江蘇省如東高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若復(fù)數(shù)Z滿足（l-i）（z+i）=l（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.--B.--ZC.-D.1

2232

2.已知”（1,0）,出|=3,41（萬+5）,則忖-畫=（）

A.12B.2A/3C.8D.2夜

3.已知tana,tan#是方程/一2工一3=0的兩根，貝！Itan（2a+2p）=（）

A.--B.--C.-D.-

3443

4.已知輪船A在燈塔B的北偏東45。方向上，輪船C在燈塔8的南偏西15。方向上，且輪船

A,C與燈塔B之間的距離分別是10千米和106千米，則輪船A,C之間的距離是（）

A.10千米B.10若千米C.10百千米D.10V7千米

5.已知向量萬=（0,-2）,1=（2,。，若向量五在向量之時上的投影向量為則￡/=（）

A.-1B.-2C.2D.1

6.已知向量Z=（無6）,^=（3,4）,且2與后的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）

A.[-8,+co）B.

C.-8,-|^u^1,+oo^D.（-8,+oo）

jr__1

7.如圖，在VA5C中，ZBAC=-AD=2DB,夕為8上一點(diǎn)，且滿足AP=mAC+-AB,

4f2

若AC=3,AB=2日則Q.力值為（）

C

P

AB

D

1721

A.B.

8.已知％￡為銳角,

二、多選題

9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（

A.若復(fù)數(shù)z=「（i為虛數(shù)單位），貝物3°=-1

B.若復(fù)數(shù)z滿足z2eR,則

C.若復(fù)數(shù)z滿足同=1,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)。為圓心，以1為半徑的圓

D.若復(fù)數(shù)z滿足|z-4i|=2,則目的最小值為6

io.下列選項(xiàng)中，值為;的有（）

4

A.sin75°sin15°sin18°sin54°

sin560+sin4°—tan22.5°

2

cos560+cos4°

1-tan222.5°

11.在VABC中內(nèi)角A,民C的對邊分別為a,b,c,設(shè)VABC的面積為S,若

2S=3（teinC+csinB）,則下列命題中正確的是（）

TT

A.若A=：,且6=7,則3有兩解

B.若C=2A,且VASC為銳角三角形，則c的取值范圍為（6&,6括）

C.若A=2C,且sinB=2sinC,則VABC的外接圓半徑為26

D.若6=2c,則S的最大值為6后

12.若1+后是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程尤2+6元+c=o的一個復(fù)數(shù)根，貝.

⑶在VABC中，已知件泮會3,則VA2C的形狀為一

試卷第2頁，共4頁

14.如果滿足/A8C=45°,AB=6,AC=6的VABC有且只有一個，那么實(shí)數(shù)人的取值范圍

是.

四、解答題

15.已知復(fù)數(shù)z="Li(〃zeR),且不(l+3i)為純虛數(shù)(三是z的共軌復(fù)數(shù)).

(1)求m的值；

(2)復(fù)數(shù)Z2=巴二在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

Z

16.己知函數(shù)〃x)=sin2x+26sinxcosx-cos2x+〃?的最大值為3.

⑴若f(x)的定義域?yàn)椋?,兀］,求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若*x()e0,|-,求cos2%的值.

17.在銳角VABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,己知3cos2c=2sin(A+3)-l.

(I)求cosC；

(H)若邊AB上的中線C￡>=1,a+b=5求VABC的面積.

18.如圖，在AABC中，AB=2,AC=4,ZBAC=120°,BD=2DA>CE=2EB-

「0

⑴求荏.①的值；

⑵線段BC上是否存在一點(diǎn)尸，使得CDLAP?若存在，請求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請

說明理由；

(3)若。是AASC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足/+2礪+優(yōu)次=0(meR),求麗.女+2西.礪的最小值.

