第3章勾股定理（單元測試?培優(yōu)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.若3、4、。為勾股數(shù)，則。的值為（）

2.直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和12,則斜邊上的高為（）

D.8

若大正方形的面積是13,小正方形的面

積是1,設(shè)直角三角形較長直角邊為6,較短直角邊為a,則a+6的值是（）

7.如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地0.5米，將它往前推3米時，踏板離地1.5米，此時秋

千的繩索是拉直的，則秋千的長度是（）

A.3米B.4米C.5米D.6米

8.如圖，斜坡3c的長度為4米.為了安全，決定降低坡度，將點C沿水平距離向外移動4米到點

使得斜坡43的長度為4石米，則原來斜坡的水平距離8的長度是（）米.

D.6

A.7B.6C.5D.4

A

B

CD

A.734B.4C.5D.-734

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

12.《九章算術(shù)》卷九勾股第五題原文"今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下，纏木七周，上與木齊.問

葛幾何？"題目大意為：現(xiàn)有一棵大樹，長為2丈，周長為3尺.葛就生長在樹下，纏繞了大樹七周，

頂端與樹一樣齊.問葛有多長？葛為_____尺丈=10尺）.

14.如圖，在數(shù)軸上標(biāo)出表示工的點力,和表示5的點2,過點。作直線/垂直于。4以點/為圓心，

以為半徑在數(shù)軸的上方作弧，弧與直線/交于點C,以點。為圓心，以O(shè)C為半徑作弧，弧與數(shù)軸

正半軸的交點。即為表示而的點，根據(jù)作圖，利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，如果在直角三角形中，一

邊長為小，其他兩邊均為正整數(shù)，那么長為的邊是直角三角形的（填"直角邊"或"斜邊"），

直角三角形另兩條邊長分別為、.

_____IIIIII1?

0123456

16.世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a=g（加

-/）,b=mn,c=y（m2+?2）,其中加，n（加＞〃）是互質(zhì)的奇數(shù)，則a,b,c為勾股數(shù).

我們令"=1,得到下列順序排列的等式：

①32+42=52,

②52+122=132,

③72+242=252,

④92+402=412,

根據(jù)規(guī)律寫出第⑥個等式為.

17.如圖,在長方形ABCD中，點E是2c上一點,連結(jié)AE,以AE為對稱軸作加2￡的軸對稱圖形HAB'E,

延長￡夕恰好經(jīng)過點，過點￡作班08。，垂足為E,交N夕于點尸，已知/8=9,/。=15,貝U跖=_.

18.如圖，RtElABC中，0ACB=9O°,CD是I3ABC的高，BC=3cm,AB=5cm,現(xiàn)有一動點P,以lcm/s

的速度從點C出發(fā)向點A勻速運動，到點A停止；同時，另一個動點Q,從點A出發(fā)向點B勻速運動，到

點B停止.在兩點運動過程中的某一時刻，I3APQ恰好與I3CBD全等，則點Q的運動速度為cm/s.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）在RtEWBC中，兩條直角邊48,3c的長c,a滿足|4-c|+M-10a+25=0.

（1）求/C的長.

（2）求RtEL43c的面積.

20.（8分）將兩個全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，三角形的長直角邊記為a,短直角邊記為b,

斜邊記為C.

(1)判斷AE與3。的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵連接AO,試通過各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗證勾股定理.

(1)若直角三角形兩直角邊長分別為3和4,則斜邊長為一

②四邊形C4ZJ8的面積是否為定值，若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.

23.（10分）森林火災(zāi)是一種常見的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國科技、經(jīng)濟的不斷發(fā)展，開始應(yīng)用飛機

灑水的方式撲滅火源.如圖，有一臺救火飛機沿東西方向/瓦由點/飛向點2,已知點C為其中一個著火

點，且點C與直線42上兩點4,5的距離分別為600m和800m,又4B=1000m,飛機中心周圍500m以

內(nèi)可以受到灑水影響.

（1）著火點C受灑水影響嗎？為什么？

（2）若飛機的速度為10m/s,要想撲滅著火點C估計需要13秒，請你通過計算判斷著火點C能否被

撲滅？

24.（12分）【圖形定義】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

E

B（圖1）D（圖2）

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足/+〃=/的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)求解即可.

解：03、4、a為勾股數(shù)，

當(dāng)4為直角邊時，

當(dāng)4為斜邊時，

故選：B.

【點撥】本題主要考查勾股數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)的定義：滿足。2+〃=/的三個正整數(shù)，稱為勾

股數(shù).

2.A

【分析】先求出斜邊，然后利用面積相等法解題即可.

設(shè)斜邊上的高為人，

團斜邊上的高為招，

故選：A.

【點撥】本題考查直角三角形的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于能夠利用勾股定理求出斜邊長.

3.A

【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解

答.

解：如圖，觀察發(fā)現(xiàn),

cBD

故選：A.

4.C

【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一

定等于斜邊長的平方是解題的關(guān)鍵.

5.B

解：因為大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,

故選：B.

6.A

故選：A.

【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

7.C

則秋千的長度是5米.

故選：C.

【點撥】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

8.A

故選：A.

【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運用勾股定理列出方程.

9.A

故選：A.

