第7講函數(shù)的單調(diào)性與最值一-2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)

_____________________________________________

?第7講函數(shù)的單調(diào)性與最值

向知識點目鼠/

【知識點1］函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象的特征.........................................2

【知識點2】定義法求解函數(shù)的單調(diào)性...............................................5

【知識點3】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間......................................................6

【如識點4】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).........................................8

【知識點5】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性......................................................9

目基礎(chǔ)知識/

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為。，區(qū)間KO,如果Wq,X23

當時，都有/汽1)＞兒0)，那

當為〈必時，都有於兇出，那么

么就稱函數(shù)在區(qū)間/上單調(diào)

定就稱函數(shù)大M在區(qū)間/上單調(diào)遞增，

遞減，

義特別地，當函數(shù)兀0在它的定義域

特別地，當函數(shù)./U)在它的定義

上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函

域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是

數(shù)

減函數(shù)

vt/?、?/p>

必⑶)倒「猛

圖象

0i~~X2-X

涓1~X

描述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

第1頁共10頁

如果函數(shù)y=/a)在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴格

的)單調(diào)性，區(qū)間/叫做)，=火了)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提一般地，設(shè)函數(shù)y=7(x)的定義域為D如果存在實數(shù)M滿足

(I)V.YGZ),都有人刈0〃；(1)VAEZ),都有於巨M；

條件

(2)3xoGZ),使得_/(Xo)=M(2)3.Y0GZ),使得/UO)=M

結(jié)論M是函數(shù)j=4%)的最大值〃是函數(shù)y=/G)的最小值

【常用結(jié)論】

1.V%],X2日且X#X2，有必L^^>O(VO)或但一》2)[/3)—/(X2)]>O(<O)Q/(X)在區(qū)間/上單調(diào)遞

Xi-X2

增堿).

2.在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).

3.函數(shù)y=/(x)(/(x)>0或Ax)vO)在公共定義域內(nèi)與y=~/(x),-的單調(diào)性相反.

小)

4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.

感知識點1/

知識點

【知識點1】函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象的特征

1.從圖象判斷單調(diào)性

鴻數(shù)圖象從左到右上升，則^數(shù)在對應(yīng)區(qū)間單調(diào)遞增；圖象從左到右下降，則圖數(shù)在對應(yīng)區(qū)間

單調(diào)遞減.對于分段函數(shù)，需分別觀察每一段圖象的升降趨勢.

2.圖象特征與單調(diào)性的關(guān)系

極值點：圖象的“峰”“谷”對應(yīng)函數(shù)的極大值點和極小值點，在極值點兩側(cè)函數(shù)單調(diào)性會

發(fā)生改變.

第2頁共10頁

漸近線：若函數(shù)存在水平漸近線或垂直漸近線，漸近線附近的圖象趨勢能反映函數(shù)的單調(diào)性變

化.

對稱性：偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，在y軸兩側(cè)單調(diào)性相反；奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，在原點兩側(cè)單

調(diào)性相同，可利用對稱性由已知區(qū)間的單調(diào)性推出未知區(qū)間的單調(diào)性.

典型例題

【例1】（2024秋?雙流區(qū)期中）已知函數(shù)j，=/（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為（)

B.(-5,—3)5—1,1)

C.(-3,-1),(1,4)D.(-5,-3),(-1,1)

【例2】（2024秋?金昌期中）如圖是函數(shù)的圖象，其定義域為［-2,+8）,則函數(shù)/（公

C.[-1,0),[1,+oo)D.[-1,O)[J[I,+8)

第3頁共10頁

【如識點2】定義法求解函數(shù)的單調(diào)性

1.基本步驟

設(shè)值：設(shè)為，占是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且

作差：計算/（玉）/（々），通過因式分解、通分、配方等方法變形.

定號：結(jié)合玉，馬的取值范圍判斷/（不）/（工2）的正負，進而確定函數(shù)單調(diào)性.

結(jié)論：根據(jù)定號結(jié)果得出函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性.

2.注意事項

設(shè)」直時強調(diào)國，/的任意性，確保結(jié)論適用于整個區(qū)間.

作差變形根據(jù)函數(shù)形式選方法，如分式函數(shù)常用通分，二次函數(shù)常用配方.

