空間點、線、面之間的位置關(guān)系

鏈教材夯基固本

激活思維

1.（人A必二Pl28T2）下列說法正確的是（C）

A.三點確定一個平面

B.一條直線和一個點確定一個平面

C.梯形可確定一個平面

D.圓心和圓上兩點確定一個平面

【解析】對于A,三個不在同一條直線上的點確定一個平面，故A錯誤.對于B,直

線和直線外一點，確定一個平面，故B錯誤.對于C,兩條平行直線確定一個平面，梯形有

一組對邊平行，另一組對邊不平行，故梯形可確定一個平面，故C正確.對于D,因為圓的

一條直徑不能確定一個平面，所以若圓心和圓上的兩點在同一條直徑上，則無法確定一個平

面，故D錯誤.

2.（人A必二Pl31Tl（2））設(shè)直線a,b分別是長方體相鄰兩個面的對角線所在的直線，

則。與b（D）

A.平行

B.相交

C.是異面直線

D.可能相交，也可能是異面直線

【解析】如圖，在長方體ABCD-A5C。中，當(dāng)48所在的直線為a,8c所在的直線

為b時，a與b相交；當(dāng)48所在的直線為a,3c所在的直線為b時，a與方異面.

D'C

B

（第2題答）

3.（人A必二P131練習(xí)T4改）已知平面a〃平面6，直線?！ㄆ矫鎍,直線b〃平面

則。與6的位置關(guān)系可能是（D）

A.平行或相交B.相交或異面

C.平行或異面D.平行、相交或異面

【解析】當(dāng)。與b共面，即a與b平行或相交時，如圖所示，顯然滿足題目條件.在

。與b相交的條件下，分別把a,人平行移動到平面人平面a上，此時a與b異面，亦滿足

題目條件.

/F~7/T~7

（第3題答）

4.（人A必二Pl31T3改）下列說法正確的是（D）

A.若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝卜〃a

B.若直線/與平面。平行，則/與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行

C.如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

D.若直線/與平面a平行，貝心與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

【解析】對于A,當(dāng)直線/與平面a相交時，直線/上也有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，故

A錯誤.對于B,/與平面a內(nèi)的任意一條直線異面或平行，故B錯誤.對于C,另一條直

線也可能在這個平面內(nèi)，故C錯誤.對于D,因為/〃a,所以/與a沒有公共點，所以/與

a內(nèi)任意一條直線都沒有公共點，故D正確.

5.如圖，已知長方體ABCO-A5C。，中，AB=2小,AD=2小,AA'=2,貝！和4c

所成角的大小是45。，A4,和8。所成角的大小是60。.

D'C

AB

（第5題）

【解析】連接圖略）.因為BC〃9C,所以異面直線BC和4C所成的角即為直線

玄。和4C所成的角，為N4CE.在中，AB=AB=2小,BC=AD=2y^,所以

tanZA'C'B'=1,所以/4C?=45。，即異面直線BC和A'。所成的角為45。.連接8C（圖

略），因為AA'//BB',所以異面直線AV和8。所成的角即為直線2夕和BC所成的角，為

NBEC.在RtdBBC中，BC=AD=2小,BB'=A4'=2,所以tanZB'BC'^^,所以/B'BC'

=60°,即異面直線44,和所成的角為60。.

聚焦知識

1.平面的基本性質(zhì)

基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公

共直線.

推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.

2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

3.平行直線

(1)基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行.

(2)定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩

個角相等.

4.異面直線

(1)判定：與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi).不經(jīng)過交點一的直線是異面直線,如圖

所示.

(2)異面直線所成的角：設(shè)°,6是異面直線,經(jīng)過空間任意一點。，作直線a'//a,b'//b,

我們把直線能與，所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角或夾角，其取值范圍為

5.常用結(jié)論(唯一性定理)

(1)過直線外一點有且只有一條一直線與已知直線平行;

(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直;

(3)過平面外一點.有且只有一個一平面與已知平面平行;

(4)過平面外一點有且只有一條一直線與已知平面垂直.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題固法

目巾而平面的基本事實及應(yīng)用

例1如圖，在正方體ABCZXAiBCbDi中，對角線AC與平面BOG交于點O,AC,

BD交于點、M,E為AB的中點，尸為AAi的中點.

(1)求證：Ci，O,/三點共線；

【解答】因為4CC平面2￡>G=。，所以O(shè)eAiC,Oe平面BOG.又因為4Cu平面

ACCiAi,所以O(shè)d平面ACC..因為AC,2。交于點所以A/eAC,又ACu平

?ACCiAi,BDu平面BDCi,所以MG平面ACG4,A/G平面BOG.又Ge平面ACGA,

GG平面BOG,所以。，O,M三點在平面ACC14與平面BDCi的交線上，所以Ci,O,

M三點共線.

