廣東省揭陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.已知全集。={彳=2h右<6},4={2,3,4},8={1,3,5},則@可11=（）

A.口,2}B,{2,4}C.{1,2,4}D.{2,4,5}

2.若尤,yeR,則“x>y”的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

A.x-y>lB.%一>>0C.->1D.I%Alyl

y

3.有下列一組數(shù)據(jù)：2,17,33,15,11,42,34,13,22,則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是（）

A.11B.13C.22D.33

4.已知偶函數(shù)/（幻在區(qū)間[0,+8）上單調(diào)遞增，則滿足了（%+1）</（2）的x的取值范圍是（）

A.（-oo,l）B.（-1,1）C.（-3,1）D.（-oo,l]

2

5.已知正三棱柱ABC-431G的棱長(zhǎng)均為不。為A4的中點(diǎn)，則四面體48CQ的體積為（）

A8R2后N2A/3

81812727

11al

6.已知函數(shù)F（%）=2"+九—],gCx）=lg%+九—5，勿》=九+>-[的零點(diǎn)分別為。，仇則。也。的大小關(guān)系

為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

7.已知命題P：m%eR,ox?+2依+3之o為真命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.RB.{4々20}C.{布<。或a>3}D.[a\a>3^

8.在2025揭陽(yáng)馬拉松比賽活動(dòng)中，四位志愿者A,B,C,D被隨機(jī)分配到四個(gè)物資發(fā)放點(diǎn)（站點(diǎn)1—4）,每人

原屬站點(diǎn)分別為A-l,B-2,C-3,D-4.規(guī)定每人不能分配到原屬站點(diǎn)，則志愿者A被分配到站點(diǎn)4的

概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4389

二、多選題

9.如圖，在平行四邊形A8CD中，E,尸分別是。邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的有（）

DEC

-112

A.EF=^ABB.AF=-AD+-ACC.BE=CB-CED.AD+DC=AB+BC

10.設(shè)函數(shù)/(x)=cosx-退sinx,則下列結(jié)論正確的是()

jr

A.-2兀是/(x)的一個(gè)周期B./(x)的圖象關(guān)于直線x=:對(duì)稱(chēng)

冗D./(x)在區(qū)間信，兀]上單調(diào)遞減

c./(X+無(wú))的一個(gè)零點(diǎn)為X

11.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù),/(尤+1)是偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]時(shí)，于(x)=G+x,則下列說(shuō)法

中正確的有()

A.4是/(尤)的一個(gè)周期B.f(x)的圖象關(guān)于直線尤=2對(duì)稱(chēng)

2025

c.⑶=2D.方程/(x)=In|x|恰有8不同的實(shí)數(shù)根

Z=1

三、填空題

12.已知隨機(jī)事件A和3互斥，3和C對(duì)立，且P(A+3)=0.7,P(A)=0.3,則尸(C)=.

13.已知函數(shù)/⑶=歸+"一3，芋，若g(x)=/(x)T只有一個(gè)零點(diǎn)，則左的取值范圍是___.

[-2+Inx,x>0,

14.已知A,B,CD四點(diǎn)都在體積為等it的球。的表面上，若4。是球。的直徑，且BC=3,ZBAC=150°,

則三棱錐A-BCD體積的最大值為.

四、解答題

15.已知VABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,有余弦定理:

Q?=/+c?—2bccosA,

b2=a2+C2—2accosB,

c2=<22+Z?2—2abcosC.

(1)在上面三個(gè)等式中，任選一個(gè)等式進(jìn)行證明;

(2)若4=當(dāng)，b=6,asinA=5j^sin8-2sinC,求VABC的面積.

6

16.潮汕英歌舞以其動(dòng)作剛勁有力，節(jié)奏感強(qiáng)的特色，備受人們喜愛(ài).某校組織英歌隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練并作了匯

報(bào)表演，為了解訓(xùn)練成果，做了一次問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷所涉及的問(wèn)題均量化成對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)(滿分100分)，從

所有答卷中隨機(jī)抽取100份的分?jǐn)?shù)作為樣本，將樣本的分?jǐn)?shù)(成績(jī)均為不低于50分的整數(shù)且在組內(nèi)均勻分

布)分成五段：[50,60),[60,70),,[90,100],得到如下所示的頻數(shù)分布表.

