第11講第二章直線和圓的方程重點(diǎn)題型章末總結(jié)

第一部分思維導(dǎo)圖

第二部分題型精講

題型01直線的傾斜角和斜率

【典例1]（24-25高二下?安徽滁州?期末）設(shè)直線/的方程為尤-ycos6+2=0,則直線/的傾斜角a的取值

范圍是（）

71兀兀兀兀、f71371

_71__(~~__3__

A.[0,7c]"2」，|_4,4D.

【典例2]（23-24高二上?廣東廣州?期中）已知點(diǎn)A（2,-3）,鞏-5,-2）,若直線/:儂-y+相+1=0與線段A8（含

端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

43

A.

354

34

C.

4?3

【變式1]（24-25高二上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）已知4（-2,3）、8（2,1）,若斜率存在的直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（0,-1）,

且與線段AB有交點(diǎn)，則/的斜率的取值范圍為（）

A.[—2,1]B.[一1,2]C.[l,+oo）D.（^>o,-l]u[2,+oo）

【變式2]（24-25高二下,海南海口?開(kāi)學(xué)考試）已知4（-2,-1）,3（2,-2）,直線/經(jīng)點(diǎn)尸（0,1）,若直線/與線

段AB相交，則直線/斜率的取值范圍為（）

A.B.1雙-331，+e）C.[-8,-[卜（1,+力）D.|,1^

【變式3】（24-25高二上?山東?階段練習(xí)）已知直線/：辦+2y+3=。的傾斜角為a,若,則實(shí)數(shù)

。的取值范圍是（）

A.（。,2@B.[0,273]C.[-273,0）D.卜2后。]

題型02直線方程

【典例1]（24-25高二上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）已知直線4：x+（〃z+l）y+l=O,/2：（m+l）x+y—l=0.

⑴若"4,求機(jī)的值.

（2）設(shè)直線4過(guò)的定點(diǎn)為A,直線4過(guò)的定點(diǎn)8，且當(dāng)m=1時(shí)，直線4與4交點(diǎn)為C,求VABC中BC邊上的

高所在直線/的方程.

【典例2］（24-25高二上?寧夏吳忠?期中）已知直線，：（a-l）y=（2a-3）x+l.

⑴求直線/所過(guò)定點(diǎn)；

（2）若直線/不經(jīng)過(guò)第四象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

⑶若直線/與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求,的方程.

【變式1］（2026高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知直線/過(guò)點(diǎn)/（2,1）,且分別與x軸，》軸的正半軸交于A,8兩

點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則直線/的方程為.

【變式2］（24-25高二下?上海浦東新?期中）已知在VA2C中，A（-2,l）,B（4,-3）,點(diǎn)G（0,2）是此三角形

的重心.

⑴求邊2c所在直線的一般式方程；

⑵若直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（-2,1）且在x軸、＞軸上的截距相等，求直線/的斜截式方程.

【變式3］（23-24高二上?云南昭通?階段練習(xí)）已知直線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（4,3）,且與x軸正半軸交于點(diǎn)A,與V軸

正半軸交于點(diǎn)瓦。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴若直線/在兩坐標(biāo)上的截距相等，求直線/的方程；

（2）求△OAB面積的最小值及此時(shí)直線/的方程.

題型03兩直線的平行與垂直

【典例1］（24-25高二上?湖南衡陽(yáng)?期末）已知。€（0,兀），直線4:xcos。一y+l=0,

4：（2cos，+3）x+2y—2=0,若（~L乙,貝1］6=（）

71712兀3兀

A.—B.-C.—D.—

6334

【典例2】（2026高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知兩直線4:x+ysina+l=0和:2xsinc+y+l=0.若“/4,則

a=.

【變式1］（24-25高三上?江西南昌?階段練習(xí)）已知。＞0力＞0,直線4：（a—l）x+y—1=。，4：%+出+1=。，

且則女2+；1的最小值為（）

ab

A.2B.4C.8D.16

【變式2】（2025?黑龍江大慶?模擬預(yù)測(cè)）直線小（機(jī)—2）x+3y+3=0與直線小2%+（根—l）y+2=0平行，

貝I］機(jī)=.

【變式3］（24-25高二下?上海,階段練習(xí)）已知直線4：（a+l）x-2沖+1=0與4：x+ay+3=O垂直，則實(shí)數(shù)

CI—.

題型04兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題

【典例1】（河北省2024屆高三下學(xué)期全過(guò)程縱向評(píng)價(jià)（二）數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)4（-1,4）到直線

/:（2X-l）x-（2+l）y+4+4=0的最大距離是（）

A.75B.2C.73D.不存在

【典例2】（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)又本€/。：6+處+。-3=0（a＞0,。＞0）恒過(guò)點(diǎn)尸（1,相），且。（4,0）

12

到動(dòng)直線I。的最大距離為3,則1+士的最小值為_(kāi)______.