定號時充分考慮司，/取值范圍對式子正負性的影響.

典型例題

【例6】（2025春?花山區(qū)月考）已知函數(shù)八外=竺1±如±1為奇函數(shù)，且，（1）=3.

x

（1）求/（幻的解析式;

（2）求證：/（力在區(qū)間［1,內(nèi)）上單調(diào)遞增.

【例7】（2024秋?邢臺期末）已知函數(shù)/\x）=x-2.

X

（1）證明：函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,+00）上是增函數(shù)；

（2）當xw［2,6］,求函數(shù)/（X）的值域.

【例8】（2024秋?孝南區(qū)期末）已知函數(shù)/?（對=匯也（〃,g/?）是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，且f

X~+4

(1)=1.

(1)求/(x)的解析式:

第5頁共10頁

(2)判斷/(x)的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論.

【例9】(2025?山東模擬)已知定義域為R的奇函數(shù)“幻，且x<0時，/(x)=--x2.

X

(1)求XW火時/(x)的解析式；

(2)求證:/(")在口,”)」為增函數(shù).

【例10】(2025?揚州模擬)已知函數(shù)/(幻滿足/'(x+l)=/+2.

x+2x+2

(D求/(幻的解析式；

(2)用定義法證明/(X)在(1,YO)上單調(diào)遞減.

--------------------------屯知識點3一/---------------------

知識點

【如識點3】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.基本初等函數(shù)

一次函數(shù)：》=h+力(人/0),%>0時在R上單調(diào)遞增；攵<0時在R上單調(diào)遞減.

2

二次函數(shù)：y=ax+bx+c(a0),先由對稱軸公式x=-2確定對稱軸，再根據(jù)Q的正負判斷

2a

單調(diào)區(qū)間.

r

指數(shù)函數(shù)：y=a(a>0???a^l)fQ>I時在A_1?單調(diào)遞堵；0<Q<1時在RJ■單調(diào)遞減.

對數(shù)函數(shù)：y=log“x(Q>0???〃wl),a>1時在(0,+8)上單調(diào)遞增；0<a<1時在(0,+8)上單

調(diào)遞減.

2.復(fù)合函數(shù)

第6頁共10頁

利用“同增異減”原則.設(shè)y=/(g(x)),令〃=g(x),分別確定〃=g(x)和y=/(〃)的單調(diào)

區(qū)間，再根據(jù)原則判斷y=/(g(x))的單調(diào)區(qū)間.

3.復(fù)雜函數(shù)

對于分式函數(shù)、根式函數(shù)等，先求定義域，再通過求導(dǎo)、換元等方法確定單調(diào)區(qū)間.

對于含絕對值的函數(shù)，通過去絕對值符號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，分別求每一段的單調(diào)區(qū)間.

典型例題

【例11】(2024秋?蘇州期末)函數(shù)/(幻二五7二T的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-00,-1]B.(-00,0]C.[0,+00)D.[1,+00)

【例12】(2024秋?無錫期中)函數(shù)/Xx)=--L的單調(diào)增區(qū)間是()

x-2

A.(2,+oo)B.(-oo,2)

C.(-2,2)D.(-a),2),(2收)

【例13】(2024秋?孝義市月考)函數(shù)=的單調(diào)增區(qū)間為()

x

A.(0,+oo)B.(-oo,0)

C.(-00,0)U(0,+8)D.(YO,0),(0,+OC)

【例14】(2024?江西模擬)函數(shù)/(x)=3*2-2⑶的一個單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-oo,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,-H?)

【例15】(2024秋?齊齊哈爾期中)函數(shù)尸j7+6x-/的單調(diào)遞增區(qū)間為

第7頁共10頁

Fl知識點4/

知識點

【知識點4】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)

1.求解函數(shù)值

已知函數(shù)單調(diào)性，若玉＜々，函數(shù)單調(diào)遞增時/區(qū)）＜/。2）；單調(diào)遞減時/'（陽）＞/'（占），借此

比較函數(shù)值大小或求解不等式.

