重難點10導(dǎo)數(shù)中的二階導(dǎo)與洛必達法則（舉一反三專項訓(xùn)練）

【全國通用】

題型歸納

【題型1二階導(dǎo)解決函數(shù)單調(diào)性問題】...........................................................3

【題型2二階導(dǎo)解決函數(shù)極值、最值問題】......................................................3

【題型3二階導(dǎo)解決不等式恒成立問題】........................................................4

【題型4二階導(dǎo)解決函數(shù)零點問題】............................................................5

【題型5二階導(dǎo)證明不等式】...................................................................6

【題型6利用二階導(dǎo)解決其他問題】............................................................7

【題型7洛必達法則】.........................................................................9

命題規(guī)律

1、導(dǎo)數(shù)中的二階導(dǎo)與洛必達法則

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的二階導(dǎo)與洛必達法則也是高考考查的一個重點內(nèi)容.從近

幾年的高考情況來看，對于有些問題求一次導(dǎo)數(shù)之后無法求出導(dǎo)函數(shù)的根，甚至也不能直接看出導(dǎo)函數(shù)的

正負，因此無法判斷單調(diào)性，所以在高考中就可能用到二階導(dǎo)數(shù)；“洛必達法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個重

要定理，用分離參數(shù)法（避免分類討論）解決成立或恒成立命題時，經(jīng)常需要求在區(qū)間端點處的函數(shù)（最）值，

若出現(xiàn)t型或楙型可以考慮使用洛必達法則，這類問題難度較大，復(fù)習(xí)是要加強這方面的訓(xùn)練.

方;版巧

知識點1二階導(dǎo)函數(shù)

1.二階導(dǎo)及其用法

要想判斷函數(shù)7U）的單調(diào)性，則需要對函數(shù)進行求導(dǎo)，并判斷了（尤）的正負，如果-（無）的正負無法判斷,則

把了（X）或者*無）中不能判斷正負的部分（通常為分子部分）設(shè)為新函數(shù)。X）,進而通過對函數(shù)gQO進行求導(dǎo)，

進而求g（X）的最值，如果有且⑴疝6?；騡OOmaxO，則可判斷出了（X）的正負，進一步可判斷出函數(shù)式X）的單調(diào)

性，進而可繼續(xù)求解問題.

2.二階導(dǎo)問題的解題步驟

解決這類問題的一般解題步驟為：

第一步，求函數(shù)八尤）的定義域；

第二步，求函數(shù)負尤）的導(dǎo)數(shù)/（無），并且無法判斷導(dǎo)函數(shù)/（x）的正負；

第三步，構(gòu)造函數(shù)g（x）=「（尤）,對g（無）求導(dǎo)，得到g'（x）；

第四步，找到x,g\x）,g（x）的變化關(guān)系表；

第五步，判斷出了（無）的正負，進而得出函數(shù)外0的單調(diào)性,進一步解答問題.

知識點2洛必達法則

“洛必達法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時，經(jīng)

常需要求在區(qū)間端點處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)t型或名型可以考慮使用法必達法則.

1.洛必達法則

法則1若函數(shù)八X)和g(x)滿足下列條件：

(l)lim/(x)=O及l(fā)img(x)=O.

''xTax-^a

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，危)與g(x)可導(dǎo)且g(x)W0；

f(x)f(x)f(x)

(3)lim(、=A,那么lim-=hm(、=A.

法則2若函數(shù)加0和g(尤)滿足下列條件:

⑴lim/(x)=co及l(fā)img(x)=oo；

‘xTax—>a

(2)在點a的去心鄰域內(nèi)，於)與g(x)可導(dǎo)且g%x)W0；

(3)limC=/,那么lim=lim("=/.

2.用洛必達法則處理《型函數(shù)的步驟：

(1)分離變量;

(2)出現(xiàn)藍型式子；

(3)運用洛必達法則求值.

00

3.用洛必達法則處理晟型函數(shù)的步驟：

(1)分離變量;

00

(2)出現(xiàn)"型式子；

(3)運用洛必達法則求值.

