廣東省茂名市博雅中學2024-2025學年下學期階段性診斷九年

級數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列各數(shù)中，正數(shù)是（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.2024年9月25日，中國人民解放軍火箭軍向太平洋相關公海海域成功發(fā)射1發(fā)攜載訓

練模擬彈頭的洲際彈道導彈，準確落入預定海域.該導彈射程約12000公里，創(chuàng)下了全球

洲際導彈實際測試中的最遠紀錄.數(shù)字12000用科學記數(shù)法表示是（）

A.1.2xlO3B.1.2xl04C.1.2x10sD.1.2xl06

3.秦始皇統(tǒng)一六國后創(chuàng)制的漢字書寫形式是小篆，下列四個小篆字中為軸對稱圖形的是（）

4.某校5位同學在“國學經(jīng)典誦讀”比賽中，成績（單位：分）分別是86,95,97,90,88.這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.86B.88C.90D.95

5.下列計算正確的是（）

A.x3-x3=2x3B.（尤°）=x5C.x3+x5=x8D.（xy）4=x4y4

6.石墨烯在材料學、微納加工、能源、生物醫(yī)學和藥物傳遞等方面具有重要的應用前景.它

的分子結構如圖所示，所有多邊形都是正多邊形，則-ABC的度數(shù)為（）

iTC1Os

A.135°B.120°C.105°D.60°

7.分式方程上=—的解是（）

xx+1

A.x=lB.x=—2C.x=—D.x=2

2

8.光在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光從水中射向空氣時，會發(fā)生折射.已知在

水中平行的光線射向空氣中時也是平行的.如圖，Nl=40。，/2=110。，則N3+/4的值為

A.100°B.110°C.120°D.150°

9.如圖，一次函數(shù)%=履+僅％3。）的圖象與反比例函數(shù)（加為常數(shù)且機力0）的圖

x

象都經(jīng)過A（T,2）,3（2,-l）,結合圖象，則不等式"的解集是（）

A.x<-1B.—1<x<0

C.x<—1或0<xv2D.-lv尤<0或1>2

10.如圖，在中，ZC=90°,NA=30。，AB=4,。是斜邊A5的中點，以點。為

圓心的半圓。與AC相切于點。，交于點及F,則陰影部分的面積為（）

A3石1CO底1C3731

A.----------7iB.2,3—兀C.2、3—兀D.-----------兀

232322

二、填空題

11.比較大?。?I.（填“>”，或"="）

試卷第2頁，共8頁

12.若代數(shù)式一二有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

13.兩個相似多邊形的相似比為1：2,則它們的周長的比為.

14.機器狗是一種模擬真實犬只形態(tài)和部分行為的機器裝置，其最快移動速度v(m/s)是載

重后總質量機(kg)的反比例函數(shù).已知一款機器狗載重后總質量m=60kg時，它的最快移動

速度v=6m/s；當其載重后總質量機=90kg時，它的最快移動速度v=m/s.

15.如圖，在菱形ABCD中，NA=6(r,AD=4,點/是的中點，過點/作FE_LAD,

垂足為E,將AEF沿點A到點B的方向平移，得到,設點尸、P分別是EF、E'F'的

中點，當點A'與點3重合時，點。到線段P戶的距離為一.

三、解答題

16.(1)計算：V16-(-2)O+Q

(2)化簡：立匚

X

17.2024年巴黎奧運會將于7月26日至8月11日舉行，某經(jīng)銷店調查發(fā)現(xiàn)：與吉祥物相

關的A,8兩款紀念品深受青少年喜愛.已知購進3個A款比購進2個8款多用120元；購

進1個A款和2個2款共用200元，求出A,B兩款紀念品的進貨單價.

18.如圖，已知平行四邊形ABCD.

(1)尺規(guī)作圖：請用無刻度的直尺和圓規(guī)，作/A的平分線交C。于點E；(保留作圖痕跡,

不要求寫作法)

(2)在①的條件下，求證：VADE是等腰三角形.

