空間直角坐標系與空間向量

鏈教材夯基固本

激活思維

1.(人A選必一P22T3改)已知點M在z軸上，且點M到點/(I,0,2)與到點8(1,—3,

1)的距離相等，則點M的坐標是(D)

A.(0,0,3)B.(0,0,2)

C.(0,0,-2)D,(0,0,-3)

【解析】設(shè)點M(0,0,加).因為點M到點4(1,0,2)與到點3(1,一3,1)的距離相等,

所以'12+02+(2—加)2=^12+(—3)2+(1—%)2,解得加=—3,所以點M的坐標為(0,0,-

3).

2.(人A選必一Pl5T3改編)如圖，在三棱錐0-48。中，CD=^CB,無=；甚，若的=

?,OB=b,OC^c,則無=(C)

(第2題)

［解析］^=DC+cb+OE=-^CB-OC+^OA=-^OB-OC)-OC+^OA=^dA-

-OB--OC^-a--b--c.

33333

3.已知直線/的一個方向向量為膽=(x,2,-5),平面a的一■個法向量為"=(3,—1,

2),若/〃a，則x等于(D)

A.-6B.6

C.~4D.4

【解析】由題知=—2—10—0,可得x=4.

4.(人A選必一P7例2改編)如圖，在平行六面體45。。-450中，AB=4,AD=3,

44，=5,/BAD=90°,NBAA'=ND44'=60°,則在，?叁=_g,/C的長為麻、.

(第4題)

-?--A--?--?1-->---?--A->---?

【解析】卜|/3卜《^60°=5*4*：=10.因為/。=/。+(7。=/8+/。+

AA',所以就'2=(壽+J5+與，)2=叁2+^)2+R，2+2(益.病+弱.筋，+弱.刀，)=16+9

Io+4x5X|3X5X-1

+25+2x122j=85,所以日右|=485,即/C的長為近5.

聚焦知識

1.空間向量中的有關(guān)定理

(1)共線向量定理

空間中兩個向量a與6SW0)共線的充要條件是存在實數(shù)九使得。=勸.

(2)共面向量定理

共面向量定理的向量表達式：〃=x?+i力，

其中x,ydR,a,b為不共線的向量.

(3)空間向量基本定理

如果三個向量。，b,c不共面，那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,

y,z),使得〃=xa+i',/>+zc,{a,b,c1叫做空間中的—一個基底一.

2.空間向量的坐標表示及其應(yīng)用

設(shè)。=(ai，02,03)，b—(b\,bi，bi).

\向量表示坐標表示

數(shù)量積ab一向+由岳+仍顯

共線〃=勸(*0,2￡R)一42=4岳，〃3=2b3一

垂直〃b=0(aW0,分WO)」[6]+〃2岳+〃363=。_

模l?l寸舟+質(zhì)+質(zhì)

/。仍1+0262+0363

夾角〈a,b〉(〃W0,*0)cos\a,b)—1---------；-----------

\1出+龍+通\1貿(mào)+慶+慶

3.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

h//hn\//n20nl=入出

直線/1,/2的方向向量分別為"1，"2

/山2〃1_L〃2="1切2=0

直線1的方向向量為n,平面a的法向量l//an-Lm^mn=0

為ml-Lan〃tn0n=hn

a//Pn〃tn0n=hn

平面a,￡的法向量分別為"，，"

n-Lm^>nm=0

4,證明空間四點共面的方法

對空間四點P,M,A,8可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點共面:

(1)MP=xMA+yMB-,

(2)對空間任一點O,OP=OM+xMA+yMB；

(3)對空間任一點O,OP=xOM+yOA+zaB(x+y+z^l)；

(4)瓦［〃題或應(yīng)〃誦鼠而〃麗.

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題固法

目幀U空間向量的線性運算及共線、共面定理

例1-1如圖，在空間四邊形CUBC中，OA=a,OB=b,(5b=c.若點M在。/上，OM

=2MA,N是的中點，則而=.(用.，b,c表示)

(例1-1)

【解析】連接ON.因為而=4+1從OM=-a,所以疝=赤一蘇三一4+與+乂

223322

例1-2已知/,B,C三點不共線，對平面/8C外的任一點O,滿足血=；(5+2+

0Q.

(1)判斷疝，施，慶是否共面；

【解答】因為為+協(xié)+歷=3而，所以為一血=(蘇一3萬)+(而一次)，即立1=

BM+CM=-MB~MC,所以花1,施，慶共面.

