第20章二次根式

1.二次根式及其性質(zhì)；

2.利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根式；

教學(xué)目標(biāo)3.最簡二次根式與同類二次根式；

4.二次根式的運(yùn)算；分母有理化；

5.二次根式的應(yīng)用。

1重.點(diǎn)

（1）理解二次根式的有關(guān)概念，根據(jù)概念求參數(shù)值或取值范圍；

（2）會(huì)化簡二次根式，根據(jù)條件化簡二次根式、根據(jù)化簡結(jié)果求參數(shù)范圍；

教學(xué)重難點(diǎn)（3）掌握二次根式的運(yùn)算及其應(yīng)用。

2難.點(diǎn)

（1）復(fù)合二次根式的化簡；

（2）二次根式的綜合應(yīng)用。

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1二次根式

易知布20,所以二次根式具有“雙重非負(fù)性它與前面學(xué)的算術(shù)平方根的“雙重非負(fù)性”是一致的。

【即學(xué)即練】

1.下列各式是二次根式的是（）

【答案】C

C：幣,被開方數(shù)7是正數(shù)，根指數(shù)為2,完全符合二次根式定義，故此選項(xiàng)符合題意；

D：遍，根指數(shù)為3,屬于三次根式，而非二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【答案】D

故選：D.

【答案】-1

【分析］本題考查了代數(shù)式求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0,

并正確得出未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計(jì)算即可.

故答案為：-1.

【答案】2

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件.根據(jù)二次根式有意義的條件計(jì)算即可.

故答案為：2.

知識(shí)點(diǎn)2二次根式的性質(zhì)與化簡

I、二次根式的性質(zhì)

1.性質(zhì)1：(布)2=。((20)(任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可以寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式).

2.性質(zhì)2：

a(a>0)

Ta7=|。|=，0(4=0)

—a(a<0)

n、二次根式的化簡

i.被開方數(shù)所含因式中的完全平方式移到根號(hào)外

一般地，根據(jù)性質(zhì)3,設(shè)它0,那么

完全平方式：形如A?A為整式)的代數(shù)式稱為完全平方式，如b?、(a+b)2.

2.化去被開方數(shù)中的分母

根據(jù)性質(zhì)4,設(shè)色2(),那么

b

這說明，如果二次根式里被開方數(shù)含有分母，那么可以將分子和分母同乘一個(gè)代數(shù)式，使分母變?yōu)橥耆?/p>

方式，再將分母用它的算術(shù)平方根代替后移到根號(hào)外面作為新的分母，從而化去被開方數(shù)中的分母.

3.化簡二次根式：把二次根式里被開方數(shù)所含因式中的完全平方式移到根號(hào)外，或者化去把二次根式里被開

方數(shù)所含因式中的完全平方式移到根號(hào)外，或者化去被開方數(shù)的分母的過程，稱為“化簡二次根式”.

【即學(xué)即練】

【答案】10

直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解即可.

故答案為：10.

【分析】本題考查了二次根式的化簡.

先比較3和冗的大小，再化簡二次根式即可.

A.2B.4C.8D.32

【答案】B

【分析】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

故選：B.

【分析】本題考查了二次根式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)，從而完成求解.

【答案】B

【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.將根號(hào)內(nèi)的式子化

為完全平方形式，再利用二次根式的性質(zhì)及已知條件進(jìn)行化簡即可.

故選:B.

【答案】C

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)3最簡二次根式同類二次根式

1.最簡二次根式

(I)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為I;

(2)被開方數(shù)不含分母.

說明：被開方數(shù)中的因式是指因式分解和素因數(shù)分解后的因式和因數(shù).

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫作最簡二次根式.

在二次根式的運(yùn)算中，一般要把結(jié)果化成最簡二次根式.

2.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫作同類

二次根式.

要點(diǎn)：

(1)標(biāo)斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數(shù)是否相

同；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數(shù)及根指數(shù)有關(guān)，而與根號(hào)外的因式無關(guān).

【即學(xué)即練】

1.下列根式中，與血是同類二次根式的是()

【答案】A

【分析】本題主要考查了同類二次根式的判斷，先把二次根式化為最簡二次根式后，根據(jù)被開方數(shù)相同的

二次根式就是同類二次根式判斷即可.

D.短與血不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選:A.

2.下列根式中，是最簡二次根式的是()

【答案】B

【分析】本題主要考查最簡二次根式；根據(jù)最簡二次根式的定義及二次根式的性質(zhì)逐一判斷即可.