2.求解參數(shù)

根據(jù)單調(diào)性定義求解：函數(shù)在區(qū)間/上單調(diào)遞增，則/（*）/（￡）＜0對任意X，七€/且王＜々

恒成立；單調(diào)遞減則/（』）/02）〉0恒成立，建立不等式求解參數(shù)范圍.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解：函數(shù)在區(qū)間/上可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則/'（x）20在區(qū)間/上恒成

立（注意等號情況）；單調(diào)遞減則/'（x）?0恒成立，通過求解不等式得到參數(shù)取值范圍.

典型例題

【例16】（2025?保定二模）若函數(shù)/（x）=|2、-〃“在口，2]上單調(diào),則〃?的取值范圍是（）

A.(0,2]B.[4,+8)C.(e,2]|J[4,+8)D.(0,2]|J[4,”)

【例17】（2025?河南?！?以）若函數(shù)〃幻=，3-.3*-+水*2”-5,x"l,是定義在我上的增函數(shù)，貝”實

alog“x+2a,x＞1

數(shù)門的取值范圍為（）

A.（1,8]B.[3,7]C.[4,7]D.（4,18]

第8頁共10頁

【例18】（2025?黃岡模擬）設(shè)函數(shù)/（幻=|2：。，">°,對V再，x,e/?（x尸x、）有,~~）>0

-x-+ax,x<0

成立，則實數(shù)4的取值范圍是（）

A.[0,1]B.(-co,1]C.(l,+oo)D.[1,2]

【例19】（2025?南通模擬）已知函數(shù)/。）=卜2+2"戶<°在區(qū)間（-1,+8）單調(diào)遞增，則〃的取值

/?（x+a）,x>0

范圍是（）

A.（0,-Ko）B.[0,+8）C.（0,1]D.[1,+00）

（a-2）A+3,x<2

【例20】（2025春?清遠期中）已知函數(shù)f（x）=\a，若對R上的任意實數(shù)王，以工產(chǎn)吃）,

—,x>2

lx

恒有&-々）[/U）-/（/）]<。成立，那么實數(shù)4的取值范圍是（）

27

A.（0,2）B,（0,2]C.（（）,-]D.[-,2）

JJ

.知識點5/

知識點

【知識點5】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

1.確定函數(shù)構(gòu)成

明確復(fù)合函數(shù)是由哪幾個基本函數(shù)復(fù)合而成.

2.分別分析內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性

根據(jù)函數(shù)類型確定外層函數(shù)和內(nèi)層函數(shù)各自的單調(diào)區(qū)間.

3.利用“同增異減”原則

第9頁共10頁

結(jié)合內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和“同增異減”原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時要注意內(nèi)層函

數(shù)的值域需滿足外層函數(shù)的定義域要求.

典型例題

【例21】（2025?南通模擬）已知函數(shù)/（幻=。（.--紈）在（1,2）內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍

是1）

A.a...2B.a...1C.a?2D.a?\

【例22】（2025?安丘市模擬）已知則函數(shù)/（》）=J"，的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（-00,0]B.（-00,1]C,[0,+8）D.[1,+00）

【例23】（2例5春?湖北期中）已知函數(shù)/（.丫）=。（-/+2仆+3）在區(qū)間[2,3]上單調(diào)遞減,則實

數(shù)。的取值范圍為（）

A.[1,2]B.（l,+oo）C.（-oo,2]D.（1,2]

【例24】（2025?棗莊模擬）若函數(shù)/（x）=（；L在[1,+B）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是

（）

A.a?2B.a...2C.an\D.a...1

【例25】（2025?廣東模擬）已知函數(shù)蚱歷在區(qū)間[1,+oo）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a

的取值范圍是（）

A.（-8,；]B.（-00,1）

C.D.（-1,O）U（O,1）

第10頁共10頁

?第7講函數(shù)的單調(diào)性與最值

向知識點目￡/

【知識點1】函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象的特征............................................2

【知識點2】定義法求解函數(shù)的單調(diào)性...................................................6

【知識點3】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.........................................................11

【如識點4】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)...........................................14

【知識點5】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.........................................................18

目基礎(chǔ)知識/

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為。，區(qū)間KO,如果Wq,X23

當時，都有/汽1)＞兒0)，那

當為〈必時，都有於兇出，那么

么就稱函數(shù)在區(qū)間/上單調(diào)

