3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

-?選擇題（共10小題）

1.（2025?孝感模擬）已知”>人則下列不等式中一定成立的是（）

A.11

_<_B.a2>b2C.Ina>bibD.2"">1

ab

2.（2025春?浙江期中）設(shè)a,beR,若則下列不等式中不正確的

是（）

B.11

A.a2<b2_<_C.ab<b2D.a+b>-1

ab

3.（2024秋?安徽期末）己知—3”ci+b?—2,1?ci—b?4,則3a+力的取值范圍是（

)

A.[-3,0]B.“5，3]C.1-5,01D.[-2,51

設(shè)a,bwR,若」<_!<(),則(

4.（2025?海淀區(qū)模擬）)

cib

A.a<bB.\a\<\b\C.a+b>ahD.2“<2h

/?>0,Zi+b=1,則1

5.（2025?河北模擬）已知心0,十二的最小值為（)

ab

B.Z.

A.2C.4D.9

2

6.（2025?湖南模擬）下列命題為真命題的是（）

A.若a>〃，c>d,P!!Ja-c>b-dB.為a>b,c>0,則

C.若a>b,則L<[

D.若a>b>c,則ah>be

ab

3、

7.（2025?廣西模擬）口=*3/=/*25，。=&-1，則“，入c的大小關(guān)系是（)

A.a<h<cB.a<c<bC.h<a<cD.h<c<a

8.（2025春?渭濱區(qū)月考）設(shè)a,〃GR,且a</"0,則（）

A.11

<B.b->abC.>abD._+_>2

7b2ab

9.（2025春?皇姑區(qū)期中）已知“，b,cwR,則下列不等式中一定成立的是（)

A.若a>b,則|“|>|Z?|B.若“>/）>c>0,則>

a+cb+c

C./ia<h<0i則<D.若a>b,貝（］/（〃-〃）>（）

ab

10.（2024秋?龍崗區(qū)期末）下列命題是假命題的為（）

A.若a>b,則〃/>/后B.若a>b,c>dt則〃+c>〃+d

C.若4>。>0且C<。，則C>,D.若心〃>7,則1<1

a2b2a+1b+1

二?多選題（共4小題）

（多選）11.（2025?臨沂二模）已知?jiǎng)t下列不等式正確的是（）

A\1

<B.ab2>cb2C.a+b>cD.a2+C2>b2

a-ca-b

（多選）12.（2025?聊城二模）已知實(shí)數(shù)人〃滿足曲>0,則（）

A.a+b<ab

B.J&2

ab

C若a>。，則1?

ab

D,若a<b,〃i>0,則"<"+'"（A+〃?工0）

bb+in

（多選）13.（2025?涼州區(qū)模擬）已知Wo,則下列不等式正確的是（）

ab

A.<J_B.\a\+b>0C.Ina2>InlrD.d-b-）

a+babab

（多選）14.（2024秋?雨ft區(qū)期末）下列命題為真命題的是（）

A.若a>b>0,則a（r>be2B.若“>b>0,則a2>b2

C.若a>匕>c>0,則J<JD.若a>b>c>0,則8+，

a-cb-caa+c

三?填空題（共4小題）

15.（2024秋?邵陽期末）已知J72%8如±1"羽的取值范圍為

<a<

23,23

16.（2025?深圳開學(xué)）已知-l<a+b<3,2<a-b<4,P=a+3b,則尸的取值范

圍是—.

17.（2024秋?信陽期末）若實(shí)數(shù)a,b,c滿足〃+c=3〃—4a+6,

c=/_4a+4,試確定a,b,c,的大小關(guān)系是.

18.（2024春?嶗ft區(qū)期中）己知4<〃<6,3<〃<4,則〃+”的取值范圍是.

b----

四?解答題（共6小題）

19.（2024秋?通遼期中）（1）若xwR,試比較版與4.F-2A+16的大??；

（2）已知-5cx<4,2<y<3.求x-2），的取值范圍.

20.（2024秋?拱墅區(qū)期末）已知-2<x-y<0,l<2x+），<3.