B."是最簡二次根式，符合題意：

故透:B.

3.下列根式中，是最簡二次根式的是()

【答案】B

【分析】本題考查最簡二次根式，理解最簡二次根式的意義是正確判斷的關(guān)鍵.根據(jù)最簡二次根式的意義

逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除及加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)：

(1)二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)中的運(yùn)算順序一樣，先乘方?，后乘除，最后算加減，有括號(hào)要先算括

號(hào)里面的；

(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍然適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果要寫成最簡形式.

【即學(xué)即練】

【分析】本題考查了分母有理化，有理化因式是指兩個(gè)含有根式的代數(shù)式，當(dāng)它們相乘時(shí)，它們的枳不含

有根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式互稱為有理化因式，由此判斷即可.

【分析】本題考查了分母有理化，分子分母同時(shí)乘以有，即可求解.

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，二次根式的性質(zhì)，先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，

結(jié)合分母有理化性質(zhì)化簡，再運(yùn)用加減，即可作答.

題型精講

題型01判斷二次根式

【典例1].下列式子中，不屬于二次根式的是()

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，逐一分析即可.

【詳解】解：A、6是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、由于被開方數(shù)是正數(shù)，J是二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【變式1】.下列式子中一定是二次根式的是()

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的概念進(jìn)行分析判斷.

B、正是三次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、石中，。不一定是非負(fù)數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的定義,完全平方公式,理解二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵.

題型02二次根式有意義的條件

A.x>3B.x>3C.x<3D.x<3

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件“被開方數(shù)大于或等于0",列不等式求解?.

【詳解】根據(jù)題意，得

3-x>0,解得x?3.

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的性質(zhì).

【答案】A

故選：A.

題型03最簡二次根式

【典例1】.下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）.

【答案】B

【分析】本題考查了最簡一次根大的定義.掌握最簡一次根式的兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)不含分母：（2）

被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題關(guān)鍵.

根據(jù)最簡二次根式的定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

B.該選項(xiàng)是最簡二次根式，故符合題意；

故選：B.

【變式1】.下列代數(shù)式中，是最簡二次根式的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可.

本題考查了最簡二次根式，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.

B.啦，不是二次根式，不符合題意；

故選：C.

題型04同類二次根式

【典例1】.下列二次根式中，與石是同類二次根式的是（）

A.瓜B.V9C.V12D.VF8

【答案】C

【分析】本題考查了同類二次根式、二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式，由此

判斷即可.

【詳解】解：A：卡被開方數(shù)為6,與厲不是同類二次根式，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

【變式1】.下列二次根式中，不能與石合并的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了同類二次根式，二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)同類二次根式的定義，逐一判斷即可解

答.

【詳解】解：A、2有能與否合并，不符合題意；

B、后不能與君合并，符合題意；

故選：B

題型05比較二次根式的大小

【答案】＜

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較和二次根式性質(zhì)的應(yīng)用，把根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)，再比較即可.

故答案為：＜.

【答案】＞

故答案為：＞

題型06二次根式的化簡綜合

【答案】5

又因?yàn)榻^對(duì)值的定義是：正數(shù)和0的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，-5是負(fù)數(shù)，

故答案為：5.

【分析】本題考查了二次根式的化簡，利用二次根式的性質(zhì)直接化簡即可，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

【點(diǎn)睛】

【答案】473

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法，逆用二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡

即可.

故答案為：46.

【分析】本題主要考查了化簡二次根式，直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可.

A.4B.6C.7D.14

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的定義和性質(zhì)，能正確根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵.首先

把被開方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后再確定〃的值.

勖I的最小值是7.

故選：C.

【答案】D

【分析】根據(jù)分式基本性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.

故選：D.

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得bVO,再利用=進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：由題意得：

回。＜0,

0//＜0,

勖V0,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)必=|〃|是解題的關(guān)鍵.

題型07根據(jù)二次根式的性質(zhì)或化簡結(jié)果求參數(shù)范圍

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，以及分母不等于零，本題屬于

基礎(chǔ)題.

【答案】B

【分析】結(jié)合完全平方公式對(duì)被開方式子進(jìn)行變形，然后利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，從而結(jié)合絕對(duì)值

的意義作出分析判斷.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，理解相關(guān)公式是解題關(guān)鍵.