定就稱函數(shù)大M在區(qū)間/上單調(diào)遞增，

遞減，

義特別地，當函數(shù)兀0在它的定義域

特別地，當函數(shù)./U)在它的定義

上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函

域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是

數(shù)

減函數(shù)

升//幻弋y(x)

必⑶)倒「猛

圖象

0i~~X2-X

涓1~X

描述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

第1頁共20頁

如果函數(shù)y=/a)在區(qū)間/上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴格

的)單調(diào)性，區(qū)間/叫做)，=火了)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提一般地，設(shè)函數(shù)y=7(x)的定義域為D如果存在實數(shù)M滿足

(I)V.YGZ),都有人刈0〃；(1)VAEZ),都有於巨M；

條件

(2)3xoGZ),使得_/(Xo)=M(2)3.Y0GZ),使得/UO)=M

結(jié)論M是函數(shù)j=4%)的最大值〃是函數(shù)y=/G)的最小值

【常用結(jié)論】

1.V%],X2日且X#X2，有必L^^>O(VO)或但一》2)[/3)—/(X2)]>O(<O)Q/(X)在區(qū)間/上單調(diào)遞

Xi-X2

增堿).

2.在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).

3.函數(shù)y=/(x)(/(x)>0或Ax)vO)在公共定義域內(nèi)與y=~/(x),-的單調(diào)性相反.

小)

4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.

感知識點1/

知識點

【知識點1】函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象的特征

1.從圖象判斷單調(diào)性

鴻數(shù)圖象從左到右上升，則^數(shù)在對應(yīng)區(qū)間單調(diào)遞增；圖象從左到右下降，則圖數(shù)在對應(yīng)區(qū)間

單調(diào)遞減.對于分段函數(shù)，需分別觀察每一段圖象的升降趨勢.

2.圖象特征與單調(diào)性的關(guān)系

極值點：圖象的“峰”“谷”對應(yīng)函數(shù)的極大值點和極小值點，在極值點兩側(cè)函數(shù)單調(diào)性會

發(fā)生改變.

第2頁共20頁

漸近線：若函數(shù)存在水平漸近線或垂直漸近線，漸近線附近的圖象趨勢能反映函數(shù)的單調(diào)性變

化.

對稱性：偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱，在y軸兩側(cè)單調(diào)性相反；奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，在原點兩側(cè)單

調(diào)性相同，可利用對稱性由已知區(qū)間的單調(diào)性推出未知區(qū)間的單調(diào)性.

典型例題

【例1】(2024秋?雙流區(qū)期中)已知函數(shù)j，=/(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的減區(qū)間為(

B.(-5,—3)5—1,1)

C.(-3,-1),(1,4)D.(-5,-3),(-1,1)

【答案】C

【分析】由圖象上升下降的情況判斷即可.

【解答】解:函數(shù)y=/(x)的圖象在區(qū)間和(1,4)是下降的,在區(qū)間(-5,-3)和是上升

的，

故該函數(shù)的減區(qū)間為(-3,-1),(1,4).

故選：C.

【例2】(2024秋?金昌期中)如圖是函數(shù)》=/3)的圖象，其定義域為［-2,+oo),則函數(shù)/⑴

的單調(diào)遞減區(qū)間是()

第3頁共20頁

yA

A.[-1,0)B,[1,+8)C.[-1,0),[1,+oo)D.[-1,O)|J[1,+8)

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可解.

【解答】解：由函數(shù)單調(diào)遞減的定義可知對應(yīng)圖象呈下降趨勢，根據(jù)函數(shù)圖象可知，/(x)的單

調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0)和[1,”).

故選：C.

【例3】(2024春?嘉禾縣期中)如圖所示，函數(shù)y=/(x)在下列哪個區(qū)間上單調(diào)遞增()

A.[-4,4]B.[-4,-3]|J[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4]

【客案】C

【分析】利用函數(shù)圖象上升所對區(qū)間確定函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間即可.