（1）分別求尤與），的取值范圍；

（2）求8x+y的取值范圍.

21.（2024秋?單縣期中）已知2<力<8.試求：

（1）加+38的取值范圍.

（2）的取值范圍.

22.（2023秋?長安區(qū)月考）已知1<a<4,2</7<8,分別求:

（1）為+3〃的取值范闈；

（2）〃的取值范圍；

（3）”的取值范圍.

b

23.（2024秋?府谷縣月考）已知實(shí)數(shù)a,b滿足1”什18,3na-b?4.

（1）求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍；

（2）求為-5》的取值范圍.

24.（2024秋?禪城區(qū)月考）（1）已知12<a<60,I5<〃<36.求方和"的取值

b

范圍.

(2)己知0<a+〃<2,-\<b-a<\,求2?-〃的取值范圍.

故選：D.

3【答案】C

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求解.

【解答】解：因?yàn)?〃+方=2(〃+b)+(a-b),

又-3”b?-2,1?ci—bn4,

所以-6”2(6T+h)?—4,

HP-5?2(a+b)+a-bM0,

所以3a+》的取值范圍是［-5,

OJ.故選：C.

4【答案】B

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：若1/<0,則。<〃<0,A錯(cuò)誤；

ab

所以|〃|<叫，B正確;

由〃<〃<0口J得。+Z?<0?ab>01

故a+b<ah,C錯(cuò)誤；

由可得，2b<T,D錯(cuò)

誤.故選：B.

5【答案】C

【分析】應(yīng)用常值代換結(jié)合基本不等式計(jì)算求出最小值.

【解答】解：由勿+武1,”0,八0,得1+。=2+瞋屋4,

ababab

當(dāng)且僅當(dāng)a=方且+〃=1>即a=/?=1時(shí)取等號(hào).

3

故選：C.

6【答案】B

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：當(dāng)〃=2,b=\fc=l,d=0時(shí)，A顯然錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?gt;小，c>0,由不等式性質(zhì)可得ac>be,B工確;

當(dāng)a=1,〃=一1時(shí)，。顯然錯(cuò)誤；

當(dāng)c=0時(shí)，。顯然錯(cuò)誤.

故選：B.

7【答案】B

【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式化簡〃，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性確定/，的范圍，即可比較

a,b,c的大小.

【解答】解：a=e」*=/、=上,b-log_>logJ2=~9c~9

32222v32

故b>c>

a.故選：

B.

8【答案】。

【分析】ABC選項(xiàng)，可舉出反例；。選項(xiàng)，利用基本不等式進(jìn)行求解.

【解答】解：A選項(xiàng)，當(dāng)a=-2,。=-1時(shí)，)=-L，=-l，故A錯(cuò)誤；

a2bah

B選項(xiàng)，當(dāng)〃=-2,力=-1時(shí)，力2=1,ab=2?b2<ab,B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，當(dāng)”=-2,匕=-1時(shí)，(l+=--yJah='J2?"+"<，。錯(cuò)誤；

222

Q選項(xiàng)，當(dāng)“<。<0時(shí)，”0二>0,由基本不等式可得2+:”.2—工=2,

abab7ab

當(dāng)且僅當(dāng)P=即時(shí)，等號(hào)成立，但故等號(hào)取不到，

ab

故C+2>2,D正確.

ab

故選：。.

9【答案】B

【分析】利用特殊值法可判斷A。錯(cuò)誤，利用作差法計(jì)算可得8正確，再由不等

式性質(zhì)可得C錯(cuò)誤.

【解答】解:對(duì)于A9當(dāng)a=-l>b=-3時(shí)，可知|不成立,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)閍>h>o01可得

aba(b+c)b(a+c)c(a-b)八

--------------=------------------------------------=----------------->0;

a+cb+c(a+c)(b+c)(a+c)(b+c)(a+c)(b+c)

所以二〉_L，故B正確；

a+cb+c

對(duì)于C,由aA<0,可得LI,故C錯(cuò)誤；

ba

對(duì)于D,a>b,當(dāng)c=0時(shí)，c2(a-b)=0,故￡)錯(cuò)

誤.故選：B.

