軌跡方程

題型04拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值

題型05焦半徑問題

題型06拋物線的幾何性質(zhì)日

題型07拋物線中三角形、四邊形的面積問題難

題型08拋物線的實(shí)際應(yīng)用

02核心突破提升練

03真題溯源通關(guān)練

01

.

常考題型過關(guān)練

敢型

I.已知拋物線。：）戶=2/?（〃>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為，，點(diǎn)A,5在/上，直線A尸與拋物線C交丁M,N,

M到準(zhǔn)線的距離為3,M,O,B三點(diǎn)共線，若|N4|二2|NF|,則|N8|=（）

A.1B.9C.1或9D.9或18

2.（多選）已知拋物線C:），2=2〃X（〃>0）,準(zhǔn)線為/,過焦點(diǎn)廠的直線交拋物線C于A4兩點(diǎn)，過A6分別

作/的垂線，垂足分別為4，*,則（）

A.FAIFB1

B.若|AF|=3忸目，則直線A6的斜率為6

C.A。夕三點(diǎn)共線（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）

D.|A8[2=4|A可忸尸|

3.已知點(diǎn)P。,"?）在拋物線（7：/=以上，C的焦點(diǎn)為尸，則|丹]=.

4.已知拋物線。：9-2沖（/>0）的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)A,。在拋物淺C上，過線段/W的中點(diǎn)A7作拋物線C的

準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,若N4q=90'，則扁的最小值為.

散型IL02拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程

5.已知拋物線），=2/,則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.-B.-C.1D.2

42

6.己知拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，且焦點(diǎn)在直線x+2），-6=。上，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

為（）

A.y2=-12xB.V=8y

C.Jr2=-\2yD.x2=\2y

7.（多選）已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)"（1,0）的距離與其到直線戶-1的距離相等，則（）

A.曲線。的軌跡方程為丁=4x

B.圓/十丁二5與曲線c交于A,B兩點(diǎn)，與x=_l交于E,G兩點(diǎn)，則A,B,E,G四點(diǎn)圍成的四邊

形的周長(zhǎng)為14

C.若r（4,2）,M為曲線。上的動(dòng)點(diǎn)，則+的最小值為5

D.過點(diǎn)N（-l,0）恰有2條直線與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

8.若拋物線C：處?+y=0的焦點(diǎn)為點(diǎn)產(chǎn)（0,1）,則相=.

散型I03拋物線的軌跡方程

9.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線x=3交C于N兩點(diǎn)，C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)尸，若

PMLPN,則C的方程為（）

A.y2=4.vB.y2=6JC.y2=8xD.y2=12.r

10.在平面內(nèi)，到定點(diǎn)（2,0）的距離比到定直線大=-1的距離大I的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是.

II.已知?jiǎng)狱c(diǎn)“到點(diǎn)（0,2）的距離比它到直線產(chǎn)4=0的距離小2,記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）求軌跡C的方程.

⑵已知直線/：y="+5與軌跡c交于A,B兩點(diǎn),以A,3為切點(diǎn)作兩條切線，分別為4，3直線4，，2

相交于點(diǎn)/，若k網(wǎng)求h

12.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)/（LO）的距離，與點(diǎn)M到直線/：x=T的距離相等.

⑴求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

⑵若過點(diǎn)尸的直線與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡交于AB兩點(diǎn),且標(biāo)=3而，求直線，的方程.

電理（04拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離的和、差最值

13.已知直線4：3%-4），-6=（）和直線，2：），=-2,拋物線/=4），上一動(dòng)點(diǎn)。到直線右、直線/2的距離之和的

最小值是（）

A.2B.3C.—D.4

5

14.已知拋物線C:/=4式的焦點(diǎn)為凡M為C上的動(dòng)點(diǎn)，N為直線/3+百），+3=0上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)"到），

D.過44兩點(diǎn)分別作拋物線的切線乙，4,兩切線4，4相交于點(diǎn)P，則△A4P的面積最小值為1

64

20.已知點(diǎn)戶在拋物線C），=4/上，且點(diǎn)夕到C的焦點(diǎn)產(chǎn)的距離為竺，則點(diǎn)。到x軸的距離為___.

