高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州福清市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，而點(diǎn)，則，又，因此，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：D2.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋越?jīng)過兩點(diǎn)的直線與軸垂直，所以其傾斜角為90°.故選：C.3.已知點(diǎn)、，則線段的垂直平分線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線的方程是，化為：，故選：A．4.在四面體OABC中，，，，為BC的中點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,即.故選：B.5.若點(diǎn)到直線l：的距離為，則（）A.5 B. C.5或 D.或15【答案】C【解析】由題意可得：點(diǎn)P到直線l的距離，解得或．故選：C.6.直線與軸，軸分別交于點(diǎn)、，以線段為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線，即，與軸，軸分別交于點(diǎn)、，則的中點(diǎn)為，且，所以以線段為直徑的圓的方程為，即.故選：B7.已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由直線過定點(diǎn)，又由曲線，可得，作出曲線與直線的圖象，如圖所示，因?yàn)橹本€，可得，又由，解得，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：B.8.如圖，四邊形是邊長為2的菱形，.半圓面底面，點(diǎn)為圓弧AD上的動點(diǎn).當(dāng)三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】過點(diǎn)作于，連接，菱形邊長2，，由半圓面平面，半圓面平面平面，得平面，而的面積是定值，要三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，此時為弧中點(diǎn)，為中點(diǎn)，而為正三角形，因此，又平面，則平面，而，則平面，又平面，于是，則是二面角的平面角，，，所以二面角的余弦值.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在平行六面體中，與向量相等的向量有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】如圖，在平行六面體中，與相等的向量有，故選：BD.10.已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若和外離，則或B.若和外切，則C.當(dāng)時，有且僅有一條直線與和均相切D.當(dāng)時，和內(nèi)含【答案】ABC【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當(dāng)時，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當(dāng)時，，則和相交，故D錯誤.故選：ABC．11.如圖，在棱長為2正方體中，、分別為AB、BC的動點(diǎn)，且，則以下命題正確的是（）A.B.C.三棱錐的體積最大值為D.三棱錐的外接球表面積的最小值為【答案】BCD【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，∴，，，.A.當(dāng)點(diǎn)分別在點(diǎn)處時，與不平行，選項(xiàng)A錯誤.B.因?yàn)椋?，選項(xiàng)B正確.C.由題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故三棱錐的體積最大值為，選項(xiàng)C正確.D.設(shè)三棱錐的外接球半徑為，因?yàn)槠矫妫?，其中為的外接圓半徑，為的長，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，?dāng)時，，，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知過點(diǎn)和的直線與斜率為2的直線平行，則的值為______.【答案】1【解析】由過點(diǎn)和的直線與斜率為2的直線平行，得，解得，所以的值為1.故答案為：113.過點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程_______【答案】【解析】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時：設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為：.14.已知直三棱柱的底面ABC為正三角形，且，則異面直線與的夾角余弦值為______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，由三棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，所以異面直線與的夾角即為（銳角），因?yàn)?，所以，所以，所以異面直線與的夾角的余弦值為，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，.（1）若，求；（2）若不構(gòu)成空間的一個基底，求的值.解：（1）因?yàn)椋?，解得，所以，所?（2）因?yàn)椴粯?gòu)成空間的一個基底，所以共面，設(shè)，所以，解得，所以，即.16.已知直線與直線交于點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程；（2）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線的方程；（3）求過點(diǎn)并且在軸上的截距是在軸上截距2倍的直線的方程.解：（1）由，得，所以交點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，則直線方程是:.（2）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，則直線方程是:.（3）當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，則，化簡可得；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，由條件可得，解得，則，化簡可得；綜上所述，直線的方程為或,17.如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到直線AE的距離；（2）求點(diǎn)C到平面的距離.解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長為2，且為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則，，，所以.又，所以點(diǎn)到直線的距離為.（2）由題意得，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.所以，是平面的一個法向量.所以到平面的距離為.18.已知圓C的方程為：，直線l的方程為：，（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；（2）證明：直線l與圓C相交，設(shè)直線l與圓C相交于A、B，求弦長的最小值，及此時直線l的方程；（3）圓C的圓心C與A、B構(gòu)成三角形，求三角形ABC面積的最大值．（1）解：令可得，即，令，易得此時，可得，依題意，化簡得，故或.故直線l的方程為：或.（2）證明：即，故直線l過定點(diǎn).因?yàn)?，故在圓內(nèi).故直線l與圓C相交.故當(dāng)直線l與直線垂直時弦長AB最小，此時，，故直線，.此時，，故，即.（3）解：依題意，故當(dāng)，即為直角時取最大值.由（2）可得當(dāng)時坐標(biāo)分別為，此時為直角.故三角形ABC面積的最大值為2.19.如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，且，，.（1）求證：平面PAD；（2）若，在棱PB上是否存在一點(diǎn)，使得直線CD與平面ACM所成角的正弦值為?