高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故選：D2.2024年巴黎奧運(yùn)會獎牌榜前8名的金牌數(shù)依次為40，40，20，18，16，15，14，13，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.19 B.18 C.17 D.16【答案】C【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，最中間的兩個(gè)是16，18，所以中位數(shù)是.故選：C.3.圓的半徑為（）A. B. C.5 D.13【答案】B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，其半徑為.故選：B4.設(shè)向量是平面的法向量，向量是直線的方向向量，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，由“”可以推出“”，由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要條件.故選：C.5.設(shè)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為，過拋物線上的點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，且，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】設(shè)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋?，在中，，所以，解?故選：A6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）A.1 B.0 C.－1 D.－3【答案】B【解析】∵為偶函數(shù)，∴，令，則.∵為奇函數(shù)，∴，令，則，∴，故.∵，∴，∴，則的周期為4，∴.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，若的面積為16，的離心率為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)的半焦距為cc>0，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)在為圓心半徑為的圓上，于是為直角三角形，且，設(shè)，，則，所以，又，，且，所以，即，所以，又，所以，所以，所以的方程為.故選：B.8.在直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)，，，則，所以，.由空間向量基本定理，，，所以，又，.設(shè)異面直線和所成的角為，則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩人分別從云臺山、青天河、神農(nóng)山、月山寺這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)去旅游，已知甲、乙兩人選擇哪個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，則下列說法正確的是（）A.甲去云臺山的概率為B.甲、乙兩人都去云臺山的概率為C.甲、乙兩人中恰有一人去云臺山的概率為D.甲、乙兩人中至少有一人去云臺山的概率為【答案】AC【解析】將甲、乙兩人去云臺山、青天河、神農(nóng)山、月山寺旅游分別記為，，，，依題意可知樣本空間為：，共含有個(gè)樣本點(diǎn).甲去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率，故A正確；甲、乙兩人都去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故B錯誤；甲、乙兩人中恰有一人去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故C正確；甲、乙兩人中至少有一人去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故D錯誤.故選：AC．10.已知直線，點(diǎn)，是動點(diǎn).記點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則下列說法正確的是（）A.若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓B.若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線C.若，則點(diǎn)的軌跡是拋物線D.若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分【答案】AB【解析】設(shè)，則.對于A，由題意得，化簡得，可知方程表示橢圓，故A正確；對于B，同上可化簡得，可知方程表示雙曲線，故B正確；對于C，由題意得點(diǎn)的軌跡是軸上位于之間的線段，故C錯誤；對于D，由題意得，即，①當(dāng)，即時(shí)，，化簡得，可知方程表示拋物線，②當(dāng)，即時(shí)，，化簡得，沒有意義，由①②得，點(diǎn)的軌跡是拋物線，故D錯誤.故選：AB11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.點(diǎn)到直線的距離的最小值為C.若經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的傾斜角的取值范圍是D.的最小值為10【答案】ACD【解析】設(shè)點(diǎn)，由題知圓的圓心坐標(biāo)為（0，－5），半徑為.對于A，要證，即證，即證，即證，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，故A正確；對于B，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，故B錯誤；對于C，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題目要求，此時(shí)傾斜角為，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，由題意知該直線與圓相切或相交，所以，解得或，則或，可得，由①②可得，，故C正確對于D，顯然點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)，由A知，所以，當(dāng)N，P，H三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與直線垂直，則_____.【答案】【解析】由題易知，則，解得.故答案：.13.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則直線與圓有______個(gè)交點(diǎn).【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，故直線恒過點(diǎn)因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓有2個(gè)交點(diǎn).故答案為：2.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓圓心為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．【答案】3【解析】如圖所示，設(shè)的半焦距為cc>0.設(shè)圓與的三邊，，分別相切于點(diǎn)M，N，A，則，，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.