樣本分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

頻數(shù)10a303010

頻率0.1b0.30.30.1

(1)求頻數(shù)分布表中a和6的值，并估計(jì)樣本成績(jī)的平均數(shù)；

⑵經(jīng)計(jì)算，樣本中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[50,60)內(nèi)的平均數(shù)為56,方差為7；在區(qū)間[60,70)內(nèi)的平均數(shù)為65,

方差為4,求兩組成績(jī)的總平均數(shù)2和總方差d.

17.如圖，已知A8是圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)C是下底面圓周上異于A,3的動(dòng)點(diǎn)，CD,BE是圓柱的兩

條母線.

E

B

(1)求證：平面ACD_L平面8CDE；

⑵若48=5,30=2,圓柱的母線長(zhǎng)為2vL求平面ADE與平面ABC夾角的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=cos[4x+e]+cos(4x-W+sin4x+o的最大值為1.

⑴求常數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(3)設(shè)無(wú)*%為函數(shù)的兩個(gè)相異零點(diǎn)，求W的最小值.

19.通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類(lèi)似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對(duì)

(Z1，Z?)(Z],Z2eC)看作一個(gè)向量，記a=(Z],Z2),稱(chēng)a為復(fù)向量.類(lèi)比平面向量的相關(guān)運(yùn)算法則，對(duì)于

a=(z15z2),&=(z3,z4),z15z2,z3,z4,AeC,我們有如下運(yùn)算法則：

@a+Z?=(zx+z3,z2+z4),a-Z?=(z1-z3,z2-z4)；@2a=(2z1,Az2);(3)a-Z?=z1z3+z2z4；@|a|=7a-a-

(1)設(shè)a=(l,2—i),b=(l+i,l—2i),求2%和|)+1|；

⑵類(lèi)比平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律，得出復(fù)向量的一個(gè)相關(guān)結(jié)論：a-(b+c)=a-b+a-c,判斷上述結(jié)論

是否正確，并說(shuō)明理由；

(3)設(shè)a=(3+3i,3),集合。={pl0=(Zi，Z2),Z2=Z]+3,Z],Z2eC}/eO,求|a-b|的最小值，并證明當(dāng)|a-b|

取最小值時(shí),對(duì)于任意的ceQ,(a-6)?(6-c)=。.

題號(hào)12345678910

答案BADCABABABDAC

題號(hào)11

答案ACD

1.B

根據(jù)題意先求出許B,再根據(jù)交集的定義即可求得（華8）A的答案.

【詳解】依題意U={123,4,5},所以用8={2,4},所以&B）cA={2,4}.

故選：B.

2.A

根據(jù)充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)樗詘>y+l>y,即x>y,

當(dāng)時(shí)，取x=2.5,y=2,則

所以是“x>y”的一個(gè)充分不必要條件，故A正確；

對(duì)于B,x-y>0即x>?,“x-y>0”是“x>V”的充要條件，故B錯(cuò)誤；

%

對(duì)于C,由一>1,?。?-2,丁=一1,則%Vy,

y

由九,y,?。?Ly=—2,則一<1,

y

Y

所以“]>1”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由IxAlyl,取x=-2,y=l,則x<y,

由X>y,取X=1,y=-2,則|x|<|y|,

所以“IxAl.v|”是“x>y”的既不充分也不必要條件，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

3.D

根據(jù)題意，由百分位數(shù)定義計(jì)算即可求解.

【詳解】該組數(shù)據(jù)從小到大排列為2,11,13,15,17,22,33,34,42,共有9個(gè)數(shù)據(jù),

由題意且9x0.75=6.75,

則這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)是從小到大排列的第7個(gè)數(shù)，即33.故D正確.

故選:D.