(D【答案】A

【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：當(dāng)c=0時(shí)，4顯然為假命題；

若a>b,c>d,則a+c>/?+d,為真命題；

若“人。且c<0,則1<二c>c,c為真命題；

出Zra2b2

若。〉人〉-1,貝Ija+1〉力+1>0,

所以1<L,。為真命題.

a+1b+1

故選：A.

二?多選題(共4小題)

1【答案】AD

【分析】對(duì)于A,可以用作差法判斷，對(duì)于8C,舉反例判斷即可，對(duì)于。，分

b>Qf6=0,。<0三種情況討論即可判斷.

【解答】對(duì)于A,1-1_c-b,因?yàn)?/p>

a-ca-b(a-c)(a-b)(a-c)(a-b)

所以c<0,?-c>0>a-b>0i即"b<o,所以故A正確;

(a-c)(a-b)a-ca-b

對(duì)于B,當(dāng)。=0時(shí)，ab2=cb2=0,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,取a=-1>8=-2>c=-3,則a+b=c=-3,故C錯(cuò)誤，

對(duì)于。，若a>0>b>c,則〃+c2>/>成立，

若a>〃=0>c,貝+/>〃=0顯然成立，

若a>>>0>c,則/+c2>〃>“2成立，

綜上所述，只要就一定有M+c2>82,故。正

確.故選：AD.

2【答案】BC

【分析】由己知結(jié)合不等式性質(zhì)及基本不等式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【解答】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)a,〃滿足劭>0,

當(dāng)"0,匕<0時(shí)，A顯然錯(cuò)誤；

”咨巧1=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，8正確；

ab7ba

當(dāng)a>〃，ab>0時(shí)，1_1=""<0,即L〈l，C正確；

ababab

若。=-2,。=-1,"?=2時(shí)，滿足a<力，/〃>0,但二=2,"+"=0,。顯然錯(cuò)誤.

bb+in

故選：BC.

1【答案】AD

【分析】由可得0>a>〃.再利用不等式的基本性質(zhì)逐一判斷即可.

ab

【解答］解：由*<1<0>可得0>a>〃.

ab

所以，<),故4正確；

a+bab

因?yàn)?<-a<

所以|a|<—b,即|a|十〃<0,故B錯(cuò)誤;

由0<-a〈->，可得〈匕2,所以</帥2,故。錯(cuò)誤；

由1/<0,可得-I〉-1又a>b,

abab

所以qJ,故D正確.

ab

故選：AD.

4【答案】DC

【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差比較大小的方法，逐項(xiàng)判斷即得.

【解答】解：對(duì)于A,取c=0，A顯然錯(cuò)誤；

22

對(duì)于8,若a>b>0,則a?_加=(a+力(a-b)>0,a>bfB正確;

對(duì)于C,若a>8>c>0,則〃一〃>0,6/-c>0?b-c>0i

所以1-1=a-b>o,則「_<」_，。正確；

b-ca-c{a-c\b-c)a-cb-c

對(duì)于。，若c—,則已處￡=處士W上)一9心1<o,則D

aa+ca(a+c)a(a+c)aa+c

錯(cuò)誤.

故選：BC.

三?填空題(共4小題)

5【答案】"，5n.

(一)

23

【分析】由己知結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：因?yàn)?七%2n〈眸叫_

23'233

所以&O+ZB/”.

21

故答案為：“，577.

(-)

23

6【答案】{P|-6<P<4}.

【分析】利用換元法，結(jié)合不等式性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：令人憶"，則,

[〃-〃=〃j?_/n-

I

即P=2m-n,

,i,f—I<a+h<3.f—I<in<3―2v2〃？v6....

由’,即nr，，可得，，則-6Vp<4.

[2<a-b<4(2<z?<4[-4<-n<-2

故答案為：{P|-6Vp<4}.

I【答案】b...c>a.