【解答】解：觀察函數(shù)圖象，在[-4,-3]、[1,4]上隨x的增大，函數(shù)y=/(x)的圖象是下降的,

在[-3,1]上隨x的增大，函數(shù)y=/(x)的圖象是上升的，

第4頁共20頁

因比函數(shù)y=/(x)在［-4,-3］、［1,4］上單調(diào)遞減，在［-3,1］上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)p=/(x)在［-3,1］上是增函數(shù).

故選：C.

【例4】(2023秋?觸麟?yún)^(qū)期中)如圖是函數(shù)y=/(x)的圖象，則函數(shù)“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

A.(-2,0)B.(-2,2)C.(0,2)D.(2,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象分析即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)圖象在(0,2)上是下降趨勢，則/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：(0,2).

故選：C.

【例5】(2023秋?富陽區(qū)月考)若定義在A上的函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示，則其單調(diào)遞減

【答案】［一3,1］和［3,+00).

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的單調(diào)性的定義結(jié)合圖像，分析可得到結(jié)果.

【解答】解：根據(jù)題意，y=/(x)的圖象在［-3,1］和［3,y)上呈下降趨勢，該函數(shù)單調(diào)遞減,

則其單調(diào)遞減區(qū)間是［-3,1］和［3,+00).

故答案為：［-3,1］和［3,+oo).

第5頁共20頁

Fl知識點2/

知識點

【如識點2】定義法求解函數(shù)的單調(diào)性

1.基本步驟

設(shè)值：設(shè)項，看是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且王＜》2.

作差：計算/(司)/(々)，通過因式分解、通分、配方等方法變形.

定號：結(jié)合王，起的取值范圍判斷/a)/'Cq)的正負，進而確定函數(shù)單調(diào)性.

結(jié)論：根據(jù)定號結(jié)果得出函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性.

2.注意事項

設(shè)苴時強調(diào)%，當?shù)娜我庑?，確保結(jié)論適用于整個區(qū)間.

作差變形根據(jù)函數(shù)形式選方法，如分式函數(shù)常用通分，二次函數(shù)常用配方.

定號時充分考慮西，￡取值范圍對式子正負性的影響.

典型例題

【例6】(2025春?花山區(qū)月考)已知函數(shù)/(公=蘇+一+1為奇函數(shù),且，(1)=3.

x

(1)求/(X)的解析式；

(2)求證：/⑶在區(qū)間［1,物)上單調(diào)遞增.

【答案】(1)f(x)=2x+—:

X

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)=(1)求出參數(shù)b的值，再根據(jù)/(1)=3,求出參數(shù)a的值，最

第6頁共20頁

后臉臉即可.

（2）根據(jù)單調(diào)性的定義求出即可.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)/:?,其定義域為（-00,0）0（0,+00）,

X

若函數(shù)/⑶為奇函數(shù)，則有/（-1）=-/（D,即_（"b+i）=_m+b+i）,解得力=o,

又/'（1）=0+1=3,解得4=2,所以/（X）=2X+L

X

若f（x）=2x+L其定義域為（-8,0）0（0,+O0）,關(guān)于原點對稱，

X

JLf（T）=_2x」=-〃x）,則〃x）為奇函數(shù)，符合題意；

X

故/（X）=2X+L;

X

（2）證明：任意的玉，x2e[l,+oo）,且玉〈々，

有/（演）一/（吃）=2$+,-（2/+,）=2（須一式2）一心^=兇/）（2中2D,

x2x2x}x2x}x2

由L%<x2,可得2X}X2>1,X,-x,<0,

則f（xj—/但）<0，即/6）</（%），

所以/（X）在區(qū)間J，+9）上單調(diào)遞增.

【例7】（2024秋?邢臺期末）已知函數(shù)/（x）=x-.

（1）證明：函數(shù)/（X）在區(qū)間。+8）上是增函數(shù)；

（2）當xe[2,6],求函數(shù)/（x）的值域.

【答案】（1）證明見解析；

⑵[-1,5].

【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即得；

（2）利用已證的函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.

【解答】解：（1）證明：函數(shù)/G）=X-9,

X

任取演，x2e（0,+x）,且玉v超,

第7頁共20頁

由f(x])-f(x2)=(xi--)-(x2--)=(x,一.)_6(“2*)=(再-x2)(l+—),

因D<玉</，故1+—^―>0,X]-x2<0,故f(x])<f(x^),

即函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+oo)上是增函數(shù)；

(2)由(1)的結(jié)論：函數(shù)〃外在[2,6]上也是增函數(shù)，

則/(2)(6),即—I”/*),,5,

故函數(shù)/(x)的值域為[-1,5].