試卷第4頁，共8頁

19.如圖，某電腦顯示器由顯示屏(矩形ABCD)和支架組成，顯示屏對角線AC中點。固

定在支架直桿。尸一端處，顯示屏可繞點。順時針或逆時針旋轉，已知AB=36a〃，

/R4c=58°.

⑴求2C長度;

(2)為避免在旋轉過程中顯示屏與支架平臺班發(fā)生磕碰，則支架直桿。尸的最小值

是.（結果精確到lc〃z,參考數(shù)據(jù)：tan58o，L60,cos58°?0.53,sin58°?0.85）

20.在中國共青團成立一百周年之際，某區(qū)各中小學持續(xù)開展了人青年大學習；B：學黨

史；C：中國夢宣傳教育；D：社會主義核心價值觀培育踐行等一系列活動，學生可以任選

一項活動參加.為了解學生參與活動的情況，在全區(qū)范圍內(nèi)進行了一次抽樣調查，根據(jù)收集

的數(shù)據(jù)繪制了如圖所示兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

(1)在這次抽樣調查中，一共抽取了一名學生;

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）小杰和小慧兩位同學參加了上述活動，請用列表或畫樹狀圖的方法，求出她們倆參加同

一項活動的概率.

21.綜合與實踐

主題：正方形卡紙的裁切與拼接.

素材：大小不等的兩張正方形卡紙

步驟1：將大正方形卡紙ABCD和小正方形卡紙班FG按圖（1）所示的方式擺放（點G在

上），用圓規(guī)在A8上截取=連接DH,HF；

步驟2：首先沿虛線DH,尸”裁切卡紙，然后拼接成一個大正方形.

猜想與證明：

（1）_DAH與是否全等?并證明你的猜想.

遷移與應用：

（2）若大正方形卡紙的邊長是小正方形的兩倍，將大正方形卡紙對折兩次并展開后，按圖

（2）所示的方式擺放（虛線為折痕），請你用無刻度的直尺在圖（2）中畫出兩條裁切線,

使裁切后的卡紙可以拼接成一個大正方形.

圖⑴

試卷第6頁，共8頁

22.2022年北京冬奧會的成功舉辦讓更多的人參與到了冰雪運動中來!如圖①是某處滑雪大

跳臺的實景圖，建立如圖②所示的平面直角坐標系，其中。C段可以近似的看作拋物線：

＞=2元2一當》+￡。＜天＜6)的一部分，班)〃工軸,點8在＞軸上,點(7在：1軸上,且即=1.某

滑雪愛好者在一次滑雪比賽中沿斜坡AB加速至B處騰空而起，近似地沿拋物線BEF運動,

在空中完成翻滾動作，著陸在DC段上，已知當他運行的水平距離為2米時，達到離地面的

最大高度為9米.

圖①圖②

(1)點B的坐標為」

(2)求該滑雪愛好者騰空后的拋物線(8匹)的表達式；

(3)若此次滑雪評分細則規(guī)定：當運動員的騰空高度與。。段之間的豎直最大距離不少于6

米時，則該運動員在“騰空高度分”就可以給滿分.請通過計算說明該滑雪愛好者的“騰空高

度分”是否能得到滿分.

23.綜合與實踐

問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們利用準備好的兩個矩形紙片進行探究活動.

智慧小組準備了兩張矩形紙片ABC。和D￡FG,其中鉆=6,3C=8,￡)E=3,EF=4,將它

們按如圖1所示的方式放置，點E落在AD上，點G落在CD的延長線上，連接AG和

觀察發(fā)現(xiàn)：

A(Z

(1)如圖2連接3DR9,則加□和FD的位置關系是__________,—=____________.

BF

操作探究：

(2)如圖3,將矩形DEFG繞點。按順時針方向旋轉。(0°<a<360°),試探究(1)中AG

和8尸的數(shù)量關系是否仍然成立，并說明理由.