19.由倍角公式cos2x=2cos2x-l,可知cos2x可以表示為cosx的二次多項(xiàng)式.對于cos3x,

我們有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-l)cosx-2sinxcosxsinx

=2cos3x—cosx—2—cos2x)cosx—4cos尤一3cos，可見cos3x可以表示為c°s尤的三次多

項(xiàng)式.一般地，存在一個M〃eN*)多項(xiàng)式使得

2n

匕⑺=%+卬+a2t+???+ant(4,4…,a“eR)使得cosnx=Pn(cosx),這些多項(xiàng)式匕(f)

稱為切比雪夫(P.L.仆(:法刀5。/24^多項(xiàng)式.

⑴請求出乙⑺，即用一個cos%的四次多項(xiàng)式來表示COS4X；

(2)利用結(jié)論cos3x=4cos%-3cosx，求出cos36°的值；

(3)證明：---FaJ42.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省如東高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案ABDDDBDBACABD

題號11

答案ABC

1.A

【解析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】因?yàn)閦+i=4=?,

L-i2

..z=-1----1-1.,

22

所以Z的虛部為-（，

故選：A.

2.B

【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及模長的坐標(biāo)運(yùn)算即可得出結(jié)果.

【詳解】易矢口小①+石）=0,a2+a-b=0

又汗=(1,0)可得a2=l,d-b=-1；

所以|萬_4=—=y/a2-2a-b+b2=Jl+2+9=.

故選：B

3.D

【分析】先根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算得出tan（a+/）,再應(yīng)用二倍角的正切公式計(jì)算即可.

（詳解】因?yàn)閠ana,tan/?是方程f一2%—3=0的兩根,

所以tana+tan4=2,tanoftan/?=—3,

tana+tan42_1

所以tan(a+〃)=

1一tanatan尸

2x-

2tan(a+/)j__4

則tan(2a+2m=

l-tan2(cr+/?)3

4

故選：D.

4.D

【分析】根據(jù)題意作出示意圖，分析角度后，再利用余弦定理解題即可.

答案第1頁，共11頁

【詳解】如圖，由題意可知43=10千米，BC=106千米，ZABC=150°,由余弦定理可

得AC?=AB2+8C2—2AB-BCcosNABC=102+(10/y-2><10xl0若=700,則

AC=10"千米.

故選：D.

【分析】根據(jù)投影向量的概念列式，化簡得到獸=；,結(jié)合口、方的坐標(biāo)建立關(guān)于f的方程，

\a\4

解出〃直，進(jìn)而求出五的值.

【詳解】根據(jù)題意，可得萼?告=;%可得鬻

\a\\a\4\ay4

f-2t11

因?yàn)楣?石=0x2+(-2)?，=-2,，|a|2=0+4=4,所以一^=:，解得/=--，可得々?石=-2，=l.

442

故選：D.

6.B

【分析】根據(jù)向量夾角為銳角列不等式，由此求得x的取值范圍.

9

【詳解】若Z〃B，貝U4x=18,解得尤=].

9

與B的夾角為銳角，，尤

又°4=3尤+24，a與B的夾角為銳角，

：.a-b>0,即3x+24>0,解得x>—8.

xe^-8,|^U^p+°°^.

故選：B

7.D

【分析】首先根據(jù)平面向量基本定理求〃?，再利用基底｛濕,碼表示Q和團(tuán)，再結(jié)合數(shù)

答案第2頁，共11頁

量積運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由條件可知，AP=mAC+-AB=mAC+-AD,

24

31.1—.1―.

則加+—=1,即根=一，則AP=—AC+—A3,

4442

__,__,__.2__,__.

W=AD-AC=-AB-AC,

3

所以而①=；磯{|福_利=；而2_口―/.正,

1R1O12。弁019

=-x8----x9—x3x25/2x-----=------.

343212

故選：D

8.B

【分析】根據(jù)角的范圍和同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sine和cos(c+/),利用兩角和的余弦

公式計(jì)算可得答案.