【例8】(2024秋?孝南區(qū)期末)已知函數(shù)/'(》)=竺心他,心火)是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，且/

x+a

(1)=1.

(D求/⑴的解析式；

(2)判斷"X)的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論.

【答案】(1)以幻=二：

X-+1

(2)/(x)在［一1,1］上單調(diào)遞增，證明見解析.

【分析】(1)由〃0)=0,f(1)=1,解方程求出a,/),即可求出/'(x)的解析式;

(2)/(X)在［-1,1］上是增函數(shù)，由單調(diào)性的定義證明即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)/(幻=竺心(&/,￡/?)是定義在［—11］上的奇函數(shù),

r+a

貝U/(0)=—g=0,變形可得6=0,

7Y7

W/(x)=4L—,*/(D=--=i,得。=i,

x+a\+a

所以〃刈=，匚，經(jīng)檢臉，符合題意.

x+1

(2)/(x)在［-1,1］上單調(diào)遞增,

證明如下:

3殳,x2e[-l,1],且西<與，

則心一(小篇-若戈端:途)，

第8頁共20頁

又再〈工2，所以占一七<0，因為X［,x2e［-l,1］,所以1一再工2>°，

所以<0,則/(x.)</(X2),

a+i)(.+i)

故/G)在［T,1］上單調(diào)遞增.

【例9】(2025?山東模擬)已知定義域為/?的奇函數(shù)/“)，0.Y<O0+,/(r)=-

(1)求xeR時/(x)的解析式；

(2)求證：/(幻在［1,+00)上為增函數(shù).

【答案】(1)/(幻=?0,x=0

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用函數(shù)的奇偶性求解析式即可;

(2)利用定義法證明單調(diào)性即可.

【解答】解：(1)定義域為R的奇函數(shù)/(》)，

22

則當X>0時，/(X)=-/(-x)=-(------x2)=—+x2,

2+…

故=0,x=0

證明：(2)任取1?X)<x2,

則f(.X\J(x2)=--1-Xj-------X2'=(----—+(X,—X2)(X|+X2)=(x2—X1)[-----(x,+X,)].

2

因為1”用<x2,所以x,-xy<0，x+x,>2,-----<2,

—

2

所以(x2-x))[--------(X1+x2)]<0t

即/區(qū))—/(￡)<()，

所以/(x)在［1，+8)上為增函數(shù).

第9頁共20頁

【例10】(2025?揚州模擬)已知函數(shù)/G)滿足八X+1)=產(chǎn)+2

x+2x+2

(D求f(x)的解析式;

(2)用定義法證明/(X)在(1,YO)上單調(diào)遞減.

【答案】(1)

X-+1

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意，由換元法代入計算，即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由單調(diào)性的定義法代入計算，即可證明.

【解答】解：(1)由于/+2x+2=(x+l)2+L.l,

則f（x+l）的定義域為R,

由f（x+l）=_2x+2J”）

X2+2X+2（X+1）2+1

貝”/。）=孚7，

x~+1

故/*）的解析式為/（x）=-^,xeR.

x~+1

（2）證明：任取X],X2G（l,+0O）,令王<X?,

則f（x）-f（x,）=2占_2/=2%W+2._2'x；_2/=2&-々）。一」公）,

i~Xj2+1X：+1（x：+l）（x；+l）（x；+l）（x；+l）

因為X],x2G（1,+co）,X1<x2,

所以X]-x2<0,1—x}x2<0,

從而/(X])-/(占)>0,即/(x,)>/(x2),

故f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

.知識點3/

知識點

第10頁共20頁

【如識點3】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.基本初等函數(shù)

一次函數(shù)：y=kx+b(k^O)f%>0時在R上單調(diào)遞增；A<0時在H上單調(diào)遞減.

2

二次函數(shù)：y=ax+bx+c(a0),先由對稱軸公式工=-2確定對稱軸，再根據(jù)Q的正負判斷

2a

單調(diào)區(qū)間.