2ac

【變式1］（2025?山東?一模）實(shí)數(shù)。力滿足。+6+1=0,則/-2〃+62的最小值為（）

A.2B.1C.0D.-1

【變式2］（24-25高二上?山西大同?期中）己知實(shí)數(shù)a,6,c,d滿足3a-46+3=0,3c-4d-7=0,貝U

（a-c）~+（6-d）2的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3］（24-25高二下?上海松江?階段練習(xí)）已知點(diǎn)P（-3,-1）和直線/:（l+2/l）x+（l-32）y+4—2=。，

則點(diǎn)P到直線/的距離最大值為.

題型05直線中的對(duì)稱問(wèn)題

【典例1］（24-25高二下?上海寶山,階段練習(xí)）在等腰直角VABC中，AB=AC=6,點(diǎn)P是邊AB上異于

端點(diǎn)的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)經(jīng)3C、C4邊反射后又回到點(diǎn)尸，若光線QR經(jīng)過(guò)VA3C的重心，則△尸沙的

面積等于（）

【典例2］（23-24高一下?全國(guó)?階段練習(xí)）（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（T,4）,直線/的方程為3x+、-2=。,

求點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）求直線3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線/的方程;

（3）求直線*-2〉-1=0關(guān)于直線x+y-l=O對(duì)稱的直線/的方程.

【變式1］（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）與直線3x-4y+5=0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為（）

A.4無(wú)+3y—5=0B.3x+4y+5=0C.4x—3y+5=0D.3x—4y—5=0

【變式2］（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）一條光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,3）射到直線x+y+l=0上，被反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)3（1,1）,

則入射光線所在直線的方程為.

【變式3］（24-25高二上?福建泉州?期中）已知直線/：2x-5y+3=0,/,：y=-l,直線/與4交于點(diǎn)A

⑴求過(guò)點(diǎn)A且與I垂直的直線V的方程；

（2）點(diǎn)3是直線4上異于A的一點(diǎn)，若/為ZA4c的角平分線，求點(diǎn)C所在的直線4的方程.

題型06圓的方程

【典例1】（2025?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）已知線段A3的端點(diǎn)3的坐標(biāo)是（5,3）,端點(diǎn)A在圓f+產(chǎn)=4上運(yùn)

動(dòng)，則線段A8的中點(diǎn)M的軌跡方程為（）

【典例2］（24-25高三上?河南周口,期末）已知圓C:一以=0與直線/:mx-4y-4m=0相交于不同

的兩點(diǎn)N,點(diǎn)P滿足MN=2PN，則點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

A.（了-3）~+丁=1B.（x—3）2+y2=1（x^4）

C.尤?+（丫-3）~=1（尤24）D.（x+3）2+y2=1（x^4）

【變式1］（24-25高二下?上海嘉定?期中）已知2//+（。+1）/+2*+1=0表示圓，則實(shí)數(shù)。的值為（）

11

A.-1B.1C.-D.——

22

【變式2］（2025?河北秦皇島?模擬預(yù)測(cè)）平面幾何中有一個(gè)著名的定理：VABC的三條高線的垂足、三邊

中點(diǎn)及三個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線段的中點(diǎn)共圓，該圓稱為VABC的九點(diǎn)圓或歐拉圓，若A（-2,1）、8（4,1）,VABC

的垂心為G（3,3）,則VABC的九點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.+=胃B.（X+2）2+

C.（%-2）2+^y-y^=tD.（x+2p+

【變式3］（24-25高二上?湖南永州?期末）圓C的圓心在，軸上，且過(guò)43,1）,8（-3,5）兩點(diǎn)，則圓C的方

程為（）

A./+（＞-1）2=17B.X2+（J-3）2=17

C.x2+（y+l）2=13D.x2+（y-3）2=13

題型07切線和切線長(zhǎng)問(wèn)題

【典例1］（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)“（3,1）作圓/+/一2》-6殲2=0的切線/,則/的方程為（）

A.x+y-4=0B.無(wú)+丫-4=0或％=3

C.x-y-1=0D.尤-＞一2=0或x=3

【典例2］（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）由直線y=x+l上的點(diǎn)向圓（x-3）2+（y+2）2=l引切線，則切線長(zhǎng)

的最小值為（）

A.V17B.3加C.曬D.2g

【變式1］（24-25高二上?重慶?期中）己知直線/：4x+3y+5=0與圓C:（x-4）2+（y-3尸=4,點(diǎn)P,。在直

線/上，過(guò)點(diǎn)尸作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A,8,當(dāng)1pAi取最小值時(shí)，貝||QA|+|Q同的最小值為（）

A.而B(niǎo).2后C.8立D.2月

【變式2］（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）已知直線/：y=A（x-2）與圓C:（x-3）2+V=4交于48兩點(diǎn)，過(guò)4,8分

別作圓C的切線，則這兩條切線夾角的取值范圍是.

