專題03二次函數(shù)的圖像變化五類綜合題型

典例詳解

類型一、二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)

類型二、二次函數(shù)的翻折

類型三、二次函數(shù)的平移

類型四、二次函數(shù)的對稱

類型五、二次函數(shù)做分母的特殊變化

壓軸專練

廖^型一、二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)

二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)180°的核心規(guī)律

拋物線旋轉(zhuǎn)180°后，形狀不變（二次項(xiàng)系數(shù)絕對值不變），開口方向相反（二次項(xiàng)系數(shù)符號改變），

且對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心對稱。

坐標(biāo)變換本質(zhì)：

若點(diǎn)P（x,y）繞某點(diǎn)O（m,n）旋轉(zhuǎn)180°后得到點(diǎn)P'（x;y'）,則。是P和P的中點(diǎn)，

（X+x,

\m=---

滿足：42,

即旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)（x',y）與原坐標(biāo)（x,y）的關(guān)系為:x'=2m-x,y'=2n-y?

旋轉(zhuǎn)90°（開口方向變?yōu)樗剑┮?guī)律：

原拋物線（開口豎直）旋轉(zhuǎn)90°后變?yōu)椤八綊佄锞€”（開口向左或向右），不再是y關(guān)于x的二

次函數(shù)，而是x關(guān)于y的二次函數(shù)。

點(diǎn)（x,y）旋轉(zhuǎn)90°后坐標(biāo)變?yōu)椋▂,-x）（順時針）或（-y,x）（逆時針）；

表達(dá)式需通過坐標(biāo)替換推導(dǎo)。

例I.（2024九年級?全國?期末）如圖，拋物線=32+儀。＜0,匕＞0）交匯軸于點(diǎn)兒B（點(diǎn)力在點(diǎn)8右

側(cè)），交y軸于點(diǎn)C.將拋物線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180。，得到拋物線它與％軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)。，頂點(diǎn)為點(diǎn)￡若

四邊形BCDE為矩形，則a、b應(yīng)潢足的關(guān)系式為（）.

C.ah=—2D.ab=—3

2

【答案】D

【分析】本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及矩形的性質(zhì)和中心對稱的性質(zhì).由矩形性質(zhì)得48=力。,

即可求解.

【詳解】解：令x=0,得丫=心

???C（0,b）,

令『=0，得ax2+b=0,

?.?四邊形BCDE為矩形,

???AB=AC,

2

...2yj口a=yllb--a,

4(-D=/?2"?

???ab=—3.

故選：D.

變式1-1.（22-23九年級上?浙江?周測）將拋物線y=/以點(diǎn)。為中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到一個新的

圖象，，如圖，若（與,%）,（工2/2）是圖象，上的兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

B.若為>丫2,則工1>外

2

C.若力>工2，則y/>y2D.若%>，2，則花〉/

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像解答即可.

【詳解】解：由圖象可知，若X1〉X2,貝Ijy/Ay?2.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

變式1-2.(24-25九年級上?遼寧的蘆島?期中)拋物線y=2x2-4x+3繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180。所得拋物線的函

數(shù)表達(dá)式為.

【答案】y=-2x2-4x-3

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得a的絕對值不變，根據(jù)中心對稱，

可得答案.

【詳解】解：將y=2x2-4x+3化為頂點(diǎn)式，得y=2(x-1)2+1,

拋物線y=2x2-4x+3繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。所得的拋物線的解析式是y=-2(x+I)2-1,

化為一般式，得y=-2x2-4x-3,

故答案為：y=-2x2-4x-3.

變式1-3.(24-25九年級上?湖南常德?階段練習(xí))如圖，一段拋物線y=-x2+6x(0<x<6),記為拋物線

G，它與x軸交于點(diǎn)。，①；將拋物線G繞點(diǎn)力i旋轉(zhuǎn)180。得拋物線C2,交x軸于另一點(diǎn)42；將拋物線繞

點(diǎn)七，旋轉(zhuǎn)180。得拋物線C3；交工軸于另一點(diǎn)4…如此進(jìn)行下去，得到一條“波浪線若點(diǎn)M(2023,m)在

此“波浪線”上，則的值為.

C2

示例：原函數(shù)y=x2,關(guān)于y=x翻折后為x=y2。

例2.(2025?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模)已知二次函數(shù)丫=一/+4%+5及一次函數(shù)丫=一”+4將該二次函

數(shù)在％軸上方的圖象沿不軸翻折至以軸下方，圖象的其余部分不變,得到一個新圖象(如圖所示)，當(dāng)直線y=

一%+匕與新圖象有4個交點(diǎn)時，Z7的取值范圍是()

A.-9<b<0B.--</?<-1C.--<b<-1D.-7<b<-1

44

【答案】B

【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，aH0)與x軸的交

點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.解方程-乂2+4乂+5=0得

A(-l,0),B(5,0),再利用折疊的性質(zhì)求出折疊部分的解析式為y=(x+l)(x-5),&Py=x2-4x-5(-1<

x<5),然后求出直線y=-x+b經(jīng)過點(diǎn)A(—l,0)時b的值和當(dāng)直線y=-x+b與拋物線y=x2-4x-5(-l<

x<5)有唯一公共點(diǎn)時b的值，從而得到當(dāng)直線y=-x+b與新圖象有4個交點(diǎn)時，b的取值范圍.