指數(shù)函數(shù)：>=/(。>0???。工1),Q>I時在R上單調(diào)遞密：0<〃<1時在/?上單調(diào)遞減.

對數(shù)函數(shù)：y=k)g,xm〉0???〃Hl),時在(0,+8)上單調(diào)遞增；0<々<1時在(0,4s)上單

調(diào)遞減.

2.復(fù)合函數(shù)

利用“同增異減”原則.設(shè)y=/(g*)),令〃=g(x),分別確定〃=g(x)和〃=/(“)的單調(diào)

區(qū)間，再根據(jù)原則判斷y=/(g(x))的單調(diào)區(qū)間.

3.復(fù)雜函數(shù)

對于分式函數(shù)、根式函數(shù)等，先求定義域，再通過求導(dǎo)、換元等方法確定單調(diào)區(qū)間.

對于含絕對值的函數(shù)，通過去絕對值符號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，分別求每一段的單調(diào)區(qū)間.

典型例題

【例11】(2024秋?蘇州期末)函數(shù)/(x)=G^T的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-00,-1]B.(-oo,0]C.[0,+00)D.[1,+00)

【答案】A

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)/(X)的減區(qū)間.

【解答】解：對于=根據(jù)季-L..0,可得X”-1或

因此/(X)=Jx2-1的定義域為(_8,,+on),

第11頁共20頁

由于內(nèi)層函數(shù)在［1,一⑼上為增函數(shù)，在區(qū)間(70,-1］上為減函數(shù)，

外層函數(shù)y=4■在［0,+8)上為增函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)/(X)=_1的減區(qū)間為(_oo,-1］.

故選：A.

【例12】(2024秋?無錫期中)函數(shù)/?(%)=-一!一的單調(diào)增區(qū)間是()

x-2

A.(2,+8)B.(y,2)

C.(-2,2)D.(-a),2),(2,+a))

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的定義域，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.

【解答】解：函數(shù)/(x)=--L的定義域為{x|x±2},

x-2

又/")=!_的圖象是由y=一1向右平移2個單位得來，

x-2x

y=—J.的單調(diào)遞增區(qū)間為(YO,0),(0,+oc),

X

所'以f(x)=-——的單調(diào)遞增區(qū)間為(-0C,2),(2,+00).

x-2

故選：D.

【例13】(2024秋?孝義市月考)函數(shù)以用=匕的單調(diào)增區(qū)間為()

x

A.(0,+oo)B.(f,0)

C.(-00,0)U(0,+8)D.(f,0),(0,+oc)

【答案】D

【分析】先分離常數(shù)，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【解答】解：?."函數(shù)，(x)=~-=1--,定義域為{x|xwO},

XX

且),=_!■的單調(diào)遞減區(qū)間為(7C,0),(0,+OO),

X

故函數(shù)f(x)=—的單調(diào)增區(qū)間為(-O0,0),(0,+8),

第12頁共20頁

故選：D.

【例14】(2024?江西模擬)函數(shù)/(x)=3'J國的一個單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-oo,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,-KO)

【客案】C

【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，即可求解.

【解答】解：/(X)=3?-2W,

令:=/一2|”，

則y=31由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)/=/-2|%|的單調(diào)遞減區(qū)間,

又函數(shù)f=3-2］》|為偶函數(shù)，

函數(shù)f=V-2|x|的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1)和(0,1),

故/(工)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,-1)和(0,1).

故選：C.

【例15】(2024秋?齊齊哈爾期中)函數(shù)y=j7+6x-F的單調(diào)遞增區(qū)間為—［-1-3)_.

【答案】［-1,3).

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)即可求解.

【解答】解:由題意，7+6X-X2...O,解得-1“X”7,

即函數(shù)的定義域為［-1,7］,

令注=7+6%-『，畫數(shù)圖象開口向下，對稱軸為x=3,

所以函數(shù)〃=7+6工-/在［-1,3)上單調(diào)遞增，在(3,7］上單調(diào)遞減，

又y=&在定義域上單調(diào)遞增，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=j7+6x-f的單調(diào)遞增區(qū)間為~1,3).

故答案為：［-1,3).