(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).

【解答】方法一：由(1)知疝，施，慶共面且過同一點M,所以M,A,B,C四點共

面，從而點M在平面45C內(nèi).

方法二：因為。1(04+05+。0=1。4+1。5+,。。，—+—+—=1,所以M,A,B,

3333333

。四點共面，從而點M在平面45。內(nèi).

＜總結(jié)提煉A

應(yīng)用共線(面)向量定理證明點共線(面)的方法比較

三點(P,A,3)共線空間四點(M,P,A,3)共面

應(yīng)一而MP=xMA+yMB

對空間任一點。，OP=OM+xMA+

對空間任一點。，OP=OA+tAB

yMB

對空間任一點。，OP=xOM+yOA+(1

對空間任一點。，OP=xOA+(l-x)OB

—x-y)OB

目蛇空間向量數(shù)量積的運算及應(yīng)用

例2如圖，在四棱柱ASCDd/iGA中，底面為平行四邊形，以頂點/為端點的三

條棱長都為1，且兩兩夾角為60。.

(例2)

(1)求2G的長；

【解答】AxLAB—a,AD=b,AAi—c,貝?。萃?回=罔=1,(a,b)—〈b,c〉=〈c,a)

=60°,所以<r/>=b，c=c，a=3，AC\—a-\-b-\-c,所以四。1|2=(4+6+32=°2+方2+,2+2(?力

n+i+n___

+Z>-c+c-a)=l+l+l+2X(222j=6,所以|4Ci|=#,即4cl的長為求.

(2)求證：ACi±BD；

【解答】因為NG=a+6+c,BD=b—a,所以/C「8D=(a+B+c>(b—a)—ab-\-\b\2

-\~bc—1?|2一ab—ac—0,所以所以

(3)求3d與/C夾角的余弦值.

【解答】因為2￡>i=6+c—a,AC—a+b,所以|2Z)i|=也，|/C|=\6,BD\AC—(b+c

,——BD「AC

—d)"(a~\~b)—b2—〃2+〃.0+〃.。=1.所以cos〈BDi,AC)=='一■,所以5A與4c夾

\BD^AC\6

角的余弦值為工.

6

〈總結(jié)提燎A

空間向量的數(shù)量積運算有兩條途徑，一是根據(jù)數(shù)量積的定義，利用模與夾角直接計算;

二是利用坐標運算.

變式2(人A選必一P14練習T2)如圖，在平行六面體中，48=2,AD

=2,AA'=3,NBAD=/BAA'=/D4?=60。，則BC'與G4,所成角的余弦值為_Q_.

7-----NC

?-一步C

(變式2)

【解析】因為比，=說+礪，=25+筋：&=CA+Z4'=CB+Cb+AA'=-AD-A^+

AA,,所以病，?日2b.荔+花.刀，_2b.刀,一

盛一篇，+石，2=-4一2—3+9=0.設(shè)8。與。4，所成的角為氏則856*=|cos(BC^CA')|

\BC''CA'\

=一一=0，所以8。與C4'所成的角的余弦值為0.

\BC'^CA'\

目幀周利用空間向量證明平行與垂直問題

例3如圖，在直三棱柱/DB-8CF中，側(cè)面N3EE和側(cè)面/BCD都是正方形且互相垂

直，"為AB的中點，。為。尸的中點.

(例3)

(1)求證：OM〃平面BCF；

【解答】由題意知48,兩兩垂直，以點/為原點建立如圖所示的空間直角坐

標系.設(shè)正方形的邊長為1,則/(0,0,0),8(1,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0),F(l,

0,1),°,°),o['2'J,所以血二!0,一2,—J,花1=(一1,0,0),所以血?防

=0,所以而_1茄.因為三棱柱4DE-3CF是直三棱柱，所以NB_L平面BCF,所以其是平面

3CF的一個法向量.又(WU平面BCF,所以(W〃平面2cF.

⑵求證：平面平面EFCD

【解答】設(shè)平面MDF與平面EFCD的法向量分別為=yi,zi),"2=(x2,郎Z2).

EL—一口，一1,0〕一一,wrDF=O,

因為。尸=(1,—1,l),DW=l2J,￡>C=(1,O,O),CF=(O,—1,1),由._

nrDM=O,

xi—yi+zi=O,1

1,

得5i—y=O,令制=1，得〃尸23同理可得…—。,

所以平面平面EFCD.