【詳解】解：如圖，

2

當(dāng)y=0時,—x+4x4-5=0?解得x1=—1,x2=5,則A(—1,0),B(5,0),

將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y=(x+l)(x-5),

2

g|Jy=X-4X-5(-I<x<5),

當(dāng)直線y二一x+b經(jīng)過點(diǎn)A(-1,O)E寸，1+b=0,解得b=-l；

當(dāng)直線y=-x4-b與拋物線y=x2-4x-5(-1<x<5)有唯一公共點(diǎn)時，方程x?-4x-5=-x+b有相等

的實(shí)數(shù)解，解得b=-?,

4

所以當(dāng)直線y=-x+b與新圖象有4個交點(diǎn)時，b的取值范圍為-曰<b<-l.

故選：B.

變式2-1.（24-25九年級上?青海西寧?期中）如圖，函數(shù)y=lax?+bx+c|（a>0,8?-4ac>0）的圖象是

由函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0,b2-4ac>0）的圖象x軸上方部分不變，下方部分沿工軸向上翻折而成，則下

列結(jié)論：①2a+b=0：②將圖象向上平移1個單位長度后與直線y=5有3個交點(diǎn)；③當(dāng)1<皿〈彳時,

該圖象與直線y=X+m有四個交點(diǎn)；④a+匕之a(chǎn)/+從（t為實(shí)數(shù)）其中正確的是（)

C.①③④D.②??

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、一元二次方程根的判別式等知

識，較難的是③，正確找出兩個臨界位置是解題關(guān)鍵.求出函數(shù)丫=a*2+6乂+（：1>0加2-4200）的對稱

軸為直線X=l,由此即可判斷①王確；先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)丫=2*2+6*+。的解析式，再求出函數(shù)

y=|ax2+bx+c|在一1VxV3段的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,4）,由此即可判斷②正確；找出兩個臨界位置:

當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)（一1,0）時,直線與函數(shù)y=|x2-2x-3|圖象有3個交點(diǎn)；當(dāng)直線y=x+m與函數(shù)y=

|X2-2X-3|在一1VxV3段的圖象只有?個交點(diǎn)時，直線與函數(shù)y=|x2-2x-3|圖象有3個交點(diǎn)，求出m的

值，由此即可判斷③正確；根據(jù)當(dāng)x=l時，函數(shù)y=ax?+bx+c取得最小值，最小值為a+b+c,則對于

任意實(shí)數(shù)3都有a+b+cWal+bt+c,由此即可判斷④錯誤.

【詳解】解：函數(shù)y=ax?+bx+c(a>0E-4ac>0)的對稱軸為直線x=-三==二

?二匕=-2a,即2a+b=0,結(jié)論①正確；

由題意可知，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一1,0),(3,0),(0,—3),

a—b+c=0fa=1

將點(diǎn)(3,0),(0,-3)代入：9a4-3b+c=0>解得b=—2,

c=—3(c=—3

，函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式為y=x2-2x-3=（x-I）2-4,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一4）,

工函數(shù)y=|ax2+bx+c|在一1Vx<3段的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,4）,

???將函數(shù)y=|ax2+bx+c|圖象向上平移1個單位長度后，在x軸兩個交點(diǎn)的中間部分段的圖象的最高點(diǎn)的

坐標(biāo)為(1,5),

???將函數(shù)y=|ax2+bx+c|圖象向上平移1個單位長度后與直線y=5有3個交點(diǎn)，結(jié)論②正確；

由上可知，函數(shù)y=|ax2+bx+c|的解析式為y=|x2-2x-3|,

當(dāng)xW-l或xN3時，y=X2-2X-3,

當(dāng)一1<x<3時，y=-(x2-2x-3)=-x2+2x+3,

有兩個臨界位置：如圖，當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)(一1,0)時，直線與函數(shù)丫=k2-2乂-3|圖象有3個交點(diǎn)，

如圖，當(dāng)直線y=x+m與函數(shù)y=|x?-2x-3|在一1Vx<3段的圖象只有一個交點(diǎn)時，直線與函數(shù)y=

聯(lián)立［y=-x2+2x+3得：x2-x+m-3=0,這個方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根,

(y=x+m

?,?方程根的判別式△=(-1)2-4(m-3)=0,

解得m=

4

???當(dāng)l<mv?時，該圖象與直線y=x+m有四個交點(diǎn)，結(jié)論③正確；

由上可知，函數(shù)丫=2乂2+6乂+0圖象的開口向上，對稱軸為直線x=l,

???當(dāng)x=l時，函數(shù)y=ax?+bx+c取得最小值，最小值為a+b+c,

二.對于任意實(shí)數(shù)3都有a+b+cWat?+bt+c,即a+bWat?+bt,結(jié)論④錯誤;

綜上，正確的是①?

故選：A.

變式22(24-25九年級上?山東煙臺?期末)將拋物線y=-+1產(chǎn)的圖象位于直線y=-2以下的部分向

上翻折，得到如圖圖象，若直線y=x+m與此圖象有四個交點(diǎn)：則m的取值范圍是.

【答案】1<mV：

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象變換，涉及了二次函數(shù)與?次函數(shù)的交點(diǎn)問題，根據(jù)題意，畫出新圖

象，分別確定直線h與拋物線丫=(X+1)2有一個交點(diǎn)、直線b經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-2)時的m的值，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，畫出新圖象如圖所示：

直線1］與拋物線y=—：(x+1)2有一個交點(diǎn)時：方程一：(x+1)2=x+m有一個實(shí)數(shù)根,

整理方程得：x2+4x4-1+2m=0,

A=42—4(1+2m)=0>

解得：m=p

由一;(x+=-2解得：X|=-3,x2=1,

:.A(—3,-2)

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(-3,-2)時，-2=-3+m得m=I,

Am的取值范圍是：IVm<g

故答案為：1Vm<：.

