專題01二次函數(shù)的定義壓軸題四種模型全攻略

聚焦考點

考點一二次函數(shù)的識別考點二二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項

考點三根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)考點四列二次函數(shù)關(guān)系式

y...........................

典型例題

考點一二次函數(shù)的識別

例題：（2022?江蘇?鹽城市初級中學一模）下列函數(shù)中為二次函數(shù)的是（）

2

A.y=3x-lB.y=3x2-1C.y=—D.y=x3+2x-3

x

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用二次函數(shù)的定義進而分析得出答案.

【詳解】

解：&、y=3x-l,是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；

B、y=3x2-l,是二次函數(shù)，故此選項符合題意；

2

C、y=—,不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

x

D、y=x3+2x-3,未知數(shù)的最高次為3,不是二次函數(shù)，故此選項錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義；熟練掌握二次函數(shù)解析式的一般形式y(tǒng)=4?2+6x+c（aw0）,是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.（2020.陜西?西安市大明宮中學三模）觀察：①y=6/；②y=-3x2+5；③y=200x2+400x；（4）y=x3-2x；

⑤>=/一：+3；@y=（x+l）2-x2.這六個式子中二次函數(shù)有（）個.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】

①y=6/是二次函數(shù)；

②y=-31+5是二次函數(shù)；

③y=200.r2+400x是二次函數(shù)；

④y=爐-2尤不是二次函數(shù)；

⑤y=/-J_+3不是二次函數(shù)；

X

⑥y=（尤+1）2-尤2=2尤+1不是二次函數(shù)；

這六個式子中二次函數(shù)有①②③

故選：B.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的定義，即一般地，形如，=辦2+法+。（a,b,c是常數(shù)，awO）的函數(shù)，叫做二次函

數(shù).

2.（2022?全國?九年級課時練習）下列函數(shù)①y=5x-5；②y=3尤2_1；③>=4--3/；④y=2/_2x+l；

@y=4.其中是二次函數(shù)的是.

【答案】②④##④②

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2,二次項系數(shù)不為0,逐一判斷.

【詳解】

解：①y=5x-5為一次函數(shù)；

②盧3尤2一1為二次函數(shù)；

③"4尤3一3爐自變量次數(shù)為3,不是二次函數(shù)；

④y=2N-2x+l為二次函數(shù)；

⑤y=±函數(shù)式為分式，不是二次函數(shù).

X

故答案為②④.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的定義，熟記定義“函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2,二次項系數(shù)不為0"是解題關(guān)

鍵.

考點二二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項

例題：（2022?福建省福州外國語學校八年級期末）二次函數(shù)y=W-2x+3的一次項系數(shù)是（)

A.1B.2C.-2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如產(chǎn)aN+bx+cQ、b、c是常數(shù)，亦0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中X、

y是變量，a、b、c是常量，。是二次項系數(shù)，6是一次項系數(shù)，。是常數(shù)項作答.

【詳解】

解：二次函數(shù)y=N—2x+3的一次項系數(shù)是一2；

故選：C.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏掉符號.

【變式訓練】

1.（2022?全國?九年級）設(shè)6,c分別是二次函數(shù)＞=-尤2+3的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項，則（）

A.a=-1,b=3,c=0B.a=-1,b=0,c=3

C.a=-1,b=3,c=3D.a=l,b=0,c=3

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的一般形式可得答案.

【詳解】

解：二次函數(shù)y=-N+3的二次項系數(shù)是。=-1,一次項系數(shù)是6=0,常數(shù)項是c=3；

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了二次函數(shù)的一般形式，關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏掉符

號.

2.（2022?全國?九年級）已知二次函數(shù)y=l-5x+3x2,則二次項系數(shù)a=,一次項系數(shù)6=，常數(shù)項

c=___.

【答案】3-51

【解析】

【分析】

形如：丁=依2+樂+,（。工0）這樣的函數(shù)是二次函數(shù)，其中二次項系數(shù)為a,一次項系數(shù)為6,常數(shù)項為c,根

據(jù)定義逐一作答即可.

【詳解】

解：二次函數(shù)y=l-5x+3N,則二次項系數(shù)。=3,一次項系數(shù)匕=-5,常數(shù)項c=l,

故答案為：3,-5,1.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

考點三根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)

例題：（2022?全國?九年級課時練習）已知y=O-l）"/+i+2x-3是二次函數(shù)式，則機的值為.

