2026年中考數(shù)學高頻考點突破-反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題1．如圖，已知菱形ABCD的對稱中心是坐標原點O，四個頂點都在坐標軸上，反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象與AD邊交于E（﹣4，1（1）求k，m的值；（2）寫出函數(shù)y=kx2．平面直角坐標系xOy中，將直線y＝x+b向上平移2個單位長度后與函數(shù)y＝4x（1）求m，b的值；（2）已知點P（a，0）（a＞0）是x軸上一動點，過點P作平行于y軸的直線，交直線y＝x+b于點M，交函數(shù)y＝4x①當a＝4時，求MN的長；②若MN＞PN，結(jié)合圖象，直接寫出a的取值范圍．3．如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=kx（k≠0，x＞0）的圖象交于點A（1，a），B是反比例函數(shù)圖象上一點，直線OB與x軸的夾角為α，tanα=1（1）求k的值．（2）求點B的坐標．（3）設點P（m，0），使△PAB的面積為2，求m的值．4．如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y2=ax的圖象相交于A，B兩點，直線AB與x軸相交于點C，點B的坐標為（﹣6，m），線段OA=5，E為x軸正半軸上一點，且cos∠AOE=3（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求證：S△AOC=2S△BOC；（3）直接寫出當y1＞y2時，x的取值范圍．5．如圖，在直角坐標系中，直線y1＝ax＋b與雙曲線y2＝kx（k≠0）分別相交于第二、四象限內(nèi)的A（m，4），B（6，n）兩點，與x軸相交于C點．已知OC＝3，tan∠ACO＝2（1）求y1，y2對應的函數(shù)表達式；（2）求△AOB的面積；（3）直接寫出不等式ax＋b－kx6．在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y＝kx的圖象與一次函數(shù)y＝2x﹣1的圖象交于A、B兩點，已知A（m（1）求k及點B的坐標；（2）若點C是y軸上一點，且S△ABC＝5，直接寫出點C的坐標．7．如圖，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象交于點A、B，與y軸交于點C．過點A作AD⊥x軸于點D，AD=2，∠CAD=45°（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）若點E是點C關(guān)于x軸的對稱點，求ΔABE的面積.8．如圖一次函數(shù)y=mx+n的圖象與反比例函數(shù)y=kx（1）試確定上述兩個函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時x的取值范圍．9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x的圖象與反比例函數(shù)y＝kx（x＜0）的圖象相交于點A（﹣4，m（1）求反比例函數(shù)y＝kx（2）若點P在x軸上，AP＝5，直接寫出點P的坐標．10．如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=k（1）求m的值和反比例函數(shù)的表達式；（2）在y軸上有一動點P（0，n），過點P作平行于x軸的直線，交反比例函數(shù)的圖象于點M，交直線AB于點N，且點M在點A下方，連接BM.若SΔBNM11．如圖，一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)y2=mx（（1）分別求出兩個函數(shù)的解析式；（2）連接OD，求△BOD的面積.12．如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖像與反比例函數(shù)y=8x(x>0)（1）求a的值及正比例函數(shù)y=kx的表達式；（2）若BD=10，求△ACD的面積.13．如圖，y1=?x+4與雙曲線y2=kx(x>0)（1）求雙曲線的函數(shù)表達式；（2）直接寫出當x>0時，不等式y(tǒng)114．已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=kx（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當x取何值時，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）點M（m，n）是反比例函數(shù)圖象上的一動點，其中0＜m＜3，過點M作直線MB∥x軸，交y軸于點B；過點A作直線AC∥y軸交x軸于點C，交直線MB于點D．當四邊形OADM的面積為6時，請判斷線段BM與DM的大小關(guān)系，并說明理由．15．如圖，平面直角坐標系中，已知A（4，a），B（﹣2，﹣4）是一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象和反比例函數(shù)y＝﹣k2（1）求反比例函數(shù)和直線AB的解折式；（2）將直線OA沿y軸向下平移m個單位后，得到直線l，設直線l與直線AB的交點為P，若S△OAP＝2S△OAB，求m的值.16．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象分別交x軸、y軸于C，D兩點，交反比例函數(shù)y=nx圖象于A（（1）求直線CD的表達式；（2）點E是線段OD上一點，若S△AEB（3）請你根據(jù)圖象直接寫出不等式kx+b≤n答案解析部分1．【答案】（1）解：∵點E（﹣4，12）在y=kx上，∴k=﹣2，∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣2x．∵F（m，2）在y=?2（2）解：函數(shù)y=kx【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）將E點的坐標代入y=kx（k≠0）即可算出k的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式；然后將F（m，2）代入反比例函數(shù)的解析式即可算出m的值，從而得出F點的坐標；