拓展延伸：

(3)在矩形OEfU旋轉的過程中，當B、G、尸三點共線時，直接寫出線段AG的長.

試卷第8頁，共8頁

《廣東省茂名市博雅中學2024-2025學年下學期階段性診斷九年級數(shù)學試卷》參考答案

題號12345678910

答案DBCCDBABCA

1.D

【分析】本題主要考查了正數(shù)和負數(shù)，掌握正數(shù)和負數(shù)的定義是解題的關鍵，正數(shù)都大于0,

負數(shù)都小于0,0既不是正數(shù)也不是負數(shù).

根據(jù)正數(shù)都大于0,注意判斷即可.

【詳解】解：A、-2<0,是負數(shù)，故A錯誤；

B、-1<0,是負數(shù)，故B錯誤；

C、0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，故C錯誤

D、1>0,是正數(shù)，故D正確.

故選：D.

2.B

【分析】本題考查用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為axlO",其中1<|a|<10,n

可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定.用科學記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)〃的

確定方法.確定”的值時，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)

點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值大于10時，W是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，〃是負

數(shù).

【詳解】解：12000用科學記數(shù)法表示為1.2x104.

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進行判斷即可.

【詳解】解：：A、B、D三個選項中的字都不能沿著一條直線折疊使直線兩旁的部分能完

全重合，

它們都不是軸對稱圖形，因此都不符合題意；

：C選項中的字能夠沿著一條直線折疊使直線兩旁的部分能完全重合，

它是軸對稱圖形，符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的識別，解題關鍵是掌握軸對稱圖形的定義，即將一個平面

答案第1頁，共15頁

圖形沿著一條直線折疊能夠使直線兩旁的部分完全重合，那么這個圖形是軸對稱圖形.

4.C

【分析】先將題中的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，然后根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可.

【詳解】解：將5個同學的成績重新排列為：86、88、90、95、97,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為90分，

故選：C.

【點睛】本題考查了中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校?/p>

如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)

是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

5.D

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則：同底數(shù)塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；合并同類項的法

則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；積的乘方法則：把

每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘；幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘進行計算判

斷，即可解題.

【詳解】解：A、/.V=》6,選項運算錯誤，不符合題意；

B、（x^=x6,選項運算錯誤，不符合題意；

C、/與彳5不是同類項，不可以合并，選項運算錯誤，不符合題意；

D、（xy）4=x4/,選項運算正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題主要考查了合并同類項、同底數(shù)幕的乘法、積的乘方、幕的乘方，解題的關鍵

是正確掌握各計算法則.

6.B

【分析】本題考查了正多邊形的外角；根據(jù)題意求得正六邊形的外角，進而即可求得-ABC

的度數(shù).

【詳解】解：???正六邊形的外角和為360。

，每一個外角為360受°=60。

6

???ZABC=180°-60°=120°,

故選：B.

7.A

答案第2頁，共15頁

【分析】本題考查了解分式方程，先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后

驗根即可.

【詳解】解：!12

xx+1

x+l=2x,

X=],

檢驗，當x=l時，x（x+l）w。，

???x=l是原分式方程的解,

故選：A.

8.B

【分析】本題考查了平行線的性質的應用，解題的關鍵在于熟練掌握平行線的性質.根據(jù)平

行線的性質，兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，光線在空氣中也平行,

.-.Zl=Z3=40°

'：AB//CD

Z4=180°-Z2=70°.

N3+N4=40°+70°=110。.

故選：B.

9.C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的X的取值范圍便是不等式h+b>'的

X

解集.

【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)％=丘+跳上工。）的圖象在反比例函數(shù)（機

為常數(shù)且MWO）的圖象上方時，犬的取值范圍是：x<-1或0<x<2,

*,?不等式"+力>一的解集是x<—1或。<x<2.

x

故選C.