【答案】-1

【解析】

【分析】

若y=（m-1）/泊+2x-3是二次函數(shù)式，則二次項系數(shù)不等于零，可得答案；

【詳解】

fm-10

解：由題意得：121c，

[m+1=2

解得：m=-l,

故答案為：-L

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的定義，理解二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.（2021?黑龍江?塔河縣第一中學校九年級期中）已知y=（〃-2）/+2x-l是〉關(guān)于x的二次函數(shù)，那么機的

值—.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義，（加-2）/中，未知數(shù)尤的指數(shù)為2,系數(shù)不為0,列式計算即可.

【詳解】

解：回〉=（a一2"同+2尤一1是〉關(guān)于》的二次函數(shù)，

回|〃』=2且加一2H0,

0m=—2.

故答案為：-2.

【點睛】

本題考查的是二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如廠"2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，且存0）的函數(shù)，叫做二次函

數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?廣東廣州?九年級期中）關(guān)于尤的函數(shù)y=（加+1）/'一”是二次函數(shù)，則機的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如方加+法+c（a、b、c是常數(shù)，心0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，求出小

的值即可解決問題.

【詳解】

解：Ely=（%+l）/j"是關(guān)于尤的二次函數(shù)，

0m2-?i=2,m+l*0,

解得："2=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的定義及解一元二次方程；牢固掌握定義和方程的解法是解題的關(guān)鍵.

考點四列二次函數(shù)關(guān)系式

例題：（2022?上海市青浦區(qū)教育局二模）為防治新冠病毒，某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元，若每月平

均增長率為X,第一季度的總產(chǎn)值為y（億元），則y關(guān)于X的函數(shù)解析式為.

【答案】y=f+3x+3

【解析】

【分析】

根據(jù)題意分別求得每個月的產(chǎn)值，然后相加即可求解.

【詳解】

解：回某醫(yī)藥公司一月份的產(chǎn)值為1億元，若每月平均增長率為x,

回二月份的為（l+x）xl=l+x

三月份的為（l+x）x（l+x）=（l+x）2

第一季度的總產(chǎn)值為y（億元），貝lJy=l+l+x+（l+x）2=x2+3x+3

故答案為：>=尤2+3》+3

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

【變式訓練】

1.（2021?山東濱州?九年級期中）某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價，若

每件商品的售價為x元，則可賣出（350-10力件，那么賣出商品所賺錢>元與售價x元之間的函數(shù)關(guān)系為

【答案】_y=-10x2+560x-7350

【解析】

【分析】

由題意分析出每件商品的盈利為："-21）元，再根據(jù)：總利潤等于每件商品的利潤乘以銷售的數(shù)量，再化

簡即可.

【詳解】

解：由題意得：每件商品的盈利為：（%-21）元，

所以：j=（x-21）（350-10x）

=-10X2+210X+350^-7350

=-10x2+560%-7350

故答案為：y=-10x2+560.r-7350

【點睛】

本題考查的是列二次函數(shù)關(guān)系式，掌握"總利潤等于每件商品的利潤乘以銷售的數(shù)量”是解題的關(guān)鍵.

2.（2022,全國?九年級課時練習）如圖，在長方形ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,點N從A點出

發(fā)，點河沿線段AB運動，點N沿線段AD運動（其中一點停止運動，另一點也隨之停止運動）.若設(shè)

AM=AN=xcm,陰影部分的面積為yen?,則>與x之間的關(guān)系式為.

【解析】

【分析】

先求出S'WN=；/，進而即可得到答案.

【詳解】

2

由題意得：S^AMN=^AM-AN=^X,

回陰影部分的面積=6x8-；/,即：J=-1X2+48.

故答案是：y=-gx2+48.

【點睛】

本題主要考查列二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握割補法求面積.

課后訓練

,（■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■**

一、選擇題

1.（2022?吉林?安圖縣第三中學九年級階段練習）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（）

83

A,y=2x+1B.y=x2?-2C.y=--D.y=x3

x

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進行判斷.