【注意】：

1.將上面公式中的—換成XT+co,x7-co,尤->a+,xTG,洛必達法則也成立.

2.洛必達法則可處理嵩0.8,產(chǎn),8。,0。,8-8型求極限問題.

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足/譚Ris,,,。。,8—8型定式，否則濫用洛必達法則會出

錯，當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限.

4.若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

lim%=lim=lim/黑，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

X—>agwxTag'(x)x—ag(X)

舉一反三

【題型1二階導(dǎo)解決函數(shù)單調(diào)性問題】

【例1】(2025?浙江杭州?模擬預(yù)測)定義在(0,+8)上的可導(dǎo)函數(shù)〃久)，滿足尸(%)+等=^,且f(e)=

若a=/(3),b=f(2),c=f(e),則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【變式1-1](2025?安徽蚌埠?三模)已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)尸(%)的定義域都是R,若函數(shù)/(%)是偶函數(shù),

/(%)+e*+%也是偶函數(shù)，且/(a)>/(3a-1),則實數(shù)4的取值范圍是()

D,

【變式1-2](2025?貴州黔東南?三模)設(shè)函數(shù)/(%)=In%+%-a/,?！闞.

(1)若a=1,試求函數(shù)/(%)的極值；

(2)設(shè)g(%)=/G)，討論9(%)的單調(diào)性.

【變式1-3](2025?海南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)+l)X/aGR.

(1)當(dāng)。=2時，求/(%)的單調(diào)區(qū)間與極值點；

3

(2)已知/(%)有兩個極值點％1V2<犯，證明：%i+%2>-

【題型2二階導(dǎo)解決函數(shù)極值、最值問題】

【例2】(2025?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=mln%+/一2m%,me/?,若函數(shù)f(%)在(0,+8)上有兩個

不同的極值點%1，%2，貝行(%1)+/(汽2)的取值范圍是()

A.(—8,-6)B.(—8,-3)

C.(-co,-ln2-2)D.(-00,41n2-20)

【變式2-1](2025?云南?三模)設(shè)函數(shù)/(%)=%+e%,g(x)=%+lnx,若存在%口支2,使得/(%i)=9(%2)，

則短—比2的最大值為()

A.-1B.-2C.-eD.-3

【變式2-2](2025?北京?二模)已知函數(shù)/(%)=a(%—l)e%—In%,其中a>0.

(1)若曲線y=/(%)在點(1,7(1))處的切線經(jīng)過點(2,2),求a的值；

⑵證明：函數(shù)f(%)存在極小值；

(3)記函數(shù)/(%)的最小值為g(a)，求g(a)的最大值.

【變式2-3](2025?北京海淀?三模)已知/(久)=穿.

(1)當(dāng)a=0時，求函數(shù)/(久)的極值點和極值；

(2)a6(—1,—[)時，求函數(shù)/O)在[1,4]上的最小值；

(3)若不等式/(￡)>；的解集非空，求a取值范圍.

4

【題型3二階導(dǎo)解決不等式恒成立問題】

【例3】(24-25高三下?廣東廣州?階段練習(xí))VxC(0,+8),不等式/+122(a?%+￡)ln(ax)恒成立，則

正實數(shù)a的最大值是()

A.-B.VeC.Ve-1D.:

【變式3-1](2025?遼寧?一模)己知函數(shù)/(%)=e2x--2丫一ax,若x20時，恒有/'(無)20,則a的取值范

圍是()

A.(一8,刀B.(-oo,4]C.[2,4-00)D.[4,+oo)

【變式3-2](2025?湖北?模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=xln(l—%)

(1)求/(%)在％=0處的切線方程；

(2)若關(guān)于％的不等式/(%)+/(I-x)<a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

丫2

【變式3-3](2025?吉林延邊?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=—+alnx-(a+l)x.

(1)當(dāng)a=2時，求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間；

2

(2)若a20,/(%)N-三對]￡[1,+8)恒成立，求實數(shù)q的取值范圍.