（2）根據(jù)圖形可知，求函數(shù)y=k2．【答案】（1）解：∵函數(shù)y＝4x∴m＝2．∴Q（2，2）．∵直線y＝x+b+2經(jīng)過點Q（2，2）．∴2+b+2＝2．∴b＝﹣2；（2）解：①如圖1，當a＝4時，P（4，0）．∵反比例函數(shù)的表達式為y＝4x∴M（4，2），N（4，1）．∴MN＝2﹣1＝1；②a的取值范圍是0＜a＜2或a＞4【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝4x∴m＝2．∴Q（2，2）．∵直線y＝x+b+2經(jīng)過點Q（2，2）．∴2+b+2＝2．∴b＝﹣2；（2）①如圖1，當a＝4時，P（4，0）．∵反比例函數(shù)的表達式為y＝4x∴M（4，2），N（4，1）．∴MN＝2﹣1＝1；②∵點P（a，0）（a＞0），PM∥y軸，∴M（a，a﹣2），N（a，4a由4x解得：x＝1+5或1﹣5（舍）．∴交點A（1+5，5﹣1）．分兩種情況：a：當0＜a＜1+5時，如圖2．∵MN＞PN．∴4a﹣（a﹣2）＞4∴a＜2．即當0＜a＜2時，MN＞PN．b：當a＞1+5時，如圖3．∵MN＞PN．∴a﹣2﹣4a＞4∴a﹣2＞8a如圖4，函數(shù)y＝a﹣2與y＝8a∴a＞4．即a＞4時，MN＞PN．綜上，a的取值范圍是0＜a＜2或a＞4．

【分析】（1）將點Q（2，m）代入y=4x中，求出m=2，那么Q（2，2），再將Q的坐標代入y=x+b+2中，即可求得b的值.

（2）①當a=4時，P（4，0），再求出M和N的坐標，其縱坐標的差就是MN的長；②3．【答案】（1）解：把點A（1，a）代入y=2x，得a=2，則A（1，2）．把A（1，2）代入y=kx（2）解：過B作BC⊥x軸于點C．∵在Rt△BOC中，tanα=12∴可設B（2h，h）．∵B（2h，h）在反比例函數(shù)y=2x∴2h2=2，解得h=±1，∵h＞0，∴h=1，∴B（2，1）；（3）解：∵A（1，2），B（2，1），∴直線AB的解析式為y=﹣x+3，設直線AB與x軸交于點D，則D（3，0）．∵S△PAB=S△PAD﹣S△PBD=2，點P（m，0），∴12解得m1=﹣1，m2=7．【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）把點A（1，a）代入y=2x，求出a=2，再把A（1，2）代入y=kx，即可求出k的值；（2）過B作BC⊥x軸于點C．在Rt△BOC中，由tanα=12，可設B（2h，h）．將B（2h，h）代入y=2x4．【答案】（1）解：過點A作AD⊥x軸于點D∵cos∠AOE=OD5=∴OD=3∴AD=52∴A（3，4）將點A的坐標代入反比例函數(shù)y2=ax∴反比例函數(shù)解析式為y（2）解：將點B（﹣6，m）代入反比例函數(shù)y2∴B（﹣6，﹣2）將A（3，4），B（﹣6，m）代入一次函數(shù)y1=kx+b，得3k+b=4?6k+b=?2，解得∴一次函數(shù)解析式為y=當y=0時，0=2∴C（﹣3，0）∴OC=3∴△AOC的面積=12△BOC的面積=12∴S△AOC=2S△BOC（3）解：當y1＞y2時，x的取值范圍為﹣6＜x＜0或x＞3．【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）通過解直角三角形求出點A的坐標，進而得出反比例函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點B的坐標，再由點A、B的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進而得到OC的長，最后計算△AOC和△BOC的面積并得出結(jié)論；（3）結(jié)合兩函數(shù)圖象，找出反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象下方時x的取值范圍即可．5．【答案】（1）解：設直線y1＝ax+b與y軸交于點D，在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝=OD∴OD＝2，C（3，0），∴D（0，2），把點D（0，2），C（3，0）代入直線y1＝ax+b得，3a+b=0b=2解得，a=?∴直線的關(guān)系式為y1＝﹣23把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣23∴A（﹣3，4），B（6，﹣2），∴k＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為y2＝?12∴y1＝﹣23x+2，y2＝?（2）解：∵S而S△AOCS△BOC∴S△AOB=6+3=9.（3）解：x＜?3或0【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【解答】解：（3）∵A(?3，4)，所以根據(jù)圖象不等式?23x+b?kx>0的解集為：x＜?3【分析】（1）先求出點D、C的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線y1＝﹣23x+2，再求出點A、B的坐標，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；