等類型三、二次函數(shù)的平移

平移規(guī)律(基于頂點(diǎn)移動)：

左右平移：h控制,左加右減于X。

向左平移m個單位-?新頂點(diǎn)橫坐標(biāo)h-m新函數(shù)：y=afx-(h-m)]2+k=a(x-h+//+k

向右平移m個單位f新頂點(diǎn)橫坐標(biāo)h+m->新函數(shù)：y=afx-(h+m)]2+k=a(x-h-in)2+k

上下平移：k控制。上加下減。

向上平移n個單位->新頂點(diǎn)縱坐標(biāo)k+n-?新函數(shù)：y=a[x-h)*+(k+n)

向下平移n個單位->新頂點(diǎn)縱坐標(biāo)k-n-?新函數(shù)：y=a(x-h)2+(k-n)

解題關(guān)鍵：先找到頂點(diǎn)式或求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。平移時緊緊抓住頂點(diǎn)的變化。對于標(biāo)準(zhǔn)式y(tǒng)=al+法十八

可以先配方法或直接用頂點(diǎn)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k),再應(yīng)用平移規(guī)律。

例3.(2025?河南駐馬店?模擬預(yù)測)如圖①，拋物線y=a%2+bx+3與％軸交于4B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)己知點(diǎn)尸3，%),Q(X2/2)是拋物線上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在對稱軸左側(cè)，點(diǎn)Q在對稱軸右側(cè)，若滿足與+小>

-2,請比較力與的大小.

(3)將拋物線平移，使得其頂點(diǎn)P落在直線y=x-l上，設(shè)平移后的拋物線與y軸的交點(diǎn)為D,求點(diǎn)D的縱坐

標(biāo)切的取值范圍.

[答案】(1)拋物線的表達(dá)式為y=-X2-2X+3；

(2)y]>y2；

(3)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)丫口<-1.

【分析】(1)依題得出點(diǎn)C坐標(biāo)后可推得點(diǎn)A坐標(biāo)，結(jié)合拋物線對稱軸可知點(diǎn)C坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為

y=a(x+3)(x-1),將點(diǎn)C(0,3)代入即可得解;

(2)由X|+x2>-2推出一Vx2-(-l),即可判斷點(diǎn)P比點(diǎn)Q距離對稱軸更近，結(jié)合二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)即可得解；

(3)設(shè)平移后頂點(diǎn)P(p,p-1),平移后拋物線解析式為y=-(x-p)2+p-l,令x=0,可得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)

2

yD=-(p-0-2,進(jìn)而可以判斷得解.

【詳解】(1)解：儂題得：當(dāng)x=0時，y=3,

即C(0,3),

A0C=0A=3,

則A(-3,0),

???拋物線的對稱軸為直線x=-1,A,B兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，

???

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1),

將點(diǎn)C(0,3)代入得，a=-l,

?,?拋物線的表達(dá)式為y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3；

(2)解：vX]4-x2>-2,

—1—x(VX2一(—1),

即點(diǎn)P比點(diǎn)Q距離對稱軸更近，

由(1)得，a=-lV0,拋物線開口向下，有最大值，

二x>y2；

(3)解.：設(shè)平移后頂點(diǎn)P(p,p-1),則平移后拋物線解析式為y=-(x-p)2+p-l,

???平移后的拋物線與y軸的交點(diǎn)為D,

令x=0,則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)丫口=-p2+p-1=-(p2-p)-1=~(P_0一方

??,對于任意p都有(p-0>0,

???點(diǎn)D的縱坐標(biāo)丫口<

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的對稱性、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、

二次函數(shù)的平移，解題關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)圖像與性質(zhì)解題.

變式3-1.（24-25九年級下?云南,期中）己知函數(shù)為=ax?+以.

⑴若此函數(shù)與x軸只有一個公共點(diǎn)且過點(diǎn)（1,-勺，求函數(shù)的解析式；

（2）若a>0,將此拋物線必向上平移c個單位（c>0）得到新的拋物線力，當(dāng)％=c時，丫2=0；當(dāng)0V%<c時，

y2>0.試比較ac與1的大小，并說明理由.

【答案】ay=-^x2

（2）ac<I

【分析】本題考查二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

（1）令y=0得，ax2+bx=0,由題意得根的判別式為。求得b=0,再把點(diǎn)（I,一；）代入求得a=-；，即可

求解；

（2）由題意得y2=ax24-bx+c,把（c,0）代入得一b=ac+1,利用函數(shù)圖象可得一b>2ac,進(jìn)而求解即可.

【詳解】（1）解：令y=O得，ax?4-bx=0,

丁此函數(shù)與x軸只有一個公共點(diǎn)，

A=b2-4ac=b2=0,

Ab=0,

???此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1,一9，

把點(diǎn)（1,一1）代入y】=ax?+bx得，a=-；,

???函數(shù)的解析式為X=-32；

2

（2）解：ac<1,理由如下：由題意得，y2=ax+bx+c,

Vx=c時，y2=0；

/.ac2+be4-c=0,

/.ac+b+1=0,即一b=ac+I,

Va>0,

???拋物線開口向上，ac+1>0,

b<0

丁對稱軸x=—：>0,畫草圖如下：

2a

*當(dāng)0<x<c時，y2>0,

—~Nc>即-bZ2ac>

2a

:.ac+1>2ac,

/.ac<1.