(2)求證：E,C,Di,尸四點共面；

【解答】連接BAx,EF,DiC,BCi,因為E為4B的中點，F(xiàn)為AAi的中點，所以

EF//BAi.又因為BC/ZAiDt,BC^AXDX，所以四邊形BCDiAi是平行四邊形，所以A4i〃CDi,

所以E尸〃Cd,所以E,F,C,。四點共面.

(3)求證：CE,DiF,D4三線共點.

【解答】因為平面A8COC平面AO54=A。，設(shè)CE與。聲交于一點P,則尸GCE,

CEu平面ABCD,所以PG平面ABCD,同理，PG平面ADDiAi,又平面ABCDA平面ADDiAi

=A。，所以尸GA。，所以直線CE,DiF,D4三線交于一點尸，即三線共點.

(例1答)

，總結(jié)提煉》

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.

(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

變式1如圖，在四面體ABCD中作截面PQR,若P。與CB的延長線交于點M,RQ

與DB的延長線交于點N,RP與DC的延長線交于點K.

（1）求證：直線MNu平面PQR；

【解答】因為PQu平面直線PQ,所以MG平面PQR.因為RQu平面PQR,

NG直線RQ,所以NG平面尸QR,所以直線MNu平面PQR

（2）求證：點K在直線MN上.

【解答】因為MG直線CB,CBu平面BCZ）,所以平面BCD由⑴知平面PQR,

所以M在平面PQR與平面BCD的交線上，同理，可知N,K也在平面PQR與平面8。的

交線上，所以M,N,K三點共線，所以點K在直線MN上.

目巾幣間空間兩直線的位置關(guān)系

例2（多選）如圖，在正方體ABCDA山CQi中，M,N分別為棱。。1，GC的中點,

下列說法正確的是（CD）

（例2）

A.直線AM與CG是相交直線

B.直線AM與8N是平行直線

C.直線BN與MB是異面直線

D,直線AM與。A是異面直線

【解析】因為點A在平面CDACi外，點M在平面CD。?內(nèi)，直線CG在平面CZJOCi

內(nèi)，CG不過點所以直線AM與CG是異面直線，故A錯誤；如圖，取。。的中點E,

連接AE,貝UBN〃AE,但AE與AM相交，故B錯誤；因為點囪與直線都在平面BCQBi

內(nèi)，點M在平面BCC1S外，BN不過點員,所以與是異面直線，故C正確；同理

D正確.

（例2答）

變式2在底面半徑為1的圓柱。01中，過旋轉(zhuǎn)軸。01作圓柱的軸截面ABC。，其中母

線A8=2,E是BC的中點，F(xiàn)是48的中點，貝U（D）

A.AE=CF,AC與EF是共面直線

B.AE^CF,AC與跖是共面直線

C.AE^CF,AC與跖是異面直線

D.AEWCF,AC與斯是異面直線

【解析】如圖，由題意知，圓柱的軸截面ABC。為邊長為2的正方形，E是病的中點，

F是AB的中點，所以ACu平面ABC,EF與平面ABC相交，且與AC無交點，所以AC與

EF是異面直線.又。/=肝轉(zhuǎn)=小，AE=e+（位＞=#，所以AEWCE

E

（變式2答）

目麗5?異面直線所成角的計算

例3如圖，已知。是圓柱下底面圓的圓心，AAi為圓柱的一條母線，5為圓柱下底面

圓周上一點，OA=1,NA03=中，△A4I為等腰直角三角形，則異面直線A。與A5所成

角的余弦值為，兌.

-H

（例3）

【解析】方法一：如圖，過點8作B6〃A4i交圓柱的上底面于點Bi,連接AB,BiO,

則由圓柱的性質(zhì)易證四邊形4B1BA為矩形，所以48i〃A8,所以或其補角即為異

面直線A。與AB所成的角.在△AOB中，OA—OB—1,ZAOB=^,所以AB=20Bsin

"j°'=2sin1=小.因為△AAiB為等腰直角三角形,且AAJAB,所以A4i=AB=小，所

以BiO=AiO=dAA?+OA2=2.又AH=AB=4所以cos々的。/。表洸］J。=

4+3—4、巧

2X2義小=竽即異面直線4。與所成角的余弦值為竽.