（2）利用割補法列出S△ABO=6．【答案】（1）解：把y＝﹣3代入y＝2x﹣1得x＝﹣1，∴A（﹣1，﹣3）；又反比例函數(shù)y＝kx∴k＝3，y=3xy=2x?1，解得x∴B（32（2）解：設直線AB的解析式為y＝kx+b，則?k+b=?332k+b=2∴直線AB的解析式為y＝2x﹣1，所以直線AB與y軸交于點（0，﹣1），設點C的縱坐標為y，當點C在y軸的正半軸時，12當點C在y軸的負半軸時，12∴點C的坐標為（0，3）或（0，﹣5）【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；三角形的面積【解析】【分析】（1）由直線y=2x-1經(jīng)過點A（m，-3），把y=-3代入解析式即可求出m的值；再根據(jù)反比例函數(shù)經(jīng)過點A即可得出k的值；聯(lián)立兩個函數(shù)解析式可求出點B的坐標；

（2）求出直線AB與y軸的交點坐標，再根據(jù)A、B兩點的橫坐標以及三角形的面積公式解答即可。7．【答案】（1）解：∵AD⊥x軸于點D，A(a,2)，∴AD=2，∵∠CAD=45°，∴∴FD=AD=2，連接AO，∵AD∥y軸，∴S△AOD=S△ADC∴y＝mxA(6,2)，將A(6,2)代入得m=12，∴反比例函數(shù)解析式為∠OCF=∠CAD=45°，在Rt△COF中，OC=OF=OD?FD=6?2=4，∴C(0,?4)將點A（6，2），點C（0，-4）代入y＝kx＋b得：b=?46k+b=2，解得k=1∴一次函數(shù)解析式為y＝x?4.（2）解：點E是點C關(guān)于x軸的對稱點，∴E(0,4)∴y=12xy=x?4，解方程組x=?2CE=8，∴B(?2,?6)，∴S【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】根據(jù)AD以及∠CAD的度數(shù)得出FD=2，根據(jù)△AOD的面積得出OD的長度，從而得出點A的坐標，利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式；根據(jù)Rt△COF的性質(zhì)求出點C的坐標，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；(2)、根據(jù)對稱求出點E的坐標，利用交點的求法得出點B的坐標，從而得出△ABE的面積．8．【答案】（1）解：設反比例函數(shù)的解析式為y=kx∴k=﹣8，∴反比例函數(shù)的解析式為y=?8x因為B（1，a）在y=?8x∴a=﹣8，∴B的坐標是（1，﹣8）把A（﹣4，2）、B（1，﹣8）代入y=mx+n，得?4m+n=2m+n=?8解得：m=?2n=?6∴y=﹣2x﹣6（2）解：y=﹣2x﹣6中，∵當y=0時，x=﹣3，∴直線y=﹣2x﹣6和x軸交點是C（﹣3，0），∴OC=3，∴S△AOB=12×3×4+1（3）解：由圖象知當﹣4＜x＜0，或x＞1時，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）先把A（﹣4，2）代入反比例函數(shù)的解析式為y=kx，求出k的值進而求出反比例函數(shù)的解析式，由B點在此反比例函數(shù)上可求出此點坐標，把A、B兩點坐標代入y=mx+n即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)直線與坐標軸交點的特點可求出C點坐標，再由A、B兩點的坐標及S△AOB=S△AOC+S△BOC9．【答案】（1）解：∵A(﹣4，m)在一次函數(shù)y＝﹣x上，∴m＝4，即A(﹣4，4)，∵A在反比例函數(shù)y＝kx∴k＝﹣16，∴反比例函數(shù)y＝kx的解析式是y＝﹣16（2）解：∵Rt△ABP中，∠ABP=90°，AB=4，AP=5，∴BP=AP-4-3=-7，-4+3=-1，∴P點的坐標是(﹣7，0)或(﹣1，0)．【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）先求出A的坐標，再代入反比例的函數(shù)解析式求出即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出即可。10．【答案】（1）解：根據(jù)題意把A（1，m）代入y=2x+6中得m=2+6=8，所以A(1，8)，把A(1，8)代入反比例函數(shù)y=kx所以反比例函數(shù)的表達式y(tǒng)=8x（2）解：把y=0代入y=2x+6，得2x+6=0，解得x=-3，∴點B坐標為（-3，0），把x=0代入y=2x+6得y=6，∴點D坐標為（0，6），∴S△BOD=12由題意得過點P（0，n）平行于x軸的直線交反比例函y=8x于點M（8交直線y=2x+6于點N（n?62∵0＜n＜8，SΔBNM∴1整理得n2-6n-7=0解得n=7，n=-1，經(jīng)檢驗n=7，n=-1都是原分式方程的解，其中n=-1不合題意，舍去，∴n=7.【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）根據(jù)題意把A（1，m）代入y=2x+6中可求得m的值，再把點A的坐標代入反比例函數(shù)的解析式可求得k的值；