變式3-2.(24-25九年級上?重慶秀山?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-：/+6%+(；與工軸

交干點(diǎn)4(一2,0),8(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,連接8C.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,P是線段8C上方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸Elly軸交8。于點(diǎn)E,在。3上取點(diǎn)D,連接C。，

其中2。。=BD,過點(diǎn)￡作“卜軸交CD于點(diǎn)F,求PE+長度的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(3)如圖2,在平面內(nèi)，將拋物線y=-^x2+bx+c沿直線y=%斜向右上平移，當(dāng)平移后的新拋物線經(jīng)過(0,2)

時停止平移，此時得到新拋物線.在平移后的新拋物線上確定一點(diǎn)M,使得乙BOM=45。，請直接寫出所有

符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(l)y=-：X2+X+4

⑵PE+EF長度的有最大值為弓，點(diǎn)PC片)

(3)(2+2近,5近)或(4+273,-4-26)

【分析】本題主要考杳了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值、二次函數(shù)與幾何的

綜合等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵.

(1)直接運(yùn)用待定系數(shù)法即可解答:

(2)先求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，然后再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BC、CD的解析式，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,

一;m?+m+4)(m>()),則E(m,-m+4),F(],-m+4),再表示出線段PE+EF的表達(dá)式，然后根據(jù)二

次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可解答；

(3)由y=一!x?+x+4=-;(x-+*設(shè)平移后的解析式為y=-;(x-1-+；+t(t>0),再根據(jù)

平移后的拋物線過(0,2)點(diǎn)可求得!,進(jìn)而確定平移后的拋物線解析式，然后分M點(diǎn)位于x軸的上側(cè)與下側(cè),

設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)求出x的值即可確定M點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】(I)解：??3=一那+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(—2,0),B(4,0),

p)=-2—2b4-c解得

t()=-8+4b+c

???撤物線的解析式為y=-+x+4：

(2)vy=-#+x+4

AC(0,4),

vB(4,0),2OD=BD,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+bH

則歸墨>解嚙工

:.y=—x+4,

同理：直線CD的解析式為y=-3x+4,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-gnr+m+4)(m>0),

則E(m,—m+4),F(1,—m+4),

???PE=—；m2+m+4—(—m+4)=—■；m2+2m,

llm2m

EF=m一不=不

???PE4-EF=—1m24-2m+Y=-；m2+Y="+看,

.?.當(dāng)m=$寸，PE+EF長度的有最大值為葺點(diǎn)

(3)vy=-1x2+x+4=-1(x-1)2+p

如圖，設(shè)平移后的解析式為y=-l(x-i-t)2+^+t(t>0),

???當(dāng)平移后的新拋物線經(jīng)過(0,2)時停止平移，得到新拋物線，

???2=-;(-1-t)2+g+3解得：t=2或t=-2(舍棄)，

???平移后的新拋物線的解析式為丫=—；(x-3>+￡=-；x2+3x+2,

①當(dāng)M點(diǎn)位于x軸上側(cè)時，過點(diǎn)M作MG1x軸，

???匚BOM=45。，

.?.△MGO為等腰直角三角形,

MG=OG,

---x--:X2+3x+2,

解得：x=2+2V2,或x=2-2日(舍去)，

M(2+2V2,5V2)；

當(dāng)M點(diǎn)位于x軸下側(cè)時，過點(diǎn)M作MH1x軸,

VOBOM=45°,

.?.△MHO為等腰直角三角形,

MH=OH,

二x=一(-gx?+3x+2),

解得：x=4+2V5,或X=4-26(負(fù)數(shù)舍去)，

M(4+2石，-4一26)，

綜上所述符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)(2+2衣,5衣)或(4+26，-4-26).

旗類型四、二次函數(shù)的對稱

1.關(guān)于x軸對稱對稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)f對稱后頂點(diǎn)(h,-k)；

系數(shù)變化：a變?yōu)?a(開口方向相反)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,對稱后為：y=-a(x-h)2-k

若原函數(shù)為一般式y(tǒng)=ax?+bx+c,對稱后為：y=-ax2-bx-c

2.關(guān)于y軸對稱對稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)一對稱后頂點(diǎn)(-h,k)；

系數(shù)變化：a不變(開口方向不變)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,對稱后為：y=a(x+h)2+k

若原函數(shù)為一般式y(tǒng)=ax?+bx+c,對稱后為：y=ax2-bx+c

3.關(guān)于原點(diǎn)對稱(中心對稱)對稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)--對稱后頂點(diǎn)(-h,-k)；

系數(shù)變化：a變?yōu)閈(-a\)(開口方向相反)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,對稱后為：y=-a(x+h)2-k

若原函數(shù)為一般式y(tǒng)=ax?+bx+c,對稱后為：y=-ax2+bx-c

4.關(guān)于直線x=m對稱(豎直直線)對稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)f對稱后頂點(diǎn)(2m-h,k)(橫坐標(biāo)滿足h=2m-h,縱坐標(biāo)不變)；

系數(shù)變化：a不變(開口方向不變)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x?h>+k,對稱后為:y=a(x+h-2m)2+k

5.關(guān)于直線y=n對稱(水平直線)對稱規(guī)律：

頂點(diǎn)變化：原頂點(diǎn)(h,k)一對稱后頂點(diǎn)(h,2n?k)(縱坐標(biāo)滿足\(k=2n-k\),橫坐標(biāo)不變)：

系數(shù)變化：a變?yōu)?開口方向相反)。

表達(dá)式推導(dǎo)：

若原函數(shù)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h>+k,對稱后為：y=-a(x-h)2+(2n?k)

例4.(24-25九年級下?黑龍江大慶?期中)定義：若函數(shù)G和函數(shù)的圖象關(guān)于直線％對稱，則稱函數(shù)

Ci和Q關(guān)于直線％=加互為“和睡函數(shù)”，函數(shù)G和Cz的圖象交點(diǎn)叫做“和睦點(diǎn)”.