，總結(jié)提煉A

(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼?盡可能利用垂直條件，

準確寫出相關(guān)點的坐標，進而用向量表示涉及直線、平面的要素).

(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何

的有關(guān)定理.

變式3如圖，在長方體48CD-/121GA中，AA^AD=1,E為CD的中點.

(變式3)

(1)求證：BiELADi.

【解答】以A為原點、，誦，血,石1的方向分別為無軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所

示的空間直角坐標系，設(shè)4B=a.

(變式3答)

1,ol,,—

(1)/(0,0,0),。(0,1,0),A(o,1,1),EUJ，Bi(a,0,1),SUOi=(0,1,

1),施=(一2'1’—I.因為蕊=—：XO+lXl+(—1)X1=O,因止匕靛，石1,所以

BxELADx.

（2）在棱44i上是否存在一點尸，使得。P〃平面若存在，求AP的長；若不存

在，請說明理由.

【解答】存在滿足題意的點P,且NP=5理由如下：假設(shè)在棱上存在一點尸（0,

0,zo）（OWzoWl）,使得DP〃平面2/E,此時痂=（0,-1,zo）.設(shè)平面囪/￡的法向量為“

__但1,01nABi=Q,Qx+z=0,

~（X,y,z）,AB\—（a,0,1）,AE—\2.J,貝『_得’生+尸o,取X

n-AE—0,

=1,則y=一；,z=-a,則平面的一個法向量"=［葭2""）要使DP〃平面囪/E,

需滿足〃，方），有4—azo=O,解得zo=1.所以存在點尸，滿足。尸〃平面此時/尸=1.

222

隨堂內(nèi)化

1.（2025?常州期末）（多選）在平行六面體/BCD/山Cid中，AB=AD=AAx=\,/BAD

=NBAAi=ND44i=60。,。為底面4SC1A對角線的交點，則（AD）

A.ACi=AB+AD+AAi

B.Db=^AB-AD+AAi)

C.\BDi\=2

D.<Zb,CDi)=120°

2.如圖，在四棱錐P/8CD中，尸C_L平面/BCD,PC=2,在四邊形/BCD中，ZABC

=NBCD=90°,AB=4,CD=1,點M在P8上，PB=4PM,P8與平面/BCD所成角為

30°.

（第2題）

（1）求證：CM〃平面BID；

【解答】（1）由題意知，CB,CD,CP兩兩垂直，以。為坐標原點，CB所在直線為x

軸，CD所在直線為y軸，C尸所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為尸CJ_

平面48cD,所以NP2C為P3與平面/BCD所成的角，所以/PBC=30。.因為PC=2,所

以BC=20尸3=4,所以C(0,0,0),D(0,1,0),BQ由,0,0),4(2?4,0),尸(0,

Nif|一座o1

0,2),認2'0'2J,所以痂=(0,-1,2),亦=(23,3,0),或=〔2''2」.設(shè)平面

DPn=0,

PAD的法向量為〃=(x,y,z),貝「_即令7貝"T

DAn=0,

2,1)是平

面力。的一個法向量.因為"?屈=一貼><應(yīng)+2乂0+1乂3=0,所以〃_L(5z.又CM。

22

平面HD,所以CM〃平面X4D

(2)求證：平面R13_L平面B4D

【解答】方法一：由(1)知荔=(0,4,0),PB=(2^,0,-2),設(shè)平面必3的法向量

BAm^O,[4Vo=O,r

為m=Go,次，zo),貝r—即?r-_令xo=l,則膽=(1,0,\3)

PB-m=0,(2A/3xo—2zo=O,

是平面為3的一個法向量.因為,"?"=lX(-3)+0X2+3xi=0,所以平面為平面

PAD.

方法二：取/尸的中點E,連接BE,則￡(3,2,1),盛=(一3，2,1).因為尸

所以3￡_LE4.因為前1?扇=(一"3,2,1>(23，3,0)=0,所以施_L扇，所以3E_Lr>4又

PAHDA^A,DA,必u平面為￡>,所以BE_L平面R1D因為3￡u平面所以平面R43_L

平面PAD.

(第2題答)

溫馨擢示

練案?趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們及時完成《配套精練》.

練案?1.補不足、提能力，老師可增加訓練《抓分題?高考夯基固本天天練》(提高版)

對應(yīng)內(nèi)容，成書可向當?shù)匕l(fā)行咨詢購買.