題型08有理化因式

【答案】B

【分析】本題主要考查了有理化因式.根據(jù)有理化因式的定義”兩個(gè)根式相乘的積不含根號(hào)〃即可解答.

故選：B.

【分析】本題考查二次根式的有理化.根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化.二次根式有理化

主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子.

一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子.據(jù)此即可求解.

題型09分母有理化

【分析】本題考查分母有理化、二次根式的加減運(yùn)算，熟練掌握分母有理化的方法是解答的關(guān)鍵.先分母

有理化，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則求解即可.

題型10二次根式的化簡、運(yùn)算綜合辨析

【典例1】.下列運(yùn)算正確的是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質(zhì)化簡等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次根式

的相關(guān)定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件，利用二次根式的性質(zhì)化簡逐項(xiàng)判斷即可.

故選：D.

【變式1】.下列運(yùn)算正確的是（）

【答案】A

【分析】本題考查了化簡二次根式，二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則與二次根式的化簡逐

一分析各選項(xiàng)即可.

故選:A.

【變式2].對(duì)所有實(shí)數(shù)mb,下列等式從左到右一?定成立的是（）

【答案】D

【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的化簡，二次根式的乘法法則，熟知上述性質(zhì)和計(jì)算法則

是解題的關(guān)鍵.利用二次根式的性質(zhì)化簡，二次根式的乘法法則，逐一判斷即可解答.

故選：D.

【變式3].下列說法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）個(gè).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式運(yùn)算法則和二次根式性質(zhì)，判定每個(gè)式子的正誤即可得出答案.

本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確二次根式混合運(yùn)算的計(jì)算方法.

同符合題意的有3個(gè)；

故選：C.

題型11二次根式的應(yīng)用一解不等式

【分析】本題考查了解不等式，分母有理化等知識(shí)，先移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，然后根據(jù)分母有理化求解即可.

題型12二次根式的其他應(yīng)用

【答案】B

故選：B.

【答案】y/0.5

【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)平分差公式進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解:ab

=-1?

故答案為：；.

【答案】

T4

【分析】本題主要考查二次根式的加法運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)化簡，原式先化簡，再合并即可求出結(jié)論

71

故答案為：—

4

題型13解答題

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)二次根

式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及二次根式性質(zhì)、平方差公式等知識(shí)，首先利用二次根式性

質(zhì)化簡，再由二次根式混合運(yùn)算求解即可得到答案.熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式混合運(yùn)算法則及

平方差公式是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2].計(jì)算：

【分析】（1）關(guān)鍵二次根式加減乘除的混合運(yùn)算計(jì)算即可；

（2）根據(jù)二次根式混合運(yùn)算，分母有理化計(jì)算即可.

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，分母有理化，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【分析】本題考查二次根式的化簡及加減運(yùn)算，根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則求解即可.

【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，分母不變，分子利用完全平方公式和平方差公式變形，然后化簡求解

即可.解題的關(guān)鍵是將分子利用完全平方公式和平方差公式變形.

【答案】96

【變式7】.對(duì)于兩個(gè)含有根號(hào)的無理數(shù)，如果它們的和等于它們的積，那么我們稱這兩個(gè)無理數(shù)互為“友好

無理數(shù)

⑴求G的“友好無理數(shù)”；

（2）盾你再寫出一組符號(hào)不同的“友好無理數(shù)”，并說明理由.

【分析】該題主要考查了一元一次方程，分母有理化以及二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意.

（1）設(shè)④的“友好無理數(shù)"是小根據(jù)"友好無理數(shù)”的定義解答即可；

（2）根據(jù)“友好無理數(shù)〃的定義，寫出一組符號(hào)不同的即可；

【詳解】⑴解：設(shè)&的“友好無理數(shù)”是小

請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決婦下問題：

【答案】（1）2

⑵9

=9.

故答案為：9；

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了分母有理化、二次根式混合運(yùn)算、代數(shù)式求值、利用平方差公式和完全平方公式

進(jìn)行運(yùn)算等知識(shí)，正確理解題意，結(jié)合題目中解題思路進(jìn)行分析是解題關(guān)鍵.

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.下列計(jì)算正確的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式的加法，減法，乘法法則，性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐?判斷即可解答.

故選：c

【答案】C

【分析】此題考查同類二次根式的判斷，先將各選項(xiàng)化簡，再找到被開方數(shù)為3。的選項(xiàng)即可.

故選C

3.下列結(jié)論正確的是（）

【答案】D

故選：D.

【答案】B

【分析】本題考查了二