【變式3］（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）已知圓M:x2+y2-2ay=0（a>0）與直線x+y=0相交所得

圓的弦長(zhǎng)是2亞，若過(guò)點(diǎn)4（3,3）作圓M的切線，則切線長(zhǎng)為—.

題型08弦長(zhǎng)問(wèn)題

【典例1］（24-25高二上?湖北省直轄縣級(jí)單位?期末）已知圓C:（x-2）2+（y-l）2=4內(nèi)有一點(diǎn)功（1,2）,過(guò)外

作直線與圓C交于A,2兩點(diǎn).

⑴若弦48被點(diǎn)外平分，求直線的方程.

（2）若|AB|=2jL求直線AB的方程.

【典例2］（24-25高二上?貴州銅仁?期末）已知，ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（T5）,B（5,5）,C（6,-2）.

⑴求ABC外接圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若圓M與直線/：2x-y+2=0交于P,。兩點(diǎn)，求|尸目.

【變式1］（24-25高二上?江西上饒?階段練習(xí)）已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（1,4）,8（2,3）,C（2,5）.

⑴求圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸［2彳］的直線/與直線x-y=。垂直，且/與圓河相交于瓦尸兩點(diǎn)，求|跖

【變式2］（24-25高二上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過(guò)4（1,0）和點(diǎn)3（-1,2）,

且圓心在直線2x-y+2=0上.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線x=世+4被圓C截得弦長(zhǎng)為2也，求實(shí)數(shù)a的值

【變式3］（24-25高二上?廣東佛山?期中）已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（l,4）,B（2,3）,C（2,5）.

⑴求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若傾斜角為牛的直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸］臼，且/與圓M相交于E,尸兩點(diǎn)，求助.

題型09三角形面積問(wèn)題

【典例1](23-24高二上?黑龍江大慶?期中)已知圓C的圓心在直線y=gx上，且過(guò)圓C上一點(diǎn)”(1,3)的

切線方程為y=3x.

⑴求圓C的方程；

⑵設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線/與圓交于另一點(diǎn)N,求，CMN面積的最大值及此時(shí)的直線I的方程.

【典例2](24-25高二上?安徽銅陵?期中)圓C：X2+(J-3)2=1,點(diǎn)尸?,0)為了軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引圓C

的兩條切線，切點(diǎn)分別為N.

⑴若7=1,求直線MN的方程；

(2)若兩條切線PAf,PN與直線y=l分別交于A,B兩點(diǎn)，求VABC面積的最小值.

【變式1】(24-25高二上,廣東茂名?期末)已知圓C:尤?+/+依-6y+i2=0關(guān)于直線x-y+l=O對(duì)稱.

⑴求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線3x+y-8=O與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求|鈿|；

⑶在(2)的前提下，若點(diǎn)。是圓(x+4)2+(y-3)2=10上的點(diǎn)，求一QA8面積的最大值.

【變式2］（24-25高二上?山東青島?階段練習(xí)）已知圓。:/+/一4了-6>+12=0.

⑴過(guò)點(diǎn)尸（3,5）作圓C的切線/,求/的方程；

（2）若直線3x+y-8=0與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)。（7,3）,求08的面積.

【變式3］（24-25高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）已知meR,直線/：x+（〃z—1）>+3機(jī)-6=0與圓C：

Y+9-8x+2y-3=0交于A,3兩點(diǎn).

⑴求證：直線/過(guò)定點(diǎn)尸；

（2）若直線/將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為g的兩段圓弧，求直線/的方程；

⑶求VABC面積的最大值.

題型10圓與圓的位置關(guān)系

【典例1】（23-24高二上?重慶?階段練習(xí)）已知圓G：x?+y2-2x+中）7+1=0（7〃€1<）的面積被直線工+2>+1=0

平分，圓Cz：（x+2）2+（y-3）2=25,則圓G與圓Q的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切

【典例2］（24-25高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中）已知圓Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（3,-l）,且與圓G：尤?十丁+2x-6y+5=0相

切于點(diǎn)N。,2）,則圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【變式11（24-25高二下?云南曲靖?期末）若圓G:丁+（〉-1）2=4與圓C?:（尤-=1有且僅有2

條公切線，貝U。的取值范圍是（）

A.（O,l）i（1,1+272）B.（1-20,1+2返）

C.卜1-2也1）（1,1+2忘）D.（1-272,1）（1,1+2立）

【變式2］（24-25高一下?重慶?期末）已知根,〃ER,若兩圓Y+J一4mx+4加2一1=。和

兀2+/一2町7一4+〃2=。恰有一條公切線，貝1J2機(jī)+〃的最大值為（）.