方法二：在△A3。中，0A—0B—1,ZAOB—^Y，所以AB=2OBsin亨=4，ZOAB—

親因為AAAiB為等腰直角三角形，且44」AB,所以44i=AB=/,易知A4i_LAO,所以

AiC=、AA彳+。江=2,AAVAB=O,所以啟?贏=（元一篇1）?矗=晶?贏一落1?翁=|施||施

3

|cos7=1.所以cos（Aid,AB）=A1°AB=2則異面直線4。與AB所成角

62\A：O\-\AB\2X44

的余弦值為坐.

（例3答）

〈總結(jié)提煉〉

異面直線所成角的求法

1,平移使相交：通過平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中

利用余弦定理求角；

2,向量法：已知a,b為兩異面直線，A,C與B,。分別是a,b上的任意兩點，a,b

-?-?

所成的角為0,貝i|cos8=|cos<AC,BD〉

\AC\\BD\

變式3⑴（2021?全國乙卷）在正方體ABCDAiBiGOi中，已知P為8必的中點，則直

線P3與ADi所成的角為（D）

【解析】如圖，連接BG,PG.因為ADi〃8G,所以NP8G或其補角為直線尸3與AA

所成的角.因為38」平面AiBiCiOi,PCiU平面AiBiCiZh,所以又PC」瓦5,

BBi,6Z）iU平面PBB\,BBmBD=Bi,所以PC」平面PBBi.又PBu平面PBBi,所以

1PC]

PGLPB.設(shè)正方體的棱長為2,則BCi=2小,PG=/Di=小,從而sinNPBG=豆片=

1兀

2.所以/PBCi=%.

（變式3⑴答）

（2）（2024?南平三檢）在正四面體A8CO中，P為棱AO的中點，過點A的平面a與平面

PBC平行，平面aA平面平面aCl平面ACD=",則相，”所成角的余弦值為（B）

A?半B.|

C.|D.當(dāng)

【解析】因為平面a〃平面PBC,平面aA平面48。=相，平面PBCD平面ABZ）=B尸，

所以相〃BP.因為平面a〃平面PBC,平面an平面AC￡）=〃，平面PBCCl平面ACD=PC,

所以〃〃尸C,所以根，〃所成角即為BP,PC所成角，BP,PC所成角為/BPC設(shè)正四面體

ABCD的棱長為2,所以AB=AC=AD=BO=8C=2,所以BP=PC=$K=/,所以

3+3-41

cosNBPC=2X小

隨堂內(nèi)化

1.已知平面a與平面6y都相交，則這三個平面可能的交線有（D）

A.1條或2條

B.2條或3條

C.1條或3條

D.1條或2條或3條

2.設(shè)尸1，P2,P3,P4為空間中的四個不同點，則“Pl，P2,尸3，P4中有三點在同一條

直線上”是“Pl，P1，尸3,尸4在同一個平面內(nèi)”的（A）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

3.（2024?日照一模）己知/，根是兩條不同的直線，a為平面，mua,下列說法中正確

的是（B）

A.若/與a不平行，貝!]/與優(yōu)一定是異面直線

B.若/〃a,貝！J/與機(jī)可能垂直

C.若/Ca=A,且A4也,貝!J/與他可能平行

D,若/Cla=A,且/與a不垂直，則/與機(jī)一定不垂直

【解析】對于A,若/與a不平行，則/與a的位置關(guān)系有相交或直線在平面內(nèi)，且

mea,則/與根的位置關(guān)系有平行、相交或異面，故A錯誤；對于B,若/〃a,則/與加

可能垂直，如圖（1）所示，1//1',l'ua,I'±m(xù),可知/_1_機(jī)，故B正確；對于C,若/Ca=

A,且加加ua,則/與加異面，故C錯誤；對于D,若/Ca=A,且/與a不垂直，則

/與機(jī)可能垂直，如圖（2）,取a為平面ABC?,l=ADi,m=AB,符合題意，但/，機(jī)，故D

錯誤.

圖⑴

圖⑵

（第3題答）

4.（2024?保定二模）如圖，在正四棱柱ABCDASCLDI中，AAi=4AB,則異面直線48

與AA所成角的余弦值為（C）

A.直

cn

【解析】如圖，連接8G,AiCi,在正四棱柱ABCDAIBCLDI中，有AB〃Gd且

=CiDi,所以四邊形ABGD1為平行四邊形，則有BCi〃A￡h,則/AIG就是異面直線A/

與ADi所成的角.設(shè)AB=1,則8。1=412=4萬，AC=巾,在△AbBG中，由余弦定理得

8CHAI2T617+17—216

cos乙418cl=2BC1-A1B=2X17=17,

（第4題答）

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配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.已知互不重合的三個平面a,p,y,其中aCl/=a,p^y—b,yQa—c,且4血=尸，則

下列結(jié)論一定成立的是（D）

A.b與c是異面直線

B.a與c沒有公共點

C.b//c

D.bC\c—P

【解析】因為所以pea,PCb,因為a=an￡,b=/3Cy,所以PGa,PR0,

PGy.因為any=c,所以尸Gc,所以加c=P,所以aCc=P,如圖，故A,B,C錯誤.