2.為提高高考答卷速度及綜合應(yīng)考能力，老師可適時安排《一年好卷》或《抓分卷?高

考增分提速天天練》(提高版)，成書可向當?shù)匕l(fā)行咨詢購買.

配套精練

A組夯基精練

一、單項選擇題

1.已知向量"=(—2,1,3),6=(-1,3,2),c=(l,t,一1)共面，則實數(shù)，的值是

C)

A.1B.-1

C.2D.-2

【解析】因為a,b,c共面，所以存在x,使得c=x〃+y從整理得(1,%,—1)

=(—2x—y,x+3y,3x+2y),解得x=—1,y=1,t=2.

2.(2024?蘇中蘇北七市二調(diào))在正方體中，下列關(guān)系正確的是(D)

A.ADLBxCB.AxDLBD

C.ACi.LAiCD.ACi.LCDi

【解析】以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1,

所以4(1,0,0),。(0,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),出(1,0,1),Z)i(0,0,1),5(1,

1,1),C1(O,I,1),應(yīng))=(—1,0,0),瓦b=(—1,0,-1),Zb=(-1,0,-1),BD=

(—1,—1,0),ACi=(—i,1,1),4c=(—1,1,—1),CDi—(0,—1,1).對于A,ADB\C

=—1X(—1)=1WO,故A錯誤；對于B,/力?訪=—1X(—1)=IWO,故B錯誤；對于C,

^CI-ZC=-1X(-1)+1X1+1X(-1)=1#0,故C錯誤;對于D,AC1CD1^-1XO+

1X(-1)+1X1=O,故D正確.

3.如圖，在三棱柱4BC-/bBiCi中，E,尸分別是BC,CG的中點，薄=2強，則法=

(D)

(第3題)

1一2一1一

A.YB—AC~\--y44

332

1—?2-*■1—?

B.~AB~\--AC~\--AA\

332

2-1-1-*

C.—AB~\--AC—AA\

332

i—?2-1—?

D.—AB~\--AC-\--^44

332

【解析】因為/7=2謙，所以踵=#,又E是3c的中點，所以成=上冠+而,

所以透=1就1ulcS+k）.因為庠=比+無,E,尸分別是3C,CG的中點，所以防=1（比

362

—?1—?—?—?—?—?—?1—?—?1—?—?—?1—?

+CC)=+4C+441).因此Gb=GE+M=」(45+4C)+'(54+4C+4Zi)=—V5+

2623

2一1一

-AC~\--AA\.

32

4.如圖,在三棱柱ABC-ABG中，設(shè)8G與BiC相交于點O,N4AB=ZAtAC=ABAC

60°,小/=3,4B=AC=2,則線段/。的長度為（A）

(第4題)

A號B.迤

2

D.叵

C2

2

【解析】由題意得|屆1|=3,|叁|=/0=2,AAx-AB^AAi-AC^3,AB-AC^2.AO^ACi

+C1O=(//1+/C)-；2cl=(//i+/C)-j⑷1+/。一叫=扣4+/。+物，所以“|2=

222222

AO=^AAl+AC+ABy^AAi+AC+AB+2AAl-AC+2AAl-AB+2AC-AB)=^X(3+2+

22+2X3+2X3+2X2)=?,故|石尸

二、多項選擇題

5.(2024?鎮(zhèn)江期初)在平行六面體中，底面ABCD為菱形，ZAiAB=

ZAiAD,NiCiA2boi=。1,則下列說法正確的(ABD)

A.四邊形3由為矩形

B.AOiAB^AbiAb

C.ibi=-^5+-Ib-24i

22

D.如果/M=A4B+!4D+!44I，那么點M在平面4AD內(nèi)

333

【解析】AO\=AAi+24101=AAi-\-AD)—^AB-\~^AD~\~AA?,故C錯誤；如圖，

設(shè)452=//2+/82—2//]/3cosZAiAB,AiD2=AiA2+AD2-2AArADcos

ZAiAD,因為AB=AD,ZAiAB=ZAiAD,所以/山=/。，故4O_L3￡>,又4CLBD,

AiOCiAC=O,A\0,/Ct平面/CCMi,所以BD_L平面/CC/i.由于四廠平面/。。出，

故8D_L44i,由于44i〃85i,進而所以平行四邊形為矩形，故A正確；

----?----?------------------?----?----?----?----?---->-----?1----?