又，所以根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，，又，所以，，即點(diǎn)和的右頂點(diǎn)重合，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故答案為：3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為1的正方體中，是正方形的中心.（1）求繞棱所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；（2）求證：平面.（1）解：因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以，，是直角三角形，所以繞棱所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是底面半徑為，高為1的圓錐，其體積為；（2）證明：方法一：連接，如圖.在正方體中，易知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平?又平面，所以，同理可證平面，所以.因?yàn)?，平面，所以平?方法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，則，，所以，，又，，平面，所以平面.16.已知向量，，，若函數(shù)，且在區(qū)間上不具有單調(diào)性.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)取最小整數(shù)值時(shí)，若（其中，，是虛數(shù)單位），求的值.解：（1）函數(shù)，由，得，由函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，得，解得，故的取值范圍是.（2）依題意，得，，，所以，，所以，.由，得，所以，由，得.由，得，同理，.所以.17.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率，且直線過點(diǎn).（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求MN.解：（1）設(shè).由，得，由，得，由題知，則直線的斜率，故直線的方程為.由直線過點(diǎn)，得，則，，所以的方程為.（2）由（1）知.設(shè)Mx1,y由題意可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離取得最大值，所以直線的斜率，故直線的方程為，即，與的方程聯(lián)立，消去，整理得，所以，，所以.18.如圖，在四棱錐中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，，，平分，.（1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面.（2）若二面角的平面角的正弦值為.（i）求的長；（ii）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：設(shè)棱的中點(diǎn)為，連接，，如圖，則，.由題意知，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.解：（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，，可得四邊形是矩形.又平分，所以四邊形為正方形，且邊長為2.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（i）設(shè)，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，則即令，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)向量與所成的角為，則，所以，解得，即.（ii）由（i）知，向量，平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上.（1）求的方程.（2）當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，證明：.（3）試問：，能否同時(shí)與相切?請說明你的理由.（1）解：的準(zhǔn)線方程為，由題可知，解得，所以的方程為.（2）證明：如圖所示，由（1）得F1,0當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，直線的方程為，即，聯(lián)立直線與拋物線方程：，得，設(shè)Ax1,y1，B由題易知直線，的斜率均存在.又因?yàn)?，所?（3）解：如圖所示，設(shè)直線的方程為.由可得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，.（*）設(shè)直線，即，當(dāng)直線與相切時(shí)，.由得，若直線與相切，則，即.若直線，同時(shí)與相切，則，是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，，又，，所以①，②，由②得③，又由（*）得，所以③式化為，解得.此時(shí)，，，滿足①式.故當(dāng)，即直線的方程為時(shí)，同時(shí)與相切.河南省焦作市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故選：D2.2024年巴黎奧運(yùn)會獎牌榜前8名的金牌數(shù)依次為40，40，20，18，16，15，14，13，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）A.19 B.18 C.17 D.16【答案】C【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，最中間的兩個(gè)是16，18，所以中位數(shù)是.故選：C.3.圓的半徑為（）A. B. C.5 D.13【答案】B【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，其半徑為.故選：B4.設(shè)向量是平面的法向量，向量是直線的方向向量，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)?，由“”可以推出“”，由“”也可以推出“”，故“”是“”的充要條件.故選：C.5.設(shè)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為，過拋物線上的點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，且，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】設(shè)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所以，在中，，所以，解?故選：A6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）A.1 B.0 C.－1 D.－3【答案】B【解析】∵為偶函數(shù)，∴，令，則.∵為奇函數(shù)，∴，令，則，∴，故.∵，∴，∴，則的周期為4，∴.7.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，若的面積為16，的離心率為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)的半焦距為cc>0，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在為圓心半徑為的圓上，于是為直角三角形，且，設(shè)，，則，所以，又，，且，所以，即，所以，又，所以，所以，所以的方程為.