（第1題答）

2.（2024?岳陽三模）下列命題正確的是（B）

A.若直線I上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝IJ/〃a

B.若直線a不平行于平面a且聞a,則平面a內(nèi)不存在與a平行的直線

C.已知直線a,b,平面a,p,且qua,bc/3,a///3,則直線a,b平行

D.已知兩條相交直線a,b,且a〃平面a,則b與a相交

【解析】若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，貝U/〃a或/與a相交，故A不正確；

若直線。不平行于平面a且疝a,則a與a相交，所以平面a內(nèi)不存在與a平行的直線，故

B正確；已知直線a,b,平面a,P，且aua,bu§,a//p,則直線a,6平行或異面，故C

錯誤；已知兩條相交直線a,b,且。〃平面a,則b〃平面a或6與a相交，故D錯誤.

3.（2024.威海二模）在正方體ABCDXiBiCQi中，E,尸分別為棱8C,SG的中點，若

平面。881與平面AEE的交線為/,貝心與直線AA所成角的大小為（C）

【解析】因為E,尸分別為棱BC,的中點，所以因為EFu平面AEF,

BBC平面AEF,所以231〃平面AE冗又平面。B21C平面AEF=/,BBg平面。23,所以

881〃/.又所以441〃/,如圖，在正方體中，/與直線Ad所成角的大小等于/4AO1

_匹

一不

（第3題答）

4.（2024?南昌二模）在三棱錐A-8C。中，AB_L平面BCD,AB=\[3,BC=BD=CD=2,

E,尸分別為AC,CO的中點，則下列結(jié)論正確的是（A）

A.AF,BE是異面直線，AFIBE

B.AF,BE是相交直線，AF±BE

C.AF,BE是異面直線，AF與BE不垂直

D.AF,BE是相交直線，AF與BE不垂直

【解析】顯然根據(jù)異面直線判定方法：經(jīng)過平面AC。外一點8與平面AC。內(nèi)一點E

的直線BE,與平面ACO內(nèi)不經(jīng)過￡點的直線A尸是異面直線.下面證明8E與AF垂直：

因為AB_L平面BCD,CDu平面BC。，所以A8_LCD.因為BC=3￡）=CD,尸為CD的中點，

連接3尸，所以BFJ_CD因為ABnBF=B,AB,BPu平面所以CD_L平面A8F,如圖，

取AF的中點。，連接2。，EQ,因為AFu平面ABP,所以CDLAP,又因為EQ〃CD,所

以EQJ_A足因為8c=B￡）=CD=2,所以8歹=竽X2=小=48,又因為。為Ab的中點，

所以BQLAE因為BQnEQ=。，BQ,EQu平面3EQ,所以AF,平面BE。，又因為BEu

平面BE。，所以A凡LBE.

（第4題答）

二、多項選擇題

5.（2025?南通海安期初）在空間中，設(shè)a,b,c是三條不同的直線，a,￡,y是三個不重

合的平面，則下列能推出a〃6的是（BD）

A.Q_LC,bA-c

B.a//a,au8,aC8=b

C.a.Ly,^±7，Qply=a,0C\y=b

D.aG￡=a,aC\y=b,0Cy=c,a//c

【解析】對于A,如圖，在正方體中，取直線A3為a,直線BC為b,直線8歷為c,

顯然有b±c9但所以A錯誤；對于B,由線面平行的性質(zhì)可知，B正確；

對于C,如圖，在正方體中，取平面AB81A1為Q,平面3CC/1為平面人平面A8CO為小

顯然滿足aA，4D，又尸A3,^y=BC,S.ABCyBC=B,即〃，匕相交，所以C錯誤；

對于D,因為an￡=a,貝!|au/,又尸Cy=c,則cu.,ccy,又a"c、顯然有Hy,所以a〃

y,又aua,aC\y=b,所以a〃b,故D正確.