【分析】通過配方得〃-C=(a-2)2..0,所以b...c.將條件中的兩個(gè)式子相減,整

埋得c=42+2,由c-a>0得所以

【解答】解:因?yàn)閎-c=a「-4〃+4=(。-2)2…0,所以〃…c.

由條件有2c=(3〃-44+6)-(〃-4〃+4)=2〃2+2,即c=a2+2,

所以-。+2=3-)2+>0,所以c>“.

24

故答案為：b...c>a,

3【答案】(2,3).

【分析】首先變形上，再轉(zhuǎn)化為求f的范圍.

bb

a+ha

【解答】解：由題意可知，=+\f

bb

4<?<6,!_<!_<!_,KJ1<1<2,所以2<1+1<3.

4〃3bb

故答案為：(2,3).

四?解答題(共6小題)

3【答案】(1)4.d-2x+16...3/+6r;(2)—11<x—2y<0.

【分析】(I)作差后再配方即可；

(2)根據(jù)y的范圍可求出-y的范圍，進(jìn)而可得出刀-2)，的范圍.

【解答】解：(1)Q4x2-2x+16-(3^+6ir)=x2-8X+16=(X-4)2...O,

/.4x2-2x+16...3x2+6x;

(2)由題設(shè)，-6<-2y<-4,而-5<%<4,

/.-11<x-2>?<0.

0【答案】(1)實(shí)數(shù)x的范圍為(-3I),y的范圍為(2)(-1,9).

3

【分析】(1)不等式-2vx-yv0①，l<2x+yv3②,然后利用①+②,②+①>(-2)

分別求出x,y的范圍；(2)利用)①x2+②x3即可求解.

【解答】解：(1)不等式-2<x-y<0①，l<2x+y<3②,

①+②可得：-l<3x<3,解得-1cx<1,

3

②+①x(-2)可得：I<3y<7,解得

33

所以實(shí)數(shù)x的范圍為(「，1),)的范圍為(17;

33,3

(2)①x2+②x3可得：-l<8x+y<9,

即8x+y的范圍為(-1,9).

2【答案】(1)(8,32);

(2)(-7,2).

【分析】(1)利用不等式的性質(zhì)計(jì)算即可；

(2)利用不等式性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】解：(1)由2<〃<8可知2<加<8,6<<24,

所以8〈為+3方〈32,

故2a+3b的范圍為(8,32);

(2)由2</?<8可知一8<—8<一2,

所以-7<a-b<2,

故a+b的范圍為(-7,2).

2【答案】⑴(8,32)；

(2)(-7,2)；

⑶(1

2).8

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求所給式子的范圍.

【解答】解：(1)由題可知，2<勿<8,6<3/?<24,所以8<〃+3〃<32,

則2a+3b的取值范圍為(8,32);

(2)由題可知，I<?<4,-8<-Z><-2,所以

則的取值范圍為(-7,2)；

(3)由題可知，l<a<4,W，所以

8^28b

則f的取值范圍為(二2).

b8

3【答案】(1)[2,6],[-3[

2'2

⑵,25]

22

【分析】(1)用已知式子”+。，〃-力表示a,b,利用不等式的性質(zhì)求解范圍即

可；

(2)用已知式子“冬八a-b表示2a-5b,利用不等式的性質(zhì)求解范圍即可.

【解答】解：(1)因?yàn)閘”a+Z?”8,3”

所以4”(a+b)+(a-b)?12,

所以2,,a”6,

即實(shí)數(shù)”的取值范圍為[2,6].

因?yàn)閎=?[(a+b)-(a-b')]=1[(a+b)+(h-a)]，

22

由3”。-力”4,所以-4”。一4一3,乂1”a+b?8，

所以-3”(4+b)—(ci—b)?5，

所以-Kl(a+b)-(a-b)]<J,

222

即-3$力$5,

22

即實(shí)數(shù)力的取值范圍為[-3

2'2

(2)設(shè)2。-5〃=〃?(。+力)+n{a-b)=(m+n)a+(/w-n)h，

f3

m=-

則上"〃=2解得!