【點撥】本題考查折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

10.A

解：作點/關(guān)于直線/的對稱點A，連接AB交直線/于點P,此時/尸十必最小;

^R4=PA',

^AP+PB=PA'+PB=A'B,

過點2作8曲C于點及

EL4C0CD,

SBE//CD,

又BD^CD,

SCE=BD=2,

同理可得：EB=CD=3,

EL4C=A'C—3,

13A￡=2+3=5,

故選：A.

A

B

E

/PD

A'

【點撥】此題考查了平行線的判定，平行線間的距離處處相等，軸對稱最短路徑問題以及勾股定理，

準(zhǔn)確找到點P的位置是解此題的關(guān)鍵.

11.6

【分析】根據(jù)勾股定理可以求得N8的長，再根據(jù)的8。=90。，BD=1,即可得到的長.

解：0EC=9O°,AC=BC=1,

EH￡）A4=90°,BD=\,

故答案為：6

【點撥】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理求出N8和的長.

12.29

【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以

是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出.

解：如圖，一條直角邊（即大樹的長）長20尺，

故答案為：29.

【點撥】本題考查了平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖形

后為直角三角形按照勾股定理可求出解.

【分析】根據(jù)題意可得24和10為兩條直角邊長，可求出小正方形的邊長，然后可利用勾股定理得出EF

的長.

【點撥】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

14.&?；1、4.

【分析】按照題意畫圖，即可判斷.

解：如圖,

后是直角三角形的直角邊，另外兩邊分別為1和4.

故答案為：1、4.

【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，按照題意準(zhǔn)確畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

15.53

故答案為：53.

16.132+842=852

【分析】通過觀察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在觀察各底數(shù)的特點，找到規(guī)律即可得

出第⑥個等式.

解：03=2x1+1,5=2x2+l,7=2x3+l,9=2x4+l,

國第一個數(shù)的底數(shù)是2"+1,指數(shù)是2,

國4=2x12+2x1,12=2x22+2x2,24=2x32+2x3,40=2x42+2x4,

回第二個數(shù)的底數(shù)是2層+2〃，指數(shù)是2,

回第三個數(shù)的底數(shù)比第二個數(shù)的底數(shù)大1,指數(shù)是2,

團第"個等式為⑵+1）2+（2層+2〃）2=（2/+2附+1）2,

團第⑥個等式為132+842=852,

故答案為：132+842=852.

【點撥】本題主要考查了整式的數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到每一組數(shù)據(jù)的規(guī)律.

17.5

【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知：AB'=AB=9,西QE=EI3=90。，B'E=BE,WAE=^BAE,然后根據(jù)勾股定理

可得DB,8E的長，進而可得所的長.

解：由軸對稱的性質(zhì)可知：AB'=AB=9,EL48'E=0S=9O°,B'E=BE,WAE=^BAE,

在我但4。9中，根據(jù)勾股定理，得

&BC=4D=15,

^EC=BCBE=15BE,

在R幽EC中，DE=DB'+B'E=12+BE,DC=AB=9,

根據(jù)勾股定理，得

DE2=EC2WC2,

0(12+BE)2=(155￡)2+92,

解得BE=3,

^\EF^AB,

^FEA=^\BAE,

^\B'AE=^BAE,

^FEA^B'AE,

回E4=FE,

出FB』AB，AF=9FE,

在必EEEB，中，根據(jù)勾股定理，得

EF2=FB'2+EB'2,

回￡尸=(9FE)2+32,

解得EF=5.

故答案為：5.

【點撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，軸對稱圖形，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

【分析】在RN5C中，a4C3=90",先利用勾股定理求得8C,再用等面積法求得CD,再根據(jù)CD是

EU8C的高，05+E5CP=9O°,而財+貼=90。，進行等量代換可得到EL4=E15CD因此EL4P0恰好與EIC8。

全等，對應(yīng)邊可能是4P=2C,AQ=CD,或者AP=CD,AQ=BC,設(shè)點。的運動速度為xcm/s,運動時間

為，秒，列方程組計算即可.

解：HIMC3=90°,BC=3cm,AB—5cm,

設(shè)點。的運動速度為尤"z/s,運動時間為f秒，

則CP=f,AP=4—t,AQ=xt,

13c。是EABC的高，

a&8￡1C=90°,國8+BBC。=90°,

而成+EIS=90°,

EEL4=EBCD,

故而胡P。恰好與回C8D全等，分以下兩種情況討論：

①當(dāng)胤時，AP=BC,AQ=CD,

②當(dāng)EL4Q尸EEICBD時，AP=CD,AQ=BC,

1215

回點。的運動速度為七。冽人或者丁。冽氐

5o

【點撥】本題考查勾股定理，等面積法求直角三角形斜邊上的高，全等三角形的性質(zhì)，比較綜合，注

意分類討論思想的應(yīng)用.

19.(1)741；(2)10

【分析】(1)先根據(jù)絕對值和平方的非負(fù)性求出c和。，再根據(jù)勾股定理即可求出答案；

(2)直接利用三角形的面積公式求解.

(1)解:0|4-c\+a2-10a+25=0,

0|4-c\+Ca-5)2=0,

田|4-c|=0,(a-5)2=0

團a=5,c=4,

(2)解：A/BC的面積=gx4x5=10.

【點撥】本題考查了完全平方式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和勾股定理，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是求出。和c

的值.

(2)解：連接AD,ED,

【點撥】本