第13頁共20頁

.知識點4/

知識點

【知識點4】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)

1.求解函數(shù)值

已知函數(shù)單調(diào)性，若玉<々，函數(shù)單調(diào)遞增時/區(qū))</(0)；單調(diào)遞減時/a)>/(當)，借此

比較函數(shù)值大小或求解不等式.

2.求解參數(shù)

根據(jù)單調(diào)性定義求解：函數(shù)在區(qū)間/上單調(diào)遞增，則/(七)/(/)<0對任意玉，馬在/且王

恒成立；單調(diào)遞減則/a)/(占)>0恒成立，建立不等式求解參數(shù)范圍.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解：函數(shù)在區(qū)間/上可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則/'(xRO在區(qū)間/上恒成

立(注意等號情況)；單調(diào)遞減則/'(x)WO恒成立，通過求解不等式得到參數(shù)取值范圍.

典型例題

【例16】(2025?保定二模)若函數(shù)/(x)=|2:/〃|在[I,2：上單調(diào)，則〃?的取值范圍是()

A.(0,2]B.[4,+8)C.(e,2]|J[4,+x)D.(0,2]|J[4,y)

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=2,的單調(diào)性可知2Z[2,4].對〃?的取值范圍進行分類討論去絕對值,

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【解答】解:當xe[l,2]時,

因為函數(shù)y=2、在R上單調(diào)遞增,

第14頁共20頁

可知2%[2,4].

當m€（-00,2]時，2X-m...0,

所以/（幻=|2，一〃?|=2，一〃？,

此時/（X）在[1,2]上單調(diào)遞增;

當加€（2,4）時,

m-2X,xG[\,logm)

則/(x)=|2＜?。?

T-m,xE[log2ni,2]

則/（》）在[1,2]上先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增;

當mG[4,+00）時，2'-m?0,

所以f（x）=\2x-m\=m-2x,

則f（x）在[1,2]上單調(diào)遞減.

綜上，要使函數(shù)/（幻=|2"-〃?|在[1,2]上單調(diào),

則加G（-co,2】U[4,-H?）.

故選：C.

【例17】（2025?河南模擬）若函數(shù)/（幻=卜3-3廠+妙+2”5”41,是定義在&上的增函數(shù)，則實

alog,x+2a,x>1

數(shù)”的取值范圍為（）

A.（1,8]B.[3,7]C.[4,7]D.（4,18]

【答案】B

【分析】當x>l時，由對數(shù)的性質(zhì)可得。>1;當x”l時，由E..0,可得々..3,再由臨界值的大

小關(guān)系求解即可.

【解答】解：當x>l時，y="k）gM+2a單調(diào)遞增，故々>1;

當X,,1時，若y=d-3x?+or+2a-5單調(diào)遞增，

第15頁共20頁

則了=342-6x+a..O在區(qū)間（-oo,1]上恒成立,

只需o，

即當x=l時,3-6+a..O,得a..3.

又函數(shù)/（幻=卜3-3丁+公+2。-5641,是增函數(shù)，

410g4x+2a,x>1

則13_3x『+axl+2"5”2a,解得a”7,

所Xa的取值范圍為[3,7].

故選：B.

）

【例18】（2025?黃岡模擬）設(shè)函數(shù)/（x）=2；a，x>°,,馮GA（x尸乙）有以止>0

-x~+ax,x<0"X,-x2

成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[0,1]B.（-OO,1]C.（I,+oo）D.[1,2]

【答案】A

【分析】根據(jù)條件得到/（用在公上單調(diào)遞增，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性，列不等式組

-f-°,即可求解.

2（-?>0

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=[2："，x>°,對％,x,eR（x產(chǎn)》,）有皿二四2>（）成立，

-x~+av,x<0xi-x2

則/⑴在R上單調(diào)遞增，必有,

2°-a>0

解得■（）,,由1,即a的取值范圍為[0,1].

故選：A.

【例19】（2025?南通模擬）已知函數(shù)/（幻=卜2+2%x<°在區(qū)間（_i,+00）單調(diào)遞增，則。的取值

ln（x+a）,x>0

第16頁共20頁

范圍是()

A.(0,+oo)B.[0,+8)C.(0,1]D.[1,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由