【詳解】解：A、該函數(shù)是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)，故本選項錯誤；

B,該函數(shù)是二次函數(shù)，故本選項正確；

C、該函數(shù)是反比例函數(shù)，故本選項錯誤；

該函數(shù)是三次函數(shù)，故本選項錯誤；

故選3.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義.熟知一般地，形如y="2+6x+c（a、b、c是常數(shù)，axO）的函數(shù)，叫

做二次函數(shù)是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2020?北京房山?九年級期中）二次函數(shù)y=f-4x+3的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）

A.1,4,3B.0,4,3C.1,-4,3D.0,-4,3

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如丫=依?+6尤+c（a,b,c是常數(shù)，a#0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其

中x,y是變量，是常量，。是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項作答.

【詳解】解：解:二次函數(shù)y=/-4x+3的二次項系數(shù)是1,一次項系數(shù)是Y,常數(shù)項是3.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是注意在找二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項時，不要漏

掉符號.

3.（2022?江蘇?九年級專題練習）一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x,兩年后這臺機器約為y萬

元，則y與尤的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.＞=100（1-x）B.y=100-x12C.y=100（1+x）2D.y=100（1-x）2

【答案】。

【分析】根據(jù)兩年后機器價值=機器原價值X（1-折舊百分比）2可得函數(shù)解析式.

【詳解】解：根據(jù)題意知＞=100（1-X）2,

故選：D.

【點睛】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題

意，建立二次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題.需要注意的是實例中的函數(shù)圖像要根據(jù)自變量的取值范圍來確

定.

4.（2021?河北?唐山市第九中學九年級階段練習）若函數(shù)＞=（01+2）/12+"'-4+儂一3是關(guān)于X的二次函數(shù)，則

機的取值為（）

A.-3B.2C.3D-3或2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，必須二次項系數(shù)不等于0,且未知數(shù)的次數(shù)等于2,據(jù)此列不等式組并求解

即可.

[m+2w0

【詳解】解：由二次函數(shù)的定義可知，當2,c時，該函數(shù)是二次函數(shù)，

[m+m-4^2

回〃z=-3或m=2,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，明確二次函數(shù)的定義并正確列式，是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇?九年級專題練習）如圖所示，在放AABO中，ABLOB,且AB=O3=3,設(shè)直線x=r截此

三角形所得的陰影部分的面積為S,則S與/之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

11

A.S=tB.S=—?C.S=t2D.S=-r-l

22

【答案】B

【分析】中，ABrOB,且AB=QB=3,可得4OB=ZA=45。；再由平行線的性質(zhì)得出

NOCD=NA=45。，即/COD=/OCD=45。，進而證明CD=OD=心最后根據(jù)三角形的面積公式，求出S

與，之間的函數(shù)關(guān)系式.

【詳解】解：如圖所示，

國RMABO中,ABLOB,且鉆=05=3,

0ZAOB=ZA=45°,

回CDLOB,

^\CD//AB,

團NOCD=NA=45。，

國/COD=NOCD=45。,

團CD=OD=t,

團S/\ccn=_2,ODxCD

=!?(O<?<3),

2

即：s=l/(o<r<3).

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，

等腰三角形的判定，三角形的面積等知識點.解題的關(guān)鍵是能夠找到題目中的有關(guān)面積的等量關(guān)系.

二、填空題

6.（2021?全國?九年級課前預習）把＞=（2—3尤）（6+無）變成的形式，二次項為,一次

項系數(shù)為,常數(shù)項為.

【答案】-3尤2-1612

【解析】略

7.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，AABC中，AB=AC,CO0A8于。，BD=1,設(shè)BC=x,AD=y,當

x＞行時，y關(guān)于尤的函數(shù)解析式為.

c

【分析】由B￡>=1,AD^y,可得A3=AC=y+l,在R/EIACD中，CD-^AC^-AD^y+l,在R/I32CO中，

C^BC^-BD2^-1,即得Zy+lK2』，可得答案.

【詳解】解：^BD=1,AD=y,

EL4B=y+l,

^AB=AC,

t2L4C=y+l,

在R/HACD中，C￡>2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+l,

在R胞BCD中,C》=BC2-BD2=X2-1W-l,

回2y+l=、2-l,

0y=^x2-l.