答案第3頁，共15頁

【點睛】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等

式的解集.利用數(shù)形結合是解題的關鍵.

10.A

【分析】連接OD,根據(jù)切線的性質得到NA￡>0=90。，得到從而ADO^ACB,

根據(jù)相似三角形的性質得到=根據(jù)三角形和扇形的面積公式即可解答.

【詳解】解：連接OD,

〈AC是。的切線,

???ZADO=9Q0,

???ZC=90°,

:.OD//BC,

：.ADO^ACB,

.AODO

**AB-

TO是斜邊AB的中點，

AO=OB=-AB,

2

OD=-BC,

2

VZC=90°,ZA=30°fAB=4,

iA

ABC=-AB=2,/5=60。，AC=—AB=2^,

22

AZAOD=60°,OD=1,

AD=yf3OD=^3,ZDOF=120°,

3石1

S陰影=S的。一Ss扇形。。尸=5火——71

AOD2員2-RXF明~2~3

故選：A.

【點睛】本題主要考查了切線的性質、扇形面積、直角三角形的性質、相似三角形的判定及

性質等知識點，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

11.>

答案第4頁，共15頁

【詳解】試題分析：根據(jù)二次根式的性質可知，被開方數(shù)越大，所對應的二次根式就越大,

因此可判斷應與&=1的大小為a>1.

考點：二次根式的大小比較

12.xw3

【分析】此題考查了分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義分母不為零，進行求解即可，解題

的關鍵是根據(jù)分式有意義的條件列出不等式并正確求解.

【詳解】解：???代數(shù)式」二有意義，

x-3

實數(shù)X的取值范圍是X-3H0,

??xw3,

故答案為：XH3.

13.1：2/-

2

【分析】本題考查了相似多邊形的性質，根據(jù)相似多邊形周長之比等于相似比即可求解，掌

握相似多邊形的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：：兩個相似多邊形的相似比為1：2,

它們的周長的比為1：2,

故答案為：1：2.

14.4

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的應用，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再將

m=90kg代入計算即可，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵.

【詳解】設反比例函數(shù)解析式為丫=￡,

m

機器狗載重后總質量m=60kg時,它的最快移動速度v=6m/s,

k=60x6=360,

二反比例函數(shù)解析式為丫=理，

m

當根=90kg時，v==4(m/s),

當其載重后總質量根=90kg時,它的最快移動速度v=4m/s.

故答案為：4.

15.友

4

答案第5頁，共15頁

【分析】如圖所示，連接8。。尸，設。尸,PP交于點G,根據(jù)菱形的性質，可得，/即是

等邊三角形，由三線合一得到DF=dM-AF2="與=，由平移得到四邊形

PFFP是平行四邊形，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質得到GF」尸尸,x3=3，

2224

由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接82〃尸，設。尸,PP交于點G,

:四邊形A3C。是菱形，44=60。，

AB=AD=4,是等邊三角形，

:點尸是AB的中點，

DF±AB,AF=BF=-AB=2,

2

DF=y/AD2-AF2=A/42-22=2G，

ZA^60°,EF1AD,

：.ZAFE=30°,

：.AE=-AF=1,

2

同理，EF=6EF=5

:點尸是跖中點，

EP=PF=-EF=—,

22

將_尸沿點A到點B的方向平移，得到MAEF,

：.AEF^..AE'F',

；.EF||E'F',EF=E'F',AF=A'F',

：.PF=-EF,P'F'=-E'F',

22

/.PF=PF',且PFIP'F',

.,?四邊形PFFP是平行四邊形，

答案第6頁，共15頁

，PP=FF',PP'FF',

:.ZAFE=NFPP=30。,GF±PP',

.「可116y/3

2224

/.￡>G=DF-GF=2A/3--=—,

44

故答案為：迪.

4

【點睛】本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，含

30。角的直角三角形的性質，平移的性質，掌握菱形的性質，數(shù)形結合分析是關鍵.