（第5題答）

6.（2024?新鄉(xiāng)三模）已知相，n,/為空間中三條不同的直線，a,p,y為空間中三個不重

合的平面，則下列說法正確的是（ACD）

A.若aC0=m,mA-y,貝!Ja_Ly,^_Ly

B.若mca,n^a,則m與〃為異面直線

C.若aA￡=/,pV\y=m,yC\a=n,且/n，w=P,則PG”

D.若〃z_La,"z_L￡,a//y,則/〃y

【解析】對于A,顯然mua,mu/,又加J_y,則a_Ly,￡_Ly,A正確；對于B,由

mua,nQa,得機(jī)與〃可能相交、平行或異面，B錯誤；對于C,由aH￡=/,f!C\y=m,lV\m

=P,知點P在平面a,P，y內(nèi)，即為平面a,y的公共點，而y^a=n,因此P^n,C正確；

對于D,由m_La,得a〃6而a〃y,因此￡〃y,D正確.

7.如圖，在正方體A8CD-A181GO1中，P,。分別是棱A4i，CG的中點，平面。尸QA

平面AiSGDi=/,則下列結(jié)論正確的有（AD）

A./過點Bi

BJ不一定過點囪

C.DP的延長線與DiAi的延長線的交點不在I上

D.DQ的延長線與DiCi的延長線的交點在I上

【解析】如圖，連接尸5,QBi,在正方體ABCDHSCbDi中，取的中點N,連接

CN,則DP//CN//QBi,DP=CN=，所以四邊形DPBQ是平行四邊形,ae平面。尸囪。，

平面AiSGQ,所以se/,故A正確，B錯誤.如圖，。尸的延長線與的延長線

交于點居。。的延長線與AG的延長線交于點E,因為。尸u平面。PB|Q,所以尸6平面

。尸3。因為D14U平面A16C1D1,所以尸C平面AiBiCQi,所以/.因為Z）Qu平面DPBrQ,

所以EG平面。尸SQ.因為。Ciu平面AiBCQi,所以EG平面AiBCid,所以E日,故C

錯誤，D正確.

三、填空題

8.已知在直三棱柱ABC-AiBG中，ZABC=120°,AB=2,BC=CG=1,則異面直線

ABi與BCi所成角的余弦值為續(xù)

【解析】如圖，補成直四棱柱48c。4由6。1,則ABi〃G￡>,所以4囪與BG所成角

為ZBCiD或其補角.又BCi=y[2,BD=^/22+l2-2X2X1Xcos60°=^3,CID=ABI=6

22

易得C1D=BD+BCj,即BCilBD,因此cosNBGD=等=整=a.

\]5J

AG

AR

（第8題答）

9.在三棱錐P-A8C中，AC=1,PB=2,M,N分別是B4,BC的中點，若MN=',

3

則異面直線AC,PB所成角的余弦值為一宗

（第9題答）

【解析】如圖，取AB的中點Q,連接QW,QN,因為。是的中點，N是BC的中

點，所以QN〃AC,QN=^AC=\,同理QM〃尸B,QM=^PB=1,所以異面直線AC,PB所

1

成角為/MQN或其補角.在△MQN中，QM=1,QN=QMN=》貝!]cos/MQN=

隼部泮即異面直線AC,尸8所成角的余弦值為宗

四、解答題

10.如圖，在正方體A2CD-431cl￡>1中，E,尸分別為。Ci,GS的中點，ACHBD^

P,AiGCEF=。.求證：

AEC,

(第10題)

(1)。，B,F,E四點共面；

【解答】如圖，連接修A,由題意知EF是△DiSG的中位線，所以EF〃5。.在正

方體ABCD481GQ1中，BD〃BD,所以EF〃8。，所以EF,8。確定一個平面，即。，

B,F,E四點共面.

(第10題答)

(2)若4C交平面D2EE于點R,則尸，Q,R三點共線；

【解答】記Ai,C,G三點確定的平面為平面a,平面BDEF為平面.，因為QGAiG,

所以。Ga.又。GEE所以。ep,所以。是a與4的公共點，同理，尸是a與4的公共點，

所以anp=PQ.又4CC4=R,所以RdAiC,R^a,且R",則RGPQ,故尸，Q,R三

點共線.

(3)DE,BF,CG三線交于一點.

【解答】因為EF〃BD且EF<B。,所以。E與8尸相交，設(shè)交點為則由MGOE,

DEu平面DiDCCi,得平面O0CG.同理，A/e平面3/CG.又平面OiDCCC平面

BiBCCi=CCi,所以MGCG,所以。E,BF,CG三線交于一點.

11.如圖，等腰直角三角形A8C的直角邊AC=BC=2,沿其中位線。E將三角形AOE

折起，使平面AOEL平面BCOE,得到四棱錐A-8COE,設(shè)CD,BE,AE,的中點分別

為M,N,P,Q.

A

乜

CB