16

21.已知拋物線/=2〃），（〃>0）上的點(diǎn)M（%1）到焦點(diǎn)的距離為5,貝”=.

22.已知拋物線C:丁=4x,尸是拋物線C的焦點(diǎn)，M是拋物線。上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，P（0,2）,若NOPM

的平分線過1M的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

散型IJ6拋物線的幾何性質(zhì)

3

23.（多選）設(shè)拋物線C:y2=6A-的焦點(diǎn)為八過產(chǎn)的直線〃，交。于A、8,過戶且垂直于，〃的直線交/：x=--

于E,過點(diǎn)A作/的垂線，垂足為。，過點(diǎn)8作/的垂線，垂足為尸，則正確的結(jié)論是（）

A.|DE|=|P￡|B.\AE\=\AE\

C.存在直線“，使得目?|陽=18D.對(duì)任意直線加，溫7+油（『而7

24.（多選）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線壓+>-6=0過拋物線。：），2=23（〃>0）的焦點(diǎn)，且與C交于〃,N兩點(diǎn)

（M在第四象限），/為。的準(zhǔn)線，則（）

A./的方程為x=-lB.|MF|=-!y

C.以MN為直徑的圓與/相交D.為鈍角三角形

25.（多選）已知拋物線C：/=4），的焦點(diǎn)為尸，過尸向第一象限作射線￡4,過點(diǎn)A作C的切線/,切點(diǎn)為8,

且/勿8=135。，則（）

A.點(diǎn)A的軌跡是拋物線的一部分B.點(diǎn)A的軌跡是直線的一部分

c.外心的軌跡是直線的?部分D.小外心的軌跡是拋物線的一部分

26.已知拋物線尸=41，過其焦點(diǎn)/作直線拋物線交于A4兩點(diǎn)，下列說法正確的是.

①以AB為直徑的圓與直線工=-|沒有公共點(diǎn)；②以所為直徑的圓與了軸只有一個(gè)公共點(diǎn)；③|45|的最小

值為4；④|A目的最小值為2.

敢型L07拋物線中三角形.四邊形的面積問題

27.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/』=。，+2與拋物線C：V=8x交于M,N兩點(diǎn)，與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)H.若

麗=2麗，點(diǎn)、F為C的焦點(diǎn)、,則△O%'與△ON/的面枳之比為（）

2?31

A.—B.—C.—D.—

5342

28.如圖，陰影部分（含邊界）所示的四葉圖是由拋物線C：>2=2x繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,180,270°

后所得的三條曲線及拋物線。圍成的，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

?

X

A.開口向上的拋物線的方程為

B.四葉圖上的點(diǎn)到點(diǎn)。的距離的最大值為20

C.四葉圖的面積小于6

D.動(dòng)直線丫+'=，被第一象限的葉子所截得的弦長(zhǎng)的最大值為2&

3

29.設(shè)點(diǎn)廠為拋物線）』=4X的焦點(diǎn)，過（5,0）的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若|”|=5,則/的面積

是.

30.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線），=-6（尸1）過拋物線C：y2=2〃x（P>。）的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn).

（1）求拋物線C的方程；

（2）求的面積；

（3）若/為C的準(zhǔn)線，證明：以MN為直徑的圓與/相切.