16.(1)6；(2)x-1

【分析】(1)原式利用算術平方根，零指數(shù)嘉、負整數(shù)指數(shù)暴法則計算即可求出值；

(2)原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約

分即可得到結果.

-1

【詳解】解：⑴716-(-2)°+I

=4—1+3

=6；

_(x+l)(x-l)x+l

XX

_(x+l)(x-l)X

Xx+1

=X-1.

17.A,8兩款紀念品的進貨單價分別為80元和60元

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，先設48兩款紀念品的進貨單價分別為x,y

元.根據(jù)購進3個A款比購進2個B款多用120元；購進1個A款和2個B款共用200元，

3x-2y=120[x=80

列出方程組，得-CM，再解得“八，即可作答.

【詳解】解：設A,8兩款紀念品的進貨單價分別為尤，y元.

」尤

貝13x+-22yy==210200'

答案第7頁，共15頁

x=80

解得

y=60

答：A,2兩款紀念品的進貨單價分別為80元和60元.

18.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了作角平分線，等腰三角形的判定，平行四邊形的性質，角平分線的定義,

正確掌握相關性質內(nèi)容是解題的關鍵.

(1)理解題意，作，A的平分線交CD于點E,即可作答.

(2)先根據(jù)角平分線的定義得=根據(jù)四邊形ABC。為平行四邊形，得

ZBAE=ZDEA,等量代換得NZME=NDE4,則即可作答.

【詳解】(1)解:如圖，AE即為所求.

(2)證明：為—BAD的平分線，

，ZBAE=ZDAE.

V四邊形AB。為平行四邊形，

AB//CD,

：.ZBAE=ZDEA,

：.ZDAE=ZDEA,

***DA=DE,

是等腰三角形.

19.(l)58c?i

(2)34cm

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，矩形的性質，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解

題的關鍵.

(1)根據(jù)矩形的性質可得：ZABC=90°,然后在RtABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進

行計算即可解答；

(2)在RtABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長，然后利用線段中點的定義可

答案第8頁，共15頁

求出OC的長,從而可得當。尸=OC時,旋轉過程中顯示屏與支架平臺EF剛好不發(fā)生磕碰,

即可解答.

【詳解】(1)解：四邊形ABC。是矩形，

:.ZABC=9Q°,

在RtABC中，AB36cm,ZBAC=58°,

BC=AB-tan58°a36x1.6=57.6?58(cm),

r.BC長度約為58cm；

(2)在RtABC中，AS=36cm,ZBAC=58°,

AC=居x—x67.92(51),

cos5800.53

點。是AC的中點,

OC=^AC=33.96(cm)

???當。尸=OC時，旋轉過程中顯示屏與支架平臺EF剛好不發(fā)生磕碰,

???支架直桿OP的最小值約為34cm,

故答案為：34cm.

20.(1)200

(2)詳見解析

⑶；

【分析】本題考查的是用樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.樹狀圖法可以不重

復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件.掌握公式：概率=所

求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關鍵.

(1)由。的人數(shù)除以所占的比例即可；

(2)求出C的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖即可；

(3)畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中小杰和小慧參加同一項活動的結果有4種,

再由概率公式求解即可.

【詳解】(1)解：在這次調查中，一共抽取的學生為：40^20%=200(名)，

(2)C的人數(shù)為：200—20—80—40=60(名)，

補全條形統(tǒng)計圖如下：

答案第9頁，共15頁

開始

AAAA

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的結果，其中陳杰和劉慧參加同一項活動的結果有4種，

41

.??小杰和小慧參加同一項活動的概率為—=--

164

21.(1)全等，見解析；(2)見解析

【分析】(1)先證明=AH=EF,然后再依據(jù)“&4S”判定“D4H與全等即

可；

(2)用用無刻度的直尺畫出線段D4,FH,再沿DH,萬H進行裁切，則裁切后的卡紙

可以拼接成一個大正方形.