例如：函數(shù)y=x2-3關(guān)于直線％=1的“和睦函數(shù)”為y=(x-2)2-3,“和睦點(diǎn)”為(1,一2).下列說法不正

確的序號為.

①函數(shù)y=x2-2x關(guān)于直線％=-1的“和II奉函數(shù)”為y=(%+3產(chǎn)-1=/+6%+8,“和陛點(diǎn)”坐標(biāo)為(一1,3)；

②函數(shù)y=x2-4x+1關(guān)于直線無=?n的“和I睡點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為九，當(dāng)1WmW4時，則九的取值范圍是一2<

n<1；

③函數(shù)y=X2-4x關(guān)于直線％=m的“和睦點(diǎn)”縱坐標(biāo)d滿足：|d|<3,〃?的取值范圍是3<m<2+V7或2-

V7<m<1

④己知M(l,-2),N(4,-2),函數(shù)。1號=。(久一1)2-4磯。>0)關(guān)于直線％=2的“和陛函數(shù)”為。2,將函數(shù)C1

與G的圖象組成的圖形記為T,若丁與線段MN只有2個公共點(diǎn)，則a的取值范圍是at1

【答案】②④/④②

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式、二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)交點(diǎn)問題等內(nèi)容，利用數(shù)形

結(jié)合是解題的關(guān)鍵.①根據(jù)“友好函數(shù)''的定義即可求解，②n=R-4m+1=(m-2)2-3,再根據(jù)m的取

值范圍即可得到n的范圍，③根據(jù)題意得;3m2-4m|W3,解不等式，即可求解；④當(dāng)MN過“和睦點(diǎn)”時，

為臨界點(diǎn)情況，當(dāng)MN過C］的頂點(diǎn)時，此時T與線段MN只有2個公共點(diǎn)，找出臨界值代入求解即可.

【詳解】解：①???y=x2-2x=(x-1)2一1,

???頂點(diǎn)(1,一1),它關(guān)于直線x=-l的對稱點(diǎn)為(-3,-1),

???“和睦函數(shù)''為y=(x+3)2-1=X2+6X+8,

???兩個函數(shù)圖象關(guān)于直線x=-l對稱，

,其交點(diǎn)必在直線x=-1上，將x=-1代入y=X?-2x中，y=1-2x(-1)=3,

.一和睦點(diǎn)”坐標(biāo)為(-1,3)；故①正確；

②由題意得n=n?-4m+1=(m-2)2-3,

v1>0,

??.n關(guān)于m的函數(shù)圖象是一條拋物線，開口向上，頂點(diǎn)為(2,-3),

???當(dāng)m=2時，n有最小值一3,

當(dāng)m=1時，n=-2,當(dāng)m=4時，n=1,

—3<n<1；故②錯誤；

③依題意可得d=m?-4m

V|d|<3,

/.|m2—4m|<3

Am2-4m—3<0或m2—4m+3>0

解得：3WmW2+夜或2-近WmWI,故③正確

當(dāng)MN過“和睦點(diǎn)”時，為臨界點(diǎn)情況，

當(dāng)x=2時，y=a(2—I)2-4a=-3a,

即-3a=-2,

解得：a=[

則當(dāng)a時，T與線段MN只有2個公共點(diǎn)；

當(dāng)MN過C]的頂點(diǎn)時，此時T與線段MN只有2個公共點(diǎn)，

當(dāng)x=1時，y=a(l—I)2—4a=-4a,

即—4a=-2,

解得:a=p

綜上，a的取值范圍為：23|或@=；,故④錯誤，

故答案為：②④.

變式4-1.(24-25八年級上?廣東中山?期末)定義：若函數(shù)圖像上存在點(diǎn)M'(m+1,電)，且滿足

九2-九1=3則稱t為該函數(shù)的“域差值”.例如：函數(shù)y=2x+3，當(dāng)x=m時，nx=2m+3；當(dāng)x=m+1

時，n2=2m+5,n2-n1=2則函數(shù)y=2x+3的“域差值”為2

(1)點(diǎn)用<巾+1*2)在'=:的圖像上，“域差值"=一4,求m的值；

(2)已知函數(shù)y=-2X2(X>0),求證該函數(shù)的“域差值"t>-2；

(3)點(diǎn)力(a,b)為函數(shù)y=-2/圖像上的一點(diǎn)，將函數(shù)y=-2x2{x>a)的圖像記為電，將函數(shù)y=-2x2(x<

a)的圖像沿直線y=b翻折后的圖像記為32當(dāng)上，伍兩部分組成的圖像上所有的點(diǎn)都滿足“域差值、<1時，

求a的取值范圍.

【答案】(1)一早或空

(2)見解析

⑶-2]

【分析】(I)先把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出川,中的值，再由電二-4,列方程解答即可；

(2)設(shè)函數(shù)y=-2x?(x>0)圖象上存在點(diǎn)M(m,n]),M(m+1,電)，且滿足n?—川=t,m>0,求出川川?的

值，進(jìn)而得到山一咆=-4m-2,求出一4m-2的范圍即可證明結(jié)論；

(3)當(dāng)W1兩部分組成的圖象上所有的點(diǎn)滿足“域差值”tWI時，nij_4m-2<1,可得mN—%對于函數(shù)丫=

一2x2(xWa)的圖象沿直線y=b翻折后的圖象即為W?：y=2x2-4a2(x<a),根據(jù)定義求出m的范圍，即

可解答.