因為BZ)_L/Oi,所以/O「AB-/Or/D=(/B—AD)/Oi=DB/Oi=0,故B正確；

-\--AD-\--AA\,由于1+1+1=1,所以M,B,D,4四點共面，故Af在平面/出。內(nèi)，故

33333

D正確.

(第5題答)

6.如圖，在長方體/BCD-43cbDi中，AB=\liAD=3a4=3,尸為線段ZC上的動

點，則下列結(jié)論正確的是(ACD)

(第6題)

A.當杭=2舒時，Bi,P,。三點共線

B.當成_L/b時，APLD^P

C.當疵=3介時，DiP〃平面ADG

D.當命=5舒時，/C_L平面A4P

【解析】在長方體N3CDN閏G5中，以點。為坐標原點，DA,DC,所在直線

分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為AB=、j3AD=\[3AAi=S,

所以AD=N/i=l,則。(0,0,0),/(I,0,0),4(1,0,1),C(0,^3,0),Di(0,0,1),

0),Ci(O,01),1),則慶=(—1,3，-1),15U=(1,0,-1).當慶

=2舒時，尸為線段/iC的中點，則尸【2，2’2),方2'2),麗=(1,3,1),

則屬尸2成，所以3,P,D三點共線，A正確.設(shè)%》=疝7="—1,3，-1)=(一九3九

一;l)(0W/Wl),AP=AA1+A^P=(-A,1-/),由靜_L/b,可得奧?杭=5%一1=0,

1

1-f-,￡$一一一凡4]

解得見=《，所以/尸=15551，DiP=DiA+AP=(l,0,—1)+1555)=

也—口—一_

【05'5'~5),所以￡>?成=-4+支一生=—1"0,所以善與力>不垂直，B錯誤.當布

2525255

=3舒時，舒=；布=13'3'3j,15CI=(O,A/3,1),協(xié)=(1,由,0).設(shè)平面

n-Z)Ci=O,即「3Hz=。，

的法向量為〃=(%,y,2),貝「_令y=l,貝1]x=z=一他,

n，DB=G,k+43y=0,

,_一(2A/1_ri

所以〃=(一/，1,—A/3).?C4I￡)I=(—1,0,0),所以方＞*=?萬一3bi=〔3，3'3J,所

以方A?"=：＞＜(—3)+:義1-1x(-^3)=0,所以萬A_L”.因為ARZ平面BDCi,所以D\P//

.*_f|

平面ADCi,C正確.當4C=5小尸時，4P=?C=l555_J,所以。1尸=/砂一小人

弓

=1「5'出5一5口]，所以41_。刃_1尸=—1X—X——1X1ff5lJ—0,A_\C-D_\A——1X1+\/3X0

十(—1)2=0,所以4C_LAP,AiC±DiA.^DiPQDiA=Di,ZhPu平面。一尸,D/u平面

D\AP,所以ZiC_L平面。4P,D正確.

(第6題答)

7.(2025?南通啟東、通州期中聯(lián)考)在長方體NBCD/iSGA中，44尸2,48=40=/,

尸是底面/BCD上的一點，且。尸〃平面4CL8,貝1J(ACD)

A.D\BA_AC

B.Di5_L平面/1C18

C.DiP的最小值為忐

D.AF+PB的最小值為后

【解析】以。為坐標原點，DA,DC,DA所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖(1)

所示的空間直角坐標系，則A(0,0,2),B&i*也,0),A他,0,0),。(0,也，0),4座,

0,2),G(0,也，2),奧血B?就=樞業(yè)-2)?(一啦，啦,0)=-2+2=0,故。山_L4C,

A正確.因為萬力?//=(也，/，-2)-(0,^2,—2)=2+4=6W0,所以。山與48不垂直，

則。/，平面不成立，B錯誤.設(shè)P(a,b,0),平面/1C1B的法向量為，"=(x,y,

m-A\C\=(x,y,z),(一亞，也,0)=—gx+gy=0,

z),貝1r_令z=l得x=y=仍，所以

mA\B—(x,y,z)-(0,也，-2)=也y—2z=0,

m=(也，也,1).因為。尸〃平面4G8,所以b,一2)?(卷/,1)=啦a+啦6

-2=0,故6=仍一a,D\P—\DiP\—^/?2+62+4=—a)2+4=—2\[2a-\-6—

H+5,故當。=也時，。尸取得最小值為市，C正確.由C選項，b=^2~a,

2

即點尸在直線NC上，由勾股定理得/。=山加工8己=2,故四邊形/CG4為正方形，將

矩形/CG4和等腰直角三角形A5C沿著/C折到同一平面內(nèi)，如圖（2）,連接與AC

的交點即為使得4P+P8最小的點P,且4P+PB的最小值為4股過點8作37U/1G,交

/Ci于點T,交/C于點X,故4T=1,TB=TH+BH=2+1=3,由勾股定理得//=

山/+儂=板,D正確.