【詳解】：a為銳角，cosa=1,

，sina=Jl-cos2a=亞

7

7171

*.*0<cr<—,0</3<—,+(3<TI,且a+，>a,

5A/34A/3函數(shù)y=sinx在(0卷J上單調(diào)遞增,

sin(a+〃)=-----<sinex,-----,

147

?.?萬兀<a+Q/v兀，

cos(a+尸)=-^1-sin2(a+y0)=——-,

cos13-cos[(?+/3}-a\=cos(er+cosa+sin(6z+y?)?sina

故選：B.

9.AC

【分析】對于A,先求得z=i,再計(jì)算即可;

對于B,設(shè)z=a+6i,得a6=0,從而可判斷；

對于C,由復(fù)數(shù)模的幾何意義可判斷；

對于D,根據(jù)條件得到目的表達(dá)式，再求最值即可.

答案第3頁，共11頁

【詳解】對于A,2=二=(l+i>

=i,則z=T，所以*=(/尸=(一y=-i,故A正確;

1-1(l-i)(l+i)

對于B,設(shè)z=a+Z?i,則z?=(〃+歷>=/一/+2R7j￡R,則可知"=o,jfjjz=a-bi，若

a=0,0w0時,

z^R,故B不正確；

對于C,由復(fù)數(shù)的模的幾何意義可知是正確的;

a=2coscr

對于D,設(shè)z=a+6i,由z滿足|z-4i|=2,則有/+3-4)。=4,令

Z7=2sin<7+4'

貝|JIz|=八2+k=J(2cos￡)2+(2sina+4)2=J16sina+2022,所以|z|的最小值為2,故D

不正確..

故選：AC

10.ABD

【分析】由三角恒等變換以及誘導(dǎo)公式逐一驗(yàn)算即可求解.

【詳解】A選項(xiàng)：sin75°sin15°=sin15°cos15°=-sin30°=-；

24

-sin36°sin54°—sin36°cos36°

B選項(xiàng):sinl8°cosl8°sin54°

sin18°sin540=22

cos18°cos18°cos18°

—sin72°1

4=1

cos1804

sin560+sin4。sin560+sin(60。-56。)sin56。+受cos56。-萬sin56。

C以，cos56°+cos4°cos56°+cos(60°-56°)1J3

I)cos56°+-cos56°+sin56°

22

—sin56°H——-cos56°0

「22「.

sin56°+—cos56°

22

C3THEAL/「c2tan22.50〕—r”日—tan22.5°〔

D選項(xiàng)：因?yàn)?皿45。=；----—=1,可得，=1;

1-tan-22.5°1-tan222.5°4

故選：ABD.

11.ABC

【分析】首先證明題干中的條件等價于"=6,然后逐個選項(xiàng)判斷：對于A,直接解出兩種

可能的情況即可判斷A選項(xiàng)正確；對于B,用正弦定理證明c=12cosA,然后求cosA的范

答案第4頁，共11頁

圍即可判斷B選項(xiàng)正確；對于C,求出VA5C的三邊，然后說明8是直角，從而得到RB,

2

即可判斷C選項(xiàng)正確；對于D,直接利用C的條件計(jì)算得S>66作為反例，即可說明D

選項(xiàng)錯誤.

【詳解】設(shè)VABC的外接圓半徑為R,則

2S=30sinC+csinB)=6/?(sin5sinC+sinCsinB)=12/?sinBsinC,

由S='absinC=—x27?sinAx2RsinBxsinC=27?2sinAsinBsinC,可知

22

47?2sinAsinBsinC=12RsinBsinC,

即HsinA=3,從而〃=2HsinA=6.

jr

對于A,若A=：,且Z?=7,由余弦定理得/n/^+cZ—ZbccosA,

6

即36=49+/-7&,解得c=7—+屏或7-一屏.