【詳解】(1)解：???點(diǎn)M(m,n。，M’(m+1,2)在y=(的圖象上,

44

???“域差值"t=-4,

整理，得：m2+m-1=0,

經(jīng)檢驗(yàn)，rri|=一4上m,=咚」均是方程-y—2=—4的解，

22m+1in

的值為一浮1或浮1：

(2)證明：設(shè)函數(shù)y=-2x“x>0)圖象上存在點(diǎn)M(m,nD，M(m+l,n2),且滿足電一川=3m>0

當(dāng)x=m時，ri|=-2m2,

當(dāng)x=m+l時,川=-2(m+1)2,

22

???t=n2-n1=-2(m4-I)—(—2m)=—4m—2,

vm>0,

:.-4m<0,

：?-4m—2<—2,

即tV-2,

故該函數(shù)的“域差值”tv-2；

(3)解：如圖所示，

加

2-

?.,點(diǎn)A(a,b)為函數(shù)y=-2x?圖象上的一點(diǎn),

???b=-2a2,

由(2)得:t=-4m-2,

當(dāng)W1的圖象上所有的點(diǎn)都滿足“域差值”tW1時，

則-4m-2<1,

解得：

m>—4p

???如圖，當(dāng)aN—：時，函數(shù)y=—2x2(x")的圖象上所有的點(diǎn)都滿足“域差值”tW1；

設(shè)2t2)是函數(shù)y=-2X2(X<a)圖象上的一點(diǎn)，則(t,2t2-4a?)在W2的圖象上，

???對于函數(shù)y=-2x2(x<a)的圖象沿直線y=b翻折后的圖象記為W2:y=2x2-4a2(x<a),

???W|的圖象上所有的點(diǎn)都滿足“域差值”tW1,

A2(m+I)2-4a2-2m2+4a2<1,

:.4m+2<1,

*“i

m4-1<

.-3

??aq

綜上所述，—<a<20

44

【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)

形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是正確理解題意并運(yùn)用新定義解決問題.

變式4-2.(2025?遼寧鐵嶺?二模)在平面直角坐標(biāo)系中，在函數(shù)S的圖象上任找一點(diǎn)P,總能在函數(shù)7的圖

象上找到一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)P與點(diǎn)。關(guān)于直線y=m對稱，我們把函數(shù)S與函數(shù)7稱為關(guān)于直線y=/n的對稱

函數(shù)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于直線y=m互為對稱點(diǎn)，直線y=m稱為函數(shù)S和函數(shù)7的對稱軸.例如點(diǎn)P(a,2a)在

函數(shù)y=2%的圖象上，點(diǎn)Q(a,—2a)在函數(shù)y=-2%的圖象上，點(diǎn)P與點(diǎn)。關(guān)于x軸(直線y=0)對稱，函

數(shù)y=2x與函數(shù)y=-2%關(guān)于x軸(直線y=0)互為對稱函數(shù).

(1)函數(shù)、=|(x<0)關(guān)于直線y=0的對稱函數(shù)是二

(2)若函數(shù)y=2T與函數(shù)y=-2x-4是關(guān)于直線y=m的對稱函數(shù)，求這兩個函數(shù)的對稱軸y=m；

(3)若函數(shù)y'是函數(shù)y=[2'”,一？關(guān)于對稱軸直線y=m的對稱函數(shù).

G+1)2-3,x>-2

①當(dāng)m=—1時，求函數(shù)y=[2X+?，"-2關(guān)于對稱軸直線=6的對稱函數(shù)/；

②已知點(diǎn)4(-4,1),點(diǎn)8(3,1),當(dāng)函數(shù)y'的圖象與線段AB有且只有一個交點(diǎn)時，請直接寫由〃?的取值范圍.

【答案】(l)y=-“xV0)

X

(2)y=-2

⑶0y=[4,x<:②m<-1或-！vmW7.

l-(x+1)2+hx>-222

【分析】(I)設(shè)K(k,J是函數(shù)y=；(x<0)的圖象上一點(diǎn)，則可知點(diǎn)(k,—J在函數(shù)y=：(x<0)關(guān)于直線y=0

的對稱函數(shù)的圖象上，據(jù)此可得答案；

(2)設(shè)點(diǎn)L(l,21)是函數(shù)y=2x圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)L(l,21)關(guān)于直線y=m的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2m-21),根據(jù)題

意可得點(diǎn)。,2m-21)在函數(shù)y=-2x-4的圖象上，據(jù)此求解即可；

(3)①設(shè)點(diǎn)H(h,2h+2)(h<-2)是函數(shù)y=2x4-2(x<一2)的圖象上一點(diǎn)，則

點(diǎn)(h,—4—2h)(h<一2)一定在函數(shù)y=2x+2(x<-2)關(guān)于直線y=-1的對稱函數(shù)的圖象上，設(shè)T(t,(t+

I)2-3)(t>一2)是函數(shù)y=(x+1)2-3(X>一2)的圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)(t,1-(t+l)2)(t>一2)一定在函數(shù)y=

—2x—4XV—7

{-(x+I)2+1,x>-2

②同理可求出y=12x"!■2m2,x-2；在丫=—2x+2m—2(xW—2)中，當(dāng)x=-2時，y=2m+2,

l-(x+l)2+2m+3,x>-2

分別求出當(dāng)點(diǎn)A(-4,1)恰好在函數(shù)y=-2x+2m-2(x<-2)的圖象上時，當(dāng)拋物線y=-(x+I)2+2m+3

的頂點(diǎn)坐標(biāo)恰好在線段AB上時，當(dāng)點(diǎn)(-2,2m+2)恰好在線段AB上時，當(dāng)點(diǎn)B(3,l)恰好在函數(shù)y=

-(x+1)2+2m+3的圖象上時，四種情況下m的值即可得到答案.