A.eB.72c.2D.75

2

【變式3］（23-24高二下?全國(guó)?課堂例題）圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）,且經(jīng)過(guò)兩圓6：/+產(chǎn)-以-3=0和圓

G:/+V-4y-3=0的交點(diǎn)，則圓C的方程為.

題型11兩圓公共弦方程和公共弦長(zhǎng)

【典例1］（24-25高二下?安徽阜陽(yáng)?期末）圓G:/+V=4與圓:尤2+/-4尤+4y=。的公共弦長(zhǎng)為2a,

則。的值為（）

A.12或4B.12或-4C.16或4D.16或-4

22

【典例2］（24-25高二上?天津薊州?階段練習(xí)）已知圓G：f+V=9?0C2:x+y+3x-4y-4=0,貝|

圓G與圓C2的公共弦所在的直線方程為—，弦長(zhǎng)為—.

【變式1］（24-25高二下?浙江?開(kāi)學(xué)考試）圓/+/-4=0與圓Y+y2一2x+2y-6=0的公共弦長(zhǎng)為（）

A.2y/3B.73C.屈D?理

【變式2］（24-25高二上?甘肅臨夏?期末）圓0］：一+-=4與圓0/（尤-2）2+（y+2）2=20相交,則公共弦

長(zhǎng)為（）

A.五B.20C.75D.275

【變式3X24-25高二上?河北滄州?期末汨知圓C：（x+2y+（y-2）2=4,點(diǎn)尸為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（0,-2）,

線段PQ的中點(diǎn)為T(mén),點(diǎn)T的軌跡為曲線G.

⑴求曲線G的方程；

⑵求曲線。|與＜?2的公共弦長(zhǎng).

題型12與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

【典例1】（2025?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知P是直線，：x+y-2=0上的任意一點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)尸作圓。:/+/=i的

兩條切線，切點(diǎn)分別記為則弦長(zhǎng)AB的最小值為（）

A.2B.6C.72D.1

【典例2］（24-25高二上?海南海口?期末）已知點(diǎn)P（x,y）在圓C:Y+y2-6x-6y+14=0上.

⑴求上的最大值和最小值；

X

⑵求x+y的最大值與最小值.

【變式1】（24-25高三下?河南駐馬店?開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)x,y滿足Y+y2-2x-4y+4=0,則四的最

X

小值為（）

457

A.—B.-C.2D.-—

334

【變式2］（24-25高二下?四川成都?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xQy中,動(dòng)點(diǎn)M（x,y）到A（T,0）、3（1,0）

兩點(diǎn)的距離的平方和為10,則"的取值范圍為.

【變式3］（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)羽丫滿足方程/+9一2尤-4y+l=0,則代數(shù)式展的取值

x+2

范圍為.

題型13軌跡方程

【典例1］（2025?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)點(diǎn)P（-U）的直線/與圓C:/+y2+6x=。交于兩點(diǎn)，

則弦的中點(diǎn)。的軌跡方程為.

【典例2］（24-25高二上?青海西寧?期中）已知圓C:Y+y2+6x-4y+9=0,A是圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)8（3,0）,〃

為線段AB的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為.

【變式1］（2026高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）已知等腰VABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,0）,底邊的一個(gè)端點(diǎn)8的坐標(biāo)

為（1,1）,則另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程為.

【變式2］（24-25高三下?陜西西安?階段練習(xí)）已知點(diǎn)A（-l,1）,M的方程為（X-以+（y+l）2=10,P,Q

為M上的動(dòng)點(diǎn)，滿足N?A2=90。，則尸。中點(diǎn)的軌跡方程為.

【變式3］（24-25高二上?江蘇蘇州?期末）已知圓C:/+y2=4,直線/過(guò)點(diǎn)A（-2,1）.

⑴當(dāng)直線/與圓C相切時(shí)，求直線/的方程；

（2）設(shè)線段AB的端點(diǎn)2在圓C上運(yùn)動(dòng)，求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.

題型14直線與圓的綜合問(wèn)題

【典例1］（23-24高二上?重慶?期中）已知點(diǎn)A（石,2）在圓上，圓尸與圓Q：,一|］"關(guān)于直

線/:2x+y-2=0對(duì)稱.

⑴圓尸與圓。的方程；

（2）設(shè)3（%,%）,。（尤2，必）是圓「上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|當(dāng)㈤到，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為修，點(diǎn)8關(guān)于x軸的

對(duì)稱點(diǎn)為層，直線BC，層C在