圖⑴

圖⑵

（第7題答）

三、填空題

8.已知正四面體/-BCD的棱長為2,若M,N分別是CD的中點，則線段的

長為_也_.

>>>|>1>1>>A>

【解析】如圖，因為血CV=M4+/N=-上43+t4C+、D,又AC,AB,AD兩兩的夾角

222

均為:，SL\^\=\AC\=\AL>\=2,所以疝2=[—=：（益2+k2+如）2—

2AB-AC2AB-AD+2AD-AC）

I---?>>>>JT>>產(chǎn)2即花as"=2,所以皿=

小叫2+|4。|2+|皿2-2M?|4C|COS--2|^|-|^D|COS

4l3

（第8題答）

9.如圖，已知二面角a-48/的大小為60。，其棱上有4,2兩點，射線/C,分別在

兩個半平面內(nèi)，且都垂直于棱AB.若|次|=1,|京|=1,|應(yīng)）|=2,則CD的長為上一.

~D

/T7

(第9題)

【解析】因為BDYAB,所以己?弱=0,加?卷=0.因為〈麗，元〉=60°,

CD^CA+A￡+Bb,所以CD2=G42+is2+ib2+2C^-is+2C^ib+2isib=l2+l2+22

+2XlX2cos120。=4,所以CD=2.

10.(2024?晉中三模改)已知三棱錐尸-/8C中，PA=PB=4,PC=\,ZAPB=ZAPC=

NBPC=ZM,N,T分別為棱48,AC,PB的中點，則直線PM與NT所成角的正切值為

3

_￡也_.

————?1---???]I1

【解析】記B4=a,PB=b,PC=c,則尸Af=a(a+b),TN=PN~PT=-(a+c)—=-(a

+c—6).又<rb=4X4x3=8,a-c=4Xix1=2,6-c=4Xlx|=2,則麗?禾=3a+b>；(a

+c~b)=^(?2~b2+ac+be)=1,|PM\=1A/(?+6)2=2AJ3,|TN\=^(?+c—A)2=

i;----------------------------------------布屈曲

々，+^+〃+2"七一2a心一2c力=".設(shè)直線PAf與N7所成的角為。，則cos0=__

22\PM\\m\

——,所以tan。=5啦.

2/”51sin6=

四、解答題

11.如圖，在長方體/BCD-421cbe>i中，M,N,E,尸分別為棱48,BC,AAx,D)Ci

的中點，連接CDi,EM,MN,EN,NF,EF.

(第11題)

(1)求證：DC〃平面及MV；

【解答】在長方體4BCD-43ICLDI中，設(shè)4D=2a,DC=2b,DDi=2c,如圖，建立

空間直角坐標系，則。(0,0,0),A(2a,0,0),C(0,2b,0),B(2a,2b,0),Z)i(0,0,2c),

Ai(2a,0,2c),Ci(0,2b,2c),Si(2a,2b,2c),則M(2a,b,0),N(a,2b,0),E(2a,0,

c),F(Q,b,2c).

(第11題答)

(1)5?C=(0,2b,-2c),ME=(O,一6,c),則有麻=一2彘，故DiC〃ME,又DiC

<Z平面應(yīng)WN,所以。C〃平面用郎.

(2)求證：E,F,N,M四點共面.

【解答】因為壽=(一2°,b,c),W=(0,b,-c),EN=(~a,2b,~c),則有崩=

-3EM+2EN,所以而，品,曲共面，即E,F,N,"四點共面.

12.如圖，在四棱錐PN3。中，底面/8CO是邊長為。的正方形，側(cè)面為。，底面

ABCD,且以=尸。=必40,設(shè)E,尸分別為尸C,AD的中點.

2

(第12題)

(1)求證：E尸〃平面以。；

【解答】如圖，取/。的中點。，連接0P,。尸.因為B1=PD,所以P0L4D因為側(cè)

面以。_1_底面48cO,平面E4DC平面48co=40,POu平面R4。，故PO_L平面4BCD

又。，F(xiàn)分別為AD,3。的中點，所以。尸〃.又四邊形/8CO