【詳解】(1)解：設(shè)K(k,J是函數(shù)y=：(xV0)的圖象上一點(diǎn)，

關(guān)于直線y=0的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(k,-：),

???點(diǎn),,一：)在函數(shù)y=；(x<0)關(guān)于直線y=0的對稱函數(shù)的圖象上，

，函數(shù)y=：(x<0)關(guān)于直線y=0的對稱函數(shù)為y=—^(x<0)；

(2)解；設(shè)點(diǎn)LQ,21)是函數(shù)y=2x圖象上一點(diǎn),則點(diǎn)L。,21)關(guān)于直線y=m的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為。,2m-21),

???函數(shù)y=2x與函數(shù)y=-2x-4是關(guān)于直線y=m的對稱函數(shù)，

???點(diǎn)(1,2m-21)在函數(shù)y=-2x-4的圖象上，

A-2l-4=2m-21,

Am=-2,

，這兩個函數(shù)的對稱軸為y=-2：

(3)解：①設(shè)點(diǎn)H(h,2h+2)(h<一2)是函數(shù)y=2x+2(x<-2)的圖象上一點(diǎn),則點(diǎn)H(h,2h+2)(h<一2)關(guān)

于直線y=-1的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(h,—4—2h)(h<-2),

，點(diǎn)(h,—4-2h)(h<一2)一定在函數(shù)y=2x4-2(x<-2)關(guān)于直線y=-1的對稱函數(shù)的圖象上，

，函數(shù)y=2x+2(x<-2)關(guān)于直線y=-1的對稱函數(shù)為y=-2x-4(x<-2)；

設(shè)T(t,(t+1)2—3)(t>一2)是函數(shù)y=(x+I)2-3(x>-2)的圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)T(t,(t+I)2-3)(t>一2)關(guān)

于直線y=-l的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為l)2)(t>-2),

???點(diǎn)(t,1一(t+l)2)(t>-2)一定在函數(shù)y=(x+I)2-3(x>一2)關(guān)于直線y=T的對稱函數(shù)的圖象上，

2

.?.函數(shù)y=(x+一3(x>-2)關(guān)于直線y=-1的對稱函數(shù)為y=-(x+I)+l(x>-2),

-2x-4,x<-2

綜上所述，y'=

.-(x+1)2+1,x>-2

②設(shè)點(diǎn)R(r,2r+2)(r<一2)是函數(shù)y=2x+2(x<-2)的圖象上一點(diǎn)，則點(diǎn)R(r,2r+2)(r<一2)關(guān)于直線y=m

的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(i■，-2r+2m-2)(r<-2),

???點(diǎn)(r,-2r+2m-2)(r<一2)一定在函數(shù)y=2x+2(x<-2)關(guān)于直線y=m的對稱函數(shù)的圖象上，

，函數(shù)y=2x4-2(x<-2)關(guān)于直線y=m的對稱函數(shù)為y=一2x+2m-2(x<-2)；

設(shè)S(s,(s+I)2-3)(s>-2)是函數(shù)y=(x+I)2-3(x>-2)的圖象上一點(diǎn),則點(diǎn)S(s,(s+I)2-3)(s>-2)關(guān)

于直線y=1口的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(s,-(t+I)2+2m+3)(t>一2),

，點(diǎn)(s,-(t4-I)2+2m+3)(t>一2)一定在函數(shù)y=(x+I)2-3(x>一2)關(guān)于直線y=m的對稱函數(shù)的圖象

上，

工函數(shù)y=(x4-I)2—3(x>—2)關(guān)于直線y=m的對稱函數(shù)為y=—(x+I)2+2m+3,

—2x+2m—2,x<—2

綜上所述，y'=

、一(x+I)2+2m+3,x>—2

在丫=—2x+2m—2(x<—2)中，當(dāng)x=-2時，y=2m4-2,

如圖3-1所示，當(dāng)點(diǎn)A(-4,1)恰好在函數(shù)y=-2x+2m-2(x4-2)的圖象上時,

:.1=-2X(-4)+2m-2,

解得m=-|；

如圖3-2所示，當(dāng)拋物線y=-(x+I)2+2m+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)恰好在線段AB上時,

/.2m4-3=1,

如圖3-3所示，當(dāng)點(diǎn)(-2,2m+2)恰好在線段AB上時，貝ij2m+2=1,解得m=—3

如圖3-4所示，當(dāng)點(diǎn)B(3,l)恰好在函數(shù)y=-(x+I)2+2m+3的圖象上時,

:.1=—(3+1)~+2m+3,

解得m=7；

圖3-4

綜上所述，當(dāng)函數(shù)y'的圖象與線段AB有且只有一個交點(diǎn)時，一半￡11]＜一1或一；＜?1W7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，坐標(biāo)與圖形變化一軸對稱，解題的關(guān)鍵在

丁根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到對應(yīng)函數(shù)的對稱函數(shù).