此題主要考查了全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質，應用與設計作圖，圖形的

剪拼，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定與性質，正方形的判定與性質是解決問題的關

鍵.

【詳解】解：(1)..DAH與一HEF全等,證明如下：

?四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形，

:.AD=AB,ZA=90°,BE=EF,ZE=90°,

,/AH=BE,

:.AH=EF,

AH=BE,

:.HE=HB+BE=HB+AH=AB,

;.AD=HEf

在.DW與.EE尸中，

答案第10頁，共15頁

AD=HE,A=ZE=90,AH=EF,

;-DAHdHEF(S網(wǎng);

(2)如圖2所示:

用用無刻度的直尺畫出線段DH,FH,

再沿DH,進行裁切，則裁切后的卡紙可以拼接成一個大正方形，理由如下：

由折疊的性質得AH=BH^-AB,

2

'大正方形ABCD的邊長是小正方形BEFG的2倍，

BE=-AB,

2

:.AH=BE,

,根據(jù)(1)中的拼圖的方法即可將圖(2)中裁切后的卡紙可以拼接成一個大正方形.

22.(1)(0,5)

(2)y=-x2+4.X+5

(3)該滑雪愛好者的“騰空高度分”能得到滿分，見解析

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用，二次函數(shù)圖象上的點，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解

析式，二次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是關鍵.

(1)先求出。點坐標，再求出B點坐標；

(2)用待定系數(shù)法求解析式即可；

⑶設拋物線(BE尸)上一點P,作尸?！╒軸，交拋物線(DC)于。，設尸(辦-〃/+4m+5),

則蘇一］加+三］,從而得出尸°=一：［根一|：+￡,由函數(shù)性質求出PQ的最大值

與6比較即可.

【詳解】(1)解：BD=1,

答案第11頁，共15頁

當x=l時，y=|xl2-yxl+^=5,.-.0(1,5),

BDx軸，

???8(0,5),

故答案為：(0,5)；

(2)由題意知，頂點E為(2,9),

設拋物線(8$)的表達式為y=a(x-2y+9,

把3(0,5)代入y=q(x-2y+9得，5=ax(O-2)2+9,

解得a=-l,

拋物線(BEF)的表達式為；y=-(x-2)2+9=-x2+4x+5,

(3)設拋物線(3所)上一點P，作軸，交拋物線(DC)于。

圖②

設尸(加,一力，+4〃z+5),貝I」+型

...尸。=一療+4，，+5」蘇+任祖一史=一3"2+必加一口=

555555

;當加《8時，P0最大，最大值為:19，?19>6,

該滑雪愛好者的“騰空高度分”能得到滿分.

23.(1)BD1FD；-；(2)成立，見解析；(3)'仞+醛或8收T2

555

【分析】本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，相似三角形的判定及性質，計算較復雜，做

出正確的輔助線是解題的關鍵.

(1)由矩形性質得到N”=90。和A"、G”的長度，求BH、F”的長度，用勾股定理求解

A(Z

BF、BD、DF、AG的長度，工可得，用勾股定理逆定理可判定VBD尸是直角三角形，故

答案第12頁，共15頁

BDLFD.

AftAD

(2)連接5。和。尸，結合矩形性質和勾股定理可求”的長度，求得及=能，且

GFDG

ZBAD=ZDGF,故..ABDs/GFD,可得N3D4=ZGDF、ZADG=ZBDF，求得絲=—

BDDF

AGAD

故4ADGS/\BDF,——=——得證;

BFBD

(3)有兩種情況，若當點尸在3G的延長線上，在直角三角形△DBG中求BG,則

4

BF=BG+GF,結合(2)中不==,可求AG；若點尸在線段3G上，在直角三角形△D3G

BF5

4G4

中求BG,則解=3G—G方，結合(2)中一=—,可求AG.

BF5

【詳解】解：如下圖，連接BD,FD,延長GF、5