（2）由題意把y=0代入直線解析式可求得直線與x軸的交點B的坐標，把x=0代入直線解析式可求得直線與y軸的交點D的坐標，則S△BOD=12xB·yD可求解；由題意得過點P（0，n）平行于x軸的直線交反比例函y=8x于點M的坐標可用含n的代數(shù)式表示，與直線y=2x+6的交點N的坐標也可用含n的代數(shù)式表示，在0＜n＜8中，根據(jù)S△BNM11．【答案】（1）解：∵雙曲線y2∴2=m1n=∴反比例函數(shù)的解析式為y2∵直線y1∴k+b=22k+b=1，解得，k=?1∴一次函數(shù)的解析式為y（2）解：當x=0時，y1=3，即B（0，3）.∴OB=3.如圖所示，過點D作DE⊥y軸于點E.∵D（2，1），∴DE=2.∴S【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題；三角形的面積【解析】【分析】（1）將點C，D的坐標分別代入反比例函數(shù)解析式，建立關(guān)于m，n的方程組，解方程組求出m，n的值，可得到反比例函數(shù)解析式及點D的坐標；再將點C，D分別代入一次函數(shù)解析式，建立關(guān)于k，b的方程組，解方程組求出k，b的值，可得到一次函數(shù)解析式.（2）利用一次函數(shù)解析式求出點B的坐標，可得到OB的長；過點D作DE⊥y軸于點E，可得到點D的坐標，求出DE的長，利用三角形的面積公式求出△BOD的面積.12．【答案】（1）解：已知反比例函數(shù)解析式為y=8x，點A(a，4)在反比例函數(shù)圖象上，將點A坐標代入，解得a=2，故A點坐標為(2，4)，又∵故a=2；y=2x.（2）解：根據(jù)第一問的求解結(jié)果，以及BD垂直x軸，我們可以設B點坐標為(b，0)，則C點坐標為(b，8b)、D點坐標為(b，2b)，根據(jù)BD=10，則2b=10，解得b=5，故點B的坐標為(5，0)，D點坐標為(5，10)，C點坐標為(5，85)，則在△ACD中，S△ACD故△ACD的面積為635【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）已知反比例函數(shù)解析式，點A在反比例函數(shù)圖象上，故a可求；求出點A的坐標后，點A同時在正比例函數(shù)圖象上，將點A坐標代入正比例函數(shù)解析式中，故正比例函數(shù)的解析式可求；

（2）根據(jù)題意以及第一問的求解結(jié)果，我們可設B點坐標為(b，0)，則D點坐標為(b，2b)，根據(jù)BD=10，可求b值，然后確認三角形的底和高，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解.13．【答案】（1）解：∵點A(1,m)在y1∴m=?1+4=3，∴A(1,3)，又：點A(1,3)在雙曲線上，∴3=k∴k=3，∴y=（2）解：由題意得，如圖：∵y=?x+4y=解得：x=1y=3或x=3∴A（1，3），C（3，1），當x>0時，不等式y(tǒng)1>【知識點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）先求出A(1,3)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）先求出A（1，3），C（3，1），再根據(jù)函數(shù)圖象求解即可。14．【答案】（1）解：將A（3，2）分別代入y=kx，y=ax得：k=6，a=2則反比例函數(shù)解析式為y=6x，正比例函數(shù)解析式為y=2（2）解：由圖象得：在第一象限內(nèi)，當0＜x＜3時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值；（3）解：BM=DM，理由為：∵S△OMB=S△OAC=12∴S矩形OBDC=S四邊形OADM+S△OMB+S△OAC=3+3+6=12，即OC?OB=12，∵OC=3，∴OB=4，即n=4，∴m=6n=3∴MB=32，MD=3﹣32=則MB=MD．【知識點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題【解析】【分析】（1）將A坐標分別代入正比例與反比例函數(shù)解析式中求出a與k的值，即可確定出兩函數(shù)解析式；（2）在圖象上找出反比例在正比例上方時x的范圍即可；（3）BM=DM，理由為：由反比例函數(shù)k的幾何意義得到三角形OBM與三角形OAC面積為k的絕對值的一半，求出面積，矩形OBDC的面積=三角形OBM面積+四邊形OADM面積+三角形OAC面積，求出矩形OBDC的面積，即為OB與OC的積，由OC的長求出OB的長，即為n的值，將n的值代入反比例解析式中求出m的值，即為BM的長，由BD﹣BM求出MD的長，即可作出判斷．15．【答案】（1）解：如圖，將B（