4.C

根據(jù)偶函數(shù)的單調(diào)性列絕對(duì)值不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)?（X）為偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8）上單調(diào)遞增，則/（X）在區(qū)間（-8,0］上單調(diào)遞減,

M/（x+l）</（2）,則|x+l|<2,所以—3<x<l.

故選：C.

5.A

根據(jù)棱錐及棱柱的體積公式計(jì)算求解.

2

【詳解】如圖所示，幾何體ABC-ABCI為正三棱柱，且所有棱長(zhǎng)均為

12月2122道11261道

=-X—XX-----------X—X—X-----------------X—X—XX—=.

233333333233381

故選:A.

6.B

根據(jù)題意分別作出函數(shù)、=2，,、=坨羽、=/及>=一彳+；的圖象，即可求解.

【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2，,y=lgx,y=/及y=-x+g的圖象，如圖所示.

故選:B.

7.A

對(duì)實(shí)數(shù)”的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)a=0或a>0時(shí)，直接驗(yàn)證即可；當(dāng)。<0時(shí)，結(jié)合二次不等式能成立可得

出關(guān)于實(shí)數(shù)〃的不等式，解之即可.

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，3>0成立；

當(dāng)。>0時(shí)，拋物線,二〃工2+2〃工+3開(kāi)口向上，成立；

當(dāng)。<0時(shí)，由A=4/一12[>0,得Q<0或〃>3,所以Q<0.

綜上所述，6ZGR.

故選：A.

8.B

A必然在站點(diǎn)2,3,4中的某一個(gè)的機(jī)會(huì)均等，可求得志愿者A被分配到站點(diǎn)4的概率.

【詳解】A被分配到站點(diǎn)4與被分配到站點(diǎn)2和站點(diǎn)3的機(jī)會(huì)是相等的，且A必然在站點(diǎn)2,3,4中的某一

個(gè)，則A在站點(diǎn)2,3,4中的概率都是g.

故選：B.

9.ABD

根據(jù)向量的線性關(guān)系及加減法計(jì)算求解判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于A,由題意知，E,尸分別是CD邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，且E尸與AB方向相同，則跖4人3,

故A正確；

OQ1r\

對(duì)于B,AF=AD+DF=AD+^DC=AD+-^AC-AD^=-AD+-AC,故B正確；

對(duì)于C,CB-CE=EB,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,AD+DC=AC,AB+BC=AC,所以AO+OC=A3+8C,故D正確.

故選:ABD.

10.AC

化簡(jiǎn)/(x)的解析，根據(jù)三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性、零點(diǎn)、單調(diào)性等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/（%）=cosx-6sinx=2cosX+y,所以它的一個(gè)周期為-2兀，故A正確;

IT

令尤=B，求得〃x)=0,故B錯(cuò)誤;

6

/（%+兀）=2cosI%+兀+]=-2cosx+-,令X=￡,

l3o

JI71717T

求得/Q+兀）=-2cos—+—=o,故/(X+7I)的一個(gè)零點(diǎn)為無(wú)=2,故C正確;

o636

71兀兀

、r,I71|tx7154

當(dāng)兀J時(shí)，+—G,而函數(shù)y=cosx在上單調(diào)遞減,

3T'T

在(私上單調(diào)遞增，所以/(X)在(右兀J上沒(méi)有單調(diào)性，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.ACD

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合奇偶性計(jì)算求解周期判斷A,應(yīng)用對(duì)稱(chēng)中心定義判斷B,應(yīng)用周期性求函數(shù)值判斷C,

畫(huà)出圖象結(jié)合數(shù)形結(jié)合判斷交點(diǎn)判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)間(X)=f(X+l)是偶函數(shù)，所以g(f)=g(x),即〃1一力=〃1+力，

/(2+x)=/(1-(1+X))=f(-x)=-/(%),/(%+4)=-f(x+2)=-(-/(^))=/(x),

即f(x)的周期7=4,故A正確；

對(duì)于B,由A得/(4-x)=f(-x)=-f(x),函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)閒(x)的周期T=4,"0)=0,貝！I"4)=0

當(dāng)xw[0,l]時(shí)，/(x)=?+x,則〃1)=2,

由/(r)=/(x+2),令x=0貝葉(2)=。，令x=l則/⑶=/(-1)=-/⑴=一2,

2025

所以￡/⑴=5。6"⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+/⑴=2,故C正確；

1=1

對(duì)于D,作出函數(shù)＞=/(尤)與函數(shù)y=lnW的圖象，如圖.