22

由于當(dāng)三角形的三邊確定后，三角形唯一確定，

故VABC只有兩種可能.經(jīng)驗(yàn)證，VABC的以下兩種情況都是可能的：

吊,._7A/3+A/95A/95

①。=6,0=7,c=--------------,cosBR=----；

212

@a=6,b=1,c=一逝cosB=-.故3有兩種可能，選項(xiàng)A正確；

212

對于B,若C=2A,且VABC為銳角三角形，由于。=但吆=竺巴"=2QCOSA=12COSA,

sinAsinA

jrjr

而VABC為銳角三角形，即2A<—,3=71—A—。=?！?A<一,

22

解得從而A的范圍是H，故c=12cosA的范圍是（6衣6⑹，選項(xiàng)B正確;

對于C,若A=2C,且sinB=2sinC,則b=2c,且9=史&=任也=2cosC="^^,

csinCsinCab

故a2b=a2c+b2c-c3,從而a2(b-c)=c(b+c)(b-c).

而b=2cwc,故/=c(b+c)=c(2c+c)=3c?,從而。=京=26，b=2c=4A/3.

這意味著。=6,b=4瘋。=2君，所以。2+/=12+36=48=〃,

從而2=5,故R，b=26,選項(xiàng)C正確;

22

對于D,若6=2c,由于2君＜6＜46,26+6=26+廊＞2石+回=4石,

故存在使得。=61=4石',c=26的VA2C,止匕時。=6*=2c,滿足條件.

答案第5頁，共11頁

‘Lb卜主'7口p*,b~+c~—ci~80+20—36644>r..3

在此情況下，有cosA=--------------=----------------=—=—,故smAA=二，

2bc808055

從而5=工60$111>1=工-4石.2如？=12>6若，

225

此時S>66，這表明S不可能以6指為最大值，選項(xiàng)D錯誤.

故選：ABC.

12.-2

【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程虛根成對出現(xiàn)得另一根，再結(jié)合韋達(dá)定理求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?+6是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根，

所以1是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程尤2+云+°=0的另一個復(fù)數(shù)根，

因此(1+0i)+(l-V2i)=-b,:.b=-2

故答案為：-2

13.等腰或直角三角形

【分析】利用余弦定理邊化角化簡等式，再利用二倍角的正弦及正弦函數(shù)性質(zhì)推理判斷即可.

asinAbsinBasinAZ?sinB

【詳解】在VABC中，由及余弦定理，得

a2+c2-b2b1+C1-a12QCCOSB2Z?ccosA

整理得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,

而。<2A<2兀,0<23<2私0<2A+23<2兀，因止匕2A=25或2A+25=兀,

7T

所以A=B或4+2=5，即VA2C為等腰三角形或直角三角形.

故答案為：等腰或直角三角形

14.［6,+(?)口｛3亞｝

【分析】由正弦定理結(jié)合A到BC距離，然后根據(jù)題意結(jié)合圖形求解即可.

【詳解】因?yàn)樵赩ABC中，=45°,AB=6,

所以A到BC距離d=ABsinZABC=6x包=3尬,

2

因?yàn)閂ABC有且只有一個，

所以由圖可知6=30或心6，

即實(shí)數(shù)6的取值范圍是［6,+8)口｛30｝.

故答案為：［6,+功可3&｝

答案第6頁，共11頁

A

15.(1)3

(2)tz>3

【分析】(1)先化簡復(fù)數(shù)為洲(l+3i)=M-3+(3加+l)i,再根據(jù)N-(l+3i)為純虛數(shù)求解；

〃2021

(2)先化簡復(fù)數(shù)22=三1+。_；A"再根據(jù)復(fù)數(shù)z,=—z7_i—在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

1010z

求解.

【詳解】(1)解：因?yàn)閺?fù)數(shù)2=相一i(機(jī)eR),

所以z=m+i(mGR),

則z-(l+3i)=(m+i)-(l+3i)=m-3+(3m+l)i,

因?yàn)闈?jì)(l+3i)為純虛數(shù)，

m—3=0

所以解得m=3；

3m+1w0'

a-i2021a-i(4_i)(3+i)3a+1a—3.

⑵復(fù)數(shù)-----------F------1

3^7(3T(3+i)1010

2021

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z2=Ka-i—在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

Z

^￡±1>0

所以1?，解得。>3.

a-3八

16.⑴單調(diào)遞增區(qū)間為0,g和[兀

_3JL6」

7-2473

50

【分析】⑴利用二倍角公式將“X)化簡并利用最值可得〃x)=2sin(2x-0+1,再由三

角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)代入解析式可求得sin[x°-1)=g,再根據(jù)同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系以及二倍角

答案第7頁，共11頁

等公式即可求得結(jié)果.