故選：B.8.在直三棱柱中，，，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線和所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)，，，則，所以，.由空間向量基本定理，，，所以，又，.設(shè)異面直線和所成的角為，則.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.甲、乙兩人分別從云臺山、青天河、神農(nóng)山、月山寺這四個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)去旅游，已知甲、乙兩人選擇哪個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立，則下列說法正確的是（）A.甲去云臺山的概率為B.甲、乙兩人都去云臺山的概率為C.甲、乙兩人中恰有一人去云臺山的概率為D.甲、乙兩人中至少有一人去云臺山的概率為【答案】AC【解析】將甲、乙兩人去云臺山、青天河、神農(nóng)山、月山寺旅游分別記為，，，，依題意可知樣本空間為：，共含有個(gè)樣本點(diǎn).甲去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率，故A正確；甲、乙兩人都去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故B錯誤；甲、乙兩人中恰有一人去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故C正確；甲、乙兩人中至少有一人去云臺山的情況為，樣本點(diǎn)有個(gè)，概率為，故D錯誤.故選：AC．10.已知直線，點(diǎn)，是動點(diǎn).記點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則下列說法正確的是（）A.若，則點(diǎn)的軌跡是橢圓B.若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線C.若，則點(diǎn)的軌跡是拋物線D.若，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分【答案】AB【解析】設(shè)，則.對于A，由題意得，化簡得，可知方程表示橢圓，故A正確；對于B，同上可化簡得，可知方程表示雙曲線，故B正確；對于C，由題意得點(diǎn)的軌跡是軸上位于之間的線段，故C錯誤；對于D，由題意得，即，①當(dāng)，即時(shí)，，化簡得，可知方程表示拋物線，②當(dāng)，即時(shí)，，化簡得，沒有意義，由①②得，點(diǎn)的軌跡是拋物線，故D錯誤.故選：AB11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.點(diǎn)到直線的距離的最小值為C.若經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則的傾斜角的取值范圍是D.的最小值為10【答案】ACD【解析】設(shè)點(diǎn)，由題知圓的圓心坐標(biāo)為（0，－5），半徑為.對于A，要證，即證，即證，即證，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，故A正確；對于B，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，故B錯誤；對于C，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題目要求，此時(shí)傾斜角為，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，由題意知該直線與圓相切或相交，所以，解得或，則或，可得，由①②可得，，故C正確對于D，顯然點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)，由A知，所以，當(dāng)N，P，H三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時(shí)，，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線與直線垂直，則_____.【答案】【解析】由題易知，則，解得.故答案：.13.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則直線與圓有______個(gè)交點(diǎn).【答案】2【解析】因?yàn)?，所以，故直線恒過點(diǎn)因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓有2個(gè)交點(diǎn).故答案為：2.14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓圓心為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．【答案】3【解析】如圖所示，設(shè)的半焦距為cc>0.設(shè)圓與的三邊，，分別相切于點(diǎn)M，N，A，則，，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.又，所以根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，，又，所以，，即點(diǎn)和的右頂點(diǎn)重合，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.故答案為：3.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為1的正方體中，是正方形的中心.（1）求繞棱所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積；（2）求證：平面.（1）解：因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以，，是直角三角形，所以繞棱所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是底面半徑為，高為1的圓錐，其體積為；（2）證明：方法一：連接，如圖.在正方體中，易知，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平?又平面，所以，同理可證平面，所以.因?yàn)?，平面，所以平?方法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，則，，所以，，又，，平面，所以平面.16.已知向量，，，若函數(shù)，且在區(qū)間上不具有單調(diào)性.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)取最小整數(shù)值時(shí)，若（其中，，是虛數(shù)單位），求的值.解：（1）函數(shù)，由，得，由函數(shù)在區(qū)間上不具有單調(diào)性，得，解得，故的取值范圍是.（2）依題意，得，，，所以，，所以，.由，得，所以，由，得.由，得，同理，.所以.17.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率，且直線過點(diǎn).（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求MN.解：（1）設(shè).由，得，由，得，由題知，則直線的斜率，故直線的方程為.由直線過點(diǎn)，得，則，，所以的方程為.（2）由（1）知.設(shè)Mx1,y由題意可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線