所以曲線＞=/(尤)與y=ln|x|有8個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選:ACD.

12.0.6/-

5

利用互斥事件和對(duì)立事件的概率公式求解即可.

【詳解】隨機(jī)事件A和3互斥，.?.尸(A+B)=尸(4)+尸(8),貝UP(8)=Q7-0.3=Q4.

又B和C對(duì)立，，P(C)=l-P(B)=0.6.

故答案為：06

13.(-00,-4)

問(wèn)題化為函數(shù)y=/(x)和，=左，作出＞=/(元)與、=上的圖象，數(shù)形結(jié)合確定參數(shù)范圍即可.

【詳解】函數(shù)g(x)=/(x)-左只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)丫=/(幻和y=左只有一個(gè)交點(diǎn),

作出、=/(幻與＞=上的圖象，如圖所示.由圖象可知，

當(dāng)g(x)=/(x)-k只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)上的取值范圍為(-8,-4).

故答案為：(-oo,-4).

14.6(2-73)

設(shè)VABC的外接圓半徑為「，圓心為根據(jù)正弦定理可求「，根據(jù)幾何關(guān)系可求。到平面ABC的距離為

定值，當(dāng)VABC面積最大時(shí)，三棱錐A-BCD體積最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面積公式可

求VABC面積的最大值，即可得解.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R,因?yàn)榍?。的體積為絲兀，故羋兀旅=解得火=5,

333

BC=3,ZBAC=150°,設(shè)VABC的外接圓半徑為「，圓心為。］，

3

「?根據(jù)正弦定理知，。=2〃,即廠=3,

sin150

12

OOj=^OB-OiB=452-32=4,

是球。的直徑，。是AO的中點(diǎn)，

點(diǎn)。到平面ABC的距離為200、=8,

在VABC中，根據(jù)余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC,

即9=AB-+AC2+6ABAC>2ABAC+拒AB-AC,

AB-AC<9（2->/3）,當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)，等號(hào)成立，

A3C的面積SMculAHAC-sin/BACvgxgQ-道）xg=g（2-退）,

，三棱錐A—BCD體積的最大值V=!xg(2-6)x8=6(2-石).

故答案為：6(2-73).

15.(1)證明見(jiàn)解析

⑵百

(1)設(shè)AB=c，AC=b>BC=a,根據(jù)平面向量的減法可得出a=。-c,再結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性

質(zhì)可證得結(jié)論成立；

(2)由正弦定理結(jié)合余弦定理可得出關(guān)于。的方程，解出c的值，再結(jié)合三角形的面積公式可求得VA3C的

面積.

【詳解】⑴如圖，在VABC中，設(shè)A8=c，AC=b，BC=a,則a=b-c,

所以a?=(5—3)—+c~-2b-c—+|c|—2|/?|-|c|cosA,HPa2=b2+c2—2bccosA?

同理可得)2=［2+02—2accosB,c2=iz2+b2—labcosC.

(2)由(^^4=5>^5M3-25缶(;及正弦定理得。2=5揚(yáng)-2(?,所以/=15?2。，

由余弦定理得a?-b2+c2-2bccosA=3+c2-3c，

聯(lián)立方程組整理，得片-0-12=0,所以c=4或c=-3(舍去).

所以%(BC=gbcsin4=9百*4*^^=6.

16.(l)a=20,6=0.2；76；

⑵總平均數(shù)是62,總方差是23.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得。,心結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；

(2)根據(jù)分層抽樣的分法，得到分?jǐn)?shù)在［50,60)和［60,70)的人數(shù)，結(jié)合分層抽樣的方差的計(jì)算方法，即可

求解.