辱類型五、二次函數(shù)做分母的特殊變化

============================================================]

當(dāng)二次函數(shù)作為分母時的分式函數(shù)，需要考慮幾點(diǎn)

I.分母不為0,需要解相應(yīng)一元二次方程的根

2.函數(shù)的值，由分母的取值范圍反推。

3.圖像特征

漸近線：

垂直漸近線：分母為零的點(diǎn)（即方程ax2+bx+c=0的實(shí)根）；

水平漸近線：當(dāng)x越大時，分母二次函數(shù)ax?+bx+c函數(shù)值的絕對值越趨近于無窮大，即水平漸近線為y

越趨近于0o

單調(diào)性：

需結(jié)合分母的單調(diào)性分析：

若分母在某區(qū)間遞增且為正，則分式在該區(qū)間遞減；

若分母在某區(qū)間遞減且為負(fù)，則分式在該區(qū)間遞增（需注意符號對單調(diào)性的影響）。

例5.（2025?湖北宜昌?模擬預(yù)測）為了研究函數(shù)丫=忌薪的性質(zhì)，小妍用描點(diǎn)法畫它的圖象，列出了如

下表格：

X???-3-2-10123???

①點(diǎn)（5,.）在該函數(shù)圖象上；

②該函數(shù)圖象在x軸上方；

③該函數(shù)圖象有最高點(diǎn)：

④若力（兀,％）和8（—，5,、2）是該函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，則<丫2；

⑤若將該函數(shù)圖象向左平移1個單位長度，則平移后的圖象的函數(shù)解析式是y=看.

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①②?⑤C.②③④⑤D.①③@@

【答案】B

【分析】本題考查了函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求解，能從表格和圖象獲取信息是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解」當(dāng)x=5時，y=-=%

???點(diǎn)（5年）在該函數(shù)圖象上，原結(jié)論正確；

：7y==，>0,

^^2（x-i）2+l

，該函數(shù)圖象在X軸上方，原結(jié)論正確：

A（x-1）2+1>1,

???—同

???該函數(shù)圖象有最高點(diǎn)，原結(jié)論正確；

□由圖象可得，

V|1-（-V3）|>|1-7T|,

Ay,>y2?原結(jié)論錯誤;

匚若將該函數(shù)圖象向左平移1個單位長度，則平移后的圖象的函數(shù)解析式是y=777T==，原結(jié)論

正確：

???正確的結(jié)論是

故選：B.

變式5-1.（2025?湖北武漢?三模）在學(xué)習(xí)了“利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)”后，為了研究函數(shù)丫二仄小

的性質(zhì)，小勤同學(xué)用描點(diǎn)法畫它的圖象，列出了如下表格：

X???-3-2-10123???

_111111

y~x2-2M+2???11???

52225

以下五個結(jié)論：①點(diǎn)（-4,在函數(shù)的圖象上；②函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第四象限；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線

X=1對稱；④點(diǎn)力8（瓦丫2），若a>b>1,則為<y；⑤若直線y=。與函數(shù)y=2一;—的圖象有

2

2個公共點(diǎn)，則其中正確的結(jié)論是.（填寫序號）

【答案】0（2）@

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把x=-4代入函數(shù)解析式求出y的值即可判斷①；由絕對值的

性質(zhì)可得即不管x取何值，始終有yNO,即可判斷②；根據(jù)表格對應(yīng)的數(shù)值可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

可判斷④；畫出圖象可判斷⑤，綜上即可求解，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

【詳解】解：當(dāng)時，[_I

x=-4y=(-4)2-2|-4|+2-10’

???點(diǎn)（一喘）在函數(shù)的圖象上，故①正確;

當(dāng)x>0時，y=-rr-；--=--工0，

JX2-2X+2（x-1>+1

當(dāng)x<0時，y=--=-->0,

:x-+2x+2（x+l）-+l

即不管x取何值，始終有yNO,

，函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第四象限，故②正確；

由表知，函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=0對稱，即關(guān)于y軸對稱，故③錯誤;

.?.當(dāng)XN。時，y=x2_；x+2=（x-；2/y隨x的增大而減小，

，點(diǎn)A（a,yJ,B（b,y2）,若a>b>1,則丫［<丫2，故④正確；

由②可知，0VyW1,

畫函數(shù)圖象如卜.：

由圖象可知，當(dāng)直線y=a與函數(shù)y的圖象有2個公共點(diǎn)時，:Wa<1,故⑤錯誤；

綜上，正確的結(jié)論是①②④，

故答案為：①②?.

變式5-2.（24-25九年級下?湖北武漢?階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)丫=7TM的圖像和性質(zhì)，下列五個結(jié)論：

J|X2-4X|+1

①點(diǎn)（-1,?在函數(shù)圖像上；

②圖像關(guān)于直線x=2對稱；

③4（%,y）在函數(shù)圖像上，若0VXW3,則:Wy<1；

④若力（%1，%）,8（%2，丫2）在函數(shù)圖像上，則當(dāng)與>x2>2時，%>y2i

⑤若方程「=￡有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則t=1或0VtV

|x2-4x|+l5

其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

【答案】①②⑤

【分析】把x=-1代入到y(tǒng)=2_]]+]中，求出對應(yīng)的函數(shù)值即可判斷①；令丫'=k2一4乂|,當(dāng)x24或x￡0時

y=x2-4x=(x-2)2-4,當(dāng)0<x<4時，y'=-x24-4x=-(x-2)24-4,根據(jù)函數(shù)y'=|x2-4x|關(guān)于直

線x=2對稱，可得函數(shù)y=告力關(guān)于直線