【詳解】(1)將/(x)化簡可得〃x)=J§sin2x-cos2x+m=2sin12x-Sj+機(jī)，

因?yàn)?(x)1mx=2+m=3,所以m=1.

此時/(x)=2sin(2x-￡)+l,

當(dāng)工￡[0,兀]時，2X-—G

6L66

4--<2x--<-.WO<x<-；

6623

人3兀/c7111714目5兀//

令——<2x--<---,得——<X<7T,

2666

所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,：和g,兀.

(2)由(1)知/(x)=2sin(2x-￡)+l.

由d，得2s小。一X

所以sin]/="|.又因?yàn)轱w￡0,弓.所以毛一：^一[1,

<6J52」6L63

所以sinx0―巳J=2sin(x0-^jcosL0J=—

71

X^24s/3_7-24A/3

--2

2525店~2~50?

一

a)3（2）212^.

17

8

2

【分析】（1）先化簡得到SsiYC+sinC-2=0,再求出sinC=§,最后求cos。即可；

（2）先得至UG5+甌=2①，再得至U方程①+初2一2必+半"=4,接著求出必，最后求

S即可.

【詳解】解：(1)因?yàn)?cos2C=2sin(A+5)—l,A+B+C=TI,

答案第8頁，共11頁

所以6cos2c—2sinC—2=0，因?yàn)閟in?C+cos2c=1,

77

所以3sin2c+sinC-2=0，因?yàn)?＜。＜不，

2

所以sinC=],

所以cosC=Vl_sin2C=

3

(2)因?yàn)镃O是邊AB上的中線，所以04+既=29，

所以/+/+2^cosC=4|CD|2二4,

所以(a+Z?)2-2〃力H——_—ab=^,因?yàn)椤?人=胃

所以仍=3(3+石),

8

所以S=LbsinC=L^±^」=止，

22838

【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法、同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的余弦公式、三角形的面積公式，

是基礎(chǔ)題.

18.(1)--

9

⑵存在，CP^CB

⑶一

【分析】(1)應(yīng)用向量的加減法轉(zhuǎn)化向量的數(shù)量積即可；

(2)應(yīng)用向量的數(shù)量積表示向量的垂直計(jì)算求參；

(3)先轉(zhuǎn)化表示數(shù)量積，再結(jié)合基本不等式求出最小值即可.

【詳解】(1)AE=AB+BE=AB+-BC=AB+-(AC-AB^=-AB+-AC,

CD=AD-AC=-AB-AC,

3

]22l

■.AE.CD=(lAB+-Ac\(-AB-Ac}=-AB-^AB-AC--AC=-x4+^x2x4x^—^=-^

(33八3)99399239

⑵設(shè)布=2瓦，

-,AP=AC+CP,

：.AP=AC+XCB=AC+^[AB-AC^=^AB+(1-X)AC,

???CD_LAP,

答案第9頁，共11頁

:.CDAP=O,

QAB-AcJ[2AB+(l-2)Ac]=12AB2-(l-2)AC2+Q-12jAB-AC

4416

=-2-16+162——+—2=0,

333

13

解得丸二萬；

?2.1.

(3):AE=-AB+-AC,

33

222

^IUA￡=-AB+-AC+2X-X-!-XAB.AC=-+--2X-X4X2X-L=-,

993399929

OC+2OB+mOA=0(mGR),

:.OE+EC+2(OE+EB)+mOA=Of

3OE+EC+2EB+mOA=0,

/.3OE+mOA=Q,:.mOA=-3OEO、A>E三點(diǎn)共線，

I——-12——,——.I——JI——J［。4+|?？?(2丫4

/.-m|OA|=3OE-OA=-3\OE\-\O^>-3-JL=-3xl-l