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.（1）證明：在中，，由余弦定理，得，則，即，由平面平面，平面平面平面，所以平面.（2）解：設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，由，得，又平面平面，平面平面平面，則平面，又平面，則，又，，則，即兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，，則，設(shè)，則，于是，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，得，設(shè)直線與平面所成角為，，則，即，而，解得，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，.福建省福州福清市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)，而點(diǎn)，則，又，因此，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：D2.經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以?jīng)過兩點(diǎn)的直線與軸垂直，所以其傾斜角為90°.故選：C.3.已知點(diǎn)、，則線段的垂直平分線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線的方程是，化為：，故選：A．4.在四面體OABC中，，，，為BC的中點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】,即.故選：B.5.若點(diǎn)到直線l：的距離為，則（）A.5 B. C.5或 D.或15【答案】C【解析】由題意可得：點(diǎn)P到直線l的距離，解得或．故選：C.6.直線與軸，軸分別交于點(diǎn)、，以線段為直徑的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】直線，即，與軸，軸分別交于點(diǎn)、，則的中點(diǎn)為，且，所以以線段為直徑的圓的方程為，即.故選：B7.已知直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由直線過定點(diǎn)，又由曲線，可得，作出曲線與直線的圖象，如圖所示，因?yàn)橹本€，可得，又由，解得，若直線與曲線有公共點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)取值范圍為.故選：B.8.如圖，四邊形是邊長為2的菱形，.半圓面底面，點(diǎn)為圓弧AD上的動點(diǎn).當(dāng)三棱錐的體積最大時，二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】過點(diǎn)作于，連接，菱形邊長2，，由半圓面平面，半圓面平面平面，得平面，而的面積是定值，要三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，此時為弧中點(diǎn)，為中點(diǎn)，而為正三角形，因此，又平面，則平面，而，則平面，又平面，于是，則是二面角的平面角，，，所以二面角的余弦值.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在平行六面體中，與向量相等的向量有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】如圖，在平行六面體中，與相等的向量有，故選：BD.10.已知圓，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.若和外離，則或B.若和外切，則C.當(dāng)時，有且僅有一條直線與和均相切D.當(dāng)時，和內(nèi)含【答案】ABC【解析】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，若和外離，則，解得或，故A正確；若和外切，則，解得，故B正確；當(dāng)時，，則和內(nèi)切，故僅有一條公切線，故C正確；當(dāng)時，，則和相交，故D錯誤.故選：ABC．11.如圖，在棱長為2正方體中，、分別為AB、BC的動點(diǎn)，且，則以下命題正確的是（）A.B.C.三棱錐的體積最大值為D.三棱錐的外接球表面積的最小值為【答案】BCD【解析】以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，∴，，，.A.當(dāng)點(diǎn)分別在點(diǎn)處時，與不平行，選項(xiàng)A錯誤.B.因?yàn)椋?，選項(xiàng)B正確.C.由題意得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故三棱錐的體積最大值為，選項(xiàng)C正確.D.設(shè)三棱錐的外接球半徑為，因?yàn)槠矫?，所以，其中為的外接圓半徑，為的長，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，?dāng)時，，，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知過點(diǎn)和的直線與斜率為2的直線平行，則的值為______.【答案】1【解析】由過點(diǎn)和的直線與斜率為2的直線平行，得，解得，所以的值為1.故答案為：113.過點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程_______【答案】【解析】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為：，圓心到直線的距離為，不成立；當(dāng)直線的斜率存在時：設(shè)直線方程為，即，圓心到直線的距離等于半徑為：，解得，所以直線方程為：，即.故答案為：.14.已知直三棱柱的底面ABC為正三角形，且，則異面直線與的夾角余弦值為______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，由三棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，所以異面直線與的夾角即為（銳角），因?yàn)?，所以，所以，所以異面直線與的夾角的余弦值為，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，，.（1）若，求；（2）若不構(gòu)成空間的一個基底，求的值.解：（1）因?yàn)?，所以，解得，所以，所?（2）因?yàn)椴粯?gòu)成空間的一個基底，所以共面，設(shè)，所以，解得，所以，即.16.已知直線與直線交于點(diǎn).（1）求過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程；（2）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線的方程；（3）求過點(diǎn)并且在軸上的截距是在軸上截距2倍的直線的方程.解：（1）由，得，所以交點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，則直線方程是:.（2）求過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得，則直線方程是:.（3）當(dāng)直線過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，則，化簡可得；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，設(shè)直線方程為，由條件可得，解得，則，化簡可得；綜上所述，直線的方程為或,17.如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到直線AE的距離；（2）求點(diǎn)C到平面的距離.解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長為2，且為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則，，，所以.又，所以點(diǎn)到直線的距離為.（2）由題意得，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則.所以，是平面的一個法向量.所以到平面的距離為.