故答案為：y=-1卜>應(yīng)）.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將CLP作等量，列出y與x的關(guān)系式.

8.（2021?重慶?墊江第八中學校九年級階段練習）若函數(shù)y=（a+l）Na田是二次函數(shù)，則0的值是.

【答案】1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，列出關(guān)于。的方程和不等式，即可求解.

[|a|+l=2

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義可得：11,八，解得：G=1.

[。+1*0

故答案為：L

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的最高次項的次數(shù)為2,二次項系數(shù)不等于零，是解

題的關(guān)鍵.

9.（2021?山東?泰安市泰山區(qū)大津口中學九年級階段練習）已知y=（〃”4）尤總3*2是二次函數(shù)，則加的值為

【答案】-1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：12y=（唉4）--3加-2是二次函數(shù),

0m2—3m—2=2月.〃z—4w0,

解得：/?=-l.

故答案為：-1

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)丫=62(。力0)是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?全國?九年級專題練習)下列函數(shù)一定是二次函數(shù)的是.

3

(1)y=ax2+bx+c-,(2)y=——；③y=4x2-3x+l；(4)y=(m-l)x2+bx+c；(5)y=(x-3)2-x2

-x

【答案】③

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，把形如廣以2+/+°(?0)(4、6、C是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù)，據(jù)

此判斷即可.

【詳解】解：①丫=加+"+°,必須滿足60才為二次函數(shù)，故①不一定是二次函數(shù)；

②等號右邊為分式，故②不是二次函數(shù)；

③y=4W—3x+l是二次函數(shù)，故③是二次函數(shù)；

(4)y=(m-I)x2+bx+c,加=1時，該式不是二次函數(shù)；

⑤y=(x-3)2-￡=X2-6X+9-W=-6尤+9,該式不是二次函數(shù);

故答案為：③.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的識別，熟知二次函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題

11.(2022?全國?九年級專題練習)下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(1)y=3x-l；

(2)y=3f+2；

(3)y=3x3+2x2；

(4)y=2x2-2x+l；

(5)y=x2-x(l+x)；

(6)y=xT2+x

【答案】(2)(4)是二次函數(shù)

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解回(1)不是二次函數(shù)，因為自變量的最高次數(shù)是1.

(2)是二次函數(shù)，因為符合二次函數(shù)的概念.

(3)不是二次函數(shù)，因為自變量的最高次數(shù)是3.

(4)是二次函數(shù)，因為符合二次函數(shù)的概念.

(5)不是二次函數(shù)，因為原式整理后為方一尤.

(6)不是二次函數(shù)，因為x—2為分式，不是整式.

故（2）（4）是二次函數(shù).

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如y="x2+bx+c（其中。、6、c均為常數(shù)，且。片0）

的函數(shù)關(guān)系稱為二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?全國?九年級課時練習）已知函數(shù)"（a+1）（a-2）無（a為常數(shù)），求a的值：

⑴函數(shù)為二次函數(shù)；

⑵函數(shù)為一次函數(shù).

【答案】⑴。=1

（2）a=0或-1

【分析】（1）直接利用二次函數(shù)的定義得出〃+1=2,a+lM得出即可；

（2）利用一次函數(shù)的定義分別求出即可.

⑴

當1時，函數(shù)為二次函數(shù)，

[a+l^Q

解得：a=±lfa^-1,

⑵

上//+1=1葉"粉為滬水粉

當《,cc時，函數(shù)為一次函數(shù)，

[。+1+。-240

解得：a=O,

當4+1=0,即4=-1時，函數(shù)為一次函數(shù)，

所以，當函數(shù)為二次函數(shù)時，a=l,當函數(shù)為一次函數(shù)時，。=0或-1.

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

13.（2022?全國?九年級課時練習）一個二次函數(shù)y=（笈-l）x-4+2%—1.

（1）求L的值.

（2）求當x=3時，y的值？

【答案】（1）k=2；（2）14

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義列出關(guān)于％所滿足的式子，求解即可；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，先求出二次函數(shù)解析式，然后代入x=3求解即可.

ft2_7^+4=2

【詳解】解：（1）依題意有，，八，

"-I/O

解得：k=2,

歐的值為2；

（2）把62代入函數(shù)解析式中得：y=x2+2x-l,