【題型4二階導(dǎo)解決函數(shù)零點問題】

【例4】(2025?湖北恩施?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=2%-1一In%,直線上％-y-3=0.

(1)若點P是函數(shù)y=/(%)圖象上的一點，求點P到直線，距離的最小值；

(2)若g(%)=f(x)+tex-2%,討論函數(shù)g(%)的零點的個數(shù).

【變式4-1](2025?北京海淀?三模)已知函數(shù)/(%)=alnV%-sinx,曲線y=/(%)在點停，/(小)處的切線斜

率為上

11

(1)求a的值.

(2)求/(%)在(0,2n|上的零點個數(shù).

(3)證明：/'(%)在(0弓)上存在兩個零點%1，久2，且%11>孑

【變式4-2](2025?重慶?三模)已知函數(shù)/(X)=0—l)e，—ax+6,函數(shù)y=/(x)在點(0,/(0))處的切線

方程為％+y+2=0.

(1)求a,b的值；

⑵討論/(%)的零點個數(shù).

【變式4-3](2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(、)=根(1一式)—In%-1.

(1)當(dāng)血=2時,求曲線y=/(%)在點處的切線方程；

(2)若/(%)之一1,求租的值；

(3)當(dāng)?n>1時，證明：g(x)=/(x)+xex—m有2個零點.

【題型5二階導(dǎo)證明不等式】

2x

[例5](2025?湖南婁底?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=Inx—|x+(1—a)x—sinx+Ina+1,g(%)=xef

尸G)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若函數(shù)尸(X)的圖象與g(x)的圖象的交點的橫坐標(biāo)%0ee，l),求實數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)a=1時，證明：f(x)<0.

【變式5-1](2025?山東?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(%)=(x+a)ex~b,曲線y=/(%)在處的切線方程為

y=2x—1.

(1)求實數(shù)a,b的值

(2)證明:f(%)>ln2x.

【變式5-2](2025?海南?？?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(%+zn)ln%,當(dāng)％=1時，/(%)的切線斜率k=3.

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知久2y2工，若半世2=2,求證：若則2x+ty6[3,4].

2Inx+lnyLJLJ

【變式5-3](2025?海南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=e%-771cR).

⑴若m=1,判斷并證明/(%)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)工€(0,+8)時，若函數(shù)/(%)有兩個不同的零點工*%2?

(i)求用的取值范圍；

(ii)證明：％1+上>4.

【題型6利用二階導(dǎo)解決其他問題】

【例6】(2025?甘肅白銀?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=-2)眇一1,且/(%)在％=0處取得極值.

(1)求m的值及/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在％ER,使得/(%)<2e%-a-1,求實數(shù)〃的取值范圍.

【變式6-1](2025?河北張家口?一模)已知/(x)=lnx—a(x+l),a&R.

(1)若&=2,求曲線/(%)在久=1處的切線方程；

(2)若比06(0,2],使f(Xo)>O,求a的取值范圍.

【變式6-2](2025?江蘇揚州?三模)已知函數(shù)/'(x)=e*—e?T+ax+￡.

⑴若b=0,且廣0)20,求a的最小值；

(2)證明：曲線y=f(x)是中心對稱圖形；

(3)若/(久)>e2-1當(dāng)且僅當(dāng)1<x<2,求b的取值范圍.

【變式6-3](2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(X)=k/一(k+2)x-ln|,keR.

(1)當(dāng)k>2時，求函數(shù)/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)”久)圖象上有三個點A,B,C并且從左到右橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，判斷曲線f(x)在點8處的切線斜

率與A,C兩點連線斜率的大小關(guān)系.

【題型7洛必達法則】

【例7】(2025高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=(ax-2)^-e(a-2).當(dāng)x>1時/'(久)>0,求a的取

值范圍.

【變式7-1](2024高三.全國.專題練習(xí))已知函數(shù)/(久)=二+工，如果當(dāng)x>0,且XK1時，/(%)+

x+1XX~1X

求々的取值范圍.

【變式7-2](2025高三?全國?專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=e*-b+c%-a/,

(1)若/(0)=0,/(-l)=i-a(a為常數(shù))，求/(%)的解析式；

(2)在(1)條件下，若當(dāng)久之0時，/(x)>0,求a的取值范圍.