散型IJ8拋物線的實(shí)際應(yīng)用

31.圖中展示的是一座拋物線形拱橋，當(dāng)水面在/時(shí)，拱頂離水面2m,水面寬6m,水面上漲Im后，水面

寬度為（）

A.3>/3mB.3,>/2mC.36mD.8m

32.如圖①，上海黃浦江上的盧浦大橋，整體呈優(yōu)美的弧形對(duì)稱結(jié)構(gòu).如圖②，將盧浦大橋的主拱看作拋物

線，江面和橋面看作水平的直線，,主拱的頂端〃到江面的距離為100m,目./W=0CO=55Om，則頂端。到

橋面

江面

圖①圖②

A.50mB.50忘mC.55mD.55x/2m

33.如圖，探照燈反射鏡由拋物線的一部分繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)而成，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，這樣可以保證

發(fā)出的光線經(jīng)過反射之后平行射出.已知當(dāng)燈口圓的直徑為80cm時(shí)，燈的深度為50cm.為了使反射的光

更亮，增大反射鏡的面積，將燈口圓的直徑增大到88cm,并且保持光源與頂點(diǎn)的距離不變，此時(shí)探照燈的

深度為cm.

34.如圖，某隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，同方向有兩個(gè)車道（共有四個(gè)車道），每個(gè)車道寬為3m,此隧道的截

面由一個(gè)長(zhǎng)方形和一拋物線構(gòu)成，如圖所示，為保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)車輛頂部為平頂）與隧

道頂部在豎直方向上高度之差至少為靠近中軸線的車道為快車道，兩側(cè)的車道為慢車道，則車輛通過

隧道時(shí)，慢車道的限制高度為m.（精確到0.1m）

35.蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是東方之門的立意基礎(chǔ)，“門

的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長(zhǎng)60m的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋150m

處各有一個(gè)窗戶，兩個(gè)窗戶的水平距離為30m,如圖2,求此拋物線頂端。到連橋A8的距離.

圖1

02

36-'獷新角度如圖是正在施工建設(shè)的濟(jì)新高速黃河三峽大橋鳥瞰圖，該橋是世界首座獨(dú)塔地錨式回轉(zhuǎn)纜懸

索橋.大橋主跨。4長(zhǎng)約500米，主塔AB高約100米，纜懸索是以。為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線。的

一部分，若尸為拋物線C的焦點(diǎn)，則主塔兩端點(diǎn)A,8到拋物線C的焦點(diǎn)尸的距離之和約為(參考數(shù)據(jù)：

,640625會(huì)800)()

A.725米B.1358米C.1525米D.1558米

37.已知E是拋物線。:丁=2座(〃>0)的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線。的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C上.在

△EFP中,若sinNEFP=NFEP,則4的最大值為.

38.已知斜率為攵的直線與拋物線C:y2=2p.r(〃>0)交于A4兩點(diǎn)，且當(dāng)直線過C的焦點(diǎn)時(shí)，C在點(diǎn)A6

處的切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1.

(1)求C的準(zhǔn)線方程；

(2)若直線以與C的另一個(gè)交點(diǎn)為。(異于點(diǎn)6),是否存在實(shí)數(shù)上，使得直線恒過定點(diǎn)G,

若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.

39.如圖所示，已知開口方向向上、頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線.上的縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)M到焦點(diǎn)廠的距離為2.

⑵已知/，是直線/：)，=2.r-8上的動(dòng)點(diǎn)，PAPA為拋物線的兩條切線，A3為切點(diǎn).

①求證：直線AB過定點(diǎn);

②拋物線上是否存在定點(diǎn)C使得以為直徑的圓恰過定點(diǎn)C?若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說

明理由.

40.新考函|如圖，拋物線。：犬=2〃)，(〃>0)上縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,點(diǎn)P(sj),45，%)

⑵過線段尸4的中點(diǎn)修作X軸的垂線交。于點(diǎn)A，過線段PM的中點(diǎn)作X軸的垂線交c于點(diǎn)右,過線段

P%的中點(diǎn)M3作x軸的垂線交C于點(diǎn)兒，L,依此操作〃次，記7TA的面積為S”.

①求△尸4A的面積；

〃16

②證明：

;=|/

03

真題溯源過關(guān)練1

1.（全國(guó)乙卷?高考真題）設(shè)尸為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)5（3,0）,若|陰=忸目,則|蝴=

（）

A.2B.2及C.3D.372

2.（2023?新課標(biāo)II卷?高考真題）（多選）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y