【詳解】(1)由10+4+30+30+10=1。。，

解得a—20,貝!J>=0.2,

平均數(shù)的估計(jì)值為55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.3+95x0.1=76.

(2)由表可知，分?jǐn)?shù)在區(qū)間［50,60)內(nèi)的頻數(shù)為10,在區(qū)間［60,70)內(nèi)的頻數(shù)為20,

故兩組成績(jī)的總平均數(shù)7=7F；x56+fx65=62,

170r+201707+20

2c

兩組成績(jī)的總方差$2=”工「7+(56-62)2]+77^[4+(65-62)2]=23.

10+20L」10+20L」

所以?xún)山M成績(jī)的總平均數(shù)是62,總方差是23.

17.(1)證明見(jiàn)解析

⑵耳

(1)先證明線面垂直，通過(guò)線面垂直得到線線垂直，再證線面垂直，最后得到面面垂直即可；

(2)先作出底面的垂線，再由垂足作兩個(gè)面的交線的垂線，最后連接交線的垂足與斜足構(gòu)成二面角的平面

角求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)槭堑酌鎴A的一條直徑，C是下底面圓周上異于A,B的動(dòng)點(diǎn)，

所以AC_LBC,

又因?yàn)镃O是圓柱的一條母線，所以CD,底面A8C,

而ACu底面4BC,所以CDLAC,

因?yàn)镃Du平面BC￡>E,BCu平面且CDc3C=C,

所以AC_L平面BCDE,

又因?yàn)锳Cu平面AC￡),所以平面4CDJ_平面BCDE.

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作圓柱的母線AM,連接。M,EM.

因?yàn)榈酌鍭BC〃底面OWE,所以即求平面ADE與平面OWE的夾角.

因?yàn)镋在底面A8C的射影為A,B,且為下底面圓的直徑，

所以為上底面圓的直徑，

因?yàn)锳M是圓柱的母線，所以AM,平面

因?yàn)镈Eu平面。ME,所以

又因?yàn)镋M為上底面圓的直徑，所以MD_LAE,

因?yàn)锳M,ZWu平面AMD,AAlcDM=M,所以DEJ_平面AMD,

因?yàn)锳Ou平面AMD,所以DE1A。，又因?yàn)槠矫鍭DE1平面ZWE=Z)E,

所以NMDA為平面ADE與平面DME的夾角，

又因?yàn)镺在底面ABC的射影為C,所以O(shè)E=3C=2,ME=AB=5,

所以DM=右?-2?=叵,又因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為2VL所以41/=28,

又因?yàn)锳A/_L平面平面OWE,所以AM_LME>,

所以AD=J(2石y+(?)2=庖,

所以cosNA?A=M=互，

V3311

即平面ADE與平面ABC夾角的余弦值為顯.

11

18.(l)a=-l

71%兀7兀左兀］/7?、

(2)—+—,——+—(ZEZ)

“1242242J

(3)?

(1)先應(yīng)用兩角和差的余弦公式結(jié)合輔助角公式計(jì)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合值域列式求參;

(2)應(yīng)用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間列式計(jì)算求解；

(3)根據(jù)已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)結(jié)合特殊值列式，再根據(jù)不等式性質(zhì)求解最小值.

【詳解】(1)y(x)=c°s(4x+eJ+c°s(4x—eJ+sin4x+“

=2cos4xcos瑩+sin4x+a=A/§COS4X+sin4x+a

=2sin4.x+—+tz

I3j

因?yàn)?(X)max=2+。=1,所以4=一1.

(2)由(1)知，/(x)=2sin^4x+-|j-l,

TTTI37r

令一+2kn<4x+—<----1-2kit,左￡Z,

232

7Tfor7?tkn

解得五十——<x<-----1----,keZ

2242

jrK7T7TT.KTL

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為—+—,—+—(^eZ).

I4I4

(3)令/(x)=2sin[4x+g]-l=0,得sin[4x+g]=g,

因?yàn)檎?乙為/(X)的兩個(gè)相異零點(diǎn)，所以sin卜+升