【變式7-3](2024.浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達法則，法則中有結(jié)

論：若函數(shù)/(%),g(%)的導(dǎo)函數(shù)分別為/'(%),且=limgQ)=0,則

%—ax—a

lim=lim^7^.

%Tag(%)XTQ.g3)

②設(shè)a>0,k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)"x)滿足：對任意xe[0,a],均有/(x)2成立，且必%?0)=。，

則稱函數(shù)f(乃為區(qū)間[0,a]上的左階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個信息，回答下列問題：

⑴試判斷/(%)=/—3x是否為區(qū)間[0,3]上的2階無窮遞降函數(shù)；

(2)計算:hm(l+x)x-

⑶證明：(魯)3<COS%,XE

過關(guān)測試

一、單選題

1.(24-25高二下?遼寧沈陽?階段練習(xí))已知f(x)=(ax—a-l)ex+%,若0是f(x)的極小值點，則。的

取值范圍為()

A.[0,4-00)B.(1,+00)C.(-co,1)D.(―oo,0)

2.(2025?四川成都?一模)已知a為常數(shù)，函數(shù)/(無)=(%—a)lnx存在極大值，則不等式/(無)<0的解集為

()

A.(0,a)B.(1,a)C.(a,1)D.(0,1)

3.(2025?江蘇常州?模擬預(yù)測)函數(shù)/0)=。-5)眇+合+36的所有零點之和為()

A.1B.3C.5D.7

4.(24-25高二下?吉林長春?期中)1696年，洛必達在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用

以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極

限來確定未定式值的方法.如：lim照=lim0里=lim吧=1,按此法則有l(wèi)im巴二二=()

%T0xXT。%T01%T01-COSX

A.2B.1C.0D.-2

5.(2025?黑龍江佳木斯?三模)已知不等式％e%—%ZIn%+6+3,對V%E(0,+8)恒成立，則m的取值范

圍為()

A.m<--B.m>--C.m>—2D.m<—2

22

6.(24-25高二下?新疆伊犁?期中)我們把分子、分母同時趨近于。的分式結(jié)構(gòu)稱為盛型，比如：當(dāng)x—0時,

士的極限即為9型.兩個無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達在1696年提出洛必達法

x0

則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：lim士=lim生上=

lim—=lime*=e°=1,則=()

1x->0x->lxz-l

3I

A.-B.-C.1D.2

82

7.(2025?云南曲靖?二模)已知函數(shù)f(x)=a，+bX—2(0<a<l,b>l),若該函數(shù)有且只有一個零點，

則新的值為()

11

A.1B.4C.-D.e

e

8.(2025?江西新余?模擬預(yù)測)若關(guān)于％的不等式ae%+(In%)2>x2+(21na+l)x+(lna)2在(0,+8)上恒成

立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.[e,+oo)B.(0,e]C.[j,+oo)D.(0,|]

二、多選題

9.(2025?海南?模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)/(%)=(%+a)ln%,aER,貝！|()

A.當(dāng)a=0時，f(x)的最小值為一，

B.當(dāng)0<a<2時，/(久)有且僅有兩個極值點

C.若/(久)為增函數(shù)，貝UaN*

D.若/1(%)右0,則a=—1

10.(2025?四川樂山?三模)已知函數(shù)f(%)=ln(4—%)—In%+a%,當(dāng)且僅當(dāng)1<%<3時，導(dǎo)函數(shù)/'(%)>0

成立，則下列說法正確的是()

2

4<-

A.a=-B.r(e—1)+廣(2企)3

C.f(e-l)+尸(2/)>|D.W—外器)=5400

11.(2025?湖南常德?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=^+與/—%—l(aeR),下列有關(guān)結(jié)論正確的是()

A.對任意a>0,f(x)>0在R上恒成立

B.存在a<0,/(久)是R上的單調(diào)函數(shù)

C.存在a<0,/(久)有唯一極值

D.任意a<-